鸽巢问题(例3)
六年级下学期数学 鸽巢问题 课件+答案
例4 将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不能超过11张，试 证明：至少有七名同学得到的卡片的张数相同。
最极端情况，11个同学卡片张数分别为1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10，11，总和为66张 把11个同学看成一组，400÷66=6（组）···4（人） 6+1=7人
演练7：把31个鸡蛋最多放进（ ）个抽屉中餐能够保证有一个抽 屉中至少放进了6个鸡蛋。
一个盒子抽屉里6个鸡蛋，其他的抽屉里都装的是5个鸡蛋 31-6=25（个） 25÷5=5（个） 5+1=6（个）
演练7、把124本书分给五（2）班的学生，如果其中至少有一个人分到至
少4本书，那么，这个班最多有（ ）人。
演练五 任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数？
8+1=9（个）
例6 用数字1，2，3，4，5，6填满一个6×6的方格表，如右图所示，每个小方 格只填其中一个数字，将每个2×2正方格内的四个数字的和称为这个2×2正方格 的“标示数”。问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如 果能，请举出一例；如果不能，请说明理由。
运气最坏的情况： 先把4种颜色的手套各摸了一只，然后再任意摸一只可以得到 第一双，然后再凑一双需要再摸2只
4+1+2×4=13（只）
谢谢大家
演练四 把61颗棋子放在若干个格子里，每个格子最多可以放5颗棋子。证明：至 少有5个格子中的棋子数目相同。
1+2+3+4+5=15（个） 61÷15=4···1 4+1=5（个）
例5 任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么？
鸽巢问题(例3)教学设计
师总结：根据上面的题中只要分放的物体个数比鸽巢数多，就能保证一定有一个鸽巢至少有2个物体，可以推断出“要保证有一个鸽巢有2个球，分放的球的个数至少比鸽巢数多1”。因为要从两种颜色的球种保证摸出2个同色的，至少要摸出3个球。
情感、态度和价值观：通过“鸽巢原理”的灵活应用感受数学的魅力。
教学重点与难点
重点：经历“鸽巢原理”的探究过程，初步了解“鸽巢原理”。
难点：理解“鸽巢原理”，并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教法与学法
归纳总结、合作探究
教学准备及手段
多媒体课件
教 学 流 程
动态修改部分
一、复习。
说一说：把10支笔放进4个盒子里，总有一个盒子里至少有几支笔？
三、巩固练习
70页“做一做”1、2.
四、课堂小结
1.这节课你有什么收获？
2.你对这节课学习的内容还有什么想法吗？请同学们课下交流一下。
作业
设计
第169页1、2、3
板书
设计
鸽问题
分放的球的个数至少比鸽巢数多1
心得
反思
理解鸽巢原理并对一些简单实际问题加以模型化归纳总结合作探究多媒体课件动态修改部分一复习
第三课时
教学课题
鸽巢问题（例3）
教学课时
1课时
主备教师
吴国霞
使用教师
王金兴
教学目标
知识与技能：初步了解“鸽巢原理”，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。
过程与方法：经历“鸽巢原理”的探究过程，通过操作发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。
二、应用原理解决实际问题
鸽巢问题例3
有两种颜色,摸3 个球,就能保证有两 个球同色。
有三种颜色,摸4 个球,就能保证有2个 球同色。
盒子里有同样大小的红 球、蓝球和黄球各4个。要想 摸出的球一定有2个同色的， 最少要摸出几个球？
你发现了什么？
有两种颜色,摸3个球,就能保证有2个球同色。 有三种颜色,摸4个球,就能保证有2个球同色。 那如果有四种、五种……颜色呢？
复习：
我们班有52位同学， 至少有（ 5）位同学是同一 个月出生的。
（相当于有12个鸽笼）
因为 一年有12个月。 52÷12＝4（位）……4（位） 4＋1＝5（位） 所以至少有5位同学是同一个月出生的。
想一想，猜一猜：四人小组说一说理由。 例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各 4个。要想摸出的球一定有2个同色的，最少 要摸出几个球？
例3：盒子里有同样大小的红球和蓝球各 4个。要想摸出的球一定有2个同色的，最少 要摸出几个球？
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个。要 想摸出的球一定有2个不同色的，最少要摸出 几个球？
有三种颜色各5 个,摸6个球,就能保 证有2个不同色的球。
盒子里有同样大小的红 球、蓝球和黄球各5个。要想 摸出的球一定有2个不同色的， 最少要摸出几个球？
1、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52 张中最少要摸出（ 5 ）张，就保证有2张是 同花色的。 2、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的 52张中最少要摸出（ 14 ）张，才能保 证有不同的花色。 3、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52 张中最少要摸出（ 40）张，才能保证四 种花色的都有。
4、从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张 中最少要摸出（ 49）张，就保证有一张是2 。
只要摸出的球比它们的颜色种数 多1，就能保证有两个球同色。
鸽巢原理经典例题及解析
鸽巢原理经典例题及解析鸽巢原理，也称为抽屉原理，是组合数学中的一个基本概念。
它指的是，如果有n+1个物体放入n个盒子中，那么至少有一个盒子会放入两个或以上的物体。
这个概念类似于我们熟知的“抽屉放东西”的现象，即如果有n个抽屉，放入n+1个东西，则至少有一个抽屉中会放入两个或以上的东西。
鸽巢原理是比较直观且易于理解的，它在解决组合数学中的问题时经常被使用。
下面我们将通过几个经典例题，来进一步理解鸽巢原理的应用。
例题1：从1到10的整数中选择6个数，至少存在两个数，使得它们的和或差能被11整除。
证明这个结论。
解析：我们需要选择6个数，我们可以利用鸽巢原理来解决这个问题。
首先，我们观察到，我们有5个余数，因为1到10的整数除以11的余数是0到10。
如果我们选择6个数，那么至少有两个数的余数是相同的，因为有6个数，但只有5个余数。
假设我们选择的两个数的和或差能被11整除，那么它们的余数必然相等，于是我们就证明了这个结论。
例题2：有20盒饼干，其中19盒都装有正数个饼干，而只有1盒装有0个饼干。
证明，如果我们从这20盒中选择11个盒子，那么至少有两个盒子是包含饼干的。
解析：我们假设每个盒子都是0个饼干，那么我们需要选择11个盒子，因为只有1个盒子是包含饼干的，所以我们无论如何选择都无法找到两个盒子都包含饼干。
但是根据鸽巢原理，我们知道，如果我们选择了11个盒子，至少有两个盒子是包含饼干的。
所以，我们证明了这个结论。
例题3：有N个正整数，它们的和是2N-1，证明至少有一个整数是1。
解析：我们假设所有的正整数都不是1，那么我们可以得到每个正整数至少是2。
这样，我们所有的正整数加起来至少是2N，而不是2N-1，与题目条件矛盾。
所以，我们证明了结论至少有一个整数是1。
鸽巢原理的应用非常广泛，可以用于解决各种数学问题和概率问题。
通过以上例题的解析，我们可以更好地理解鸽巢原理的含义和应用。
在实际问题中，我们可以利用鸽巢原理巧妙地解决一些问题，提高问题求解的效率和准确性。
六年级下册数学试题-鸽巢问题 人教版 含答案
鸽巢问题一、教学目标能熟练运用鸽巢原理解决实际问题二、知识点梳理1、鸽巣原理是一个重要而又基本的组合原理, 在解决数学问题时有非常重要的作用。
①什么是鸽巣原理？先从一个简单的例子入手, 把3个苹果放在2个盒子里, 共有四种不同的放法,如下表：无论哪一种放法, 都可以说“必有一个盒子放Array了两个或两个以上的苹果”。
这个结论是在“任意放法”的情况下, 得出的一个“必然结果”。
类似的, 如果有5只鸽子飞进四个鸽笼里, 那么一定有一个鸽笼飞进了2只或2只以上的鸽子。
如果有6封信, 任意投入5个信箱里, 那么我们把这些例子中的“苹果”、“鸽子”、“信”看作一种物体，把“盒子”、“鸽笼”、“信箱”看作鸽巣, 可以得到鸽巣原理最简单的表达形式②利用公式进行解题物体个数÷鸽巣个数=商……余数至少个数=商+12、摸2个同色球计算方法：①要保证摸出两个同色的球，摸出的球的数量至少要比颜色数多1。
物体数＝颜色数×（至少数－1）＋1②极端思想：用最不利的摸法先摸出两个不同颜色的球，再无论摸出一个什么颜色的球，都能保证一定有两个球是同色的。
③公式：两种颜色：2＋1＝3（个）三种颜色：3＋1＝4（个）四种颜色：4＋1＝5（个）……3、鸽巢原理也叫抽屉原理。
抽屉原理：把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果。
这种现象叫着抽屉原理。
规律：用苹果数除以抽屉数，若除数不为零，则“答案”为商加1；若除数为零，则“答案”为商抽屉原则一：把n个以上的苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果。
抽屉原则二：把多于m x n 个苹果放到n个抽屉中，无论怎么放，一定能找到一个抽屉，它里面至少有（m+1）个苹果。
三、典型例题例1.选择题。
（1）下面说法错误的是（）。
A．5只小鸡装入4个笼子，至少有一个笼子放小鸡2只。
B．任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。
鸽巢原理（抽屉原理）的详解
鸽巢原理（抽屉原理）的详解抽屉原理百科名⽚桌上有⼗个苹果，要把这⼗个苹果放到九个抽屉⾥，⽆论怎样放，我们会发现⾄少会有⼀个抽屉⾥⾯放两个苹果。
这⼀现象就是我们所说的“抽屉原理”。
抽屉原理的⼀般含义为：“如果每个抽屉代表⼀个集合，每⼀个苹果就可以代表⼀个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定⾄少有⼀个集合⾥有两个元素。
” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽⼦笼，养鸽⼈养了6只鸽⼦，那么当鸽⼦飞回笼中后，⾄少有⼀个笼⼦中装有2只鸽⼦”）。
它是组合数学中⼀个重要的原理。
第⼀抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥的东西不少于两件。
证明（反证法）：如果每个抽屉⾄多只能放进⼀个物体，那么物体的总数⾄多是n，⽽不是题设的n+k(k≥1)，故不可能。
抽屉原理原理2 ：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉⾥，则⾄少有⼀个抽屉⾥有不少于m+1的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉⾄多放进m个物体,那么n个抽屉⾄多放进mn个物体,与题设不符，故不可能。
原理3 ：把⽆穷多件物体放⼊n个抽屉，则⾄少有⼀个抽屉⾥有⽆穷个物体。
原理1 、2 、3都是第⼀抽屉原理的表述。
第⼆抽屉原理把（mn－1）个物体放⼊n个抽屉中，其中必有⼀个抽屉中⾄多有（m—1）个物体。
证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共⾄少有mn个物体，与题设⽭盾，故不可能。
应⽤基本介绍应⽤抽屉原理解题抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作⽤。
许多有关存在性的证明都可⽤它来解决。
例1：同年出⽣的400⼈中⾄少有2个⼈的⽣⽇相同。
解：将⼀年中的365天视为365个抽屉，400个⼈看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：⾄少有2⼈的⽣⽇相同. 400/365=1…35,1+1=2 ⼜如：我们从街上随便找来13⼈，就可断定他们中⾄少有两个⼈属相相同。
“从任意5双⼿套中任取6只，其中⾄少有2只恰为⼀双⼿套。
六年级数学下册5数学广角__鸽巢问题例3编写意图及教学建议新人教版
数学广角——鸽巢问题（例3）编写意图（1）本例是“抽屉原理”的具体应用,也是运用“抽屉原理”进行逆向思维的一个典型例子。
要解决这个问题,可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”,“同色”就意味着“同一抽屉”。
这样,就可以把“摸球问题”转化成“抽屉问题”。
（2）教材通过学生的对话,指出了可以通过先猜测再验证的方法来解决问题,也反映了学生在解决这个问题时有可能会遇到的困难。
例如,本例中的“4个红球和4个蓝球”很容易给学生造成干扰。
（3）教材引导学生把这个结论进一步推广,指出“只要摸出的球比它们的颜色种数多1,就能保证有两个球同色”而和每种颜色的球的个数无关。
例如,球的颜色有三种,至少要摸出四个球,才能保证摸出的球里有两个同色。
“做一做”第2题描述的就是这种情形。
（4）“做一做”第1题也是“抽屉原理”的典型例子。
其中“367名学生中一定有两人的生日是同一天”与例1中的“抽屉原理”是一类,“49名学生中一定有5人的出生月份相同”则与例2的类型相同。
教学建议（1）先让学生通过猜测、尝试、验证等形式找到答案,形成初步感悟。
教师在呈现问题后,可以让学生猜一猜,有学生会猜2个球,有学生会猜5个球,也有学生会猜对。
教师可提出让学生自己画一画、写一写等方法来说明理由。
结合学生的个性化表达,教师可进行展示,通过分析逐步消除学生的各种错误认识,让学生形成对这类问题中抽屉的模型结构的初步感知。
（2）要引导学生学会把实际问题转化为“抽屉问题”。
在得出答案后,教师应向学生提出用“抽屉原理”来思考这个问题的要求。
学生遇到困难,教师可引导他们如下思考：把两种颜色看成两个抽屉,要保证有一个抽屉至少有2个球,分的物体个数至少要比抽屉数多1,所以最少要摸出3个球。
想到问题中可把什么看成“抽屉”,“抽屉”有几个,怎么用“抽屉原理”的思考方法去解决,是解决这类问题的教学重点,教师需予以引导和示范。
“做一做”第2题,可强化对此思路的掌握。
（3）“做一做”第1题,是顺向思考的“抽屉原理”,只需要分别把一年最多366天和12个月看成366个和12个抽屉即可。
鸽巢问题的计算总结-互联网类
鸽巢问题的计算总结－互联网类关键信息项1、鸽巢问题的定义及特点定义：＿___________________________特点：＿___________________________2、常见的鸽巢问题类型类型一：＿___________________________类型二：＿___________________________类型三：＿___________________________3、解决鸽巢问题的方法方法一：＿___________________________方法二：＿___________________________方法三：＿___________________________4、鸽巢问题在互联网中的应用场景场景一：＿___________________________场景二：＿___________________________场景三：＿___________________________5、计算鸽巢问题的示例与解析示例一：＿___________________________示例二：＿___________________________示例三：＿___________________________11 鸽巢问题的定义及特点鸽巢问题，又名抽屉原理，是组合数学中的一个重要原理。
它的简单表述为：如果有 n+1 个物体放入 n 个盒子中，那么至少有一个盒子中会有两个或更多的物体。
鸽巢问题的特点在于它关注的是在有限的集合中，元素的分配方式以及必然存在的某种情况。
其核心在于通过对物体数量和盒子数量的比较，得出必然的结论。
111 鸽巢问题的严格定义设集合 A 包含 m 个元素，集合 B 包含 n 个元素，将 A 中的元素放入 B 中。
若 m ＞ n，则至少存在一个 B 中的元素包含了两个或两个以上 A 中的元素。
112 鸽巢问题的直观理解例如，有 5 只鸽子要放进 4 个鸽巢，那么必然有一个鸽巢至少有 2 只鸽子。
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第二种情况：
第三种情况：
一、探究新知
猜测2：摸出5个球，肯定有2个是同色的。 第一种情况：
第二种情况：
第三种情况：
验证：把红、蓝两种颜色看成2 个“鸽巢”，因为5÷2＝2„„1， 所以摸出5个球时，至少有3个球 是同色的，显然，摸出5个球不 是最少的。
第四种情况：
一、探究新知
猜测3：有两种颜色。那摸3个 球就能保证有2个同色的球。
（一）做一做
1. 向东小学六年级共有367名学生，其中六（2）班有49名学生。
六年级里至少有两人 的生日是同一天。
六（2）班中至少 有5人是同一个月 出生的。
他们说得对吗？为什么？ 367÷365＝1„„2 1＋ 1＝ 2
49÷12＝4„„1
4＋ 1＝ 5
二、知识应用
（一）做一做
2. 把红、黄、蓝、白四种颜色的球各10个放到一个袋子 里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？ 4＋ 1＝ 5
鸽巢问题
鸽巢问题 例3
一、探究新知
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定 有2个同色的，至少要摸出几个球？
摸出5个球，肯定有2 个同色的，因为„„
有两种颜色。那摸3 个球就能保证„„
只摸2个球能保证 是同色的吗？
一、探究新知
猜测1：只摸2个球就能保证是同色的。 第一种情况： 验证：球的颜色共有2种，如果只 摸出2个球，会出现三种情况：1 个红球和1个蓝球、2个红球、2个 蓝球。因此，如果摸出的2个球正 好是一红一蓝时就不能满足条件。
德国 数学家 狄里克雷 （1805.2.13.～1859.5.5.）
四、布置作业
作业：第71页练习十三，第4题、
第5题、第6题。
从6岁到12岁有几个 年龄段？
7＋ 1＝ 8
二、知识应用
（二）解决问题
2. 从一副扑克牌（52张，没有大小王）中要抽出几张牌来， 才能保证有一张是红桃？54张呢？
13 13 13×3＋1＝40 2＋13×3＋1＝42
13
பைடு நூலகம்
13 最后为什么要加1？
三、知识拓展
抽屉原理是组合数学中的一个重要原理， 它最早由德国数学家狄里克雷（Dirichlet）提 出并运用于解决数论中的问题，所以该原理又 称“狄里克雷原理”。抽屉原理有两个经典案 例，一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有 一个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理 又称“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个 鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以 也称为“鸽巢原理”。
第一种情况：
第二种情况：
一、探究新知
盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定 有2个同色的，至少要摸出几个球？ 摸出5个球，肯定有2 有两种颜色。那摸3 个同色的，因为„„ 个球就能保证„„
只摸2个球能保证 是同色的吗？ 只要摸出的球数比它们的颜色种数 多1，就能保证有两个球同色。
二、知识应用
我们从最不利的原则 去考虑： 假设我们每种颜色的都拿一个，需要拿4个，但是没有同色的，要想有同 色的需要再拿1个球，不论是哪一种颜色的，都一定有2个同色的。
二、知识应用
（二）解决问题
1. 希望小学篮球兴趣小组的同学中，最大的12岁，最小的6岁， 最少从中挑选几名学生，就一定能找到两个学生年龄相同。