插补法简解
第三章 插补原理及控制方法
控
制
方
法
插补计算的任务就
是对轮廓线的起点到终
点之间再密集地计算出
有限个坐标点，刀具沿
第 着这些坐标点移动，来 三 逼近理论轮廓，以保证 章 切削过程中每一点的精
度和表面质量。
插
补
插补的实质是根据有限的信息完成 “数据
原 理 及
密化” 的工作，即数控装置依据编程时的有 限数据，按照一定方法产生基本线型 (直线、
补 期的进给段(轮廓步长)，即用弦线或割线逼
原 理
近轮廓轨迹。
及
控
制
方
法
数据采样插补运算分 两步完成。
第一步为粗插补，在给定
起点和终点的曲线之间插
入若干个点，即用若干条
第
微小直线段来逼近
三 章
给定曲线，每一微小直线段的长度⊿L都相等，且与
给定进给速度有关。粗插补在每个插补运算周期中计
算一次，因此，每一微小直线段的长度与进给速度F
章
插 补
若m在OA直线上方，则
yj ye xi xe
原
理
即 xe yj xi ye 0
及
控 制
若m在OA直线下方，则 yj ye
方
xi xe
法
即 xe yj xi ye 0
由此可以取
Fi j xe y j xi ye
第
偏差判别函数为
三
章
插 补
若Fi j ＝0，表明 m 在直线上；
原 理
第一、偏差判别 判别实际加工点相对规定几
第
何轨迹的偏离位置，然后决定刀具走向；
三 第二、进给运动 控制某坐标轴使工作台进给
章
一步，向规定的几何轨迹靠拢，缩小偏差；
第三章插补原理及控制方法
yj = yj
则 M1点的偏差为：
A M(xi,yj) M1( xi +1, y j ) x
y
Fi+1,j = x e y j - x i+1 ye
= x e y j - ( xi + 1) ye
αi
α
o
=( x e y j - xi ye ) – ye
Fi+1,j = Fi,j - ye
第三章 插补原理及控制方法 2
插补计算就是对数控系统输入的基本数据， ( 如直线起点、终点坐标值，圆弧起点、圆心、 圆弧终点坐标值、进给速度等 ) ，运用一定的算 法计算，由数控系统实时地算出各个中间点的坐 标。即需要“插入补上”运动轨迹各个中间点的 坐标，通常将这个过程称为“插补”。 插补结果是输出运动轨迹的中间点坐标值， 机床伺服系统根据此坐标值控制各坐标轴的相互 协调运动，走出预定轨迹。
o
α
αi
第三章 插补原理及控制方法
x
16
当M点在直线上方时，+ΔX
(αi> α) (αi< α)
Fi,j > 0
Fi,j < 0
y
A (Xe,Ye)
当M点在直线下方时, + Δ Y
M (xi,yj)
当M点在直线上时， + Δ X
(αi= α)
Fi,j = 0
o
α
αi
x
第三章 插补原理及控制方法
17
25
第三章 插补原理及控制方法
若 F i , j < 0，应+ΔY 进给一步，
使加工点移动一步到：M1 ( x i , y j +1 ) 得： xi = xi yj+1 = yj +1 则 M1点的偏差为：
插补方法评估指标研究
插补方法评估指标研究第一章引言1.1 研究背景插补方法是一种用于填充缺失数据的常用技术。
在许多应用领域中，数据缺失是一个普遍存在的问题，例如医学、金融和社交媒体等。
缺失值会导致数据集的不完整性和不准确性，对进一步的数据分析和建模造成困扰。
1.2 研究目的本研究的目的是评估不同的插补方法在填充缺失数据时的效果，并提出一套全面的评估指标体系。
通过对比不同的插补方法，我们希望找到最适合不同数据类型和应用场景的插补方法。
第二章插补方法概述2.1 插补方法分类插补方法可以分为基于模型的方法和基于非模型的方法。
基于模型的方法利用已有数据建立一个模型，然后利用该模型进行缺失值的填充；而基于非模型的方法则直接依赖于数据本身的统计特征。
2.2 常用的插补方法常见的插补方法包括均值插补、最近邻插补、插值法和机器学习方法等。
均值插补是一种简单的方法，将缺失值用该变量的均值来代替；最近邻插补则是将缺失值用与其最接近的观测值的值来代替；插值法通过拟合曲线或者曲面来估计缺失值；机器学习方法则利用已有的数据训练一个模型来预测缺失值。
第三章插补方法评估指标3.1 填充误差填充误差是衡量插补方法效果的重要指标，可以用来评估填充后的数据与真实数据之间的差异。
常见的填充误差指标有均方误差（MSE）和均方根误差（RMSE）等。
3.2 填充准确率填充准确率是衡量插补方法预测准确性的指标，用来评估插补后的数据与真实数据之间的吻合程度。
常见的填充准确率指标有准确率（Accuracy），召回率（Recall）和F1分数等。
3.3 计算效率计算效率是评估插补方法性能的指标，主要用来衡量插补方法在处理大规模数据集时所需的计算时间。
常见的计算效率指标有运行时间和内存占用等。
第四章实验设计与结果分析4.1 数据集选择与预处理本实验选取了几个常见的数据集，并对其进行预处理，包括缺失值的生成和数据归一化处理。
4.2 插补方法的比较实验中使用了均值插补、最近邻插补、插值法和机器学习方法等常用插补方法，对比它们在不同数据集上的填充误差、填充准确率和计算效率等指标。
一、插补及其算法 插补：是指在一条已知起点和终点的曲线上进行数
插补： 插补：是指在一条已知起点和终点的曲线上进行 数据点的密化。 数据点的密化。 CNC系统插补功能：直线插补功能 系统插补功能： 系统插补功能 圆弧插补功能 抛物线插补功能 螺旋线插补功能
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8.1
插补原理
直线和圆弧插补功能插补算法： 直线和圆弧插补功能插补算法：
⑴逐点比较法直线插补的象限与坐标变换 线 G01 型 偏 差 判 别 F≥0 F＜0 象 2 限 3
1
4
+X +Y
+Y - X
-X -Y
-Y +X
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8.1
插补原理
（2）逐点比较法圆弧插补象限与坐标变换 ）
象 线 型 偏差判别 F≥0 G02 G03 F<0 F≥0 F<0 1 -Y +X -X +Y 2 +X +Y -Y -X 3 +Y -X +X -Y 限 4 -X -Y +Y +X
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或半闭环)CNC系统的加减速控制 二、闭环(或半闭环 闭环 或半闭环 系统的加减速控制
前加减速控制： 前加减速控制 （1）稳定速度和瞬时速度 ） （2）线性加减速处理 ①加速处理 ）
②减速处理 ③终点判别处理
8.1
插补原理
图8－2 逐点比较法直线插补轨迹
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8.1
插补原理
2.逐点比较法圆弧插补 逐点比较法圆弧插补
（1）判别函数及判别条件 ） （2）进给方向判别 ） （3）迭代法偏差函数F的推导 ）迭代法偏差函数 的推导 （4）逐点比较法圆弧插补终点判别 ）
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8.1
插补原理
⒊ 坐标变换及自动过象限处理
插补方法的总结
插补方法的总结
插补方法是在数学领域中使用的一种技术，它可以用于解决各种数值计算问题。
该方法在计算机领域中也得到了广泛应用，特别是在计算机辅助制造、数控技术和机器人技术等领域。
插补方法通常涉及到使用一些已知的数据来预测其它数据的值。
这些数据可以表示成一个函数，该函数可以用于插值或外推来计算未知数据的值。
插值是指在已知数据点之间插入新的数据点，而外推是指在已知数据点的范围之外推算新的数据点。
在计算机辅助制造中，插补方法通常被用来控制机器人或数控机床的运动轨迹。
这些机器通常会按照一定的速度和方向进行移动，以便完成生产或制造任务。
插补方法可以帮助机器在运动过程中实现高精度的位置控制和运动轨迹规划。
此外，该方法也可以用于图像处理、信号处理和数值模拟等领域。
总之，插补方法是一种强大的数学工具，它在计算机辅助制造、数控技术和机器人技术等领域中发挥了重要作用。
对于需要解决数值计算问题的人来说，学习和掌握插补方法是非常重要的。
- 1 -。
数据插补的方法
数据插补的方法一、引言数据插补是一种常见的数据处理方法，用于填补缺失值或补全不完整的数据序列。
在实际应用中，由于各种原因（如传感器故障、网络异常等），数据可能会出现缺失或不完整的情况，这时候就需要使用数据插补方法来处理这些问题。
本文将介绍几种常见的数据插补方法，并对其优缺点进行分析和比较。
二、常见的数据插补方法1. 线性插值法线性插值法是最简单、最基础的数据插补方法之一。
它假设缺失值在两个已知数据点之间，且在这两个点之间变化是线性的。
具体地，设已知两个点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$，则对于 $x_1 \leq x \leqx_2$ 的任意 $x$，可以通过以下公式计算其对应的 $y$ 值：$$y = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$$线性插值法简单易懂，计算速度快，但它假设变化是线性的，在某些情况下可能会产生较大误差。
2. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种多项式插值方法，它通过已知数据点构造一个多项式函数，再用该函数计算缺失值。
具体地，设已知 $n+1$ 个点$(x_0, y_0), (x_1, y_1), \cdots, (x_n, y_n)$，则可以构造一个 $n$ 次多项式函数：$$L(x) = \sum_{i=0}^n y_i \prod_{j=0,j\neq i}^n \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$对于任意 $x$，都可以用 $L(x)$ 计算其对应的 $y$ 值。
拉格朗日插值法可以精确地拟合已知数据点，但当数据量较大时计算复杂度较高，并且容易产生龙格现象（即在插值区间两端出现震荡的现象）。
3. 样条插值法样条插值法是一种分段多项式插值方法，它将整个插值区间划分为若干小区间，在每个小区间内构造一个低次数的多项式函数。
具体地，在每个小区间内，设已知两个点 $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1})$，则可以构造一个三次样条函数：$$S_i(x) = a_i + b_i(x - x_i) + c_i(x - x_i)^2 + d_i(x - x_i)^3$$要求 $S_i(x)$ 在 $[x_i, x_{i+1}]$ 上满足以下条件：- 在插值点处，$S_i(x_i) = y_i$，$S_{i}(x_{i+1})=y_{i+1}$；- 在插值点处，$S'_i(x_{i})=S'_{i-1}(x_{i})$，即两个相邻区间的导数相等；- 在插值点处，$S''_i(x_{i})=S''_{i-1}(x_{i})$，即两个相邻区间的二阶导数相等。
数字增量式直接函数法插补算法
数字增量式直接函数法插补算法
数字增量式直接函数法插补算法：
1、定义：数字增量式直接函数法插补是一种通过定义数增量函数来实现机床运动控制的插补算法。
它基于曲线点数据，转换为数增量，利用增量函数快速实现插补计算。
2、特点：
（1）数字增量式直接函数法插补算法具有算法精度高、运算量小、运行速度快的特点。
（2）在实现步进步伐和匀速插补的基础上，它可以快速实现任何曲线的插补算法。
（3）数字增量式插补方法具有柔和的过渡特性，可以有效降低对环境的振动。
3、实现原理：在数字增量式直接函数法插补中，定义函数将曲线平滑转换为相应的数增量，从而获取曲线需要的每个步伐数据。
在此过程中，还可以实现参数调节，以加快运算速度，提高插补精度。
4、应用：
（1）数字增量式直接函数法插补在工业机床控制系统中最广泛应用；（2）用于高速加工精度要求较高的电路板、玻璃、钢筋圆柱、五金、
塑胶等材料的裁切及铣、刨等加工技术的控制；
（3）在精确的工具机/窖机中，数字增量式插补方法可以实现较高的控制精度，以满足材料加工的要求。
5、发展：近年来，数字增量式直接函数法插补算法在工业应用中得到
了越来越广泛的应用。
随着计算机技术的发展，数字增量式插补方法
不断性的发展，算法的小巧、轻量化得到了极大的改观，实现了更加
快速节能的加工控制，为工业智能与自动化的发展奠定了坚实的基础。
数据插补方法
数据插补方法一、引言数据插补是指在数据采集或处理过程中，由于各种因素的影响，导致数据出现缺失或不完整的情况，需要通过某些方法来填补这些缺失的数据。
数据插补方法在实际应用中具有广泛的应用价值和重要性。
本文将从数据插补的基本概念、常见插补方法、插补效果评价等方面进行详细介绍。
二、数据插补的基本概念1. 数据缺失类型在进行数据插补之前，首先需要了解不同类型的数据缺失情况。
常见的数据缺失类型包括：（1）完全随机缺失：指缺失值与其他变量之间不存在任何关系。
（2）随机缺失：指缺失值与其他变量之间存在某种关系。
（3）非随机缺失：指缺失值与其他变量之间存在一定的关联性。
2. 插补目标根据不同的应用场景和需求，可以对插补目标进行分类。
常见的插补目标包括：（1）预测：通过已知变量来预测未知变量。
（2）平滑：通过已知变量来平滑未知变量。
（3）估计：通过已知变量来估计未知变量。
（4）分类：通过已知变量来分类未知变量。
三、常见插补方法1. 均值插补法均值插补法是指用样本均值来代替缺失值。
当数据缺失的情况比较少且数据分布比较均匀时，均值插补法可以达到较好的效果。
2. 中位数插补法中位数插补法是指用样本中位数来代替缺失值。
当数据分布不均匀或存在极端值时，中位数插补法可以比均值插补法更加稳健。
3. 线性插值法线性插值法是指根据已知数据点之间的线性关系，对缺失数据进行预测。
线性插值法适用于连续型数据，但对于非连续型数据效果不佳。
4. 多项式插值法多项式插值法是指利用多项式函数拟合已知数据点，进而预测缺失数据。
多项式插值法适用于非连续型数据，但对于过拟合问题需要进行处理。
5. KNN 插补法KNN 插补法是指根据与缺失样本最近的 K 个已知样本，对缺失数据进行预测。
KNN 插补法适用于非线性数据和多分类问题。
6. 决策树插补法决策树插补法是指利用决策树算法对已知数据进行分类，从而预测缺失数据。
决策树插补法适用于非线性数据和多分类问题。
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插补法简解
[摘要]插补法(或称插值法、内插法)是财务分析和决策中常用的财务管理方法之一。
可现行教科书对其定义和解法含糊其辞，而插补法其实就是有限范围内的“比例推算法”。
这种方法采用“数轴”法求解更通俗易懂，简单快捷。
[关键词]插补法；比例推算法；数轴
一、插补法的实质含义
众所周知，当我们在投资决策时想要知道方案的实际利率、项目有效期、项目内含报酬率和债券到期收益率时，往往都需要使用插补法来求解。
而现行教科书中既没对插补法以明确定义，也在其解法上含糊其辞。
这往往使初学者深感棘手。
而插补法的实质其实就是根据指标之间的相关关系(正相关或负相关)，利用数学原理在有限区域内看成是正比或反比关系来推算其数值的一种求解方法。
诸如利息与期数、利率与净现值、现金流量与项目期限等相互间都存在一定的相关关系。
如果我们要想知道实际利率、项目周期、项目内含报酬率及债券的到期收益率等，都必须应用插补法求解。
二、利用“数轴”的“比例推算法”求解
(一)现行插补法存在的缺陷
现行教科书中的插补法求解存在两大缺陷：其一，“插补法或称内插法、插值法”无明确定义，而实际上它就是在有限范围内的“比例推算法”。
即根据指标值之间的相关关系而采用数学上的“比例推算法”。
其二，求解方式模糊、单一，求解时只采用下界临界值求解。
而利用“数轴”采用“比例推算法”既可以采用下界临界值也可以采用上界临界值求解，其结果并无二致。
(二)利用“数轴”的“比例推算法”求解
某投资者本金1 000元，投资5年，年利率8％，每年复利一次，其本利和是1 000×(1+8％)5=1 469元，若每季复利一次，本利和1 000×(1+8％÷4)4×5=1 486元，后者比前者多出17(1 486-1 469)元。
此时8％为年名义利率，小于每季复利一次的年利率(即实际利率)。
要求实际利率需用插补法来求解。
根据上述资料已知 1 000×P/S8％,5=1 469，又知 1 000×P/S9％,5=1 000×1.538(查复利现值系数表)=1 538。
而要求的1000×P/Si,5=1 486中的i介入8％～9％之间，我们利用“数轴”的“比例推算法”求解过程如下：
第一，设一数轴，根据“数轴”原理把指标值在“数轴”上标示出来(见下图)
第二，计算数轴上各已知点距离
第三，利用各点数值与利率的相关关系，按“比例推算法”求出终值1 486或终值系数为1，486点的利率。
其具体程序步骤如下：
(1)计算数轴各点问的距离
由“数轴”上各点数据可知，点P/S8％,5与点P/S9％,5终值系数距离为1.538-1.469=0 069，终值距离为1538-1469=69，两点间的利率距离为9％-8％=1％，点P/Si,5与前后两点终值系数距离分别为 1.486-1.469=0.017，
1.538-1.486=0.052，终值距离分别为1 486-1 469=1 7，1 538-1 486=52。
(2)设点P/Si,5与前后两点的距离分别为X和Y
因为利率与终值或终值系数从左至右是成正向变化的，所以点P/Si,5的实际利率是介于8％～9％之间的，应为8％+X或9％-Y(按“比例推算法”原理)。
(3)利用“比例推算法”及点P/Si,5上下i临界值求解
按“比例推算法”x、Y的求解表达式应为0.069：0.017=1％：×或69：17=1％：X、0.069：0.052=1％：Y或69：52=1％：y
整理后得，
X=1％×0.017/0.069=0.25％或x=1％×17/69=0.25％
Y=1％×0.052/0.069=0.75％或Y=1％×52/69=0.75％
因此P/Si,5点的利率应是8％+0.25％=8.25％或者9％-0.75％=8.25％。
三、利用“数轴”进行比例求解应注意的问题
无论用任何方式对插补法求解，有一个问题必须清楚，那就是这种求解方式
显然建立在指标值之间的相互关系上，在尽可能小的区间内的一种假设，假设其成比例(正比或反比)关系。
而事实上数值之间并非成比例关系。
因此在求解时，一定要注意在采用逐步测试法时测试的间距不应过大，利率以不超过2％为宜，否则得出的结果便欠准确了。