高中数学第一章坐标系3简单曲线的极坐标方程教师用书配套课件新人教A版选修4
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2017-2018学年高中数学 第一章 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程课件 新人教A版选修4-4
当点 P 在极轴的反向延长线上时，点 P 的极坐标为(1， π)或(3，π)，经验证，也适合这个方程，故 ρ2＋4ρcos θ ＋3＝0 为所求圆的极坐标方程．
当点 P 在极轴的反向延长线上时，P 点的极坐标为(1， π)或(3，π)，经验证，也适合这个方程，故 ρ2＋4ρcos θ＋ 3＝0 为所求圆的极坐标方程．
[知识提炼·梳理]
1．极坐标方程与平面曲线 在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐 标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫作 曲线 C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置
极坐标方程
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程．( ) (2)tan θ＝1 与 θ＝π4表示同一条曲线．( ) (3)ρ＝3 与 ρ＝－3 表示同一条曲线．( ) (4)极坐标方程 θ＝34π表示的图形是一条射线．( )
但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注 意对变形过程的检验．
2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向 与变形使用．
[变式训练] (2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知
极坐标方程 C1：ρcos θ － 3ρ sin θ －1＝0，C2：ρ＝2cos θ.
(1)求曲线 C1，C2 的直角坐标方程，并判断两曲线的 形状；
类型 2 求直线的极坐标方程(互动探究) [典例 2] 求过点 A(1，0)，且倾斜角为π4的直线的极 坐标方程． 解：法一 设 M(ρ，θ)为直线上除点 A 以外的任意一 点．
当点 P 在极轴的反向延长线上时，P 点的极坐标为(1， π)或(3，π)，经验证，也适合这个方程，故 ρ2＋4ρcos θ＋ 3＝0 为所求圆的极坐标方程．
[知识提炼·梳理]
1．极坐标方程与平面曲线 在极坐标系中，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐 标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程 f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f(ρ，θ)＝0 叫作 曲线 C 的极坐标方程．
2．圆的极坐标方程(半径为 r)
圆心位置
极坐标方程
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若点 P 在曲线 C 上，则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程．( ) (2)tan θ＝1 与 θ＝π4表示同一条曲线．( ) (3)ρ＝3 与 ρ＝－3 表示同一条曲线．( ) (4)极坐标方程 θ＝34π表示的图形是一条射线．( )
但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注 意对变形过程的检验．
2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向 与变形使用．
[变式训练] (2016·北京卷改编)在极坐标系中，已知
极坐标方程 C1：ρcos θ － 3ρ sin θ －1＝0，C2：ρ＝2cos θ.
(1)求曲线 C1，C2 的直角坐标方程，并判断两曲线的 形状；
类型 2 求直线的极坐标方程(互动探究) [典例 2] 求过点 A(1，0)，且倾斜角为π4的直线的极 坐标方程． 解：法一 设 M(ρ，θ)为直线上除点 A 以外的任意一 点．
高中数学第一章坐标系3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修44
2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．
第二十一页，共41页。
[再练一题] 2．在极坐标系中，点2，π6到直线 ρsin θ＝2 的距离等于________． 【解析】 极坐标系中点2，π6对应的直角坐标为( 3，1)．极坐标系中直线 ρsin θ＝2 对应直角坐标系中直线 y＝2，故所求距离为 1. 【答案】 1
θ＝α或θ＝α＋π ρcosθ＝a －π2<θ<π2 ρsinθ＝a (0<θ<π)
第七页，共41页。
极坐标方程 ρ＝cosπ4－θ所表示的曲线是(
)
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
第八页，共41页。
【解析】
∵ρ＝cosπ4－θ＝
22cosθ＋
2 2 sin
θ，
ρ2＝
2 2 ρcos
θ＋
2 2 ρsin
(2)由 ρsinθ－π4＝0，
得 ρ 22sin θ－ 22cos θ＝0，
第十九页，共41页。
即 ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5 的半径为 r＝ 5，圆心(2,1)到直线 x－y＝0 的距
离为
d＝|2－21|＝
1， 2
∴|AB|＝2 r2－d2＝3 2.
第二十四页，共41页。
1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因 为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．
2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角 坐标时也容易一些．
第二十五页，共41页。
[再练一题] 3．(2016·唐山期末)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：x＋y＝2，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程； (2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP| ＝|OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程．
第二十一页，共41页。
[再练一题] 2．在极坐标系中，点2，π6到直线 ρsin θ＝2 的距离等于________． 【解析】 极坐标系中点2，π6对应的直角坐标为( 3，1)．极坐标系中直线 ρsin θ＝2 对应直角坐标系中直线 y＝2，故所求距离为 1. 【答案】 1
θ＝α或θ＝α＋π ρcosθ＝a －π2<θ<π2 ρsinθ＝a (0<θ<π)
第七页，共41页。
极坐标方程 ρ＝cosπ4－θ所表示的曲线是(
)
A．双曲线
B．椭圆
C．抛物线
D．圆
第八页，共41页。
【解析】
∵ρ＝cosπ4－θ＝
22cosθ＋
2 2 sin
θ，
ρ2＝
2 2 ρcos
θ＋
2 2 ρsin
(2)由 ρsinθ－π4＝0，
得 ρ 22sin θ－ 22cos θ＝0，
第十九页，共41页。
即 ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5 的半径为 r＝ 5，圆心(2,1)到直线 x－y＝0 的距
离为
d＝|2－21|＝
1， 2
∴|AB|＝2 r2－d2＝3 2.
第二十四页，共41页。
1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因 为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．
2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角 坐标时也容易一些．
第二十五页，共41页。
[再练一题] 3．(2016·唐山期末)已知圆 C：x2＋y2＝4，直线 l：x＋y＝2，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系． (1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程； (2)P 是 l 上的点，射线 OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上且满足|OQ|·|OP| ＝|OR|2，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 轨迹的极坐标方程．
高中数学课件-2015-2016学年人教A版选修4-4 极坐标系 课件(20张)
数学选修4-4：坐标系与参数方程
第一章 坐标系
1.1.2 极坐标系
坐标法
根据几何对象的特征，选择恰当的坐标系，建立 它的方程，通过方程研究它的性质及其他几何图形的 关系，这就是研究几何问题的坐标法。
坐标法思想是17世纪的数学家笛卡尔、费马提出 的。坐标法思想为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了 基础，它是近代数学发展的开端，已成为现代数学最 重要的基本思想之一。坐标法是联系几何与代数的桥 梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相 互转化。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B,C的极坐标.
A1，0
B
4，
2
C
5，4
3
例2 请建立适当的极坐标系，表示出A,B,C,D,E的 极坐标。
A
0,
0;
B
60,
0;C
120,
3
D实验楼
C图书馆
D
60
3,
2
;
E
50,
3
4
.
办公 45°
120m
楼E
50m
60° 60m
A教学楼
B体育馆
思考：在极坐标中
4，
6
， 4，6
2
， 4，6
4
，
4，
6
2
表示的点有什么关系？
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示
同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定 0,0 2，那么除极点外，平面内
的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
点的极坐标
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度， 叫做点M的极径
第一章 坐标系
1.1.2 极坐标系
坐标法
根据几何对象的特征，选择恰当的坐标系，建立 它的方程，通过方程研究它的性质及其他几何图形的 关系，这就是研究几何问题的坐标法。
坐标法思想是17世纪的数学家笛卡尔、费马提出 的。坐标法思想为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了 基础，它是近代数学发展的开端，已成为现代数学最 重要的基本思想之一。坐标法是联系几何与代数的桥 梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相 互转化。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B,C的极坐标.
A1，0
B
4，
2
C
5，4
3
例2 请建立适当的极坐标系，表示出A,B,C,D,E的 极坐标。
A
0,
0;
B
60,
0;C
120,
3
D实验楼
C图书馆
D
60
3,
2
;
E
50,
3
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办公 45°
120m
楼E
50m
60° 60m
A教学楼
B体育馆
思考：在极坐标中
4，
6
， 4，6
2
， 4，6
4
，
4，
6
2
表示的点有什么关系？
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示
同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
如果规定 0,0 2，那么除极点外，平面内
的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
点的极坐标
对于平面上任意一点
M，用 表示线段OM的
长度， 叫做点M的极径
高中数学 第1讲 坐标系 3 简单曲线的极坐标方程学案 新人教A版选修4-4(2021年整理)
2016-2017学年高中数学第1讲坐标系3 简单曲线的极坐标方程学案新人教A版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第1讲坐标系3 简单曲线的极坐标方程学案新人教A版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第1讲坐标系3 简单曲线的极坐标方程学案新人教A版选修4-4的全部内容。
三简单曲线的极坐标方程1．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程．（重点、易错点)3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点）［基础·初探］教材整理1 曲线与方程阅读教材P12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f（x，y)＝0表示．曲线与方程满足如下关系：（1)曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)＝0的解;(2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．教材整理2 极坐标方程阅读教材P12～P13“例1"以上部分，完成下列问题．一般地，在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ρ，θ）＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ，θ）＝0叫做曲线C的极坐标方程．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!【解析】点错误!的极坐标满足ρ＝错误!，θ＝－错误!，且ρ≠cos θ＝cos错误!＝－错误!。
高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》PPT教学课件
1.3简单曲线的极坐标方程
2020/12/10
1
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
2020/12/10
A.1c0o s 6
C.1c0o s 6
B.1c0o s 6
D .1c0o s 6
2020/12/10
8
PPT精品课件
谢谢观看
Thank You For Watching
9
2
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
O
C(a,0)
x
2020/12/10
3
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
2020/12/10
4
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2acos
2
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin Βιβλιοθήκη 22020/12/10
6
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.2cos4 B.2sin4
C.2cos1 D.2sin1
2020/12/10
7
练习4
曲线 53co s5sin 关于极轴对
称的曲线是： C
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
2020/12/10
1
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都 在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
2020/12/10
A.1c0o s 6
C.1c0o s 6
B.1c0o s 6
D .1c0o s 6
2020/12/10
8
PPT精品课件
谢谢观看
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9
2
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标(,)满足 的条件？
O
C(a,0)
x
2020/12/10
3
例1、已知圆O的半径为r，建立怎 样的坐标系，可以使圆的极坐标 方程更简单？
2020/12/10
4
题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2acos
2
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin Βιβλιοθήκη 22020/12/10
6
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.2cos4 B.2sin4
C.2cos1 D.2sin1
2020/12/10
7
练习4
曲线 53co s5sin 关于极轴对
称的曲线是： C
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos
高中数学 1.3 第一讲 坐标系课件 新人教A版选修44
第五页，共33页。
3．直线的极坐标方程 (1)直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角为4π，则直线 l 的极坐 标方程为________，ρ∈R. (2)过点 A(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程为 ________． (3)直线 l 过点 P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为 α，则直线 l 的极 坐标方程为________.
第二十六页，共33页。
【例 3】 在极坐标系中，圆 ρ＝4sinθ 的圆心到直线 θ＝π6(ρ ∈R)的距离是________．
第二十七页，共33页。
【解析】 圆 ρ＝4sinθ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，其 圆心为 C(0,2)，直线 l：θ＝6π(ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0； 所以点 C 到直线 l 的距离是 d＝|0－22 3|＝ 3.
【答案】 3
第二十八页，共33页。
变式训练 3 直线 2ρcosθ＝1 与圆 ρ＝2cosθ 相交弦的长为 ________．
答案 3
第二十九页，共33页。
【例 4】 若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极 点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 ρsinθ－4π＝0 与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|.
第三十页，共33页。
【解】 (1)因为xy＝＝ρρcsionsθθ，， 所以 ρ2＝x2＋y2， 由 ρ＝2sinθ＋4cosθ，得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
第三十一页，共33页。
3．直线的极坐标方程 (1)直线 l 经过极点，从极轴到直线 l 的角为4π，则直线 l 的极坐 标方程为________，ρ∈R. (2)过点 A(a,0)(a>0)且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程为 ________． (3)直线 l 过点 P(ρ1，θ1)且与极轴所成的角为 α，则直线 l 的极 坐标方程为________.
第二十六页，共33页。
【例 3】 在极坐标系中，圆 ρ＝4sinθ 的圆心到直线 θ＝π6(ρ ∈R)的距离是________．
第二十七页，共33页。
【解析】 圆 ρ＝4sinθ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，其 圆心为 C(0,2)，直线 l：θ＝6π(ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0； 所以点 C 到直线 l 的距离是 d＝|0－22 3|＝ 3.
【答案】 3
第二十八页，共33页。
变式训练 3 直线 2ρcosθ＝1 与圆 ρ＝2cosθ 相交弦的长为 ________．
答案 3
第二十九页，共33页。
【例 4】 若曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极 点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系．
(1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 ρsinθ－4π＝0 与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|.
第三十页，共33页。
【解】 (1)因为xy＝＝ρρcsionsθθ，， 所以 ρ2＝x2＋y2， 由 ρ＝2sinθ＋4cosθ，得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
第三十一页，共33页。