抛物型方程求解
抛物型方程的galerkin有限元方法
抛物型方程的Galerkin有限元方法一、引言抛物型方程是一类常见的偏微分方程，具有广泛的应用。
在数值解中，Galerkin有限元方法是一种常用且有效的方法。
本文将介绍抛物型方程的基本概念，并详细讲解Galerkin有限元方法在求解抛物型方程中的应用。
二、抛物型方程的基本概念抛物型方程是指具有二阶时间导数和二阶空间导数的偏微分方程。
一般形式为：∂u−Δu=f∂t其中，u为未知函数，t为时间变量，Δ为Laplace算子，f为给定的函数。
抛物型方程的一个重要特点是初始条件和边界条件对解的影响非常大。
合适的初始条件和边界条件能够唯一确定方程的解。
三、Galerkin有限元方法Galerkin有限元方法是一种利用函数空间进行近似的数值计算方法。
它基于以下思想：将问题的解表示为函数空间中的一个函数，通过求解一组代数方程组来近似求解原始方程。
1. 函数空间的选择在应用Galerkin有限元方法求解抛物型方程时，需要选择合适的函数空间。
常用的函数空间有有限维函数空间和无限维函数空间。
具体的选择需要根据问题的特点和计算的要求来确定。
2. 弱形式的推导对于抛物型方程，我们可以将其转化为弱形式。
弱形式是通过将方程两边乘以一个测试函数，并进行积分得到的。
这样可以减小对解的要求，并使得问题更容易求解。
3. 数值离散和代数方程的建立接下来，需要对时间和空间进行离散。
通常使用网格来进行离散，将时间和空间分割为有限个小区域。
然后，通过选择适当的基函数，在每个小区域上近似原方程的解。
最终得到一组代数方程组。
求解代数方程组是Galerkin有限元方法的最后一步。
可以使用常用的数值方法，如迭代法、直接法等，来求解代数方程组。
根据计算要求和问题特点，选择合适的求解方法。
四、应用案例以一维热传导方程为例，展示Galerkin有限元方法在求解抛物型方程中的应用。
热传导方程是一个典型的抛物型方程，描述了物体内部的温度分布随时间变化的规律。
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解摘要：一、引言二、一维抛物型偏微分方程1.定义与性质2.初边值问题三、求解方法1.紧差分格式2.追赶法3.有限元算法四、Matlab程序实现1.紧差分格式程序2.追赶法程序五、结论与展望正文：一、引言在数学、物理等领域，偏微分方程是一类重要的方程。
其中，一维抛物型偏微分方程在科学研究和实际应用中具有广泛的意义。
本文将探讨一维抛物型偏微分方程的初边值问题的求解方法，并介绍相应的Matlab程序实现。
二、一维抛物型偏微分方程1.定义与性质一维抛物型偏微分方程是指具有如下形式的方程：u_t = a * u_xx其中，u(x, t) 表示未知函数，t 表示时间，x 表示空间坐标，a 为常数。
2.初边值问题初边值问题是指在给定的初始条件和边界条件下求解偏微分方程的问题。
在一维抛物型偏微分方程中，初边值问题可以表示为：u(x, 0) = u_0(x)u(x, t) = u_t(x, t) 在边界x=0，x=L上三、求解方法1.紧差分格式紧差分格式是一种求解偏微分方程的方法，其精度为O(h^(1/2) * Δt)，无条件稳定。
在这种方法中，我们首先需要建立离散的网格系统，然后通过数值积分求解离散化的偏微分方程。
2.追赶法追赶法是一种求解线性方程组的方法，也可以用于求解初边值问题。
在这种方法中，我们首先需要将偏微分方程转化为线性方程组，然后使用追赶法求解线性方程组。
3.有限元算法有限元算法是一种基于变分原理的求解方法，可以将偏微分方程问题转化为求解有限元空间的线性方程组。
这种方法在求解一维抛物型偏微分方程时具有较高的精度和可靠性。
抛物型方程的计算方法
分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。
差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪 论1.1 引 言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1） 其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件： 初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3） 第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4） 第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5） 第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6） 其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。
一类变系数抛物型方程的数值解法
式 ， 用方程 算 出第一 层 的数值 解 ， 利 之后 每一层 的
计 算都 用到 前两 层 的数值解 。每一层 的计算都 是 解 线性 方程 组 。计算 过程 避免 了迭 代运 算 。通过 该 格式 可 以计算 出 的数 值解 。利 用 ７的数 值解 ２ 和下 面差分 格式 可 以计算 出 “和 “的数值 解 。
ｎ 上 的 网 格 函 数 。 引 入 以 下 记 号 ：
式
。其 收敛 阶 为 Ｏ（ 。 ） ｈ ＋ｒ 。
跏 一
Ｄ， 一 叫
二 二
１≤ ｉ Ｍ 一 １ １≤ ｋ≤ Ｎ 一 １ ≤ ，
气 一
一
＋ 宰 ＋
０≤ ｋ≤ Ｎ
厂（ ｚ）
ａ女
一
一
第 ４期
１≤ ｉ≤ Ｍ — ｌ
ｆ （ ｉ ｘ）
１ 三 层 线 性 化 格 式
一
在 问 题 （ ） 令 ， Ｕ ， 定 “ ，） ０ １中 一 假 （ ￡≠ ，
罕Ｎ
并 （一 ， 一 ，到 题 １ 记ａ） 警 ｐ） 警 得 问 （ 的 （ ）
我们 用 Ｍａｌｂ进 行 编 程 计 算 ， ｐ ｔ ａ 在 ｃ机 上计 算 出 的数值结 果见 表 １ ～表 ４ 。
表 １ Ｍ ＝５ Ｎ－ ５ ０。 － ０时 Ｈ ， ） 绝 对 误 差 （ １的
）＝＝ ＋ ＝
１＋
表 ２ Ｍ ＝５ 。 ０ Ｎ＝５ ０时 ａ ｆ 的 绝 对 误 差 （）
ｎ — ｎ＾× ＊
存 在 Ｏ ｉ≤Ｍ ， 得 ≤ 。 使
∈ Ｌ Ｘ。ｌ ｉ ＋
ｍａ ｎ ｔ） 口 ≤ ｃｈ ＋ ｒ ） ｘ ｌ （女 一 ｌ （
萋
用 类 似 的 方 法 可 以 给 出 如 下 向 后 欧 拉 格
求解抛物型方程的一种有限差分并行格式
Ｋｅ ｒ ｓ：ｐ ｒｌ ｌｃ ｍｐ ｔｔ ｎ ｉｅｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔ ｎ；Ｊ Ｓ ｉ ｒｔ ｅｍｅｈ ｄ ；ｓ ｂｌｙ；ｔ ｎ ａｉｎｅｒｒ ｙ ｗｏ ｄ ａａｌ ｏ ｕａｉ ；ｄｆ ｒｎｉ ｑ ａｉ ｅ ｏ ｆ ａ ｏ Ｇ ｔ ａｉ ｔｏ ｓ ｔ ｉ ｔ ｒ ｃ ｔ ｒｏ ｅ ｖ ａ ｉ ｕ ｏ
点 （， 的值 ． ｉ ）
对于给定的正整数 Ｐ 使其能整除 Ｎ一１ ， Ｌ＝（ （ ）令 Ｎ一１ ／．将 整个区间分成 Ｐ个子区问 （ Ｐ ）ｐ 或
收稿 日期 ： ０ ０ ９２ ． ２ １－ －６ Ｏ
作者简 介：刘
播（ ９ １ １５ 一）， ， 族 ， 男 汉 博士 ，教授 ，从事偏 微分方 程并行算 法的研 究，Ｅ－ａｌ ｉｂ ｍ＠ｊ ．ｄ ． ａ ｍ ｉ ｕｏ ：ｌ ｌ ｅｕ ｃ ．通讯作 者 ｕ
李昕卓（ ９７ ） １ ８一 ，女 ， 汉族 ，从事偏微分方程并行算 法的研究 ，Ｅ ｍ ｉ： ｉ ２２ ＠１３ ｃｎ． ． ａ ｌ ｚ１３ ６ ．ｏ ｌ ｘ 基金项 目：国家 自然科学基金 （ 批准号 ： ０ ３ １ １ Ｊ００ ０ ） Ｊ７０ ０ ； １３ １ １ ．
２
吉 林 大 学 学 报 （ 学 版） 理
有 限差分 法是求 解偏 微分方 程 的一种 有效 方法 ，目前 已有许 多 研究 结果 ．文 献 ［ －］ 论 了抛 ２３ 讨
物型 方程 的本性 并行 差分 格 式 ；文献 ［ ． ］ 别 给 出 了抛 物 型 方 程 的 Ａ Ｅ方 法 及其 稳 定 性 和误 差 分 ４５ 分 Ｇ
抛物型方程的差分方法
抛物型方程的差分方法抛物型方程是描述物理现象中的薄膜振动、热传导、扩散等过程的方程，具有非常重要的应用价值。
差分方法是一种常用的数值计算方法，用于求解微分方程，对于抛物型方程的数值求解也是非常有效的方法之一、本文将介绍抛物型方程的差分方法，并具体讨论用差分方法求解抛物型方程的一些具体问题。
首先，我们来介绍一下抛物型方程的一般形式。
抛物型方程一般可以表示为：∂u/∂t=α(∂^2u/∂x^2+∂^2u/∂y^2)其中，u(x,y,t)是待求函数，t是时间，x和y是空间变量，α是常数。
这个方程描述的是物理过程中的扩散现象，如热传导过程、溶质的扩散过程等。
差分方法的基本思想是将求解区域离散化为一个个网格点，然后在每个网格点处用近似的方式来计算待求函数的值。
差分方法的求解步骤主要包括以下几个方面：1.选择适当的网格和步长。
在求解抛物型方程时，需要确定空间变量x和y所在的网格点以及步长，同时也需要确定时间变量t所在的网格点和步长。
通常，我们会选择均匀网格，步长选择合适的值。
2.建立差分格式。
差分格式是差分方法的核心部分，它包括对方程进行近似处理和离散化。
对于抛物型方程，常用的差分格式有显式差分格式和隐式差分格式等。
其中，显式差分格式的计算速度快，但是有一定的稳定性限制，而隐式差分格式的稳定性较好，但是计算量较大。
因此，在具体问题中需要根据实际情况选择适当的差分格式。
3.编写计算程序。
在建立差分格式后，需要编写计算代码来求解离散方程。
具体编写的过程包括定义初始条件、建立迭代计算过程、以及计算结果的输出等。
4.计算结果的验证与分析。
求解方程后，需要对计算结果进行验证和分析，主要包括对数值解和解析解的比较、对误差的估计和控制等。
在具体求解抛物型方程时，还会遇到一些问题，例如边界条件的处理、稳定性和收敛性的分析等。
下面将对其中一些问题进行详细讨论。
1.边界条件的处理。
边界条件对差分格式的求解结果有着重要的影响，常见的边界条件包括固定端（Dirichlet）边界条件和自由端（Neumann）边界条件等。
10_抛物型方程的有限差分方法
10_抛物型方程的有限差分方法抛物型方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于自然科学和工程学的领域中。
有限差分方法是一种常用的数值求解抛物型方程的方法之一、本文将介绍抛物型方程的有限差分方法（II）。
有限差分方法主要基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，进而求解差分方程的数值解。
对于抛物型方程，其一般形式可以表示为：∂u/∂t=Δu+f(x,t)其中，u(x, t)是未知函数，表示空间位置x和时间t上的解，Δu表示Laplace算子作用于u的结果，f(x, t)是已知函数。
有限差分方法的基本思想是将空间和时间域进行离散化，将连续的空间和时间划分为有限个网格点，然后使用差分近似代替偏导数，得到差分方程。
假设空间域被划分为Nx个网格点，时间域被划分为Nt个网格点，对于每个网格点(i,j)，可以表示为(x_i,t_j)，其中i=0,1,...,Nx，j=0,1,...,Nt。
在有限差分方法中，我们使用中心差分近似来代替偏导数。
对于时间导数，可以使用向前差分或向后差分，这里我们使用向前差分，即：∂u/∂t≈(u_i,j+1-u_i,j)/Δt对于空间导数，可以使用中心差分，即：∂^2u/∂x^2≈(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2将上述差分近似代入抛物型方程中，可以得到差分方程的离散形式：(u_i,j+1-u_i,j)/Δt=(u_i-1,j-2u_i,j+u_i+1,j)/Δx^2+f_i,j其中，f_i,j=f(x_i,t_j)。
重排上式，可以得到递推关系式：u_i,j+1=αu_i-1,j+(1-2α)u_i,j+αu_i+1,j+Δt*f_i,j其中，α=Δt/Δx^2通过设置初始条件和边界条件，可以利用以上递推关系式得到抛物型方程的数值解。
总结来说，抛物型方程的有限差分方法（II）是一种常用的数值求解抛物型方程的方法。
它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为差分方程，然后利用中心差分近似代替偏导数，得到差分方程的离散形式。
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解摘要：一、引言二、一维抛物型偏微分方程初边值问题概述三、求解方法四、数值模拟与分析五、结论正文：一、引言一维抛物型偏微分方程在数学和物理等领域有着广泛的应用，比如热传导方程、波动方程等。
对于这种方程的初边值问题，人们进行了大量的研究，提出了多种求解方法。
本文将对这些方法进行综述和分析。
二、一维抛物型偏微分方程初边值问题概述一维抛物型偏微分方程形式为：$$frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$$其中，$u(x,t)$ 是未知函数，$c$ 是常数。
初边值问题要求解该方程，并满足以下条件：1.$u(x,0) = f(x)$，即$t=0$ 时的函数值已知。
2.$frac{partial u}{partial t}(x,0) = g(x)$，即$t=0$ 时的导数值已知。
三、求解方法针对一维抛物型偏微分方程的初边值问题，目前主要有以下几种求解方法：1.分离变量法：适用于$c=1$ 的情况。
该方法将方程分解为两个独立的一阶线性微分方程，可以求得解析解。
2.矩方法：适用于$ceq 1$ 的情况。
该方法将方程转化为关于矩的递推关系式，可以求得数值解。
3.有限差分法：将方程离散化，通过差分方程求解。
该方法可以得到数值解，但可能会出现数值稳定性问题。
4.有限元法：将方程转化为有限个单元的积分方程，通过插值函数求解。
该方法可以得到较高质量的数值解，但计算复杂度较高。
四、数值模拟与分析为了比较不同方法的求解效果，我们取一维抛物型偏微分方程的一个具体例子，采用以上方法进行数值模拟。
通过对比分析，我们可以得出以下结论：1.分离变量法适用于$c=1$ 的情况，可以得到解析解，但求解范围有限。
2.矩方法对于$ceq 1$ 的情况有较好的适用性，可以得到数值解，但计算复杂度较高。
3.有限差分法易出现数值稳定性问题，求解精度较低。
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22
10,01,01(,0),01(0,),(1,),01
(,)x t t x t
u u x t t x u x e x u t e u t e t u x t e ++∂∂-=<<<≤∂∂=≤≤==<≤=
运行：前向euler 法
[xx,tt,uh]=equationepaowu2('myfun','myfun1','myfun1','myfun2',1,[0,1],[0,1],[1/10,1/200]); function [xx,tt,uh]=equationepaowu2(myfun,myfun1,myfun2,myfun3,a,xxx,ttt,step) %利用差分方法求抛物型方程数值解；
%myfun--方程右端f(x,t);
%myfun1--u(x,0);
%myfun2--u(t1,t);
%myfun3--u(t2,t);
%[x1,x2]--x 的取值范围；
%[t1,t2]--t 的取值范围；
%a-正常数
%h,tao-分别是x,t 方向的步长。
%——————————————————————
%激活函数
f=fcnchk(myfun);
f1=fcnchk(myfun1);
f2=fcnchk(myfun2);
f3=fcnchk(myfun3);
x1=xxx(1);x2=xxx(2);
t1=ttt(1);t2=ttt(2);
h=step(1);tao=step(2);
%__________________________________
%划分网格,x1-nt+1行，nx+1列。
x=linspace(x1,x2,round((x2-x1)/h)+1);
t=linspace(t1,t2,round((t2-t1)/tao)+1);
nx=size(x,2);
nt=size(t,2);
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
%________________________________________
%赋初值及边值
size(x1)
size(x)
U0=zeros(size(xx));
U0(1,:)=f1(x);
U0(2:nt,1)=f2(t(2:nt))';
U0(2:nt,nx)=f3(t(2:nt))';
F=f(xx,tt);
%_________________________________
%计算步长
r=(a*tao)/h^2
%_______________________
%迭代；由低层向高层计算,i-代表层数；
for i=2:nt
for j=2:nx-1
ss=(1-2*r)*U0(i-1,j)+r*(U0(i-1,j-1)+U0(i-1,j+1))+tao*F(i-1,j);
U0(i,j)=ss;
end
end
uh=U0;
%作图
uh=U0;
Uh=exp(xx+tt);
ee=max(max(abs(Uh-uh)))
mesh(xx,tt,Uh-uh);
function F=myfun(x,t)
F=0*x.*t;
function f1=myfun1(x)
f1=exp(x)
function f1=myfun2(x)
f1=exp(1+x)
后向euler法
function [xx,tt,uh]=equationepaowu222(myfun,myfun1,myfun2,myfun3,a,xxx,ttt,step) %利用差分方法求抛物型方程数值解；
%myfun--方程右端f(x,t);
%myfun1--u(x,0);
%myfun2--u(t1,t);
%myfun3--u(t2,t);
%[x1,x2]--x的取值范围；
%[t1,t2]--t的取值范围；
%a-正常数
%h,tao-分别是x,t方向的步长。
%——————————————————————%激活函数
f=fcnchk(myfun);
f1=fcnchk(myfun1);
f2=fcnchk(myfun2);
f3=fcnchk(myfun3);
x1=xxx(1);x2=xxx(2);
t1=ttt(1);t2=ttt(2);
h=step(1);tao=step(2);
%__________________________________
%划分网格,x1-nt+1行，nx+1列。
x=linspace(x1,x2,round((x2-x1)/h)+1);
t=linspace(t1,t2,round((t2-t1)/tao)+1);
nx=size(x,2);
nt=size(t,2)
[xx,tt]=meshgrid(x,t);
%________________________________________
%赋初值及边值
size(x1);
size(x);
U0=zeros(size(xx));
U0(1,:)=f1(x);
U0(2:nt,1)=f2(t(2:nt))';
U0(2:nt,nx)=f3(t(2:nt))';
F=f(xx,tt);
%_________________________________
%计算步长
r=(a*tao)/h^2;
%_______________________
%构造矩正
CC=(1+2*r)*eye(nx-2)-r*eye11(nx-2);
nx
%迭代；由低层向高层计算,i-代表层数；
for i=2:nt
f=U0(i-1,2:nx-1)+tao*F(i,2:nx-1);
ss=[];
ss=triangleequation(CC,f');
U0(i,2:nx-1)=ss;
end
uh=U0;
%作图%作图
uh=U0;
Uh=exp(xx+tt);
ee=max(max(abs(Uh-uh))); mesh(xx,tt,uh);。