第3章 电阻电路的一般分析总结

第三章电阻电路的一般分析◆重点：1、支路法2、节点法3、网孔法和回路法◆难点：1、熟练掌握支路法、网孔法和割集分析法的计算思路，会用这几种方法列写电路方程。

2、熟练地运用节点法和回路法分析计算电路。

3-1 电网络中的基本概念网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。

其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。

1．支路——Branch流过同一个电流的电路部分为一条支路。

2．节点——node三条或者三条以上支路的汇集称为节点。

4．网络的图——graph节点和支路的集合，称为图，每一条支路的两端都连接到相应的节点上。

6．回路——loop电路中的任意闭合路径，称为回路。

8．网孔——mesh一般是指内网孔。

平面图中自然的“孔”，它所限定的区域不再有支路。

例如：在下图中，支路数6，节点数4，网孔数3，回路数79．树一个连通图G的树T是指G的一个连通子图，它包含G的全部节点，但不含任何回路。

树中的支路称为“树支”——tree branch，图G中不属于T 的其他支路称为“连支”——link，其集合称为“树余”。

一个连通图的树可能存在多种选择方法。

10．基本回路只含一条连支的回路称为单连支回路，它们的总和为一组独立回路，称为“基本回路”。

树一经选定，基本回路唯一地确定下来。

对于平面电路而言，其全部网孔是一组独立回路。

3-2 2B 法与1B 法3.2.1 支路法（2B 法）介绍1．方法概述以支路电压和支路电流作为变量，对节点列写电流（KCL ）方程，对回路列写电压（KVL ）方程，再对各个支路写出其电压电流关系方程，简称支路方程。

从而得到含2b 个变量的2b 个独立方程。

又称为“2b 法”。

2．思路由上述方法可见，“2b 法”实际上清晰地体现了求解电路的两个不可或缺的方面，即电路的解一是要满足网络的拓扑约束，二是要满足电路中各个元件的伏安关系约束。

3．方程结构b 个支路方程，)1(-n 个电流（KCL ）方程，))1((--n b 个电压（KVL ）方程。

共2b 个独立方程，变量是b 个支路电流和b 个支路电压，共2b 个变量。

3.2.2 支路电流法简介（实际上，支路电压法可以类似地推出） 1．方法概述以支路电流作为变量，对独立节点列写电流（KCL ）方程，对独立回路列写电压（KVL ）方程，再由各个支路的支路方程将支路电压用支路电流表示出来。

从而得到含b 个变量的b 个独立方程。

又称为“1b 法”。

2．方程结构)1(-n 个电流（KCL ）方程，))1((--n b 个电压（KVL ）方程。

共b 个独立方程，变量是b 个支路电流。

3.2.3 解题步骤1．选定各个支路电流的参考方向；2．按KCL 对)1(-n 个独立节点列写电流方程；3．选取))1((--n b 个独立回路，指定回路的绕行方向，应用KVL ，列写电压方程；4．联立上述方程式，求解。

3.2.4 说明1．当电路存在纯电流源支路时，可以设电流源的端电压为变量，同时补充相应的方程。

2．实际解题时，适用于支路数少的电路出计算分析中。

3.2.5 例题已知：电路如图所示S2I求：用2b法及1b法的支路电流法及支路电压法列写求解电路各个支路电流的全部独立方程。

解：一、2b法⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--53423114IIIIIIIIIS⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+=--+22513211314UUUUUUUUUUUUSSS⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====555444333222111URIURIURIURIURI二、支路电流法⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--53423114IIIIIIIIIS⎪⎩⎪⎨⎧=----=-+=--+2225511122111133144RIURIURIURIRIRIRIURISSS三、支路电压法⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+=--+22513211314UUUUUUUUUUUUSSS⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--=--0005533442233111144R U R U R U R U R U R U R U R U I S3-3 网孔法与回路法网孔法实际上是回路法中的特殊情况。

所谓回路分析法是用数目少于支路电流数的“回路电流”代替支路电流作为电路方程中的变量，而通过回路电流可以推算出全部的支路电流的方法。

对于平面电路，可以按网孔取独立回路（至于原因，有关的图论中有详尽的证明）。

而对于非平面电路或者某些连接方式具有一定特点的平面电路，则采用回路分析法，即不一定选取网孔电流为独立变量。

3.3.1 网孔法一、方法概述选择电路的网孔电流作为独立变量，对各个网孔列写电压（KVL ）方程，由于平面电路的全部网孔为一组独立回路，因此可以得到一组完备的独立电流方程，从而求解电路中的待求量。

我们仍然以支路法中提到的例题为例。

S2I实际上，设定了网孔电流、选择了网孔绕行方向后，就可以根据网孔的KVL 方程计算出各网孔电流，从而据此推出其他所有待求量，比如322I I I R -=，各节点电压可以直接根据列写各独立节点的KCL 方程来求取。

可见这里的所谓“网孔电流”，正是一组可以求解电路方程的完备的独立电量。

列写KVL 方程：网孔1：0)()(121331141=-+-++R I I R I I U R I S网孔2：0)()(212112=--+-U R I I R I I网孔3：0)()(2111322353=+--+-+S S U U R I I R I I R I写成矩阵形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---+---++21132153223221131431S S S U U U U I I I R R R R R R R R R R R R R R补充方程： S I I -=2，即可解出待求量。

仔细观察可以看出，应用网孔法列写出来的方程组也十分有规律。

方程左边的系数矩阵的对角线上的元称为“自阻”，为网孔中各个电阻的和；系数矩阵的其他位置上的元称为“互阻”，符号为负，大小为两网孔间公共的电阻的和。

方程右边的列向量的各元为沿网孔绕行方向产生的电位升的电压源值的大小。

由于使用网孔法列写方程极具规律性，因此在实际使用网孔法解题时，只需根据电路的拓扑结构直接列写就可以了。

当然，其中的实际电流源要变换为实际电压源，以便计算。

二、说明1． 当电路存在纯电流源支路时，可以设电流源的端电压为变量，同时补充相应的方程。

2． 当电路中存在受控源时，可以将受控源按独立源一样处理，其后将受控源的控制量用网孔电流表示出来，然后移项。

3． 适用于支路多、网孔少的电路分析计算。

4． 只能运用于平面电路。

三、网孔法的矩阵形式m m m U I R =•其中：◆ R m ——网孔电阻矩阵。

其对角线上的元称为“自阻”，其值为某一网孔中联接的支路上的电阻之和，符号为正；其他各元称为“互阻”， 其值为某两个网孔共有支路上的电阻之和，符号为负。

◆ I m ——网孔电流向量。

其元为各个网孔的电流，为列向量。

◆ U m ——节点电压源向量。

其元为沿网孔参考方向产生的电压源电位升的和，为列向量。

例题：见P75：3-123.3.2 回路法一、方法以连支电流为变量，对用连支确定的基本回路列写KVL 方程，从而分析计算电路的方法。

在选择树时，应尽量将电流源或受控流源所在的支路选为连支，这样可以不再对由纯流源连支所确定的基本回路列写方程，从而进一步减少方程的数量。

解题方法与解题步骤基本与网孔法相同，所有可以运用网孔法求的电路均可使用回路法。

不同之处在于回路法应用面更广（它可以应用于非平面电路），而且在某些电路结构下可以简化计算。

二、回路法的矩阵形式l l l U I R =•其中：◆ R l ——回路电阻矩阵。

其对角线上的元称为“自阻”，其值为某一基本回路中联接的支路上的电阻之和，符号为正；其他各元称为“互阻”， 其值为某两个基本回路共有支路上的电阻之和，符号为负。

◆ I l ——连支电流向量。

其元为各个连支的电流，为列向量。

◆ U l ——回路电压源向量。

其元为沿基本回路参考方向产生的电压源电位升的和，为列向量。

三、例题1．已知：电路如图所示，我们可以注意到，这个电路虽然也是平面电路，各网孔也是独立回路，但是如果用网孔法解时会出现困难（请思考并查阅相应资料）。

此时，有两种方法可以解决：一是选择回路电流时将纯电流源支路选为回路独占的支路（即不把它作为两个回路的公共支路），然后以该电流源电流作为回路电流；另一个是将原电路中的电流源与跟它并联的电阻交换位置，使得电流源自然称为网孔独占的支路，并取电流源电流为网孔电流。

通过以上方法均可使得未知电流变量变为两个。

I 1 I 2 2.25k Ω- Ω 3k方法一I 2I 4电路对应的图及一组基本回路I I 2.25k Ω- 3k方法二求：各支路电流 解：方法一如图所示选择回路及回路电流，在此情况下，回路1、回路2的回路电流即为支路电流11和12，回路3的回路电流等于电流源的电流2mA ，因此只需建立两个回路方程就可以了。

自阻、互阻及每一回路中的电压源电位升的代数和为Ω=++=Ω=+=k R k R 25.5225.214132211Ω-==Ω-==k R R k R R 2132232112 0122211==S S U V U因此，回路1、2的回路方程为：01021025.5101121011043323131313=⨯-⨯+⨯-=⨯-⨯I I I I I 而：33102⨯=I ，可以解出：mA I 35.31=，mA I 4.12=。

所以 mA I 35.31=， mA I 4.12=， mA I 23=， mA I I I 6.0324-=-=，mA I I I 95.1215=-=方法二如图所示，将电流源与跟它并联的电阻调换位置，然后选择网孔电流为回路电流，在此情况下，网孔1、2、3的网孔电流即为支路电流11、12和电流源的电流13=2mA ，因此也只需建立两个回路方程就可以了。

自阻、互阻及每一回路中的电压源电位升的代数和为Ω=++=Ω=+=k R k R 25.5225.214132211Ω-==Ω-==k R R k R R 2132232112 0122211==S S U V U可见这与方法一中的完全相同。

因此，可以列写相同的回路方程。

后面的过程略去。

2．已知：电路如图ΩΩ5I 1求：各个支路电流解：分析：该电路既含有独立电流源，又含有受控电流源。

为了便于建立回路方程，且方便计算，可以将这二者分别划归回路1和回路3，从而使得这两个回路电流分别等于已知的独立电流源电流（15A ）和受控源电流（9/X U ），于是就只需对回路2建立回路方程即可，再利用受控源与所涉及的回路电流之间的关系，就可以求解出待求量。