两点之间的距离公式及中点坐标公式

P71练习 ：1－4. 练习A： 练习 1－4. 选做： 组题 选做：B组题
P72：习题2－1A： ：习题
O, A 两点之间的距离通常用 d(O, A)
表示。 表示。
当A点不在坐标轴上时： 点不在坐标轴上时：
在平面直角坐标系中，已知点A(x， 在平面直角坐标系中，已知点A(x， A(x 原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？ d(O,A)是多少呢 y) ，原点O和点A的距离d(O,A)是多少呢？
y
(x， A (x，y) y
y
A M1 = M1B1 1
A2M2 = M2 B2
(0,y)
B2
M2
(0，y2)
B
x − x1 = x2 − x y − y1 = y2 − y
A
A1
(X1,0) O
M
(0，y1)
A2
M1
(X,0)
B1
(X2,0)
x
即：
x1 + x 2 x= 2
y1 + y 2 y= 2
这就是线段中点坐标 的计算公式 ，简称 ——
2 2
d(A,C)= d(C,B)=
(5 -1) + (0 − 2) = 2 2 (5 − 3) + (0 − 4) =
2 2
20
20
即|AC|=|BC|且三点不共线 |AC|=|BC|且三点不共线 所以，三角形ABC为等腰三角形。 所以，三角形ABC为等腰三角形。 ABC为等腰三角形
【例3】已知 ABCD ,求证 已知 2 2 2 2 AC + BD = 2 AB + AD .
y
x
p(x， p(x，y)
y
o x
合作探究（ ）：两点间的距离公式 合作探究（一）：两点间的距离公式
思考1 思考
在平面直角坐标系中， 在平面直角坐标系中，已知 两点的坐标，怎样来计算这两点 两点的坐标， 之间的距离呢？ 之间的距离呢？
我们先寻求原点 O(0,0)与任意一 点 A( x, y) 之间距离的计算方法
中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标 A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。 解：因为平行四边形的两条对角线中点相同, 所以它们的中点的坐标也相同. 点的坐标为(x,y). 设D 点的坐标为(x,y).
x+ 2 −3+5 = 2 2 y−2 0+2 = 2 2
x1 = ?, y1 = ?, x2 = ?, y2 = ?;
计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个量， 即
∆x = x2 − x1
2
∆y = y2 − y1
计算
d = ∆x + ∆y
2
给出两点的距离
d
题型分类举例与练习 【例1】已知A（2、-4）、B（-2，3）. 求d（A，B） d
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建 立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的 性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2Biblioteka Baidu
=a ,
2
2 2
y (bD (b-a, c) C (b, c) x
解：
∆y = y2 − y1 = 3 − (− 4) = 7
d(A, B) = (−4) + 7 =
2 2
x1 = 2, x2 = −2, y1 = −4, y2 = 3 ∆x = x2 − x1 = −2 − 2 = −4,
65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5，0) 已知： A(1，2)，B(3，4)，C(5， 已知 求证：三角形ABC是等腰三角形。 求证：三角形ABC是等腰三角形。 ABC是等腰三角形 证明： 证明：因为 d(A,B)= (3 −1) + (4 − 2) = 8
y
B2 A(x1，y1) A2 A1 B(x2，y2)
c
o
B1
x
d( A, B) =| AB |= (x2 − x1) + ( y2 − y1)
2
2
显然， 平行于坐标轴或在坐标轴上时， 显然，当AB平行于坐标轴或在坐标轴上时，公式 平行于坐标轴或在坐标轴上时 仍然成立。 仍然成立。
给两点的坐标赋值： 给两点的坐标赋值：
y
D (x,y)
M
C(5,2)
则
A(-3,0)
O
x B(2,-2)
x=0 解得 y=4 ∴D(0,4)
课堂检测〗 〖课堂检测〗 1、求两点的距离： （1) A（6，2） , B（-2,5） （2) A (2 , -4) , B (7 , 2) 2、已知A（a，0）, B（0,10）两点 A a 0 , B 0,10 的距离等于17，求a的值。 3、已知 : ABCD 的三个顶点坐标分 别是A(- 1,-2),B(3,1),C(0,2).求: 第D点的坐标。
o
x A 1
x
d(O,A)=
当A点在坐标轴上时这一公式 也成立吗？ 也成立吗？
y
A
o
A
x
A
显然， 显然，当A点在坐标轴上时 点在坐标轴上时
d(O,A)=
这一公式也成立。 这一公式也成立。
A(x1, y1 ), B(x2 , y2 )
一般地，已知平面上两点A(x 一般地，已知平面上两点A(x1，y1)和 利用上述方法求点A B(x2，y2)，利用上述方法求点A和B的距离
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
2 2 2
y (bD (b-a, c) C (b, c) x
O
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
该题用的方法----坐标法。 该题用的方法 坐标法。可以将几何 坐标法 问题转化为代数问题。 问题转化为代数问题。
2、中点公式 、
合作探究（ ）：中点公式 合作探究（二）：中点公式 已知A B（ 已知A（x1，y1）, B（x2，y2）， M(x,y)是线段AB的中点 是线段AB 设 M(x,y)是线段AB的中点
复习
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为 两点的距离为: 所以 两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式 两点的距离公式
如图：有序实数对 与点P对 如图：有序实数对（ x,y）与点 对 与点 这时（ 称为点P的坐标 应，这时 x,y）称为点 的坐标， 这时 称为点 的坐标， 并记为P（x,y），x叫做点 的横坐 叫做点P的横坐 并记为 叫做点 叫做点P的纵坐标 标，y叫做点 的纵坐标。 叫做点 的纵坐标。
1.两点间的距离公式； 两点间的距离公式； 两点间的距离公式
d( A, B) =| AB |= (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2
2.中点坐标公式 中点坐标公式
x1 + x 2 x= 2
y1 + y 2 y= 2
将几何问题转化为代数问题。 二、坐标法——将几何问题转化为代数问题。 坐标法 将几何问题转化为代数问题