3、2均值定理1修改
3.2均值定理修改
§3.2均值不等式1. 掌握均值不等式的推导过程；2. 掌握均值不等式的应用：（1）证明不等式；（2）求最值.2012年第24届国际数学家大会在北京召开，大会会标是我国三国时期数学家赵爽的弦图，见课本P72习题A 第一题图。
赵爽弦图最关系初的应用是用来证明勾股定理，仔细观察图中各图形之间的面积关系，可以得到怎样的不等式？（提示：正方形ABCD 的面积与其内四个全等直角三角形的面积和的）均值定理 如果,,+∈Rb a 那么ab b a ≥+2.当且仅当b a =时，等号成立。
证明：两个正数的算术平均数：两个正数的几何平均数：均值定理可以表述为：【思考与讨论】1、 均值不等式与不等式ab b a 222≥+的关系如何？2、 由均值不等式可以得出哪些变形公式？均值不等式的应用一、证明不等式例1已知ab>0,求证：2≥+ba ab ，并推导出式中等号成立的条件。
跟踪训练：1. 已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），求证（a+a 1）(b +b1)≥42. 已知20πθ<<，求证：2cot tan ≥+θθ变式：已知20πθ<<，设=)(θf θθcot tan +，求函数)(θf 的最小值以及相应的θ值。
二、利用均值不等式求最值例⒉（１）一个矩形的面积为100m 2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（２）已知矩形的周长为36m.问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？【思考与讨论】利用均值不等式可以解决哪两类求最值问题，需要满足的条件是什么？变式训练：1、已知x>0,求函数y=x+1x 的最小值.2、已知x<0,求函数y=x+1x 的最大值.3、已知x>-1,求函数11y x x =+-的最小值.4、已知，0>x 求函数的x x x f 4)(2+=最小值.5、已知0<x<1,求函数y=x （1-x ）的最大值.三、均值不等式在实际问题中的应用例3一段长为lm的篱笆围城一个一边靠墙的矩形菜地，矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？求出这个最大值。
高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义新人教B版必修5(2021学年)
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3。
2 均值不等式预习课本P69~71,思考并完成以下问题(1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件?（2)在利用均值不等式求最值时,应注意哪些方面？（3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题?错误!1.均值定理如果a，b∈R＋,那么错误!≥错误!.当且仅当a＝b时，等号成立,以上结论通常称为均值不等式.对任意两个正实数a,b,数＼f(a＋b,２)称为a，b的算术平均值（平均数）,数＼ｒ(aｂ)称为ａ，b的几何平均值（平均数)．均值定理可叙述为:两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值.［点睛］(１)“a＝b”是＼f(a＋b,2)≥ab的等号成立的条件.若a≠b，则＼f(a＋b,２）≠错误!，即错误!＞错误!。
(2）均值不等式错误!≥错误!与a2＋b2≥2ab成立的条件不同,前者a>0,b>０,后者ａ∈R,b ∈Ｒ。
２.利用均值不等式求最值(１)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值;（２）两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.错误!１．判断下列命题是否正确.(正确的打“√"，错误的打“×”）(1)对任意a,ｂ∈R,a2+b2≥2ab,ａ＋b≥2错误!均成立( )（2)若ａ≠0，则a ＋错误!≥２错误!＝４（ ）(3)若a 〉０,b 〉０,则ａb ≤错误!２( )解析：（1)错误．任意a ，ｂ∈R,有a 2+ｂ2≥2ａb 成立,当a ,b 都为正数时,不等式a ＋b ≥2错误!成立．(2)错误.只有当a >０时，根据均值不等式,才有不等式ａ+错误!≥2错误!=4成立. （３）正确.因为＼r(ab ）≤a +b2，所以ab ≤错误!2。
均值定理1
《 均值定理》教案一、 教学目标：了解均值定理和应用二、重点与难点：对均值定理的“一正二定三相等”理解和应用三、教学活动：一）、基础知识常用的基本不等式⑴ a 2≥0， ⑵(a ±b)2≥ 0, ⑶a 2+b 2≥2ab, ⑷均值定理：两个正数的算术平均数2b a +不小于它们的几何平均数ab 即：若a>0,b>0，则2a b ab +≥（当且仅当b a =时等号成立）， ① 如果两个正数的和为定值，则两数的积有_________值。
② 如果两个正数的积为定值，则两数的和有_________值。
⑸2≥+ba ab （a,b ∈R 且同号） 二）、例题讲解：例1.（1）已知x>0,y>0且x+y=9,则xy 有最_____值为____。
（2）已知x>0,y>0且xy=9,则x+y 有最_____值为____。
（3）若的最小值求xx x 12,0+> 。
类题演练求下列各式的最大值或最小值1．下列命题中正确的是（ ）A ． x+1x 的最小值是2 B. 11122+++x x 的最小值是2C ． 44122+++x x 的最小值是2 D. 2-3x-4x 的最小值是2 2．若，x x•312+的最____值为_____,此时=______. 3．当x= 时，12x+3x-5 (x>0)取最 值，其值为 。
4. 若x>0, y>0， 的最小值 。
x y y x 3+例2．求下列式子的最大值或最小值)10)(1(3<<-x x x类题演练 求下列各式的最大值或最小值1(12)(0)2x x x -<<三、课后作业1.若的最小值求x x x 12,0+>。
2.若的最大值求)1(,10x x x -<<，并求出取得最大值时x 的值。
3．若，x x•39+的最____值为_____,此时=______.。
3.2.1均值不等式
1 -2 ，求证： x x
2
（2）已知
x 4x 1 ( x 0) 的最小值 (3)求函数 f ( x) x 及取得最小值时x的值
例2． （1）已知x>0,y>0,xy=100，求x+y的最小值 （2）已知x>0,y>0,x+y=18，求xy的最大值 x y ≥ xy 解：（1）xy=100 且 x>0，y>0， 2
一正 二定 12 f (x) 3x 2 12 3x 12 x x
解:因为x>0,
12 当且仅当 3x即x 2 时取等号, x 即当x=2时函数的最小值为12.
三相等
例4. 函数y= x
1 (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______. x 1
二不定, 需变形
例5.a, b是正数且a b 4，求ab的最值
变形1 a, b是正数且2a b 4，求ab的最值 ：
b 变形 2：a, b是正数且 a 4，求 ab的最值 2
练习题：
(1)设0 x 2, 求函数y x(4 2 x)的最大值 4 (2)求 a （a 2）的取值范围 a2
a, b R
2．取“=”的条件： a b
均值定理： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号成立） 证明： ( a )2 ( b )2 2 a b ∵
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
均值定理： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
人教B版高中数学必修五第3章3《均值定理》说课稿
人教B版高中数学必修五第3章3《均值定理》说课稿一、教材分析均值不等式”是必修五第三章第二节的内容，它是在学完“不等式的性质”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最大（小）值过程中有着广泛的应用。
求最大（小）又是高考的热点。
同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。
二、学情分析从学生知识层面看，学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题从学生的能力层面看，高二学生已经具备了应用固有知识探求新知的能力，从较长时间的训练中具备合作交流探究学习的学习模式。
三、教学目标1、知识目标:探索均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决最大（小）值问题。
2、能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维能力。
3、情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。
四、教学重点与难点1、重点:理解均值不等式2、难点:均值不等式的应用五、教学策略与教学方法先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出重要不等式。
从生活中实际问题还原出数学本质，可调动学生的学习热情。
定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案。
充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用.采用“启发—探究—讨论”式教学模式.六、教学过程中国古代有很多发明推动了世界的发展，如图是2002年在北京举行的国际数学家大会的会标，它是我国古代三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理而绘制的。
颜色的明暗可以使人联想到了风车，代表了中国人民的热情好客。
把这一会标抽象出如图所示的几何图形，在下方形ABCD中，有4个全等的直角三角形，设每一个直角三角形的直角分别为a、b。
我将向学生提出以下问题：正方形ABCD的面积是多少？四个直角三角形面积之和是多少？它们的大小关系如何？可时取等号？通过传统文化知识创设情境引入新知可以激发学生学习兴趣，培养他们的爱国情怀，充分体现了数学学科中的数学建模这一核心素养。
高中数学 第三章 不等式 3.2 均值不等式教案 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学教案
均值不等式1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B 解析 P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ， M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b2<a ＋b (由a ＋b >a ＋b24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 答案 a ＋b解析 方法一 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大． 方法二 令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12，∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。
高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式课件 新人教B版必修5
解析：A 中xy＜0 时，不满足题意；B 中等号不能成立；D
中 tanθ＜0 时，不符合题意；C 中12ex＋2e－x≥2，当 ex＝2，即
x＝ln 2 时等号成立．故选 C. 答案：C
3．已知 x，y 都是正数，若 xy＝4，则 x＋y 的最小值是 ________．
解析：∵x>0，y>0， ∴x＋y≥2 xy＝4， 当且仅当 x＝y＝2 时，等号成立． 答案：4
解析：若x2＋3xx＋1≤a(x>0)恒成立， 则x2＋3xx＋1max≤a，
令 y＝x2＋3xx＋1＝x＋11x＋3≤2＋1 3＝15，
当且仅当 x＝1 时，等号成立，
∴ymax＝15，
∴a
的取值范围为15，＋∞
.
答案：15，＋∞
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
1．已知实数 a>0，则 a＋4a的最小值为( )
＝n＋1n－＋112＋8＝
n＋12－2n＋1＋9 n＋1
＝n＋1＋n＋9 1－2≥2 n＋1·n＋9 1－2＝4，
当且仅当 n＋1＝n＋9 1，即 n＝2 时，符号成立，故选 A.
答案：A
5．(2019·河南中原名校联考)已知等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn，且 S3＝15，a7＋a9＝34，数列ana1n＋1的前 n 项和为 Tn， 且对于任意的 n∈N*，Tn<an＋t 11，则实数 t 的取值范围为 ________．
课堂互动探究
典例精析 规律总结
设 a，b∈(0，＋∞)，试比较a＋2 b， ab，
a2＋b2， 2
1a＋2 1b的大小． 【解】 ∵a，b∈(0，＋∞)，
∴1a＋1b≥2 a1b，
即2≤ 1a＋1b
【精品】人教B版高中数学必修五第三章不等式3.2均值不等式20171206411
(3)若实数
a,b
满足1
������
+
2 ������
=
������������,则 ab 的最小值为 2 2. (
)
(4)当 a>0,b>0 时,有不等式1������+21������ ≤
������������
≤
������+������ 2
≤
������2+2 ������2成立.
()
答案:(1)× (2)× (3) (4)
3.2 均值不等式
-1-
1.1.1 正弦定理
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课标阐释
思维脉络
1.了解均值不等式的证明过程,理 解均值不等式成立的条件,等号 成立的条件及几何意义. 2.会运用均值不等式解决最值、 范围、不等式证明等相关问题. 3.掌握运用均值不等式a+2b ≥
ab(a,b>0)求最值的常用方法及 需注意的问题.
课前篇 自主预习
课堂篇 合作学习
-2-
1.1.1 正弦定理
一
二
三
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课课前前篇篇 自自主主预预习习
一、重要不等式
【问题思考】
1.填空: 对于任意实数a,b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. 2.怎样比较 a2+b2,(������+2������)2,2ab 三者的大小关系?
提示:a2+b2≥(������+2������)2≥2ab,当且仅当 a=b 时等号成立.利用作差 法即可证明.
探究三
探究四
探究五
首页 思维辨析
课前篇 自主预习
当堂检测
课堂篇 合作学习
学案3：3.2 均值不等式
3.2 均值不等式学习目标：1.推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.2.利用均值定理求极值.3.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用学习过程：知识梳理：1．一个常用的均值不等式链设a >0，b >0，则有：min{a ，b }≤21a ＋1b ≤ ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max{a ，b }， 当且仅当a ＝b 时，所有等号成立．若a >b >0，则有：b <21a ＋1b <ab <a ＋b 2< a 2＋b 22<a . 2．均值不等式的拓展(1)a ，b ∈R ，都有ab ≤(a ＋b )24≤a 2＋b 22成立． (2)a 2＋b 2≥2ab 可以加强为a 2＋b 2≥2|a |·|b |，当且仅当|a |＝|b |时取等号．(3)a ，b ，c ∈R ，都有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca 成立．(4)若ab >0，则a b ＋b a≥2. 3．利用均值不等式求最值的法则均值不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b 为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值． (1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．4．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f (x )＝x ＋k x(k >0)的单调性加以解决． 利用函数单调性的定义可以证明函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在(0，k ]上单调递减，在[k ，＋∞)上单调递增．因为函数f (x )＝x ＋k x (k >0)是奇函数，所以f (x )＝x ＋k x(k >0)在(－∞，－k ]上为增函数，在 [－k ，0)上为减函数．函数f (x )＝x ＋k x(k >0)在定义域上的单调性如图所示．方法突破：一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察． 例1：函数y ＝x ＋22x ＋5的最大值．二、利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a >f (x )恒成立⇔a >[f (x )]max ，a <f (x )恒成立⇔a <[f (x )]min .例2：已知f (x )＝32x －(k ＋1)3x ＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，22－1)C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1) 三、利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．例3：已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．例4：某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m 2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m 2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m 2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m 2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)课堂检测：1．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( ) A ．72 B ．4 C ．92 D ．52．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D ．143．求f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x(0<x <1)的最值．4．已知m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b (a 、b 为大于0的常数且a ≠b )，求mx ＋ny 的最大值．5．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y的最小值．6．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围.参考答案方法突破：例1：解：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)，则y ＝t 2t 2＋1. 当t ＝0时，y ＝0；当t >0时，y ＝12t ＋1t ≤12 2t ·1t＝24. 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立． 即当x ＝－32时，y max ＝24. 例2：【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)·3x ＋2>0，解得k ＋1<3x ＋23x ，而3x ＋23x ≥22， ∴k ＋1<22，k <22－1.【答案】B例3：已知a >2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)<1.证明 因为a >2，所以log a (a －1)>0，log a (a ＋1)>0.又log a (a －1)≠log a (a ＋1)，所以log a (a －1)·log a (a ＋1)<log a (a －1)＋log a (a ＋1)2＝12log a (a 2－1)<12log a a 2＝1.所以log a (a －1)log a (a ＋1)<1. 例4：解：设建造这幢办公楼的楼层数为n ，总费用为y 元，当n ＝1时，y ＝2.5·A ·2 388＋445A ＝6 415A (元)，当n ＝2时，y ＝2.5·A 2·2 388＋445A ＝3 430A (元)， 当n ≥3时，y ＝2.5·A n ·2 388＋445·2A n ＋(445＋30)·A n ＋(445＋60)·A n ＋…＋[445＋30(n －2)]·A n＝6 000·A n＋15nA ＋400A ≥2A 6 000×15＋400A ＝1 000A (元)(当且仅当n ＝20时取等号)．即n ＝20时，有最小值1 000A 元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A 元．课堂检测：1．【解析】∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋22a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 【答案】C2．【解析】由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，所以a ＋b ＝1.因为a >0，b >0，所以1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b 时，等号成立．【答案】B3．解：∵0<x <1，∴(－log 2x )>0，⎝⎛⎭⎫－5log 2x >0.∴(－log 2x )＋⎝⎛⎭⎫－5log 2x ≥2 (－log 2x )⎝⎛⎭⎫－5log 2x ＝2 5. ∴log 2x ＋5log 2x≤－2 5. ∴f (x )＝2＋log 2x ＋5log 2x≤2－2 5. 当且仅当log 2x ＝5log 2x时，即x ＝2－5时取等号． ∴f (x )max ＝2－2 5.4．解：利用三角代换可避免上述问题．∵m 2＋n 2＝a ，∴设⎩⎨⎧ m ＝a cos αn ＝a sin α(α∈[0,2π))， ∵x 2＋y 2＝b ，∴设⎩⎨⎧x ＝b cos βy ＝b sin β(β∈[0,2π)) ∴mx ＋ny ＝ab cos αcos β＋ab sin αsin β ＝ab (cos αcos β＋sin αsin β)＝ab cos(α－β)≤ab∴(mx ＋ny )max ＝ab ，当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．5．解：因为x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，所以1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝1＋2＋2y x ＋x y≥3＋22y x ·x y＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y且x ＋2y ＝1， 即x ＝2－1，y ＝1－22时，取得等号． 所以1x ＋1y的最小值为3＋2 2.6．解：方法一 把代数式ab 转化为a (或b )的函数．∵ab ＝a ＋b ＋3，∴b ＝a ＋3a －1∵b >0，∴a >1. ∴ab ＝a 2＋3a a －1＝(a －1)2＋5a －1a －1＝(a －1)2＋5(a －1)＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋5 ∵a >1，∴a －1>0，∴(a －1)＋4a －1≥2(a －1)·4a －1＝4. ∴ab ≥9，当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3，b ＝3时，取“＝”． 方法二 利用均值不等式a ＋b ≥2ab ，把a ＋b 转化为ab ，再求ab 的范围．∵a ＋b ≥2ab ，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3.∴ab －2ab －3≥0，∴(ab －3)(ab ＋1)≥0.∴ab ≥3，∴ab ≥9，从以上过程可以看出：当且仅当a ＝b ＝3时，取“＝”．方法三 把a ，b 视为一元二次方程x 2＋(3－ab )x ＋ab ＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1·x 2＝ab >0x 1＋x 2＝ab －3>0Δ＝(3－ab )2－4ab ≥0其中由Δ＝(3－ab )2－4ab ＝a 2b 2－10ab ＋9＝(ab －9)(ab －1)≥0，解得ab ≥9或ab ≤1.∵x 1＋x 2＝ab －3>0，∴ab ≥9.又ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＝6，∴当且仅当a ＝b ＝3时取“＝”．。
2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修5 3.2 均值不等式》
均值不等式的应用—“1〞的妙用学情分析：〔1〕从学生知识层面看：学生对均值定理的内容和应用已经有了一定的了解和体会，在探究学习和应用知识的过程中，能够解决常见的利用均值定理求最值等问题。
〔2〕从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，能够独立完成有关均值定理应用方面的常见问题。
有较好的表达能力，合作交流能力，知识探究能力。
教学内容分析：本节课?均值定理的应用—“1〞的妙用?是?数学必修五〔人教B版〕?第三章第二节的内容，作为第三课时，它的主要目的是通过具体问题进行数学猜测，构造数学模型，得出“1〞的妙用的形式，进而利用均值定理解决。
均值定理作为本章的核心内容，对于不等式的证明及利用均值定理求最值等应用问题都起到了工具性作用，特别是本节课的内容，新颖，灵活，可以很好地提升学生的数学思维能力。
有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用。
教学目标：依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标为：（一）知识与技能：通过学习，使学生深刻理解均值定理的内容明确均值定理的使用条件，能够熟练利用均值定理解决最值等问题，做到活学活用，触类旁通。
（二）过程与方法：通过情境设置培养学生发现问题和解决问题的习惯；引导学生通过问题设计，模型归纳，类比猜测实现定理的更好应用，体会知识与规律的形成过程；通过模型比照，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力。
（三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生较深刻地理解数学模型建立的重要性，培养学生迎难而上的学习精神，同时通过学生自身的探索研究，领略获取新知的喜悦。
教学重点：均值定理中“1〞的妙用教学难点：“1〞的妙用模型的建立以及转化变形教学策略选择与设计：本节课主要采用启发引导式的教学策略通过设计问题回忆所学知识，通过引导，比照，归纳，建模，拓展，稳固等环节让学生领悟新知的形成过程和探究方法，增强学生的探究能力。
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课题：均值不等式
时间：2013-10-14 命题人：周奎伟 崔志荣 常春永
一.课前新知初探
（一）学习目标：
1、知道均值不等式及其证明，并能应用它解决有关问题（求最值、证明不等式、
比较大小、求取值范围等）.
2、通过运用均值不等式解决实际问题，提高运用数学手段解决现实问题的意识
与能力.
（二）学习重点、难点
重点：均值不等式的推导及其应用.
难点：均值不等式在实际问题中的应用.
（三）自主预习
用比较大小的方法完成：
a 、
b 都为正数，比较2
a b +
1、 均值定理的内容 。
对任意两个正实数a,b ， 叫a,b 的算术平均值， 叫a,b 的几何平均
值，均值定理可以表述为： 。
2、问题：任意两个同号的数的算术平均数不小于它们的几何平均数的说法是否正确？为什
么？
3、用比较大小的方法完成：比较22
a b +与2ab 的大小关系，并研究何时取等号。
均值不等式与不等式222a b ab +≥的关系如何？
4、怎样从几何直观的角度理解均值定理？
班级姓名学号小组二.课堂互动探究
（一）课堂提问
1、比较两个数的大小的方法：
2、不等式的性质：
性质1：性质2：
性质3及推论：
性质4及推论：
性质5：
3、均值定理：
(二)典例剖析
例1、已知a、b都为正数，求证2
2
2
b a
a b
+≥并推导出式子中等号成立的条件。
例2、求函数
1
(0)
y x x
x
=+>的最小值及相应的x值。
（特点1、都为正2、
1
1
x
x
⋅=为定
3、
1
x
x
=时取等号）
变式：（1）一个矩形的面积为81平方米，问这个矩形的长、宽为多少时矩形的周长最短？最短周长是多少？
（2）已知一个矩形的周长为64米，问这个矩形的长、宽为多少时矩形的面积最大？最大面积是多少？
由例题可总结出的规律：1、。
2、。
总结：应用均值不等式求最值的条件：1、；2、；3
三.基础自主演练
1、已知.a b为正实数，求证：
11
()()4 a b
a b
++≥。
2、（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数为多少时，它们的和最小？（2）把36写成两个正数的和，当这两个正数为多少时，它们的积最大？。