吉林省松原市扶余县第一中高考二轮复习素材：第二讲 分类讨论思想
高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识讲解及考点梳理
a
1 1
x 1
∵ a 0 ，∴ a ，∴不等式解为 a 或 x 1，
(x 1)(x 1) 0
②若 a 0 ，则原不等式化为
a，
1 1 （ⅰ）当 a 1时， a ，不等式解为 x ，
1 1
1 x 1
（ⅱ）当 a 1时， a ，不等式解为 a
；
1 1
1 x 1
（ⅲ）当 0 a 1时， a ，不等式解为
高中数学高考总复习----分类讨论的思想知识 讲解及考点梳理
【高考展望】 数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有 着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所 给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的 结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整” 的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的 高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
a，
综上所述，原不等式的解集为：
{x | x 1 或 x 1}
当 a 0 时，解集为
a
；
当 a 0 时，解集为{x|x＞1}；
{x |1 x 1}
当 0 a 1时，解集为
a；
当 a 1时，解集为 ；
2
{x | 1 x 1}
当 a 1时，解集为 a
.
总结升华： 这是一个含参数 a 的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数 a 分类：（1）a≠0（2） a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0 或 a<0，因为这两种情形下，不等式解集形
高考数学二轮专题 1-2-思想方法攻略
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
类型二 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论 [典题 2] 设等比数列{an}公比为 q，前 n 项和 Sn>0(n＝1,2,3…)，则 q 的取值范围 是__________． [答案] (－1,0)∪(0，＋∞) [解析] 因为{an}是等比数列，Sn>0， 可得 a1＝S1>0，q≠0.(确定需分类的目标与对象) 当 q＝1 时，(确立分类标准 1) Sn＝na1>0；(分类处理问题 1)
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
当 q≠1 时，(确立分类标准 2) Sn＝a111－－qqn>0，(分类处理问题 2) 即11－－qqn>0(n＝1,2,3，…)，
则有11－－qqn>>00， ①或11－－qqn<<00，. ② 由①，得－1<q<1， 由②，得 q>1. 故 q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．(汇总分类问题)
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
本题易忽略对 q≠1 的讨论，而直接由a111－－qqn>0，得 q 的取值范围．等比数列前 n 项和公式的使用时，注意要分 q＝1，Sn＝na1 和 q≠1，Sn＝a111－－qqn进行讨论.
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
类型三 由数பைடு நூலகம்运算要求引起的分类讨论 [典题 3] 中位数为 1 010 的一组数构成等差数列，其末项为 2 015，则该数列的首 项为__________． [答案] 5
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
[解析] n＝3，则 1≤i≤2， 即 i＝1 或 2.(确定分类标准) 当 i＝1 时，aa21∈13，1，3； 当 i＝2 时，aa32∈13，1，3.(分类处理问题)
思想02分类讨论思想(文)(教学案)2021年高考数学2轮复习精品资料(新课标版)版含解析
思想二 分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其根本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成假设干个根底性问题 ,通过对根底性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合 ,分类标准等于增加一个条件 ,实现了有效增设 ,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或根底性问题) ,优化解题思路 ,降低问题难度． 分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的 ,如绝||对值、直线斜率、指数函数、对数函数等． (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的 ,在不同的条件下结论不一致 ,如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零 ,偶次方根为非负 ,对数真数与底数的要求 ,指数运算中底数的要求 ,不等式两边同乘以一个正数、负数 ,三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题 ,如含参数的方程、不等式 ,由于参数的取值不同会导致所得结果不同 ,或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中 ,特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用． 分类讨论的原那么 (1)不重不漏．(2)标准要统一 ,层次要清楚．(3)能不分类的要尽量防止或尽量推迟 ,决不无原那么地讨论． 解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论 ,逐步解决． (4)归纳总结：将各类情况总结归纳. 【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1. 【2021届黑龙江虎林一中高三上期中】{}(){}222|40,|2110A x x x B x x a x a =+==+++-= ,其中a R ∈ ,如果A B B = ,求实数a 的取值范围.试题分析：化简得{}0,4A =- ,由A B B =得B =∅时 ,{}{}04B =-或时{}0,4B =-时 ,解出并验证即可得出结果.综上所述 , 实数a 的取值范围是1a =或者 1a ≤-.点评：此题考查了集合的运算性质、方程的实数根与判别式的关系 ,考查了推理能力与计算能力 ,属于中档题.解此题时 ,通过深刻理解集合表示法的转化及集合之间的关系 ,把求参数问题转化为解方程之类的常见数学问题 ,集合A 、B 均是关于x 的一元二次方程的解集 ,特别容易出现的错误是遗漏了φ=B 的情形 ,当φ≠A 时 ,那么有φ=B 或φ≠B ,防止出现出错的方法是培养分类讨论的数学思想方法和经验的积累.例2.【2021届辽宁鞍山一中高三上一模】命题:p 指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+ ,对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立.(1 )假设命题p 为真命题 ,求实数a 的取值范围；(2 )假设命题 "p q ∨〞为真命题 ,命题 "p q ∧〞为假命题 ,求实数a 的取值范围.试题分析： (1 ) 命题p 为真命题等价于240ax x a -+>在R 上恒成立 ,分0a =与0a ≠由二次函数的性质讨论即可； (2 ) 命题 "p q ∨〞为真命题 ,命题 "p q ∧〞为假命题等价于命题p 与命题q 一真一假 ,先分别求出命题p 为真命题、命题q 为真命题时a 的范围 ,再求 "P 真q 假〞与 "P 假q 真〞时a 的范围 ,再求a 的并集即可.试题解析： (1 )由题意：当0a =时 ,()lg(4)f x x =-的定义域不为R ,不合题意. 当0a ≠时 ,0∆<且0a > ,故2a > ；(2 )假设q 为真 ,那么221a x x >-+ ,对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立 ,221y x x=-+为增函数且(,1)x ∈-∞- ,故1a ≥. "p q ∨〞为真命题 ,命题 "p q ∧〞为假命题 ,等价于p q ，一真一假 ,故12a ≤≤.点评：此题考查对数函数的图象与性质、逻辑联结词与命题、全称命题与特称命题 ,属容易题；当两个命题均为真命题时 , "p q ∧〞为真命题 ,其余为假命题 ,当两个命题均为假命题时 , "p q ∨〞为假命题 ,其余为真命题 ,由此可得 "p q ∨〞为真命题 ,命题 "p q ∧〞为假命题 ,等价于p q ，一真一假 ,是解此题的关键.规律总结：两集合的关系求参数时 ,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系 ,进而转化为参数满足的关系 ,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析 ,而且经常要对参数进行讨论． 举一反三1.【2021届黑龙江宝清县高级||中学高三上期中】设集合{}|(21)(2)0A x x m x m =-+-+< ,{}|114B x x =≤+≤．(1 )假设1m = ,求A B ；(2 )假设AB A = ,求实数m 的取值集合．2. 【2021届山东寿光现代中学高三实验班10月月考】命题:p 函数()()2lg 6f x ax x a =-+的定义域为R ,命题:q 关于x 的方程223210x ax a -++=的两个实根均大于3 ,假设 "p 或q 〞为真 , "p 且q 〞为假 ,求实数a 的取值范围．试题解析：假设p 真 ,那么00a >⎧⎨∆<⎩ ,∴3a > , 假设q 真 ,令()22321f x x ax a =-++ ,那么应满足()()()22234210399210a a f a a ⎧∆=--+≥⎪⎨=-++>⎪⎩ ,∴222522a a a a a ⎧⎪≥≤-⎪>⎨⎪⎪<>⎩或或∴52a > ,又由题意可得p 真q 假或p 假q 真 ,假设p 真q 假 ,那么352a a >⎧⎪⎨≤⎪⎩ ,∴a 无解 ,假设p 假q 真 ,那么352a a ≤⎧⎪⎨>⎪⎩ ,∴532a <≤．综上可得 ,a 的取值范围是5|32a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭. 类型二：分类讨论思想在导数中的运用例3. 【广东佛山2021届高三教学质量检测 (一 )】设函数()ln ax f x e x λ=+ ,其中0a < ,e 是自然对数的底.(1 )假设()f x 是()0 +∞，上的单调函数 ,求λ的取值范围； (2 )假设10eλ<< ,证明：函数()f x 有两个极值点.试题分析： (1 )首||先求得导函数 ,然后分0λ≤、0λ>求得函数的单调区间 ,并求得其最||小值 ,由此求得λ的取值范围； (2 )首||先结合 (1 )求得函数的最||小值为11g a e λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,然后根据λ的范围得到函数()g x 的零点区间 ,从而使问题得证．试题解析： (1 )()()'0ax axaxe f x ae x x xλλ+=+=>.①假设0λ≤ ,那么()'0f x < ,那么()f x 是()0 +∞，上的减函数；②假设0λ> ,令()ax g x axe λ=+ ,其中0a < ,0x > ,那么()()'1ax g x ae ax =+ ,令()'0g x = ,得1x a=- ,当10 x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，上 ,()'0g x < ,()g x 递减 ,当1 x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，上 ,()'0g x > ,()g x 1x a =-时 ,()g x 取极小值 ,也是最||小值11g a e λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.因此当10e λ-≥ ,即1e λ≥时 ,()0g x ≥ ,此时()'0f x ≥ ,()f x 是()0 +∞，上的增函数.综上所述 ,所求λ的取值范围是(]1 0 e⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭，，. (2 )由 (1 )知()g x 的极小值即最||小值为11g a e λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ,因为10e λ<< ,所以11g a e λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0< ,又()00g λ=> ,所以()100g g a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭ ,因此()g x 在10 a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11e λ<< ,所以11a a λ->- ,111g e a λλλλ-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ,以下证明：1110g e a λλλλ-⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭.注意到上述不等式12112ln 2ln 0eλλλλλλ-⇔>⇔>-⇔+> ,令()112ln 0e ϕλλλλ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ ,那么()222121'0λϕλλλλ-=-=< ,所以()12ln ϕλλλ=+在10 e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减 ,所以()112ln 20e e e e ϕλϕ⎛⎫>=+=-> ⎪⎝⎭ ,即1110g e a λλλλ-⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭ ,因此()g x 在1 a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上有唯一零点2t .所以()10 x t ∈，时 ,()0g x > ,()'0f x > ,()f x 递增；()12 x t t ∈，时 ,()0g x < ,()'0f x < ,()f x 递减；()2 x t ∈+∞，时 ,()0g x > ,()'0f x > ,()f x 递增；综上所述 ,函数()f x 有两个极值点12 t t ， ,其中1t 是极大值点 ,2t 是极小值点.点评：解答单调性与函数的导数的关系的思路是依据导函数值与单调性的关系建立不等式．导函数的值大于零等价于函数是增函数；导函数的值小于零等价于函数是减函数；反之 ,函数是增函数那么导函数的值不小于零；函数是减函数那么导函数的值不大于零．规律总结：函数是具体的 ,其单调性和最||值都很明确 ,定义域是变化的 ,这类问题分类讨论的标准就是看最||值点是否在定义域内． 【举一反三】【山东枣庄2021届高三上学期期末】设函数()()()()221ln ,12f x x a x a Rg x x a x =-∈=-+. (1 )求函数()f x 的单调区间；(2 )当0a ≥时 ,讨论函数()f x 与()g x 的图象的交点个数.(2)令()()()()211ln ,02F x f x g x x a x a x x =-=-++-> ,问题等价于求函数()F x 的零点个数．①当0a =时 ,()()21,0,2F x x x x F x =-+>有唯一零点；当0a ≠时 ,()()()1'x x a F x x --=-.②当1a =时 ,()'0F x ≤,当且仅当1x =时取等号 ,所以()F x 为减函数．注意到()()310,4ln 402F F =>=-<,所以()F x 在()1,4内有唯一零点；③当1a >时 ,当01x << ,或x a >时 ,()'0;1F x x a <<<时 ,()'0F x > ,所以()F x 在()0,1和(),a +∞上单调递减 ,在()1,a 上单调递增．注意到()()()110,22ln 2202F a F a a a =+>+=-+< ,所以()F x 在()1,22a +内有唯一零点；④当01a <<时 ,0x a << ,或1x >时 ,()'0;1F x a x <<<时 ,()'0F x > ,所以()F x 在()0,a 和()1,+∞上单调递减 ,在(),1a 上单调递增．注意到()()()()()110,22ln 0,22ln 22022aF a F a a a F a a a =+>=+->+=-+< ,所以()F x 在()1,22a +内有唯一零点. 综上 ,()F x 有唯一零点 ,即函数()f x 与()g x 的图象有且仅有一个交点.类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4. 【广东佛山2021届高三教学质量检测 (一 )】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2 1M ，,且离心. (1 )求椭圆C 的方程；(2 )假设过原点的直线1l 与椭圆C 交于 P Q ，两点 ,且在直线2:0l x y -+=上存在点M ,使得MPQ △为等边三角形 ,求直线1l 的方程.试题分析： (1 )根据椭圆过点M 及离心率建立方程求得,a b 的值 ,由此得到椭圆方程； (2 )首||先根据题意设出直线l 的方程与点,P Q 的坐标 ,然后联立直线与椭圆的方程 ,由此利用韦达定理求得||PO 的面积表达式 ,从而利用等边三角形的性质求得直线l 的斜率 ,进而求得直线l 的方程． 试题解析： (1 )依题意得：22411a b+=,c e a == ,又222a b c =+ ,解得28a = ,22b = ,所以椭圆C 的方程为22182x y +=. (2 )显然 ,直线l 的斜率k 存在 ,设()00 P x y ，,那么()00 Q x y --， ,①当0k =时 ,PQ 的垂直平分线为y 轴 ,y 轴与直线m的交点为(0 M ， ,因为PO =MO =所以60MPO ∠=︒ ,那么MPQ △1l 的方程为0y =.②当0k ≠时 ,可设直线l 的方程为y kx = ,联立22182y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,消去y 整理得()22188k x +=.解得0x =所以PO =.又PQ 的垂直平分线为1y x k =-.由01x y y x k ⎧-+⎪⎨=-⎪⎩ ,可得M ⎛ ⎝⎭ ,所以MO 因为MPQ △为等边三角形,所以MO = ,于是=解得0k = (舍去 )或27k =.此时直线1l 的方程为27y x =.综上所述 ,直线l 的方程为0y =或27y x =. 点评：在解答圆锥曲线综合问题时应根据曲线的几何特征 ,熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系 (如方程、函数 ) ,再结合代数、三角等知识解答 ,这就要求在分析、解决问题时要充分利用数形结合、设而不求法、弦长公式及韦达定理综合思考．规律总结：求解有关几何问题中 ,由于几何元素的形状、位置变化的不确定性 ,所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化． 【举一反三】【广西柳州2021届高三上学期10月模拟】在平面直角坐标系xOy 中 ,点(,)P x y 为动点 ,点A ,(B ,直线PA 与AB 的斜率之积为定值12-． (1 )求动点P 的轨迹E 的方程；(2 )假设(1,0)F ,过点F 的直线l 交轨迹E 于M ,N 两点 ,以MN 为对角线的正方形的第三个顶点恰在y 轴上 ,求直线l的方程．【解析】 (1 )12=- ,整理得2212x y +=．所以所求轨迹E 的方程为2212x y += (0y ≠ )．(2 )当直线l 与x 轴重合时 ,与轨迹E 无交点 ,不合题意；当直线l 与x 轴垂直时 ,l ：1x = ,此时M ,(1,N,以MN 为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1± ,不合题意； 当直线l 与x 既不重合 ,也不垂直时 ,不妨设直线l ：(1)y k x =-(0k ≠ )．11(,)M x y ,22(,)N x y ,MN 的中点1212(,(1))22x x x x Q k ++- ,由22(1),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(21)4220k x k x k +-+-= ,得2122421k x x k +=+ ,21222221k x x k -⋅=+ ,所以Q 2222(,)2121k kk k -++ ,那么线段MN 的中垂线m 的方程为22212()2121kk y x k k k +=--++ ,整理得直线m ：221x k y k k =-++ ,那么直线m 与y 轴的交点2(0,)21kR k + ,。
二轮复习之分类讨论思想(基础篇)
教学过程一、高考解读分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”二、复习预习应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图像（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法以数助形常用的有借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合三、知识讲解考点1 分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则分类讨论常见的依据是1由概念内涵分类如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类2由公式条件分类如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等3由实际意义分类如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论四、例题精析例题1 四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A150种 B147种 C144种 D141种【规范解答】解析任取4个点共C=210种取法四点共面的有三类（1）每个面上有6个点，则有4×C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种答案C【总结与思考】实际情况的分类讨论问题例题2 解关于的不等式。
【规范解答】①当或时，有，原不等式的解集为②当时，有，原不等式的解集为③当时，或，原不等式无解。
吉林省松原市扶余县第一中学高考数学总复习 第二部分第1讲3.分类讨论思想学.
＝a2＋a4＋a6＋…＋an＝6＋12＋18＋…＋3n＝3n
n＋2 4.
②当 n 是奇数时，
Tn＝Tn－1－Sn＝3
n－1 4
n＋1－32n2－
3 2n
＝－34(n＋1)2.
综上可得，Tn＝
3nn4＋2，n是偶数 点评】 本题属于运算引起的分类讨论，由于n的取值不同 导致了cn的通项公式不同，像这种类型的运算引起的分类讨论 有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数 真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同 乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
【点评】 由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有
的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结
论不一致，本题是公式引起的分类讨论，由于q＝1时不再适
合于等比数列求和公式．
变 式 2 (2012·杭 州 第 一 次 质 检 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
1－3ax＋10a，x≤7
ax－7，
3．分类讨论思想
本节目录
方
典
名
法
例
师
概
展
押
述
示
题
直
解
体
击
密
验
考
高
高
点
考
考
方法概述直击考点
(1)分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究 时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别 研究，得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问 题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破， 再积零为整”的解题策略． (2)对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条 件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小 问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
高考数学第二轮复习 分类讨论思想方法 人教版
高考数学第二轮复习分类讨论思想方法在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
一、方法简解：1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1B. a≤1C. a<1D. 0<a<12.若a>0且a≠1，p＝loga (a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是_____。
吉林省松原市扶余县第一中学高考历史二轮 模块归纳提升[ 高考]
一、中国古代史(一)先秦：中华文明的勃兴时期阶段特征：经历了从原始社会到奴隶社会再到封建社会的发展过程；生产力不断进步，精耕细作的农耕经济模式确立；中华文化萌生，奠定了中华民族传统文化的基本精神。
政治经济文化(1)夏朝首创王位世袭制，家天下取代公天下；(2)商代王权与神权密切结合；(3)西周实行分封制、宗法制和礼乐制度；(4)春秋战国时期分封制瓦解，各国通过变法确立封建制度(1)农业：从刀耕火种发展到铁犁牛耕，由井田制发展到土地私有制，都江堰工程建成；(2)手工业和商业：西周时期实行工商食官，商周时期是青铜时代，春秋晚期开始人工冶铁，丝织业发展，春秋战国时期私营手工业和商业出现(1)出现最早的成熟文字甲骨文；(2)《诗经》、楚辞代表了当时的文学成就；(3)司南发明、《石氏星表》；(4)出现早期绘画和大傩之舞；(5)思想上出现百家争鸣的局面(二)秦汉：封建大一统时期阶段特征：是中国历史上第一个封建大一统的时代，也是统一的多民族国家的奠基时期。
封建专制主义中央集权制度基本成形，农耕经济进一步发展，儒家思想开始确立为封建正统思想。
政治经济文化(1)秦朝：完成国家统一，首创皇帝制度、三公九卿制，推广郡县制，初步建立起专制主义中央集权制度；(2)汉朝：汉初实行郡国并行制，引发“七国之乱”，汉武帝颁布“推恩令”，建立“中朝”，实行察举制(1)农业：发明犁壁、耦犁，修建漕渠、白渠、坎儿井，王景治理黄河；(2)手工业：丝织业发达，出现丝绸之路；开始用煤作燃料；东汉晚期出现青瓷；(3)商业：秦统一货币、度量衡，汉代商业活跃(1)思想：秦朝以法家治国，焚书坑儒；汉初采用黄老之学，无为而治；汉武帝时罢黜百家，独尊儒术，儒学开始成为正统；(2)科技、文艺：以医学、数学和造纸术为代表的科技得到发展，汉赋为主要文学体裁(三)魏晋南北朝：封建国家的分裂和民族融合时期阶段特征：封建国家处于分裂状态，中央集权遭到严重削弱，北方出现民族大融合的趋势，江南经济得到开发，中国经济重心开始南移。
吉林省松原市扶余县第一中学高三数学总复习 第二部分第2讲 选择题快速解答的六大技法课件 新人教A版
数学选择题的求解一般有两条思路：一是从题干出发考虑 ,探
求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求 是否满足题干条件．
典例展示解密高考
技法一 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法 则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，从而
得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入
座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算 较简单的题目常用直接法．
例1
项为( 35 A. 16 35 C. 4
1 8 (2012· 高考重庆卷 ) x＋ 的展开式中常数 2 x ) 35 B. 8
D． 105 1 r r 8－ r 【解析】 Tr＋ 1＝C8( x) 2 x 1 r r r 1 r 4－ r ＝ rC8x4－ － ＝ rC 8x . 2 2 2 2 令 4－r＝0，则 r＝ 4， 1 1 35 ∴常数项为 T5＝ 4C4 ＝ × 70 ＝ . 2 8 16 8
计算、判断，排除不符合要求的选择支，从而得出正确的结 论的一种方法．
) 例3 设 a>b，c>d，则下列不等式成立的是( A．a－c>b－d B．ac>bd a d C. > D．b＋d<a＋c c b 【解析】 若 a＝2，b＝ 1，c＝－1，d＝－2，则 a－ c＝b－ a d d，ac＝bd， ＝ ，从而排除 A， B，C. c b 【答案】 D
＝1.
技法二
特例法
特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是 它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中．所谓特例法, 就是用特殊值(特殊图形、特殊位置)代替题设的普遍条件， 得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.常 用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、
高考数学文(二轮复习)课件《分类讨论思想》
由图形或图象引发的分类讨论
[试题调研] x＋y－2≥0， (2014· 北京高考)若x，y满足kx－y＋2≥0， y≥0， )
[例2]
且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为( A．2 B．－2 1 C.2
1 D．－2
[思路方法]
线性约束条件中含有参数，k的取值会对可行
域产生影响，因此解题时要注意对k的分类讨论．可将k分为 k>0，k<－1，k＝－1与－1<k<0等情况讨论求解．
或0<x≤4，即不等式f(x)≥－2的解集为
1 －∞，－ ∪(0,4]，故选率、指数 函数、对数函数等．与这样的数学概念有关的问题往往需要根 据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题． (1)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必 须进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决 定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．
[回访名题] (1)(2013· 辽宁高考)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△ OAB为直角三角形，则必有( A．b＝a3 1 B．b＝a ＋a
两式相减，得 (q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－„－qn－1
n n＋1 n q － 1 nq － n ＋ 1 q ＋1 n ＝nq － ＝ . q－1 q－1
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是，Sn＝ . q－12 nn＋1 若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋„＋n＝ 2 . nn＋1 q＝1， 2 所以Sn＝ n＋1 n nq －n＋1q ＋1 q≠1. 2 q － 1
(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数 的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图 象、指数函数图象、对数函数图象等． (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问 题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对 不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.
吉林省松原市扶余县第一中学高三数学总复习 第二部分
典例展示解密高考
• 题型一 由数学概念、运算的需要引起的分类 讨论 •例1 (2012·江西省重点中学联考)已知{an}是单调递
增的等差数列，首项a1＝3，前n项和为Sn，数列{bn} 是等比数列，首项b1＝1，且a2b2＝12，S3＋b2＝20. • (1)求{an}和{bn}的通项公式； • (2)令cn＝Sncos(anπ)(n∈N*)，求{cn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设数列{an}的公差为 d，数列{bn}的公比为 q， 则 a2b2＝(3＋d)q＝12， S3＋b2＝3a2＋b2＝3(3＋d)＋q＝9＋3d＋q＝20， 3d＋q＝11，q＝11－3d， 则(3＋d)(11－3d)＝33＋2d－3d2＝12， 即 3d2－2d－21＝0，(3d＋7)(d－3)＝0.
∵{an}是单调递增的等差数列，∴d>0， ∴d＝3，q＝2， 故 an＝3＋(n－1)×3＝3n，bn＝2n－1. (2)由(1)知 cn＝Sncos3nπ＝
Sn＝23n2＋32n，n是偶数 －Sn＝－32n2－32n，n是奇数
.
①当 n 是偶数时，
Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝－S1＋S2－S3＋S4－…－Sn－1＋Sn
【解】 (1)当 a＝－1 时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋1x＝1－x x. 当 0<x<1 时，f′(x)>0；当 x>1 时，f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋ ∞)上是减函数， ∴f(x)max＝f(1)＝－1.
(2)∵f′(x)＝a＋1x，x∈(0，e]，1x∈[1e，＋∞)． ①若 a≥－1e，则 f′(x)≥0，从而 f(x)在(0，e]上是增函数， ∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意． ②若 a<－1e，则由 f′(x)>0 得 a＋1x>0，即 0<x<－1a，由 f′(x)<0 得 a＋1x<0，即－1a<x≤e. 从而 f(x)在(0，－1a)上是增函数，在(－1a，e)上是减函数， ∴f(x)max＝f(－1a)＝－1＋ln(－1a)．
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[真题试做]1．(2013·高考江西卷)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．0或4 2．(2013·高考山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．279 3．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)4．(2013·高考天津卷)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________．1．分类讨论思想 分类讨论的原则(1)不重不漏分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论分类讨论的常见类型(1)由数学概念而引起的分类讨论 (2)由数学运算要求而引起的分类讨论(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论 (5)由参数的变化而引起的分类讨论 2.化归与转化思想 转化与化归的原则(1)熟悉化原则 (2)简单化原则 (3)直观化原则 (4)正难则反原则化归与转化思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法常见的化归与转化的方法(1)直接转化法 (2)换元法 (3)数形结合法 (4)构造法 (5)坐标法 (6)类比法 (7)特殊化方法 (8)等价问题法 (9)加强命题法 (10)补集法类型一 由数学概念、法则、公式及运算而引起的分类讨论(2013·高考浙江卷)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.【思路点拨】 (1)用a 1，d 把a 2，a 3表示出来，利用a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列列方程即可解出d ，进而根据等差数列的通项公式写出a n .(2)根据(1)及d <0确定数列的通项公式，确定a n 的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论．【解】 (1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0，解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11， 所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝ －12n 2＋212n ； 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.【题后感悟】 (1)本题属于运算引起的分类讨论，由于n 的取值不同导致了{|a n |}前n 项和公式不同，像这种类型的运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(2)分段函数在自变量不同取值范围内，对应关系不同，必需进行讨论．由数学定义引发的分类讨论一般由概念内涵所决定，解决这类问题要求熟练掌握并理解概念的内涵与外延．1．(1)(2013·湖南省五市十校高三第一次联合检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >32x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23B.1716C.32D ．1 (2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率等于________．类型二 由参数的变化而引起的分类讨论已知y ＝f (x )是定义在R 上的三次函数，它的导函数f ′(x )＝(x ＋4a )(x －6a )2a ＋1(a 为常数，a ≠－12)，求函数y ＝f (x )的单调递增区间．【思路点拨】 本题的实质就是求解含参数a 的不等式(x ＋4a )(x －6a )2a ＋1≥0，参数a 的取值决定了2a ＋1的符号和－4a 、6a 的大小，故分a >0，a ＝0，－12<a <0，a <－12四种情况加以讨论．【解】 ∵f ′(x )＝(x ＋4a )(x －6a )2a ＋1(a 为常数，a ≠－12)，当a >0时，2a ＋1>0，由f ′(x )>0， 同解于(x ＋4a )(x －6a )>0， 解得x <－4a 或x >6a .当a ＝0时，由f ′(x )≥0解得x 为全体实数．当－12<a <0时，2a ＋1>0，由f ′(x )>0，同解于(x ＋4a )(x －6a )>0，解得x <6a 或x >－4a .当a <－12时，2a ＋1<0，由f ′(x )>0，同解于(x ＋4a )(x －6a )<0，解得6a <x <－4a .综上所述，当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－4a )和(6a ，＋∞)； 当a ＝0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为 (－∞，＋∞)；当－12<a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，6a )和(－4a ，＋∞)；当a <－12时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为(6a ，－4a )．【题后感悟】 含有参数的问题，主要包括：(1)含有参数的不等式的求解；(2)含有参数的方程的求解；(3)函数解析式中含参数的最值与单调性问题；(4)二元二次方程表示曲线类型的判定等．求解时，要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，分类要合理，要不重不漏，要符合最简原则．2．(2013·济南模拟)已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值．类型三 换元及常量与变量的转化对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．【思路点拨】 把已知不等关系转化为关于p 的函数，利用函数性质求解． 【解析】 设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0.所以x ≠1. 要使f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (4)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x －1)>0，x 2－1>0，解得x >3或x <－1.【答案】 (－∞，－1)∪(3，＋∞)【题后感悟】 若按常规法视x 为主元来解，需要分类讨论，这样会很繁琐．以p 为主元，即可将原问题化归为在区间[0,4]上，一次函数f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0成立的x 的取值范围．这样，借助一次函数的单调性就很容易了.3．设y ＝(log 2x )2＋(t －2)log 2x －t ＋1，若t 在[－2,2]上变化时，y 恒取正值，求x 的取值范围．类型四 正难则反的转化若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c 使得f (c )>0，求实数p 的取值范围．【思路点拨】 直接求解情况较多，不易求解，可利用其反面求之． 【解】 如果在[－1,1]内没有值满足f (c )>0，则⎩⎨⎧f (－1)≤0f (1)≤0⇒⎩⎨⎧p ≤－12或p ≥1p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3<p <32，即满足条件的p 的取值范围是(－3，32)．【题后感悟】 正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”情形的问题中．4．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y 2－6y ＋8≤0}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为________．1．分类讨论的几种情况(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念；(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等；(3)由参数变化引发的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分的几个部分分类解决；(4)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的个数；(5)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决．2．化归转化思想的几种情况(1)化为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所要解决的问题化为已知问题；(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面；(3)化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题，有时把问题中的某个部分看做一个整体，进行换元，这也是化繁为简的转化思想；(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决．。