一道高考试题结论的引申及探究
也谈一道高考试题的探究与引申
…， Y= {A， 任 ， (B， }. m}， } 丁B， B 使f ) =A，
显然有 X U Y = 必， = {Al ， …， X AZ，
由 得f (x ) = 艺}x 一 }) 耳(a。、1 此 a， 一 十 内 若x 二 则f (x ) = 耳(a。尹1一 ). 而 ). a*， 一 j a
一、 背景
证明
! r . ! 1 | 2 . | . 1 1
(1 当n 二 时， ) Zk 由三角形不等式 ( }a 士b l 簇 l a l + I b l ， 得
本题有着较为丰富的数学史背景， 其一般
形式是 :
a l一
X 一a l X 一a Z
x 一 } a， a ， a。) 一 ，
x 一 一 ) a，1一aZ， a二1} 一
，1 汽 ‘/ 石 、 ，，_、 、 、
‘ a， 几为 理 则函 (x ) 又入}x 一 {存 二 正有 数， 数f 在唯一的极小值.
一 ” 一 a 则 ‘ 六 认二a ’ ， 从j f )- 势 ’ i 记“ ， (
， 艾) U = 不 J 艺 口 : 扮 .一， = 入
乙a
证 ‘昌 “设f一
二、 。 ， 1
赛试题， 如:
(1)取 n = 3 并对 a ， ， 特殊化( 取 a = b 。
P ，= 巧，= P + 1 )得 1 8 年第一 b 。 5 93 届美国
学 请 邀 赛试题:设y = }x 一 {十}x 一 p 巧1+ }x
35
2007 年第7 期
一 一 !， P 1 其中0< P < 1 . 确定在区间P镇x 5 5 簇1 上的 值. (f (x )*。 f (15) = 巧. ) 5 最小 =
一道高考题的来龙去脉
此题 是某年 的一道 高考题 ， 考
满足什么条件？
； 。一
。 。
解析
本 题 考 查 余 弦 定 理 及 二
豆 于 ＡＢ 的 豆 线 为 Ｙ轴 ， Ａ 【 划 一ｍ ， ０），
的最 大 值 ， 能 用 ｃｓ 只 ｏＡ的余 弦定 理 ； 而 高 考题 根 据 三边 求 面积 ， 以随 便 所
Ａ（ １０ ， １０ ． 一 ， ）Ｂ（ ， ）
此 习 题 中 的 两 个 已 知 条 件 是
解析
本 题 考 查余 弦 定理 及 基
和边 ，与高 考题 中的两个 条件
相 当 ， 角 形 不 能 确 定 ， 且 都 求 三 而 是
本 不 等 式 ． 由 余 弦 定 理 得 ｃｓ ＝ ｏＡ
一
道高考题的
０ 江苏泰州民兴实验 中学
彭 光宇
釉 若脚 ：￣Ｃ 数 思 想 ， 解 法２可 以看 出本题 还 间 Ａ ＸＢ ／ ， ｆ 从
￥Ｓ ｃ ｌ ￣Ｂ 的最 大值为
．
— —
查 三 角 形 面 积 公 式 、 弦 定 理 及 函 余
这 道 习题 与高 考题 的解 法２ 谋 不 而 合 ， 涉 及解 析 法 ， 本 质 是 用 代 都 其 数方 法来 研 究 图形 的几何 性 质 ， 现 体 了数 形结 合的重 要数学 思想．
由ＡＣ＝ Ｂ ｎ Ｃ可 得 、 ／
以一 ＜ ｏ １ ｌ ｃｓ ＜ ．因此 一 ＜ ４ １
Ⅱ
＝
＜ ．解得 １
ｎ
、 ／
．
加 Ｃ， 证 ： ＞ ＬＡ， 中ｎ １ 求 ＬＢ ｎ 其 ＞．
证 明 令 Ａ： １ ， ０ Ａ １ 因 此 一 则 ＜ ＜ ，
高考数学-一道好题的多角度深度解析
一道好题的多角度深度解析1.题目再现高考数学理科卷有一道以特殊的直角三角形为几何背景，考察三角函数、三角恒等变形、解三角形的好题！原题如下：在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ．2.思维轨迹分析一个题目，就是要弄清楚题中的所求是什么？已知有哪些？所求与已知之间的关系如何？已知与所求间的关系能否看明白？思维点1：本题中，需求BAC ∠的正弦，而BAC ∠是直角三角形中的一个锐角！再自然的想法是利用直角三角形中锐角三角函数的定义，ABBC BAC =∠sin （这只是初中的知识！），但已知条件中所给直角三角形的三边的长都不知道．要求BAC ∠的正弦，是否一定要求出线段BC 和AB 长？BAC ∠的正弦值其实是一个比值，因此我只需要找到直角三角形三边中某两边长之间的等量关系即可发现这个比值．这背后其实是函数与方程的观点、思想在引领我们去明晰这种关系，这是捅破这层“卡壳窗户纸”的一道亮光！如何利用已知条件31sin =∠BAM ，去发现直角三角形三边中某两边长之间的等量关系呢？BAM ∠处在三角形AMB 中，再自然的想法是解三角形AMB ，但三角形AMB 中除了知道BAM ∠正弦值为31外，其它什么都不知道！因此将目光锁定在三角形AMB 中一下子发现不了明了的关系，需要跳出三角形AMB 的限制．图中的三角形还有哪些？还有直角三角形ACB 、ACM ，BAM ∠与这两个直角三角形ACB 、ACM 中的角有关系吗？易知MAC -BAC BAM ∠∠=∠，将BAM ∠的正弦转化为两角差的正弦，然后借助公式展开，即）MAC -BAC sin(sin ∠∠=∠BAM =MAC BAC MAC BAC ∠⋅∠-∠⋅∠sin cos cos sin （1） 设直角三角形ACB 中c AB a BC b ===,,AC ， 则c a =∠BAC sin ，cBAC bcos =∠，22224b cos ,42sin b a MAC b a aMAC +=∠+=∠，代入（1）可得222b a =，从而3623sin 222==+==∠a ab a aca BAC ． 上述想法能否进一步优化？根据同角三角函数基本关系我们知道，一个角的正弦值、余弦值、正切值之间可以相互转化，知一便可知全部．因此将已知和所求角的正弦值转化为先求正切．另外，选择填空小题，在考试中需要考虑能不能巧做秒杀，以减少运算量，提高运算的正确率．无论是求正弦值还是求正切值，既然是求相关两边长的比值，因此可设其中一边长为1，这样整个运算的量就能减下来．思维点2：如果我始终将眼光落在三角形AMB 中，结合已知31sin =∠BAM 若能发现三角形AMB 中三边长之间的关系，则直角三角形ACB 中三边中任意两边的关系也能知道，从而可求出BAC ∠sin ．设，1AM =k ==CM BM ，则2222231)2()1(,-1AC k k k AB k +=+-==，在BAM ∆中由余弦定理可得：2223223112311k k k =+⨯⨯-++,整理可得,016924=+-k k 解得312=k ，33=k ．因此362332312sin 2==+==∠kk AB BC BAC ．思维点3：本题破题的关键是找到三角形ACB 中三边中任意两边的关系．观察图形发现AMC AMB ∠∠和互补，因此有关系：AMC AMB ∠=∠sin sin ．设，，k AM 1CM BM ===则,1AC 2-=k 3AB 2+=k ，由正弦定理可知33sin 3sin sin AB 2+=∠⇒=∠=∠k AMB BAMBM AMB，而在ACM ∆中，kk AMC 1sin 2-=∠， 所以得到关于k 的方程kk k 13322-=+，可到32=k ，3632sin 2=+==∠k AB BC BAC ． 思维点4：从三角形面积关系出发，我们发现AMC BAMS S ∆∆=，设，，k AM 1CM BM ===则,1AC 2-=k 3AB 2+=k ，则1121sin 32122-⋅⋅=∠+⋅k BAM k k ，从而13322-=+⋅k k k ，可到32=k ．3. 具体解法法一（利用三角函数定义及恒等变形）：由31sin =∠BAM ，知42221tan ==∠BAM ，设b AC t ===,CM BM ，则b t 2BAC tan =∠，b tMAC =∠tan ， 而MACBAC MACBAC MAC BAC BAM ∠∠+∠-∠=∠-∠=∠tan tan 1tan tan )tan(tan ，得到42242b 2t 1b t2222=+⇒=+b t tb ，所以t b t tb b 2022222=⇒=+-，故22tan ==∠b t BAC ，从而36sin =∠BAC ． 运算量减少的巧解如下：b AC ===,1CM BM ，则b 2BAC tan =∠，bMAC 1tan =∠， 而MACBAC MACBAC MAC BAC BAM ∠∠+∠-∠=∠-∠=∠tan tan 1tan tan )tan(tan ，得到42242b 21b 122=+⇒=+bb ，所以2022222=⇒=+-b t b b ，故22tan ==∠b BAC ，从而36sin =∠BAC ． 法二（利用余弦定理）：由31sin =∠BAM ，知322cos =∠BAM ，设，1AM =k ==CM BM ，则2222231)2()1(,-1AC k k k AB k +=+-==，在BAM ∆中由余弦定理可得：2223223112311k k k =+⨯⨯-++,整理可得,016924=+-k k 解得312=k ，33=k ．因此362332312sin 2==+==∠kk AB BC BAC ．法三（利用正弦定理）：设，，k AM 1CM BM ===则,1AC 2-=k 3AB 2+=k ，由正弦定理可知33sin 3sin sin AB 2+=∠⇒=∠=∠k AMB BAMBM AMB，而在ACM ∆中，kk AMC 1sin 2-=∠，由图可知AMC AMB ∠=∠sin sin ，kk k 13322-=+∴，整理得到：,09624=+-k k 解得32=k ． 法四（利用面积关系）：从三角形面积关系出发，我们发现AMC BAM S S ∆∆=，设，，k AM 1CM BM ===则,1AC 2-=k 3AB 2+=k ，则1121sin 32122-⋅⋅=∠+⋅k BAM k k ，从而 13322-=+⋅k k k ，可到，32=k 3632sin 2=+==∠k ABBC BAC ． 4. 问题本质若设，，x ===AC 1CM BM 则32sin BM==∠R BAM，AMB ∆∴的外接圆直径为3,设此外接圆圆心为O ，连接AO 并延长AO 交圆O 于点D ，连BD ，则，CAB ADB ∠=∠ADB Rt ∆∴与BAC t ∆R 相似，BCAC ABDB =∴，而2222)4(3,4AB +-=+=x DB x 2-5x =，因此，24-522xx x =+，解得2=x ， 从而易得36sin =∠BAC ． 在这里，AC 其实与AMB ∆的外接圆相切，从而C R AB t ∆与MAC t ∆R 相似，CB CM AC 2⋅=．从上述过程我们发现，若设，1CM BM ==则当31sin =∠BAM 时，2AC =，此直角三角形两直角边长之比为12：，当两直角边长之比为12：，BAM ∠达到最大．事实上，CAMCAB CAMCAB CAM CAB ∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠tan tan 1tan tan )tan(BAM tan =42221212211222=⋅≤+=+=+-xx x x x x x x x ，当且仅当,2x x =即2=x 时取等．即当2=x 时，BAM ∠tan 最大，而正切函数x tan =y 在），（20π上递增，所以当BAM ∠tan 最大时，BAM ∠最大． 本题题根其实源于人教A 版必修5教材P101习题3.4 B 组第2题：树顶A 离地面a m,树上另一点B 离地面b m,在离地面c m 处看此树，离此树多远时看A ,B 的视角最大？过点C 作CD AB ⊥于点 D ，设x =CD ，则xcb xc a CDAD ACD -=∠-==∠BCD tan ,tan ， BCDACD BCD ACD BCD ACD ∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠tan tan 1tan tan )tan(ACB tan =))((2))((2))(())(()())((122c b c a b a x c b c a x b a x c b c a x b a c b c a x x b a x c b c a x ba ---=--⋅-≤--+-=--+-=--+-当且仅当xc b c a x ))((--=，即))((c b c a x --=时ACB tan ∠取得最大，故ACB ∠最大 ． 5. 题后思考我们发现，本题破题的关键是要发现三角形ACB 中三边中其中两边长的关系．由于求BAC ∠的正弦值只与边长间的比值有关，因此可设图形中的某一边长为1，可以减少运算．数学解题离不开计算与变形，如何减少运算量，需要我们去思考，通过思考，优化解法，减少运算．如何减少运算量始终是限时条件下各类考试中必须要考虑的！本题等量关系的挖掘与寻找，既可以从观察图形出发，发现MAC -BAC BAM ∠∠=∠或利用AMC AMB ∠∠和互补，得到AMC AMB ∠=∠sin sin ，也可以从分析三角形中的边角关系出发利用余弦定理去建立已知和未知间的关系．已知与未知间关系如何去建立，需要在仔细分析所求与已知的基础上，充分挖掘已知和所求中的信息（包括图形中所隐含的关系），多分析联想．对本题的作进一步的思考与探究，还可以在一般与特殊、静态与动态的变化中去寻求问题的变式．变式1:在ABC ∆中，090C =∠，点M 是BC 上定点，满足)10CBCM <<=λλ（，若,31sin =∠BAM 则=∠BAC sin ．变式2:在ABC ∆中，090C =∠，点M 是BC 的中点，若,sin m BAC =∠则BAM ∠sin = ．好题犹如一杯咖啡一曲老歌，余香犹存余音缭绕，令人陶醉，值得静下心来去品味．数学学习，离不开解题．但解题不是数学学习的全部！数学学习常常需要去“悟”，感悟数学概念，体悟解题方法，领悟思想方法．“卡壳窗户纸”如何去捅破，是要通过数学解题经验的积累，在分析所求与已知以及联想尝试中去发现那道架通所求与已知间的亮光！！从不同知识背景为切入口，探索不同的思考方法，能有效锻炼我们的思维能力，将所学知识融会贯通，从而提升我们的数学核心思维能力．对一个好的问题，如何全方位、多角度、深层次地去进行思考与探索，本文试图给出一些思考，但限于水平，这种探索与思考还比较肤浅，期待能抛砖引玉．。
一道高考试题结论的一般性探究
即ｚ 云时 等 所以 一 ａ ｙｘ ・ 二 。 取 号， 当ｚ 时，￣ ３ ｍ＝
６ 注 意 平 方
当 函 数 恒 为 正 值 时 ， 时 平 方 目标 函 数 ， 达 到 凑 有 可 和 为 定 值 的 目的 ．
例 ８ 若 ｎｂＣ Ｒ 且 ｎ ｂ ｃ １求 “ 、 、 ∈ ， ＋ ＋ 一 ， 一
解法 ２ ：设 Ａ（ １ １ Ｂ（ ， ２ ， ｘｌ Ｙ ） ｚ的 ｘ ， ）， ｘ２ ｙ ） Ｄ（ ， １ ， 方程为 ｚ —ｍ 一１ ｍ≠Ｏ ． （ ）
程 ： ＋ ｏ 为 ： 嬖（≠） ．
将 —ｍ ＋ 了 代 人 ｃ ０ ， ２
：
＋ 一１消 去 － ： ｚ得 一Ｏ 从 而 ＋ 一 ，
（ － 一（ １ ｍ ） （ ）ｃｍ１．） ｃ ｚ ７ 一 ＋ ＋ ２（ ｙ 旦 一 －１ ） — 一三 Ｉ
一
一 （一 ） ＋ ｚ（ 等） ＋ ｚ （ ）＋ ＋ ） 。等）一 一 等 等 ＋（ ）１ 一（ ｙ 一 （ 弛（ 一 一 ２ 等 一 ） ｃ（ ｂ＠ａ） ￣ ｍＺ— ｚ ｚ 一 ‘ （ ＋一 一 ＋ （ ＋）４ １等）（ ） 一 一ｍ 所 以 ∥碲 ， 于是 点 Ｂ、 Ｄ 三点共线． Ｆ， （｝ ＋） 同 对 左 点 及 Ｋ 一 ，也 成 的 理 于 焦 Ｆ 点 （等ｏ 是 立 ． ） 所以商 ∥贫 ， 于是点 Ｆ １ｏ 在直线 Ｂ （ ，） Ｄ上．
将ｚ —ｍ 一１ 入 Ｙ 一４ 代 ｘ并 整 理 得 ：
Ｙ 一４ ｍｙ＋４：０ 从 而 Ｙ ＋Ｙ —４ Ｙ Ｙ —４ ， ｌ ２ ｍ， １ ２ ． 由直 线 的 点 斜 式 方 程 得 过 点 Ｂ、 两 点 直 线 的 方 Ｄ 程为 ：
～ 一
瘩 ｃ Ｘ， Ｘ２ －，
一道高考试题的背景揭示及感悟
一道高考试题的背景揭示及感悟摘要：目前，我国的高考数学命题越来越重视学生的基础知识，将成为未来我国高中数学考试发展的主流方向，且越来越能够反映出高中数学教学中的实质内容。
这种转变不仅有效的减轻了高中学生的学习负担，而且还大大提高了学习的效率，为学生的发展打下了坚实的基础。
随着新课程改革的不断深化，高考中的每一道试题实际上都是命题者通过精心设计而成的作品，抛开考试这一功利性的追求外，单纯的去品味每一道高考试题，都尤其艺术和欣赏价值；如果能透析每一道试题的内涵，掀起高考题目的神秘“面纱”，即可真正破译其中的神秘密码，这将是一件极为惬意的事情。
本文先是对数学高考试题中的某道题目进行了概述，又详细阐述了此数学高考试题所暗含的背景，最后分析介绍了此高考数学试题所引发的的感悟。
关键词：高考试题背景揭示感悟有效性解题能力高考是学生进入大学的必经之路，也可以说学生在十几年的寒窗苦读为的就是高考，而高考也成就了很多的鱼跃龙门的神话，是人一生中非常重要的一个经历。
因此高考试题在出题的过程中，都是专家精心设计的，反映出了整个高中阶段的学生的教与学，高考试题命题的精彩度不仅能够提高学生学习的兴趣，而且还能大大提高高中教学的有效性，我国的大部分高中都将高考试题引入到日常的教学之中，作为学生练习的一个非常重要的过程，有利于训练学生的思维训练，能够真实的反映出高中数学教学的实质内容。
一、高考试题的题目在2011年的全国数学高考试卷（一）中的第21题是这样的：在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆方程式正半轴位置上的一焦点，椭圆方程式是■，在焦点F处，又存在着一条斜率是■的直线I，直线I和C在直角坐标系中相较于AB两点，点P符合■的要求。
求：（1）证明：点P位于C上。
（2）假设点P与平面直角坐标系的原点O有一个对称点是Q，那么证明：A、B、P、Q4点是位于同一个圆中的点。
解：（1）省略。
（2）通过问题（1）和题干信息可知：P、Q两点的坐标：P（■），Q（■），因此P、Q两点之间的垂直平分线I1的方程式是：■ ①假设AB之间存在着一点M，恰好是AB的中点，那么点M处的坐标是M （■），那么AB的垂直平分线I2的方程式是：■ ②通过公式①、②可以得到两条垂直平分线的焦点的坐标是：N（■）。
引申数学问题的四种方法
引申数学问题的四种方法文/刘蒋巍引申通常解释为从旧义得出新义。
引申数学试题就是从已知题目出发，沿纵横两个方向演绎深化得出新题目。
1. 不改变原题条件，在原题的结论的基础上继续向纵深思考，引申新题 例1.如图1，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是在AB,AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，求证:（1）OD=OE. （2）AO 平分∠BAC. 引申思考：这是在学习等腰三角形时，许多老师都会让学生 练习的一道题目。
如果在此基础上，我们联想到三角形的中 线可以将三角形分成面积相等的两个三角形，再加上△ADO 与△AEO 全等，那么很容易得出△ADO 、△AEO 、△BDO 、 △CEO 这四个三角形的面积相等，都是△A BC 面积的1/6. 因此，我们可以在原题的基础上增加第(3)问:求△BOC 与 △ABC 的面积比.2.在原题的基础上，再适当添加条件，将问题引向深入例2.如图2，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AB 上，点E 在AC 的延长线上，且BD=CE ，DE 与BC 相交于F 点，求证:DF=EF.引申思考：这是一道经典老题，过点D 作AC 的平行线 DG 交BC 于点G ，很容易证得△CEF ≌△GDF ，从而得 到结论.其实，由△CEF ≌△GDF 还可以得到GF=CF=1/2GC ， 此时，如果再作DH ⊥BC 于H ，我们还可以得到 HG=1/2BG ，因此可以得到HF=1/2BC2010年湖北黄冈市的一条选择题正是这样改编过来的: 如图3，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）A ．1/3B ．1/2C ．2/3D ．不能确定3.将原来题目中的某些条件从特殊转化为一般进行推广，引申新题如图4，已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，M 是BC 边的中点，点P 在线段BA 上运动，同时点Q 在线段AC 上运动，且始终保持MQ ⊥MP ．试探求BP 2、PQ 2、CQ 2三者之间的数量关系，并说明理由．引申思考：进一步延伸，如果三角形ABC 不是等腰直角三角形，而是一般的直角三角形呢？这个结论是否成立呢？经研究发现，这个结论是成立的。
2012年高考数学上海卷第22题的引申与推广
（ 作 者单位
●０
安徽 省 涡 阳第四 中学 ）
● ＜ ） ●Ｃ ¨ ・ ●（＞ ●０ ●Ｃ ＞ ●０ ●＜ ＞●＜ ＞●＜＞ ●＜＞ ●＜＞ ●ｏ ●０ ●
●Ｃ ¨ Ｃ ）●Ｃ ●＜ ¨ Ｃ ）．＜ ）－Ｃ ” Ｃ ＂ Ｃ ¨ ０
●Ｃ ●（ ●Ｃ ｝●Ｃ ¨ Ｃ Ｈ ０
了解英语 交际 中常用 的体 态语 ， 了解英 语 国家 的饮食 习俗 ， 用恰 好教学实践 的一个保障 。寻找适 当的教学方法并加入文化背景 知 有助于初 中英语 教学实践。文化教学从途径上讲是 多方 当 的方 式表 达 赞扬 等 意义 。新课 程 标 准 中规定 的功 能项 目如 识学 习，
肘（ ２ ， 、 ／ 一 ） ， Ⅳ （ 、 ／ ， １ ） ， ０为坐标 原点．
．
定值 ； 若不是， 请说明理由． （ ２ ） 求Ｉ
参考文献 ：
Ｏ Ｂ ｌ 的最小值．
（Ｉ） 求 椭圆 Ｅ的方程 ； （Ⅱ） 是否存在 圆心在 原点 的圆 ， 使巧［ Ｊ ］ ． 中学数 学教 学参
该圆的任意一条切线与椭圆 Ｅ恒在两个交点 Ａ ， 且 Ｊ ＿ － ｏ － ￣？ 考， ２ ０ １ １ （ ３ ） ： ６ ｌ 一 ６ ３ ．
若存在， 写出该圆的方程， 并求 Ｉ Ａ Ｂ ｌ 的取值范围； 若不存在 ， 说明
＜ ）●（ ）●＜ ＞ ● ０ ●ｏ ●ｏ ●Ｃ Ｍ Ｃ ） ．Ｃ Ｈ Ｃ ＞ ●０ ●ｏ ●０ ●０ ●Ｃ ¨ Ｃ ）● ｂ ● ｏ ●０ ●ｏ
一
、
高 考试 题
例： （ ２ ０ １ ２年 上 海卷 理 科 第 ２ ２ 题） 在 平 面 直 角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中 ，
理 由 。 略 解 ： （ Ｉ ） 椭 圆 Ｅ 的 方 程 为 等 － － １ ・
明立意 提素养———由一道2022_年高考数学试题引发的思考
明立意㊀提素养由一道２０２２年高考数学试题引发的思考李㊀彦(江苏省姜堰中学ꎬ江苏泰州２２５５００)摘㊀要:高考承载着为高校选拔人才的重要任务ꎬ新课改背景下高考试题充分体现出考查学生核心素养的重要特征ꎬ高考试题的探究与分析是高中数学课程教学的重要任务之一.本文以２０２２年一道高考数学试题为探究载体ꎬ重点从试题分析㊁变式拓展㊁教学启示三个角度进行阐释.关键词:高中数学ꎻ高考试题ꎻ素养ꎻ能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４０－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:李彦(１９７８.９－)ꎬ江苏姜堰人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.基金项目:泰州市教育学会十四五规划重点立项课题 新课程背景下高中数学高效课堂的建构研究 阶段性研究成果(项目编号:ＴＺ２０２２０１５)㊀㊀高考试题一直是高中教师关注的焦点ꎬ对高考试题形式和考查意图的探究是提升 备考 效率的重要途径.近年来ꎬ高考数学试题中导数问题一直是考查重点内容之一ꎬ多数以初等函数为载体ꎬ以压轴题的形式呈现ꎬ侧重于考查学生的数学学科核心素养.命题专家一直十分青睐导数问题的考查ꎬ给不少学生带来一些困难ꎬ对于高中数学高考复习教学而言ꎬ整体把握导数问题是提升学生解题能力的关键[１].１真题回顾ꎬ多元剖析题目㊀(２０２２年全国高考理科数学第１６题)已知ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２分别是函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)的极小值点和极大值点.若ｘ１<ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围[２]解法１㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ存在两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令函数ｇ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘꎬ当ａ>１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕ(不合题意ꎬ舍去).当０<ａ<１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕ(符合题意)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝２ａｘ(ｌｎａ)２－２ｅ.令ｇᶄ(ｘ０)＝０可得ｘ０＝ｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].由于函数ｇ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)内单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ＋ɕ)内单调递减ꎬ根据题意可令ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ(ｘ０)>０ꎬ即２ａｘ０ｌｎａ－２ｅｘ０>０.即２ａｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２] ｌｎａ>２ｅｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].即１ｌｎａ>ｌｏｇａｅｌｎ２ａ＝ｌｎ(ｅ/ｌｎ２ａ)ｌｎａ.由于ｌｎａ<０则ｌｎｅｌｎ２ａ>１.即１(ｌｎａ)２>１.即０<(ｌｎａ)２<１.则ａ的取值范围为１ｅ<ａ<１.解法２㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬ０４ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即２ａｘｌｎａ＝２ｅｘ.该方程有两个实数根分别为ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ令函数ｙ＝ａｘｌｎａ与函数ｙ＝ｅｘ图象在ｘ０处相切ꎬ可知ａｘ０ｌｎａ＝ｅｘ０ꎬ且ａｘ０(ｌｎａ)２＝ｅ.则ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０.则ａｘ０１ｘ０＝ｅｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅｘ２０.则(ｅ１ｘ０)ｘ０＝ｅｘ２０ꎬ即ｘ０＝ʃ１.(１)在ａ>１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝ｅꎬ若ａ减小ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图１所示).函数ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ的图象如图２所示ꎬ根据前面的分析可知ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去)图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２(２)在０<ａ<１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝１ｅꎬ若ａ变大ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图３所示)ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递减ң递增ң递减ꎬ且极小值ｘ１小于极大值ｘ２ꎬ则１ｅ<ａ<１.图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４解法３㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即ａｘｘ＝ｅｌｎａ.该方程有两个实根ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ如图４所示ꎬ在ａ>１的情况下ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去).在０<ａ<１的情况下ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａｘｘꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ａｘ(ｘｌｎａ－１)ｘ２.令ｈᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ｌｎａ＝１ｘ０ꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅ.根据０<ａ<１ꎬｌｎａ<０ꎬ则ｘ０<０ꎬ显然函数ｈ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)上单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ０)上单调递减ꎬ则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｘ０)＝ａｘ０ｘ０＝ｅｘ０.结合题意可得ꎬｅｘ０>ｅｌｎａ.即ｌｎａ>ｘ０.即１ｘ０>ｘ０.则ｘ０<－１.即１ｌｎａ<－１.即ｌｎａ>－１.则１ｅ<ａ<１.点评㊀解法１是直接从函数的性质视角进行探究ꎬ解题思路比较清晰但计算繁琐ꎬ需要学生具有一定的逻辑思维和数学运算能力ꎻ解法２是采取转化思想ꎬ借助于数形结合的方法进行求解ꎬ需要学生具备一定直观想象素养能力ꎻ解法３是采取分离函数㊁等价代换的手段进行求解ꎬ该方法过程简洁运算量不大ꎬ是多数学生优先选择的方法.２洞悉本质ꎬ变式拓展大量实践表明ꎬ机械刷题难以提升学生数学解题能力ꎬ直接影响数学素养的培养与提升.数学教师可以引导学生洞悉数学典型试题的内在本质规律ꎬ呈现多元变式ꎬ在师生共同探究中提升学生数学学１４科核心素养[３].变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２且ｘ２<ｘ１ꎬ试求ａ的取值范围?变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围?变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)无极值点ꎬ试求ａ的取值范围?点评㊀变式训练是提升学生数学解题能力的重要方式ꎬ上述三个变式拓展试题是从函数的内在本质出发ꎬ通过对函数的 极值点 进行探讨ꎬ关注学生数学转化思想在数学解题中的实际运用.三道变式试题随着题设条件的变化ꎬ问题由浅入深ꎬ重点考查学生分析数学综合问题的能力ꎬ有助于学生核心素养的提升.３教学启示ꎬ落实素养第一ꎬ重视数学基本知识与技能训练ꎬ灵活运用数学思想方法.函数是高中数学教学中的重点和难点ꎬ每年高考离不开数学函数的考查ꎬ以函数为背景的命题受到命题专家的特殊青睐.导数引入高中数学函数的探究ꎬ已经成为探究函数问题的重要工具.高中数学函数问题注重考查 函数与方程㊁数形结合㊁分类讨论㊁转化与化归㊁函数构造 等数学思想方法.对于高中数学中的导数问题ꎬ应该关注 分离㊁换元㊁构造 等方法.在高考备考复习教学中ꎬ数学教师可以引导学生从基本的解题方法出发ꎬ积极探究解决众多问题中共同的㊁基本的解题方法ꎬ让学生感受通性通法合理应用于解题的实用性ꎬ尽量较少进行特殊解题技巧和方法的熏陶.第二ꎬ重视一题多解的探究与分析ꎬ从变式训练中提升创新思维能力.数学解题教学是高中数学课程教学的重要内容之一ꎬ学生解题能力的提升离不开典型数学试题的剖析.大量实践表明ꎬ 一题多解 是从多个角度探讨同一问题ꎬ有效采取此教学思路有助于拓宽学生的解题思路ꎬ有助于培养学生的发散思维能力和解题能力.在高中数学教学实践中ꎬ学生的数学思维能力存在着一定的差异性ꎬ将 一题多解 和 变式训练 有机融合ꎬ能够有效激发不同层次学生数学探究的好奇心ꎬ引导学生从不同视角㊁不同维度探究问题ꎬ从多 变 的问题中探寻 不变 的性质与特征ꎬ不断强化学生的应变能力ꎬ发展学生的创新思维能力.第三ꎬ融合信息技术教学手段ꎬ充分呈现数学本质规律.数学图象是帮助学生理解和解决问题的重要手段ꎬ函数图象具有较高的直观性ꎬ有利于学生理解函数的内在本质规律.高中数学函数问题教学中ꎬ可以借助于ＧｅｏＧｅｂｒａ图象软件展示变化中的函数图象ꎬ特别是对函数单调性的增减问题ꎬ能够直观地显现出来ꎬ学生能够直接获得数学结论ꎬ激发学生深入探究的欲望ꎬ强化学生直观想象素养的形成与发展.作为高中数学教师ꎬ一定要给予学生动手操作实践的空间与时间ꎬ让学生在实践中体悟数学的本质魅力.高考试题是高中数学课程教学的重要资源与素材ꎬ对高考典型试题的探究是高考备考的必备动作.作为高中数学教师在平时的教学中ꎬ应该强化对高考试题的剖析与思考ꎬ充分挖掘高考试题中 不变 的本质规律ꎬ灵活运用数学思想方法进行教学方式的优化ꎬ不断促进学生创新思维能力的提升ꎬ尽可能实现高中数学核心素养的真正落地.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]杜斌.一道２０２２年联考导数题的多视角探究[Ｊ].中学数学教学ꎬ２０２２(０３):４２－４４.[３]季峰.低起点多层次高落差:２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷试卷点评[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):３０－３１.[责任编辑:李㊀璟]２４。
一题一课 源于世界数学名题的高考题赏析
一题一课源于世界数学名题的高考题赏析在数学的长河中，有些题目历经岁月沉淀，依旧熠熠生辉。
这些世界数学名题，不仅展现了数学的魅力，还为后来的学者提供了无尽的启示。
而在中国的高考数学试卷中，也有一些题目源于这些世界名题。
今天，我们就来赏析这些源于世界名题的高考题。
首先，我们来看一道源于“哥德巴赫猜想”的高考题。
哥德巴赫猜想是一个古老的数学问题，它提出了一个挑战：任何一个大于2的偶数都可以写成两个质数之和。
这道高考题巧妙地结合了这一猜想，让学生在解题过程中感受到数学的深邃。
其次，我们再来看一道源于“费马大定理”的高考题。
费马大定理指出，不存在整数x、y、z和n，使得x^n + y^n = z^n。
这个定理困扰了数学界长达300多年，直到被英国数学家怀尔斯攻克。
这道高考题要求学生运用费马大定理的知识，解答一个与几何图形相关的问题，让学生在解题过程中体会数学的奥秘。
最后，我们还要提到一道源于“庞加莱猜想”的高考题。
庞加莱猜想是一个关于三维空间中形状的数学问题，它挑战了人们对形状的认知。
这道高考题以庞加莱猜想为基础，要求学生运用几何知识解决一个实际问题，让学生在解题过程中感受到数学的实用价值。
通过赏析这些源于世界数学名题的高考题，我们可以看到高考数学试卷的深度和广度。
这些题目不仅要求学生掌握扎实的数学知识，还要具备灵活运用知识的能力。
同时，这些题目也展示了数学与其他学科的紧密联系，以及数学在解决实际问题中的应用价值。
总结起来，“一题一课”的方式让学生更加深入地理解数学问题，激发他们对数学的热爱和探索精神。
希望每一位学生都能在数学的海洋中畅游，感受数学的魅力，发现数学的无穷奥秘。
浅议一道高考试题的来龙去脉
Ｑｌ
维普资讯
２Ｏ Ｏ 重庆 、萏 压 返 的 探 翘 ６年 ｛ ，
（ 重庆 南开 中学 ４ ０ ３ ） 陈 蓉 ０ ０ ０
三角形 虽然 是一 种 普 通 的 图形 ， 却存 在 许 多 重 要性 质． 在近 年 的 中考试 卷 中 ， 不少 以三 角形 有
个 概率 呢 ？ 事 实上 ， 这个 学 生所提 的问题是 （ ） 道高考 １这
② 先考 察第 一 个 图形 中 的 ｎ端 点 ， 由于它 只
能 与“ ” “ ” “ ” “ ”中的一个 相 连接 ， ２ 、３ 、 ４ 、 ５ 因此共 有
４种 连接方 法 ；
③ 不 妨 假 设 ｎ与 “ ”连 接 ， 时 考 察 端 点 ２ 这
４ 、５ 因此 试题 的“ ” 什 么？ ２ 源 是 （ ）能 否解 答 高 考 的 更一 般 ， “ ” 由于它 只能 与“ ” “ ”中的一 个相 连接 ， ３， 情况 下 的概 率 ？ 即这 个 学 生想 知 道 此 高 考 试题 的 共有 ２种连 接方法 ； 来龙 去脉 ．
１ 探“ ” 源
由乘 法原 理 可 知 ， 能够 构 成 一 个 串 联 电路 的 连 接方法 总数 为 １ ×４×２种 ， 以 所求 的概率 为 ５ 所
Ｐ一
３ 推广
一 旦
１ ５‘
事实 上 ， 道 高考 试 题 来 源 于一 个 著 名 的古 这
典 概率 问题 —— 结 草成 环 ： 人手 中握有 ６ 草 ， 某 根
只露 出两端 的各 自 ６ “ 个 草头 ” 现将 两端 的 ６ ， 个草 头各 自随意 平均 分 成 ３组 ， 将 每 组 的 两个 草 头 并
１ × １ ５ ５
问题 ： 人 手 中握 有 ２ 某 根 草 ， 只露 出两 端 的