【精选课件】高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理1课件.ppt
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中职数学拓展模块课件-二项式定理
解 (1) 因为
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
【高教版】中职数学拓展模块：3.4《二项分布》ppt课件(2)
解 由于是有放回的抽取，所以3次抽取是相互独立的．而且
巩 固 知 识 典 型 例 题
是在相同条件下进行的重复试验．每次抽取中，取到黑球的概率 1 4 都是 p ，取到的不是黑球的概率都是 ．三次抽取，取到黑球 5 5 4 n 3 ， p 的个数 是一个离散型随机变量，服从 的二项分布． 5 即 4 B 3， ． 5 事件 2 表示抽取3次所取到的球恰好有2个黑球．其概率为
在实际问题中，如果n次试验相互独立，且各次实验是重复试 验，事件A在每次实验中发生的概率都是p(0＜p＜1)，则事件A发 生的次数 是一个离散型随机变量，服从参数为n和P的二项分布．
例6 口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取一个球，观察 后放回再重新抽取．求抽取3次所取到的球恰好有2个黑球的概率．
巩 固 知 识 典 型 例 题
活不到65岁}．于是 P( A) 0.6, P( A) 1 0.6 0.4． 且随机变量 B(3， 0.6)． 因此
3 3 0 P (3) C 0.6 (1 0.6) 0.216， 3 3 2 2 1 P (2) C 0.6 (1 0.6) 0.432， 3 3 1 1 2 P (1) C 0.6 (1 0.6) 0.288， 3 3 0 0 3 P ． 3 (0) C3 0.6 (1 0.6) 0.064
0， 1， 2， 3的概率（仅求到组合数形式）分别为：
0 1 P( 0) C3 0.030 (1 0.03)3， P( 1) C3 0.03 (1 0.03)2， 2 3 P( 2) C3 0.032 (1 0.03)， P( 3) C3 0.033 (1 0.03)0．
人教版中职数学(拓展模块)3.1《排列、组合与二项式定理》ppt课件1
所有组合的个数叫做组合数,用符号 Cnm表示.
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n 1)(n 2) (n m 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
=
C nm n
;
(ⅱ)
Cm n 1
=
Cnm
+ Cnm1
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式.
Anm
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：
第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选 法；
第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
组合与组合数
(3)组合数计数公式.
Cnm =⑥
Anm Amm
=⑦ n(n 1)(n 2) (n m 1) .
m!
n!
=⑧ m!(n m)! .
规定 Cn0 =1. (4)组合数的两个性质.
(ⅰ)
Cnm
=
C nm n
;
(ⅱ)
Cm n 1
=
Cnm
+ Cnm1
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
二、 排列与排列数
(3)排列数计算公式.
Anm
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=⑤
n!
(n m()其! 中m≤n).
(ⅰ)若m=n，排列称为全排列，记
=1·2·3·…·(n-1)·n=n!(称为n的阶乘)；
Ann (ⅱ)规定0!＝1.
组合与组合数
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个不同元素组 成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合.
位整数（各位上的数字允许重复）？
解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：
第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数 字，有4种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选 法；
第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理， 得到可以组成的三位整数的个数是 N=4×5×5=100．
《二项式定理》ppt课件
பைடு நூலகம்
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
高教版中职数学(拓展模块)3.4《二项分布》ppt课件1
A，并且在每次
实验中，事件A发生的概率都不变．这样的n次独立试验叫做n次
动
伯努利实验．
脑
思
可以证明（证明略），如果在每次实验中事件A发生的概率
考
为P(A) p，事件A不发生的概率说明P( A) 1 p，那么，在n次伯努
n次伯努利实
探
利实验中，事件A恰好发生k次的概验率中为，事件A恰好发生k 次的概率公式可以看成
独立重复试验．
动
脑
采用“有放回”的方法，从袋中连续5次抽取的实验就是5次独
思
立重复试验．
考
探
观察上面的实验，每次试验的可能结果只有两个（黄球、白
索
球），并且两个结果是相互独立的（即各个事件发生的概率互相
新
没有影响）．
知
一般地，在n次独立试验中，如果每次试验的可能结果只有
两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A和
体
这个公式叫做伯努利公式，其中 k 0，1，2 ，n．
建
构
生产某种零件，出现次品的概率是0.04，现要生产4件这 种零件，求：
（1）其中恰有1件次品的概率；
Hale Waihona Puke 自 我（2）至多有1件次品的概率．
反
思
目
标
0.14，0.99．
检
测
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
• 三、听英语课要注重实践
• 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/7/31
中职数学 拓展模块 第3章 概率与统计
3.1 排列与组合
两个相同的排列有什么 特点？两个相同的组合呢？
3.1 排列与组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个 不同元素中取出m个元素的 组合数 ，用 来表示.
例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为 ；我们已经知道 =3.那么从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合 数 是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式.
为了得到这个问题的结论，我们先来看问题一：从甲、乙、丙 3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
3.1 排列与组合
解决这个问题需 分2个步骤：第一步， 先确定1名参加上午活 动的同学，从3人中任 选1人有3种选法；第 二步，确定1名参加下
学习提示
例6 中公式是组合数的性质之一，即从n个 不同元素中取出m个元素的所有组合数与取出nm个元素的所有组合数是相同的.它给出了一种
减少计算工作量的方法，如计算C160 可转化为计
算 C140 .
3.1 排列与组合
练一练
1.计算.
C140
;
C198 200
;
C939
;
C22
C32
C1200 .
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材下载：/sucai/ PPT图表下载：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ Excel教程：/excel/
第3章 概率与统计
图3-5
3.1 排列与组合
填法可分为m个步骤： 第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种 方法； 第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一 个，有n-1种方法； 第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一 个，有n-2种方法； …… 第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填 一个，有n-m+1种方法.
二项式定理ppt课件
$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出
【精选课件】人教版中职数学拓展模块3.1排列、组合与二项式定理1课件.ppt
盆里，问有多少不同的种法？
解一：分两步完成；
第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置 有A53种排法
4.注意排列数公式、组合数公式有连 乘形式与阶乘形式两种，
公式 Anm =n(n-1)·…·(n-m+1),
Cnm =
n(n 1)(n 2) (n m 1) 常用于计算,
m!
而公式 Anm
=
(n
n! m)!
,Cnm
= n! 常用于
m!(n m)!
证明恒等式.
一.特殊元素和特殊位置优先策略
2.如果任何一类办法中的任何一种方 法都能完成这件事，即类与类之间是相互 独立的，即分类完成，则选用分类计数原 理；如果完成一件事要经历几个步骤（即 几步），且只有当这些步骤都做完，这件 事才能完成，即步与步之间是相互依存、 相互连续的，即分步完成，则选用分步计 数原理.
3.排列与组合的本质区别在于排列不 仅取而且排，即与顺序有关，而组合只取 出一组即可，与顺序无关.
一、两个原理
3.分类和分步的区别 分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类 都能独立完成这件事，各类互不相关.分步：完成一 件事须按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可， 只有当所有步骤完成，这件事才完成.
一、两个原理
练习1： 书架上放有3本不同的数学书，5本 不同的语文书，6本不同的英语书．
（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的
一、两个原理
(2)三角形的三边长均为整数,且最长的边 长为11,则这样的三角形的个数有( C )
A.25个 B.26个 C.36个 D.37个
(2)设另两边长为x、y,且1≤x≤y≤11 (x 、 y∈Z) ， 构 成 三 角 形 ， 则 x+y≥12 ， 当 y 取 11 时 ， x=1,2,3,…,11,有11个;当y取10时，x=2,3,…,10,有９个;当y取 9时，x=3,4,…,9,共7个;……;当y取6时，x也只能为6，有1 个，故满足题设的三角形共有：11+9+7+5+3+1=36个，故
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二项式系数与系数．
自 我 反 思
目
系数最大项是第6项，该项的二项式系数是252．
标
检
测
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
读书部分：阅读教材相关章节
继
续
书面作业：教材习题3.2（必做）
探
学习指导3.2（选做）
索
活
实践调查：用本课所学知识解决
动
探
探 二项式系数最大并且相等． 索 新 知
例1 写出（a b)5 的展开式．
巩
解 由于C50 1，C15 C54 5，C52 C35 10，C55 1．所以
固
（a b)5
知
识
C50a5 C15a4b C52a3b2 C35a2b3 C54ab4 C55b5
动 脑
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b nm m Cnnbn 公式右边的多项式叫(a b)n的二项展开式，共有n+1项，其中
思 每一项的系数 Cmn（m=0，1，2…n）叫该项的二项式系数，第m+1项
考 Cmn anmbm叫做二项式的通项．记作 Tm1，由公式可以看出，二项展开
巩 固
Tm1 C9m x9m (2)二 系m 数项C是式9m 指系(1数x)6m的是2C系m39数x9C8m439；(而2第)3 =4项-6的72．
知
由9－m=6,得m＝3．
识
即二项展开式中含 x 6的项为第4项．
典
故这一项的系数是
型 例
C39
(1)3
23
987 3 21
第三章 概率与统计
3.2 二项式定理
我们知道，如果a，b是任意实数，那么
（a b)2 a2 2ab b2，
（a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3． 下面计算
（a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)．
创
显然，计算结果中的各项都是从每个括号里任取一个字母的
知 识
略．
强
2．求 (a 3b)7 的展开式的第4项及含有 a2b5的项．
化
练 习
T4 945a4b3；T6 5103a2b5．
二项式定理的内容是什么？
理
论
(a b)n C0nan C1nan1b Cmn a b nm m Cnnbn
升
华
整 体 建 构
求(x 2 y)10 的展开式中二项式系数最大的项．并指出这项的
(8)
672．
题
例3 求 ( x 1 )10 的二项展开式的常数项． x
解 由于
巩
Tm1 C1m0（
x）10m (
1 )m x
10m
C1m说0 x明2
m
2，
固
故 10 m m 0．
知
2
首先求出公式中字母 m的取值，从而确定要 求的是哪一项，最后根
识
解得 m=5．
据公式写出该项，是解
典
所以二项式展开式中第5项是常数项，决 法为这 ．类问题的一般方
型 例
C150
1098 7 6 5 4ห้องสมุดไป่ตู้3 21
252．
题
1． 用二项式定理展开下列各式：
（1） (1 x)8 ； （2） (x 1)6 ； x
运 用
（3） (2a b)5 ；（4） ( x 2 )4 ． 2x
探 式的通项为
索
Tm1
=C
m n
a
nmb
m
新
知
由二项式定理可以得到：
(a b)1
…………
11
(a b)2
…………
121
动
(a b)3
………… 1 3 3 1
脑 思
(a b)4
………… 1 4 6 4 1
考
(a b)5
………… 1 5 10 10 5 1
探
……
……
上述二项式系数列成的表，称为杨辉三角． 是我国宋朝时的
设
乘积，因而各项都是4次式，其所含字母的形式分别为
情 境
a 4，a 3b，a 2b 2，ab3，b 4 在上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C04种，所以
a 4的系数是C04；恰有1个取b的情况有C14 种，所以a3b的系数是C14；
兴 恰有2个取b的情况有
C
2 4
种，所以
a
2b
2
的系数是C24；恰有3个取b的
索
新 数学家杨辉于1261年所著《详解九章算法》中列出的图表．
知
可以看出二项式系数具有下列性质：
（1）每一行的两端都是1，其余每个数都是它“肩上”两个数的和；
动
（2）每一行中与首末两端“等距离”的两个数相等；
脑
（3）如果二项式(a b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式中间
思
考 一项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么二项展开式中间两项的
生活中的实际问题
究
2005年11月7日7时33分
2005年11月7日7时33分
趣 导 入
情况有
C
3 4
种，所以
a
b3的系数是C34；恰有4个取b的情况有
C
4 4
种，
所以 b4的系数是C44．
因此
（a b)4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34ab3 C44b4．
利用这种方法可以得到二项式定理：
设a , b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
典 型
a5 5a4b 10a3b2 10a2b3 5ab4 b5．
例
题
例2 求（x 2)9的二项展要开区式别中二x项6的展系开数式．中，某项
的二项式系数与这一项的系数，
它们是两个不同的概念．如本例
解 （x 2)9的展开中式第的4项通为项公T4式为C39 x93 (2)3，其