两点距离公式专项练习(精.选)

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综合算式专项练习题两点之间的距离与中点的计算

综合算式专项练习题两点之间的距离与中点的计算综合算式专项练习题：两点之间的距离与中点的计算两点之间的距离是数学中常见的问题，而中点的计算也是解决几何问题时的基础。

本文将为您综合讲解两点之间的距离计算公式以及中点的计算方法，并提供专项练习题供您巩固和应用所学知识。

一、两点之间的距离计算公式在平面几何中，两点之间的距离可以通过坐标之间的差值来计算。

设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则它们之间的距离D可以利用勾股定理来计算，即：D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)其中：- (x2 - x1)表示横坐标之差- (y2 - y1)表示纵坐标之差- (x2 - x1)²表示横坐标之差的平方- (y2 - y1)²表示纵坐标之差的平方- √(...)表示开平方，即求得两点之间的距离D二、中点的计算方法在平面几何中，两点之间的中点即为连接这两点的线段的中点，可以通过坐标平均值的方式来计算。

设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则连接AB的线段的中点M的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)其中：- (x1 + x2)/2表示横坐标的平均值- (y1 + y2)/2表示纵坐标的平均值- (x, y)表示中点M的坐标三、综合算式专项练习题1. 已知点A(2, 5)和点B(-3, 1)，求两点之间的距离D。

解析：根据距离计算公式，我们将坐标代入公式中计算：D = √((-3 - 2)² + (1 - 5)²)D = √((-5)² + (-4)²)D = √(25 + 16)D = √41所以，点A和点B之间的距离D为√41。

2. 已知点C(4, -6)和点D(1, 3)，求连接CD的线段的中点M的坐标。

解析：根据中点计算方法，我们将坐标代入公式中计算：M(x, y) = ((4 + 1)/2, (-6 + 3)/2)M(x, y) = (5/2, -3/2)所以，连接点C和点D的线段的中点M的坐标为(5/2, -3/2)。

高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案

高考数学《两条直线的位置关系及距离公式》真题含答案一、选择题1．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0答案：A解析：设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1，0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A ．12 B ．32 C ．14 D ．34答案：D解析：∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：由两条直线平行，∴a 3 ＝2a －1 ≠2a 7－a，得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B解析：由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1．又∵0<k <12，∴x ＝k k －1 <0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．“C ＝2”是“点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案：B解析：由点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋（3）2 ＝|4＋C |2 ＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3 )到直线x ＋3 y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝0答案：A解析：过点P (2，1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0 ＝12，所以所求直线的斜率为－2，即所求直线方程为y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5 ，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1答案：C解析：∵l 1∥l 2，∴12 ＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋（－2）2 ＝|m ＋3|5 ＝5 ，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1答案：C解析：由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．(多选)已知直线l ：3 x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )A ．直线l 的倾斜角是π6B ．若直线m ：x －3 y ＋1＝0，则l ⊥mC ．点(3 ，0)到直线l 的距离是2D ．过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是3 x －y －4＝0答案：CD解析：对于A ，直线l ：3 x －y ＋1＝0的斜率k ＝3 ，故直线l 的倾斜角是π3，故A 错误；对于B ，因为直线m ：x －3 y ＋1＝0的斜率k ′＝33，kk ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C ，点(3 ，0)到直线l 的距离d ＝|3×3－0＋1|（3）2＋（－1）2 ＝2，故C 正确；对于D ，过点(23 ，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝3 (x －23 )，整理得3 x －y －4＝0，故D 正确．二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．答案：2解析：由题意得A (0，1)，由点A (0，1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12 ＝2 . 11．[2022·全国甲卷(理)，14]若双曲线y 2－x 2m 2＝1(m >0)的渐近线与圆x 2＋y 2－4y ＋3＝0相切，则m ＝________．答案：33 解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y ＝x m，即x －my ＝0.圆的方程可化为x 2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得|0－2m|m2＋1＝1，解得m＝±33.又因为m＞0，所以m＝33.12．过点A(4，a)和B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则两点间的距离|AB|＝________．答案：2解析：由题意可知，k AB＝b－a5－4＝b－a＝1，故|AB|＝（5－4）2＋（b－a）2＝2.。

空间两点间的距离公式课时训练(带答案)

空间两点间的距离公式课时训练（带答案）课时提升作业(二十七) 空间两点间的距离公式一、选择题(每小题4分，共12分) 1.(2014•长春高一检测)点M(2，-3，5)到x轴的距离与M到y轴的距离之比为 ( ) A. ∶ B. ∶ C. ∶ D. ∶ 【解析】选D.M在x轴上的射影坐标为(2，0，0)，M在y轴上的射影坐标为(0，-3，0)，所以M到x轴的距离为d1= = = ，M到y轴的距离为d2= = = ，所以d1∶d2= ∶ . 【误区警示】点M(a，b，c)在x轴上的射影坐标为(a，0，0)，在y轴上的射影坐标为(0，b，0)，在z轴上的射影坐标为(0，0，c)，应熟记，并理解推导过程. 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，则对角线AC1的长为( ) A.9 B. C.5 D.2 【解析】选B.如图所示，由题设条件可知： |AA1|=3，|AB|=2，所以C1(0，2，3)，所以|AC1|= . 3.在空间直角坐标系中，给定点M(2，-1，3)，若点A与点M关于xOy平面对称，点B与点M关于x轴对称，则|AB|=( ) A.2 B.4 C.2 D.3 【解题指南】先根据点的对称求得A 和B的坐标，进而利用两点间的距离公式求得|AB|. 【解析】选A.因为点M(2，-1，3)关于平面xOy的对称点为A，它的横坐标与纵坐标不变，竖坐标相反，所以A(2，-1，-3)；M(2，-1，3)关于x轴的对称点为B，它的横坐标不变，纵坐标相反，竖坐标相反，有B(2，1，-3)，所以|AB|= =2. 二、填空题(每小题4分，共8分) 4.(2013•汉中高一检测)在空间直角坐标系中，在z轴上求一点C，使得点C到点A(1，0，2)与点B(1，1，1)的距离相等，则点C的坐标为__________. 【解析】设点C的坐标为(0，0，z)，由题意可知|AC|=|BC|，即 = ，解得z=1，即点C的坐标为(0，0，1). 答案：(0，0，1) 【变式训练】(2013•南通高二检测)在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A(3，-1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为____________. 【解题指南】先求正方体体对角线的长，再求棱长. 【解析】|AM|= = ，所以体对角线|AC1|=2 . 设棱长为x，则3x2=(2 )2，所以x= . 答案：5.(2014•徐州高一检测)已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(-1，2，-1)，B(3，-2，3)，则正方体的体积是________. 【解析】设正方体的棱长为a，因为A，B是不在同一表面上的点，所以AB为正方体的对角线，|AB|2=3a2=(3+1)2+(-2-2)2+(3+1)2=48，所以a=4，V=4×4×4=64. 答案：64 【误区警示】解答本题时常因审题不清，误认为|AB|为棱长致错. 三、解答题(20分) 6.(2013•临沂高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，D1D=3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出点D，N，M的坐标. (2)求线段MD，MN的长度. 【解题指南】(1)D是原点，先写出A，B，B1，C1的坐标，再由中点坐标公式得M，N的坐标. (2)代入空间中两点间距离公式即可. 【解析】(1)因为D是原点，则D(0，0，0). 由AB=BC=2，D1D=3，得A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3). 因为N是AB的中点，所以N(2，1，0). 同理可得M(1，2，3). (2)由两点间距离公式，得 |MD|= = ， |MN|= = . 一、选择题(每小题4分，共8分) 1.(2014•榆林高一检测)下列各点到坐标原点距离最小的是( ) A.(1，-1，1) B.(3，0，4) C.(-2，3，5) D.(2，2，1) 【解析】选A.点(1，-1，1)，(3，0，4)，(-2，3，5)，(2，2，1)到原点(0，0，0)的距离分别为，5，，3，故A符合要求. 2.(2013•肇庆高二检测)在空间直角坐标系中，与点A(3，1，2)，B(4，-2，-2)，C(0，5，1)等距离的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个【解析】选D.由两点间距离公式可得|AB|= ，|BC|= ，|AC|= .易知A，B，C三点不共线，故可确定一个平面，在△ABC所在平面内可找到一点到A，B，C的距离相等.而过该点与平面ABC垂直的直线上的每一点到A，B，C的距离均相等. 二、填空题(每小题5分，共10分) 3.已知x，y，z满足方程C：(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2，则x2+y2+z2的最小值是________. 【解题指南】利用x2+y2+z2的几何意义求解. 【解析】x2+y2+z2可看成球面上的点到原点距离的平方，其最小值为( - )2=(4 )2=32. 答案：32 【变式训练】已知球面(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=9与点A(-3，2，5)，则球面上的点与点A的距离的最大值和最小值各是________. 【解析】由题意知球心B的坐标是(1，-2，3)，球的半径是3，又|BA|= =6，所以所求最大值为9，最小值为3. 答案：9，3 4.(2014•上海高一检测)在空间直角坐标系O-xyz中满足z=1的所有点构成的图形是________. 【解析】因为z=1，所以满足条件的点到xOy面的距离为1，所以满足条件的点构成一个平面，即与xOy平面平行，与z轴交点为(0，0，1)的平面. 答案：与xOy平面平行且与z轴交点为(0，0，1)的平面【误区警示】解答本题时，会受平面直角坐标系中直线方程的影响，误认为是直线. 三、解答题(12分) 5.已知点A(1，1，0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】如图，若PA⊥AB成立，则AB⊥平面POA，所以AB⊥OA，设B(0，y，0)，则有OA= ，OB=y， AB= . 由OB2=OA2+AB2，得y2=2+1+ (y-1)2，解得y=2，所以存在这样的点B，当点B为(0，2，0)时，PA⊥AB成立. 【拓展延伸】垂直关系的转化空间中的垂直关系，往往需要转化解题，本题将PA⊥AB借助线面垂直转化为AB⊥OA，即转化到一个平面中解决，这是解题中常用的策略.实际上OA是AP在平面xOy上的射影，PA⊥AB⇔AB⊥OA，在立体几何中，分别称为射影定理、射影定理的逆定理.。

中点坐标公式与两点间的距离公式练习题

中点坐标公式与两点间的距离公式练习题（一）1．在数轴上的两点A ，B 分别表示实数m,n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中， ①A(3,4),D(3,-2)，则=AD ；②D （3，-2），B （-5，-2），则=BD 。

③此时=AB 。

3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A(x,0)和 B(2,3)的距离为23,求x 的值。

5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,21C ，试判断三角形的形状。

6：求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5，①试问满足条件的A 点有多少？②这样的A 点有何特点？他们的全体将构成什么图形？8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A -②()()71B 3,1A ---，，③()()12B 31A --，，，9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为：()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。

10.求中点坐标：①已知()()5,4B ,3,2A ，求AB 的中点坐标。

②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标。

11.试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。

12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(，)6-，试求B 点坐标。

13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ，)4，则平行四边形ABCD 中，试求D 点坐标。

14.ABC ∆中，三边AB ，BC ，CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC ∆三顶点的坐标。

高中数学第四章圆与方程 4.34.3.2 空间两点间的距离

4.3.2 空间两点间的距离公式A级基础巩固一、选择题1．在空间直角坐标系中，点P(3，1，5)关于平面yOz对称的点的坐标为( )A．(－3，1，5) B．(－3，－1，5)C．(3，－1，－5) D．(－3，1，－5)解析：由于点关于平面yOz对称，故其纵坐标、竖坐标不变，横坐标变为相反数，即对称点坐标是(－3，1，5)．答案：A2．点P(2，3，4)到y轴的距离是( )A.13 B．2 5C．5 D.29解析：点P在y轴的射影P′为(0，3，0)，所以|PP′|＝22＋42＝20＝2 5.答案：B3．若点P(－4，－2，3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.答案：D4．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为( )A．(0，2，0) B．(02，3)C．(1，0，3) D．(1，2，0)解析：点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)．答案：D5．点A(1，2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为( )A．2 5 B．4C ．2 2D ．27解析：点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1，2，1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2，1)，故|BC |＝（1－1）2＋（2＋2）2＋（1－1）2＝4.答案：B二、填空题6．如图所示的坐标系中，单位正方体顶点A 的坐标是_________．解析：点A 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影分别是B 1、D 1、C ，故A 点坐标为(1，－1，－1)．答案：(1，－1，－1)7．在空间直角坐标系中，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1，2)，其中心M 的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1，2)，中心M (0，1，2)所以C 1(－3，3，2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－（－3）]2＋（－1－3）2＋（2－2）2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393. 答案：23938．给定空间直角坐标系，在x 轴上找一点P ，使它与点P 0(4，1，2)的距离为30，则P 点坐标为______________________________．解析：设点P 的坐标为(x ，0，0)，由题意，得|P 0P |＝30，即（x －4）2＋12＋22＝30. 所以x ＝9或x ＝－1.所以P 点坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案：(9，0，0)或(－1，0，0)三、解答题9．已知A (3，2，1)，B (1，0，4)，求：(1)线段AB 中点的坐标和A 与B 的距离；(2)到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 满足的条件，并指出方程表示什么图形．解：(1)M (x ，y ，z )是AB 的中点，则x ＝3＋12＝2， y ＝2＋02＝1，z ＝1＋42＝52，所以M 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，1，52. 两点间的距离|AB |＝（1－3）2＋（0－2）2＋（4－1）2＝17.(2)由P (x ，y ，z )到A 、B 两点的距离相等．则（x －3）2＋（y －2）2＋（z －1）2＝（x －1）2＋（y －0）2＋（z －4）2，化简得4x ＋4y －6z ＋3＝0.即到A 、B 的距离相等的点的坐标(x ，y ，z )满足的条件是4x ＋4y －6z ＋3＝0.方程表示的图形是线段AB 的垂直平分面．10.如图所示，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.B 级能力提升1．在空间直角坐标系中的点P (a ，b ，c )，有下列叙述：①点P (a ，b ，c )关于横轴(x 轴)的对称点是P 1(a ，－b ，c )；②点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(a ，－b ，－c )；③点P (a ，b ，c )关于纵轴(y 轴)的对称点是P 3(a ，－b ，c )；④点P (a ，b ，c )关于坐标原点的对称点为P 4(－a ，－b ，－c )．其中正确叙述的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：对于①，点P (a ，b ，c )关于横轴的对称点为P 1(a ，－b ，－c )，故①错；对于②，点P (a ，b ，c )关于yOz 坐标平面的对称点为P 2(－a ，b ，c )，故②错；对于③，点P (a ，b ，c )关于纵轴的对称点是P 3(－a ，b ，－c )，故③错；④正确．答案：C2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0，1，1)，C (0，1，0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以 |EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：418 3．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝2，CB ＝CC 1＝4，E 、F 、M 、N 分别是A 1B 1、AB 、C 1B 1、CB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)在四边形ABB 1A 1内找一点P ，使△ABP 为正三角形．(2)能否在MN 上求得一点Q ，使△AQB 为以AB 为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)因为EF 是AB 的中垂线，在平面ABB 1A 1内只有EF 上的点与A ，B 两点的距离相等，A (2，0，0)，B (0，4，0)，设点P 坐标为(1，2，z )，由|PA |＝|AB |，得（1－2）2＋（2－0）2＋（z －0）2＝20，所以z 2＝15.因为z ∈[0，4]，所以z ＝15，故平面ABB 1A 1内的点P (1，2，15)使得△ABP 为正三角形．(2)设MN 上的点Q 坐标为(0，2，z )．因为△AQB 为直角三角形，所以|QF |＝12|AB |. 即（0－1）2＋（2－2）2＋（z －0）2＝1220，整理，得z 2＋1＝5，所以z 2＝4.因为z ∈[0，4]，所以z ＝2.故MN 上的点Q (0，2，2)使得△AQB 为直角三角形．。

数学必修二两点间的距离公式试题

数学必修二两点间的距离公式试题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知直线x=t分别与函数f(x)=log2(x+1)和g(x)=2log2(x+2)的图象交于P，Q两点，则P，Q两点间的最小距离为（）A.4B.1C.√2D.22. 已知点A(1,0,−2)，B(4,2,3)，则|AB|等于（）A.38B.√38C.√14D.143. 已知圆C的半径为3，且经过点P(5,12)，若点C的坐标为(a,b)，则√a2+b2的最小值为()A.5B.7C.9D.104. 以A(1, 5)、B(5, 1)、C(−9, −9)为顶点的三角形是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形5. 已知A(1, 4)，B(8, 3)，点P在x轴上，则使|AP|+|BP|取得最小值的点P的坐标是（）A.(4, 0)B.(5, 0)C.(−5, 0)D.(−4, 0)6. 点P在圆O:x2+y2=4上运动，点Q在圆C:(x+5)2+y2=1上运动，则|PQ|的最小值为（）A.1B.2C.√2D.√37. 已知实数a，b，c，d满足a−2e ab =2−cd=1，其中e是自然对数的底数，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为（）A.4B.8C.12D.188. 已知：如图：平面上两点P(0, 1)、Q(3, 6)，在直线y=x上取两点M、N，使|MN|=√2a（a>0，a为常数）且使|PM|+|MN|+|NQ|的值取最小，则N的坐标为A.(√2a, √2a)B.(a, a)C.(1+34a, 1+34a)D.(32+34a, 32+34a)9. 已知平面上有三点A(1, 1)，B(−2, 4)，C(−1, 2)，P 在直线AB 上，使|AP →|=13|AB →|，连接PC ，Q 是PC 的中点，则点Q 的坐标是（）A.(−12, 2)B.(12, 1)C.(−12, 2)或(12, 1)D.(−12, 2)或(−1, 2)10. 在极坐标系中，点A (1,π5)，B (2,6π5)，则|AB|等于（） A.1B.2C.3D.411. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =3，AC =BD =√11，AD =BC =2√3，△ABC 的重心为O ，则DO =( )A.2B.43C.83D.312. 若点P(m, 0)到点A(−3, 2)及B(2, 8)的距离之和最小，则m 的值为（）A.−2B.1C.2D.−113. 已知平面上两点A(−3, 2)、B(1, −1)，则|AB|=________．14. 已知：A(1, 2, 1)，B(−1, 3, 4)，C(1, 1, 1)，AP →=2PB →，则|PC|长为________．15. 已知点A(2, 1)，B(5, −1)，则|AB|=________．16. 在△ABC中，已知A(4, 1)，B(7, 5)，C(−4, 7)，则BC边的中线AD长为________．17. 已知点A(1, 1)和点B(3, 2)，在直线y＝−x上有一个点P，满足PA+PB最小，则PA+PB的最小值是________18. 已知圆C:x2+y2−4y=0，过点(3, 2)作圆的切线，则切线长等于________．19. 等腰△ABC的顶点是A(3, 0)，底边长|BC|=4，BC边的中点D(5, 4)，则腰长为________．, −2)与到焦点的距离之和最小，则点M的20. 使得抛物线上y2=4x上一点M到点A(52坐标为________．21. 已知λ、μ∈R，α∈[0, 90∘]，且sin40∘(λtan10∘+μ)=−1，点P(λ, μ)与坐标原点O 间距的最小值是2sinα，则α=________．22. 已知两点A(1, −2)，B(−4, −2)，以下四条曲线：①4x+2y=3，②x2+y2=3，③x2+2y2=3，④x2−2y=3．其中存在点P，使|PA|=|PB|的曲线有________．（填写正确的命题的序号）23. 已知△ABO的三个顶点分别为A(−8, 0)，B(0, 15)，O(0, 0)，求其内心坐标．24. 已知点A(3,3),B(5,1),C(1,0).(1)求直线AB的一般式方程；(2)求△ABC的面积．25. 已知△ABC的三个顶点坐标为A(−3, 1)，B(3, −3)，C(1, 7)．(1)求BC的中线所在直线方程的一般式方程；(2)求△ABC的面积．26. 判断A(1, 3)、B(5, 7)、C(10, 12)三点是否共线？并说明理由．(1)过点A(1, 1)，B(−1, 3)且面积最小；(2)圆心在直线2x−y−7=0上且与y轴交于点A(0, −4)，B(0, −2)．28. 已知点M(−1, −3)，N(−1, 5)，求线段MN的长度，并写出线段MN的中点P的坐标．，点D在线段BC上．29. 已知△ABC中，AB=2，cos B=14（Ⅰ）若∠ADC=3π，求AD的长；4=2，求BC的长．（Ⅱ）若BD=CD，sin∠BADsin∠CAD30. 已知直线x+2y+1=0与圆x2+y2+2x+4y=0交于A，B两点，O为原点，则|AB|=________，|OA|+|OB|=________．31. 已知△ABC的三个顶点为A(2, −2)，B(0, −1)，C(−2, 5)，试求BC边上的中线AD的长度．32. 已知△ABC的顶点A(2,3),B(−1,0),C(2,0)，求△ABC的周长．33. 已知直线l:y＝2x+1，及两点A(−2, 3)、B(1, 6)，点P在直线l上．（1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P的坐标；（2）求|PA|+|PB|的最小值．34. 如图，已知抛物线E:y2=4x与圆M：(x−3)2+y2=r2(r>0)相交于A，B，C，D四个点.(2)设四边形ABCD的面积为S，当S最大时，求直线AD与直线BC的交点P的坐标.35. 如图，已知圆C的方程为：x2+y2−6x−8y+21=0，平面上有A(1, 0)和B(−1, 0)两点．（1）在圆上求一点Q，使△ABQ的面积最大，并求出最大面积；（2）在圆上求一点P，使|AP|2+|BP|2取得最小值．36. 一位健身爱好者在广场上散步，从广场上的A点出发，向东走了30m到达B点，然后又向南走了40m到达C点，最后又向西走了60m到达D点做深呼吸运动，取在出发点A正东10m处的一点为坐标原点，在平面直角坐标系中表示出该人的运动过程并求出全程的位移和路程．37. 已知抛物线y2=2x，设点A(a, 0)(a>0)，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应距离|PA|．38. 已知AD是Rt△ABC斜边BC的中线，用解析法证明|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)．39. 点M(x, y)为抛物线y2=4x上的动点，A(a, 0)为定点，求|MA|的最小值．40. 如果等腰直角△ABC中，∠C=90∘，A点坐标(2, 1)，B点坐标(−1, −1)，求C点坐标．参考答案与试题解析数学必修二两点间的距离公式试题一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】A【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】2.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】本题考查空间两点间的距离公式，根据空间两点的距离公式计算即可．【解答】解：∵A(1,0,−2)，B(4,2,3)，∴|AB|=√(1−4)2+(0−2)2+(−2−3)2=√38．故选B．3.【答案】D【考点】两点间的距离公式【解析】无【解答】解：由题意得√(a−5)2+(b−12)2=3，即(a−5)2+(b−12)2=9，所以点C(a,b)在以P(5,12)为圆心，3为半径的圆上．因为√a2+b2表示点(a,b)到原点的距离，所以√a2+b2的最小值为|PO|−3=10．故选D．4.【答案】B【考点】两点间的距离公式根据两点间的距离公式，算出|BC|=|AC|≠|AB|，由此可得△ABC 是以BC 、AC 为两腰的等腰三角形．【解答】解：∵ A(1, 5)、B(5, 1)、C(−9, −9)，∴ |AB|=√(1−5)2+(5−1)2=4√2，|AC|=√(1+9)2+(5+9)2=2√74,且|BC|=√(5+9)2+(1+9)2=2√74,∴ |BC|=|AC|≠|AB|.可得△ABC 是以BC ，AC 为两腰的等腰三角形.故选B .5.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】求出点A 关于x 轴的对称点A′，连接A′B ，交x 轴于点P ，利用向量共线求出点P 的坐标即可．【解答】由题意，点A(1, 4)关于x 轴的对称点为A′(1, −4)，连接A′B ，交x 轴于点P ，此时|AP|+|BP|取得最小值，如图所示；设点P(x, 0)，则A ′P→=(x −1, 4)，PB →=(8−x, 3)， A ′P →与PB →共线，则3(x −1)−4(8−x)＝0，解得x ＝5，所以点P 的坐标是(5, 0)．6.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】两点间的距离公式【解析】由已知得点(a, b)在曲线y =x −2e x 上，点(c, d)在曲线y =2−x 上，(a −c)2+(b −d)2的几何意义就是曲线y =x −2e x 到曲线y =2−x 上点的距离最小值的平方．由此能求出(a −c)2+(b −d)2的最小值．解：∵ 实数a ，b ，c ，d 满足a−2e a b =2−c d =1，∴ b =a −2e a ，d =2−c ，∴ 点(a, b)在曲线y =x −2e x 上，点(c, d)在曲线y =2−x 上，(a −c)2+(b −d)2的几何意义就是曲线y =x −2e x 到曲线y =2−x 上点的距离最小值的平方．考查曲线y =x −2e x 上和直线y =2−x 平行的切线，∵ y′=1−2e x ，求出y =x −2e x 上和直线y =2−x 平行的切线方程，∴ 令y′=1−2e x =−1，解得x =0，∴ 切点为(0, −2)，该切点到直线y =2−x 的距离d =√1+1=2√2就是所要求的两曲线间的最小距离，故(a −c)2+(b −d)2的最小值为d 2=8．故选：B ．8.【答案】D【考点】两点间的距离公式【解析】P(0, 1)关于y =x 对称点(1, 0)，沿y =x 向右上平移|MN|个单位到点G(1+a, a)，连GQ 交直线y =x 即为N 点坐标．【解答】解：P(0, 1)关于y =x 对称点(1, 0)，沿y =x 向右上平移|MN|个单位到点G(1+a, a)，连GQ 交直线y =x 即为N 点坐标；直线GQ 的方程为y −6=a−61+a−3(x −3)，化为y −6=a−6a−2(x −3)，与y =x 联立解得{x =34a +32y =34a +32，故选：D ．9.【答案】C【考点】两点间的距离公式【解析】由A 和B 的坐标表示出直线AB 的方程，根据P 在直线AB 上，设出P 的坐标为(e, −e +2)，进而表示出AP →和AB →，根据已知的|AP →|=13|AB →|，列出关于e 的方程，求出方程的解得到e 的值，确定出P 的坐标，然后由C 和P 的坐标，根据中点坐标公式即可求出Q 的坐标．【解答】解：由A(1, 1)，B(−2, 4)，得到直线AB 的方程为：y −1=1−41−(−2)(x −1)，即y =−x +2，所以AP →=(e −1, −e +1)，AB →=(−3, 3)，又|AP →|=13|AB →|，所以√(e −1)2+(−e +1)2=13√(−3)2+32，即2e(e −2)=0，解得：e =0或e =2，则P 的坐标为(0, 2)或(2, 0)，又C(−1, 2)，所以Q 坐标为(−12, 2)或(12, 1)．故选C10.【答案】C【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】略11.【答案】C【考点】两点间的距离公式【解析】【解答】解：如图，将四面体ABCD 还原到长方体AEBH −GCFD 中，易知四面体ABCD 的棱是长方体AEBH −GCFD 的面对角线，则DE =√EA 2+EB 2+EC 2=√AB 2+AC 2+BC 22=√32+(√11)2+(2√3)22=4.连接EF 交BC 于M ，连接AM ，则AM 为BC 边的中线，△ABC 的重心O 为AM 靠近M 的三等分点，因为△ADP∼△MEP，且PDPE =APMP=ADEM=2，所以P为AM靠近M的三等分点，即重心O与P点重合，故OD=PD=23ED=83.故选C．12.【答案】A【考点】两点间的距离公式【解析】根据题意可推断出P点一定在A点和B点的连线上根据P的纵坐标可知P点在AB的延长线上，进而利用点A关于x轴的对称点A′，确定A′B的直线方程与x轴的交点为p，把y=0代入即可求解m值．【解答】解：根据三角形两边和大于第三边，则P点一定在A点和B点的连线上，根据P的纵坐标可知P点在AB的延长线上A关于x轴的对称点A′(−3, −2)，又已知B(2, 8)P点在A′B的直线上，直线方程为：2x−y+4=0将y=0代入得x=−2，即m=−2故选A二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）13.【答案】5【考点】两点间的距离公式【解析】直接利用两点间结论公式求解即可．【解答】解：平面上两点A(−3, 2)、B(1, −1)，则|AB|=√(−3−1)2+(2+1)2=5．故答案为：5．14.【答案】√77【考点】设P(x, y, z)，由A(1, 2, 1)，B(−1, 3, 4,)可得AP →=(x −1,y −2,z −1)，PB →=(−1−x,3−y,4−z)，由AP →=2PB →可求P ，由两点间的距离公式可求PC 【解答】解：设P(x, y, z)∵ A(1, 2, 1)，B(−1, 3, 4,)∴ AP →=(x −1,y −2,z −1)，PB →=(−1−x,3−y,4−z) ∵ AP →=2PB →∴ P(−13,83,3)则|PC|=√(1+13)2+(1−83)2+(1−3)2=√773故答案为：√77315. 【答案】√13【考点】两点间的距离公式【解析】直接利用两点间的距离公式求解即可．【解答】解：点A(2, 1)，B(5, −1)，则|AB|=√(2−5)2+(1+1)2=√13．故答案为：√13． 16. 【答案】5√52【考点】两点间的距离公式【解析】先求中点D 的坐标，然后利用两点间距离公式可求．【解答】解：中点D(32, 6)，由两点间距离公式可得AD =√(32−4)2+(6−1)2=5√52，故答案为：5√52． 17. 【答案】 5【考点】两点间的距离公式【解析】先求点A(1, 1)关于直线y＝−x的对称点A′(−1, −1)，连接A′B，则PA+PB的最小值为A′B．【解答】如下图所示：关于直线y＝−x作点A(1, 1)的对称点A′(−1, −1)，连接A′B，由PA+PB＝PA′+PB当点P为A′B与直线y＝−x的交点时PA+PB的值最小，所以PA+PB的最小值为A′B=√(3+1)2+(2+1)2=5，18.【答案】√5【考点】两点间的距离公式【解析】求出圆的圆心与半径，利用圆心到(3, 2)的距离与半径、切线长满足勾股定理，求出切线长即可．【解答】解：圆C:x2+y2−4y=0，它的圆心坐标(0, 2)，半径为2，圆心到(3, 2)的距离为：√(3−0)2+(2−2)2=3，所以切线长为：√32−22=√5．故答案为：√5．19.【答案】2√6【考点】两点间的距离公式【解析】计算|BD|，|AD|，利用勾股定理，可求|AB|的值．【解答】|BC|=2，解：如图所示，|BD|=12|AD|=√(5−3)2+(4−0)2=2√5，在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|=√22+(2√5)2=2√6．故答案为：2√620.【答案】(1, −2)【考点】两点间的距离公式【解析】过点A作AE⊥l，垂足为E．则|ME|=|MF|．因此当三点A，M，E共线时，|AM|+ |ME|=|BE|取得最小值，由此能求出结果．【解答】解：由抛物线y2=4x，得焦点F(1, 0)，准线l的方程：x=−1．如图所示，过点A作AE⊥l，垂足为E．则|ME|=|MF|．因此当三点A，M，E共线时，|AM|+|ME|=|BE|取得最小值52−(−1)=72．此时y M=−2，代入抛物线方程可得(−2)2=4x M，解得x M=1．∴点M(1, −2)．故答案为：(1, −2)．21.【答案】90∘【考点】两点间的距离公式【解析】由已知等式求出√λ2+μ2=2，即点P(λ, μ)与坐标原点O间的距离为2sinα=2，则α的值可求．【解答】解：由sin40∘(λtan10∘+μ)=−1，得sin40∘(λsin10∘cos10∘+μ)=−1，即sin40∘λsin10∘+μcos10∘cos10∘=−1，∴√λ2+μ2sin40∘sin(10∘+θ)cos10∘=−1，由上可得：√λ2+μ2=2．即2sinα=2，sinα=1．又α∈[0, 90∘]，∴α=90∘．故答案为：90∘．22.【答案】①②③④【考点】两点间的距离公式【解析】①假设存在点P(x, 3−4x2)，使|PA|=|PB|，则√(x−1)2+(3−4x2+2)2=√(x+4)2+(3−4x2+2)2，化简解出即可．同理即可判断出②③④是否满足条件．【解答】解：①假设存在点P(x, 3−4x2)，使|PA|=|PB|，则√(x−1)2+(3−4x2+2)2=√(x+4)2+(3−4x2+2)2，化为2x=−3，解得x=−32，y=92，因此存在点P(−32，92)．同理可得：②存在点P(−32，±√32)，满足条件；③存在点P(−32，±√64)，满足条件；④存在点P(−32，−38)，满足条件．故答案为：①②③④．三、解答题（本题共计 18 小题，每题 10 分，共计180分）23.【答案】根据题意，设△ABO的内心为G，其坐标为(m, n)，其内切圆半径为r，则G到三角形三边的距离都是r，如图：又由A(−8, 0)，B(0, 15)，O(0, 0)，则G在直线y＝−x上，则有m＝−n，又由S△ABO=12×|AO|×|BO|=12(|AO|+|BO|+|AB|)×r，变形可得8×15＝(8+15+17)×r，解可得r＝3；则m＝−3，n＝3，即G的坐标为(−3, 3)；故△ABO的内心坐标(−3, 3)．【考点】两点间的距离公式直线与圆的位置关系【解析】根据题意，设△ABO的内心为G，其坐标为(m, n)，由内切圆的性质以及三角形三个顶点的坐标可得G在直线y＝−x上，则有m＝−n，又由S△ABO=12×|AO|×|BO|=12(|AO|+|BO|+|AB|)×r，解可得r的值，分析可得答案．【解答】根据题意，设△ABO的内心为G，其坐标为(m, n)，其内切圆半径为r，则G到三角形三边的距离都是r，如图：又由A(−8, 0)，B(0, 15)，O(0, 0)，则G在直线y＝−x上，则有m＝−n，又由S△ABO=12×|AO|×|BO|=12(|AO|+|BO|+|AB|)×r，变形可得8×15＝(8+15+17)×r，解可得r＝3；则m＝−3，n＝3，即G的坐标为(−3, 3)；故△ABO的内心坐标(−3, 3)．24.【答案】解：(1)∵A(3,3)，B(5,1)，∴直线AB的方程为y−31−3=x−35−3⇒x+y−6=0．(2)|AB|=√(3−5)2+(3−1)2=2√2；点C(1,0)到直线AB的距离d=√12+12=52√2，∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=5．【考点】直线的两点式方程两点间的距离公式点到直线的距离公式【解析】无无【解答】解：(1)∵A(3,3)，B(5,1)，∴直线AB的方程为y−31−3=x−35−3⇒x+y−6=0．(2)|AB|=√(3−5)2+(3−1)2=2√2；点C(1,0)到直线AB的距离d=√12+12=52√2，∴△ABC的面积S=12|AB|⋅d=5．25.【答案】解：(1)B(3, −3)，C(1, 7)，可得BC边上的中点：D(2, 2)．可得中线所在直线的一般式方程：y−2=2−12−(−3)(x−2)，即为：x−5y+8=0．(2)k AC=7−11−(−3)=32，k AB=−3−13−(−3)=−23，k AC⋅k AB=−1，∴AC⊥AB.|AC|=√(1+3)2+(7−1)2=2√13，|AB|=√(3+3)2+(−3−1)2=2√13，∴△ABC的面积S=12×2√13×2√13=26．【考点】两点间的距离公式直线的一般式方程【解析】（1）B(4, 1)，C(3, 6)．可得：BC边上的中点：D(72, 72)．可得中线所在直线的点斜式：y−2=72−272−1(x−1)．化为一般式．(2)|AB|=√10，利用点斜式可得直线AB的方程：x+3y−7＝0．利用定点直线的距离公式可得点C到直线AB的距离d．即可得出△ABC的面积S．【解答】解：(1)B(3, −3)，C(1, 7)，可得BC边上的中点：D(2, 2)．可得中线所在直线的一般式方程：y−2=2−12−(−3)(x−2)，即为：x−5y+8=0．(2)k AC=7−11−(−3)=32，k AB=−3−13−(−3)=−23，k AC⋅k AB=−1，∴AC⊥AB.|AC|=√(1+3)2+(7−1)2=2√13，|AB|=√(3+3)2+(−3−1)2=2√13，∴△ABC的面积S=12×2√13×2√13=26．26.【答案】解：A ，B ，C 三点共线．下面说明原因：∵ |AB|=√(5−1)2+(7−3)2=4√2， |BC|=√(10−5)2+(12−7)2=5√2； |AC|=√(10−1)2+(12−3)2=9√2； ∴ |AC|=|AB|+|BC|， ∴ 三点共线．【考点】两点间的距离公式三点共线【解析】根据所给的三个点的坐标，写出三个点两两之间距离的表示式，得到三个距离，由于两个距离的和等于第三个的距离，得到这三个点一定共线．【解答】解：A ，B ，C 三点共线．下面说明原因：∵ |AB|=√(5−1)2+(7−3)2=4√2， |BC|=√(10−5)2+(12−7)2=5√2； |AC|=√(10−1)2+(12−3)2=9√2； ∴ |AC|=|AB|+|BC|， ∴ 三点共线． 27.【答案】解：(1)过A ，B 两点且面积最小的圆就是以线段AB 为直径的圆， ∴ 圆心坐标为(0, 2)，半径r =12|AB|=12√(−1−1)2+(1−3)2=12×√8=√2， ∴ 所求圆的方程为x 2+(y −2)2=2．(2)由圆与y 轴交于点A(0, −4)，B(0, −2)可知，圆心在直线y =−3上，由{2x −y −7=0，y =−3，解得{x =2，y =−3，∴ 圆心坐标为(2, −3)，半径r =√5，∴ 所求圆的方程为(x −2)2+(y +3)2=5．【考点】圆的标准方程两点间的距离公式直线与圆相交的性质【解析】（1）过A 、B 两点面积最小的圆即为以线段AB 为直径的圆，由A 与B 的坐标，利用两点间的距离公式求出|B|的长，确定出圆的半径，即可求出面积最小圆的面积；（2）由圆与y 轴交于A 与B 两点，得到圆心在直线y =−3上，与已知直线联立求出圆心坐标，及圆的半径，写出圆的标准方程即可．【解答】解：(1)过A ，B 两点且面积最小的圆就是以线段AB 为直径的圆， ∴ 圆心坐标为(0, 2)，半径r =12|AB|=12√(−1−1)2+(1−3)2=12×√8=√2， ∴ 所求圆的方程为x 2+(y −2)2=2．(2)由圆与y 轴交于点A(0, −4)，B(0, −2)可知，圆心在直线y =−3上，由{2x −y −7=0，y =−3，解得{x =2，y =−3，∴ 圆心坐标为(2, −3)，半径r =√5，∴ 所求圆的方程为(x −2)2+(y +3)2=5． 28.【答案】解：点M(−1, −3)，N(−1, 5)，线段MN =√(−1+1)2+(−3−5)2=8，线段MN 的中点P 的坐标：(−1, 1)．【考点】两点间的距离公式中点坐标公式【解析】直接利用两点间距离公式，中点坐标公式求解即可【解答】解：点M(−1, −3)，N(−1, 5)，线段MN =√(−1+1)2+(−3−5)2=8，线段MN 的中点P 的坐标：(−1, 1)． 29.【答案】【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答 30. 【答案】6√55，2√2 . 【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解∶直线x +2y +1=0，圆x 2+y 2+2x +4y =0交于A ，B ，则{x +2y +1=0，x 2+y 2+2x +4y =0，5y 2+4y −1=0，∴ (5y −1)(y +1)=0，得A (−75,15)，B (1,−1)，∴ |AB|=√(−75−1)2+(−1−15)2=6√55， ∴ |OA|+|OB|=√(−75)2+(15)2+√12+(−1)2=2√2 .故答案为：6√55；2√2. 31.【答案】解：△ABC 的三个顶点为A(2, −2)，B(0, −1)，C(−2, 5)， BC 边上的中点D(−1, 2)．AD =√(2+1)2+(−2−2)2=5．【考点】两点间的距离公式【解析】求出BC 的中点坐标，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：△ABC 的三个顶点为A(2, −2)，B(0, −1)，C(−2, 5)， BC 边上的中点D(−1, 2)．AD =√(2+1)2+(−2−2)2=5． 32. 【答案】解：|AB|=√(2+1)2+32=3√2， |BC|=√(2+1)2+0=3, |AC|=√(2−2)2+32=3，则△ABC 的周长为6+3√2. 【考点】两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：|AB|=√(2+1)2+32=3√2，|BC|=√(2+1)2+0=3, |AC|=√(2−2)2+32=3，则△ABC 的周长为6+3√2. 33.【答案】线段AB 的中点为(−12,92)，k AB =3−6−2−1=1．∴ 线段AB 的垂直平分线方程为：y −92=−(x +12)，化为：x +y −4＝0．联立{x +y −4=0y =2x +1 ，解得x ＝1，y ＝3．∴ P(1, 3)．设点A(−2, 3)关于直线l 的对称点为A′(a, b)，则{3−b−2−a×2=−13+b2=2×−2+a 2+1，解得a =145，b =35．则|PA|+|PB|≥|A′B|=√(145−1)2+(35−6)2=9√105．【考点】两点间的距离公式【解析】（1）线段AB 的中点为(−12,92)，k AB =3−6−2−1=1．可得线段AB 的垂直平分线方程，再与直线l 的方程联立即可得出．（2）设点A(−2, 3)关于直线l 的对称点为A′(a, b)，可得{3−b−2−a×2=−13+b2=2×−2+a 2+1，解得a ，b ．可得|PA|+|PB|≥|A′B|．【解答】线段AB 的中点为(−12,92)，k AB =3−6−2−1=1．∴ 线段AB 的垂直平分线方程为：y −92=−(x +12)，化为：x +y −4＝0．联立{x +y −4=0y =2x +1 ，解得x ＝1，y ＝3．∴ P(1, 3)．设点A(−2, 3)关于直线l 的对称点为A′(a, b)，则{3−b−2−a×2=−13+b2=2×−2+a 2+1，解得a =145，b =35．则|PA|+|PB|≥|A′B|=√(145−1)2+(35−6)2=9√105．34. 【答案】解：(1)联立抛物线与圆的方程{y 2=4x ，(x −3)2+y 2=r 2，消去y ，得x 2−2x +9−r 2=0.由题意可知 x 2−2x +9−r 2=0在 (0,+∞)上有两个不等的实数根，所以{Δ=4−4(9−r 2)>0，9−r 2>0，解得2√2<r <3，即 r ∈(2√2，3).(2)根据(1)可设方程x 2−2x +9−r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2)，则A(x 1,2√x 1),B(x 1,−2√x 1),C(x 2,−2√x 2),D(x 2,2√x 2)，且x 1+x 2=2,x 1,x 2=9−r 2，所以S =12(|AB|+|CD|)⋅(x 2−x 1) =12(4√x 1+4√x 2)(x 2−x 1).=2√x 1+x 2+2√x 1x 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2+2√9−r 2⋅√4−4(9−r 2)令t =√9−r 2∈(0,1)，f(t)=S 2=4(2+2t)(4−4t 2)=−32(t 3+t 2−t −1)，f ′(t)=−32(3t 2+2t −1)=−32(t +1)(3t −1)，可得f(t)在(0,13)上单调递增，在(13，1)上单调递减，即t =13 时，四边形ABCD 的面积取得最大值.根据抛物线与圆的对称性，可设P 点坐标为 (m,0) ，由P ,A ,D 三点共线，可得 2√x 2−2√x 1x 2−x 1=2√x 1x 1−m ，整理得 m =−√x 1x 2=−t =−13，所以点P 的坐标为 (−13,0).【考点】抛物线的性质利用导数研究函数的最值圆与圆锥曲线的综合问题根与系数的关系两点间的距离公式三点共线【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)联立抛物线与圆的方程{y 2=4x ，(x −3)2+y 2=r 2，消去y ，得x 2−2x +9−r 2=0.由题意可知 x 2−2x +9−r 2=0在 (0,+∞)上有两个不等的实数根，所以{Δ=4−4(9−r 2)>0，9−r 2>0，解得2√2<r <3，即 r ∈(2√2，3).(2)根据(1)可设方程x 2−2x +9−r 2=0的两个根分别为x 1,x 2(0<x 1<x 2)，则A(x 1,2√x 1),B(x 1,−2√x 1),C(x 2,−2√x 2),D(x 2,2√x 2)，且x 1+x 2=2,x 1,x 2=9−r 2，所以S =12(|AB|+|CD|)⋅(x 2−x 1)=12(4√x 1+4√x 2)(x 2−x 1).=2√x 1+x 2+2√x 1x 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√2+2√9−r 2⋅√4−4(9−r 2)令t =√9−r 2∈(0,1)，f(t)=S 2=4(2+2t)(4−4t 2)=−32(t 3+t 2−t −1)，f ′(t)=−32(3t 2+2t −1)=−32(t +1)(3t −1)，可得f(t)在(0,13)上单调递增，在(13，1)上单调递减，即t =13 时，四边形ABCD 的面积取得最大值. 根据抛物线与圆的对称性，可设P 点坐标为 (m,0) ，由P ,A ,D 三点共线，可得 2√x 2−2√x 1x 2−x 1=2√x 1x 1−m ，整理得 m =−√x 1x 2=−t =−13，所以点P 的坐标为 (−13,0).35.【答案】解：（1）圆C 化为标准方程为：(x −3)2+(y −4)2=4，C 坐标是(3, 4)，|AB|=2 ∵ S △ABQ =12|AB|×|y Q |， ∴ Q 的纵坐标最大值时，面积最大∵ C 坐标是(3, 4)，∴ Q 纵坐标为：4+2=6即Q(3, 6)时，面积的最大值是6；（2）设P(x, y)，则|AP|2+|BP|2=(x +1)2+y 2+(x −1)2+y 2=2(x 2+y 2)+2=2|OP|2+2要使|AP|2+|BP|2取得最小值，只要使|OP|2最小即可∵ P 为圆上的点，∴ 点P 为OC 连线于圆C 的交点直线OC:y =43x ，与(x −3)2+(y −4)2=4联立，可得25x 2−150x +189=0∴ x =95或x =215>3（舍去）∴ y =125∴ P 的坐标为(95,125)．【考点】两点间的距离公式【解析】（1）由于|AB|为定值，故△ABQ 的面积最大，Q 的纵坐标最大值；（2）利用两点间的距离公式，表示出|AP|2+|BP|2，化简，求|AP|2+|BP|2取得最小值转化为使|OP|2最小即可．【解答】解：（1）圆C 化为标准方程为：(x −3)2+(y −4)2=4，C 坐标是(3, 4)，|AB|=2 ∵ S △ABQ =12|AB|×|y Q |， ∴ Q 的纵坐标最大值时，面积最大∵ C 坐标是(3, 4)，∴ Q 纵坐标为：4+2=6即Q(3, 6)时，面积的最大值是6；（2）设P(x, y)，则|AP|2+|BP|2=(x +1)2+y 2+(x −1)2+y 2=2(x 2+y 2)+2=2|OP|2+2要使|AP|2+|BP|2取得最小值，只要使|OP|2最小即可∵ P 为圆上的点，∴ 点P 为OC 连线于圆C 的交点直线OC:y =43x ，与(x −3)2+(y −4)2=4联立，可得25x 2−150x +189=0 ∴ x =95或x =215>3（舍去） ∴ y =125∴ P 的坐标为(95,125)．36.【答案】全过程的路程是130m ，位移是50m ．【考点】两点间的距离公式【解析】位移的大小等于首末位置的距离，路程等于运动轨迹的长度．【解答】解：运动员从操场上A 点处出发，向东走了30m 到达B 点，然后又向南走了40m 到达C 点，最后又向西走了60m 到达D 点，路程是30+40+60=130m ．位移是√302+402=50m ．37.【答案】解：设抛物线上y2=2x上的点P(m, n)(m≥0)，则|PA|2=(m−a)2+n2=m2−2am+a2+2m=m2−2(a−1)m+a2=[m+(1−a)]2+2a−1，∴当0<a<1，即1−a<0时，由m≥0得：当m=0，|PA|2达到最小值a2，此时点P的坐标为(0, 0)，当a≥1，即1−a≥0时，当m=a−1，|PA|2达到最小值2a−1，此时点P的坐标为P(1−a, ±√2−2a)．【考点】两点间的距离公式【解析】设抛物线上y2=2x上的点P(m, n)，利用两点间的距离公式可求得|PA|2=(m−a)2+ n2=[m+(1−a)]2+2a−1，结合二次函数的图象和性质，分当0<a<1和a≥1两种情况可得满足条件的点P的坐标及相应距离|PA|．【解答】解：设抛物线上y2=2x上的点P(m, n)(m≥0)，则|PA|2=(m−a)2+n2=m2−2am+a2+2m=m2−2(a−1)m+a2=[m+(1−a)]2+2a−1，∴当0<a<1，即1−a<0时，由m≥0得：当m=0，|PA|2达到最小值a2，此时点P的坐标为(0, 0)，当a≥1，即1−a≥0时，当m=a−1，|PA|2达到最小值2a−1，此时点P的坐标为P(1−a, ±√2−2a)．38.【答案】解：以直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，设B(b, 0)，C(0, c)，则D(b2，c2)，A(0, 0)．…∵|AB|2+|AC|2=b2+c2，2(|AD|2+|DC|2)=2(b24+c24+b24+c24)=b2+c2∴|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)．…【考点】两点间的距离公式【解析】以直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标利用两点间的距离公式求得|AB|2+|AC|2和2(|AD|2+|DC|2)的值，从而证得结论．【解答】解：以直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立平面直角坐标系，设B(b, 0)，C(0, c)，则D(b 2，c 2)，A(0, 0)．… ∵ |AB|2+|AC|2=b 2+c 2，2(|AD|2+|DC|2)=2(b 24+c 24+b 24+c 24)=b 2+c 2∴ |AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2)．…39.【答案】解：∵ y 2=4x ，A(a, 0)，x ≥0， |MA|=√(x −a)2+y 2=√x 2−2ax +4x +a 2=√[x −(a −2)]2+4a −4，令f(x)=[x −(a −2)]2+4a ，x ∈[0, +∞)，若a −2≥0即a ≥2 x =a −2时f(x)min =4a −4，|MA|min =√4a −4，若a −2<0即a <2 x =0时f(x)min =a 2，|MA|min =|a|，故当a ≥2时|MA|min =√4a −4，当a <2时|MA|min =|a|．【考点】两点间的距离公式【解析】利用两点间的距离公式得出|MA|的表达式，运用函数的思想，分类讨论求最值【解答】解：∵ y 2=4x ，A(a, 0)，x ≥0，|MA|=√(x −a)2+y 2=√x 2−2ax +4x +a 2=√[x −(a −2)]2+4a −4，令f(x)=[x −(a −2)]2+4a ，x ∈[0, +∞)，若a −2≥0即a ≥2 x =a −2时f(x)min =4a −4，|MA|min =√4a −4，若a −2<0即a <2 x =0时f(x)min =a 2，|MA|min =|a|，故当a ≥2时|MA|min =√4a −4，当a <2时|MA|min =|a|．40.【答案】解：设C(x, y)，由题意知：(x −2)2+(y −1)2+(x +1)2+(y +1)2=9+4，整理，得：2x 2+2y 2−2x −6=0，①又∵ AC =BC ，∴ (x −2)2+(y −1)2=(x +1)2+(y +1)2，整理，得6x +4y −3=0，②联立①②，得：x =−12，y =32或x =32，y =−32．∴ C 点坐标为(−12,32)或(32,−32)．【考点】两点间的距离公式【解析】设C(x, y)，由题意知：(x −2)2+(y −1)2+(x +1)2+(y +1)2=9+4，且(x −2)2+(y −1)2=(x +1)2+(y +1)2，由此能求出C 点坐标．【解答】解：设C(x, y)，由题意知：(x −2)2+(y −1)2+(x +1)2+(y +1)2=9+4，整理，得：2x 2+2y 2−2x −6=0，① 又∵ AC =BC ，∴ (x −2)2+(y −1)2=(x +1)2+(y +1)2，整理，得6x +4y −3=0，②联立①②，得：x =−12，y =32或x =32，y =−32． ∴ C 点坐标为(−12,32)或(32,−32)．。

(北师大版)2018-2019年度高中数学必修2同步习题-两点间的距离公式

1.5平面直角坐标系中的距离公式第1课时两点间的距离公式1.若点A为(1,-3),点B为(5,-1),则原点到线段AB中点的距离是()A.1B.C.13D.2解析:因为线段AB中点为M(3,-2),所以|OM|=-.答案:B2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|=,则实数k等于()A.±3B.3C.-3D.0解析:|AB|=---,解得k=±3.答案:A3.已知点P的横坐标是7,点P到点Q(-1,5)的距离为10,则点P的纵坐标是()A.11B.-1C.11或-1D.41解析:设点P的纵坐标为y,则---=10,解得y=11或y=-1.答案:C4.过点A(4,a)和点B(5,b)的直线与y=2x平行,则|AB|的值为()A.5B.C.2D.解析:k AB=--=b-a,又因为过点A,B的直线与y=2x平行,所以b-a=2,所以|AB|=--.答案:B5.已知两点M(a,b),N(c,d),且=0,则()A.原点一定是线段MN的中点B.M,N一定都与原点重合C.原点一定在线段MN上但不一定是中点D.点M,N到原点的距离相等解析:将等式=0变形为,根据两点间的距离公式可知,点M(a,b)到原点的距离与点N(c,d)到原点的距离相等.答案:D6.过两直线x-y+1=0和x+y-=0的交点,并与原点的距离等于1的直线有()A.0条B.1条C.2条D.3条解析:两直线交点为A,得|AO|=1,则适合题意的直线只有1条.故选B.答案:B★7.已知A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上,则使|AP|-|BP|取最大值的点P的坐标是()A.(4,0)B.(13,0)C.(5,0)D.(1,0)解析:点A (1,3)关于x 轴的对称点为A'(1,-3),连接A'B 并延长交x 轴于点P ,即为所求.直线A'B 的方程是y+3=- - (x-1), 即y= x- .令y=0,得x=13.答案:B8.已知△ABC 的顶点坐标为A (3,2),B (1,0),C (2+ ,1- ),则AB 边上的中线CM 的长为 . 解析:由中点公式得AB 的中点的坐标为M (2,1).由两点间的距离公式,有|CM|= - - - .所以AB 边上的中线CM 的长为 .答案:9.已知点A (-3,5),B (2,15),点P 在直线l :3x-4y+4=0上,则|PA|+|PB|的最小值为 . 解析:设点A 关于l :3x-4y+4=0的对称点为C (a ,b ),则 - - - - 解得 -所以|PA|+|PB|的最小值为|CB|= - - - =5 . 答案:5★10.若点P (x ,y )在直线4x+3y=0上,且满足-14≤x-y ≤7 则点P 到坐标原点距离的取值范围是 . 解析:由4x+3y=0得y=- x ,则x-y= x.由-14≤x-y ≤7可知-6≤x ≤3所以x2∈[0,36],所以点P到坐标原点的距离为.因为x2∈[0,36],所以[0,10].答案:[0,10]★11.在平行四边形ABCD中,A(1,1),B(7,1),D(4,6),M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P,求线段AP的长.解AB的中点为M(4,1),因为四边形ABCD为平行四边形,所以AC的中点与BD的中点重合,设点C的坐标为(x,y),则解得点C(10,6).所以直线CM的方程为y-1=--(x-4),即5x-6y-14=0.又直线BD的方程为y-1=--(x-7),即5x+3y-38=0.由---得P.所以由两点间的距离公式得|AP|=--.。

高中数学必修二 3.3.2两点间的距离公式练习

3.3.2两点间的距离公式练习新人教A版必修2一、选择题1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )A．2 B．1 C． 5 D．5[答案] C[解析] N(－1,2)，|ON|＝－2＋22＝ 5.故选C．2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( )A．－3 B．5C．－3或5 D．－1或－3[答案] C[解析] 由两点间的距离公式知|AB|＝－1－2＋b－2＝b2－2b＋10，由5＝b2－2b＋10，解得b＝－3或b＝5.3．一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B的坐标为( )A．(－3,1)或(7,1) B．(2，－2)或(2,7)C．(－3,1)或(5,1) D．(2，－3)或(2,5)[答案] A[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( ) A．5 B．4 2C．2 5 D．210[答案] C[解析] 设A(x,0)、B(0，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|＝－2＋－2－2＝20＝2 5.5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上的中线长为( )A．26 B．65C．29 D．13[答案] A[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．∴|CD|＝－1－2＋－1－－2＝26；故选A ．6．已知三点A (3,2)，B (0,5)，C (4,6)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形[答案] C [解析] |AB |＝－2＋－2＝32，|BC |＝－2＋－2＝17， |AC |＝－2＋－2＝17，∴|AC |＝|BC |≠|AB |，且|AB |2≠|AC |2＋|BC |2.∴△ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．二、填空题7．已知点M (m ，－1)，N (5，m )，且|MN |＝25，则实数m ＝_________. [答案] 1或3 [解析] 由题意得m －2＋－1－m2＝25，解得m ＝1或m ＝3.8．已知A (1，－1)，B (a,3)，C (4,5)，且|AB |＝|BC |，则a ＝_________. [答案] 12[解析] a －2＋＋2＝－a2＋－2，解得a ＝12.三、解答题9．求证：等腰梯形的对角线相等． [证明] 已知：等腰梯形ABCD ．求证：AC ＝BD ．证明：以AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．设A (－a,0)、D (b ，c )，由等腰梯形的性质知B (a,0)，C (－b ，c )．则|AC |＝－b ＋a2＋c －2＝a －b2＋c 2，|BD |＝b －a2＋－c2＝a －b 2＋c 2，∴|AC |＝|BD |.即：等腰梯形的对角线相等．10．已知直线l 1：2x ＋y －6＝0和A (1，－1)，过点A 作直线l 2与已知直线交于点B 且|AB |＝5，求直线l 2的方程．[解析] 当直线l 2的斜率存在时，设其为k ，则⎭⎪⎬⎪⎫l 2：y ＋1＝k x －又由2x ＋y －6＝0⇒(k ＋2)x ＝k ＋7，而k ≠－2，故解得x ＝k ＋7k ＋2，所以B (k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2)，又由|AB |＝5，利用两点间距离公式得k ＋7k ＋2－2＋4k －2k ＋2＋2＝5⇒k ＝－34，此时l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0.而当l 2的斜率不存在时，l 2的方程为x ＝1.此时点B 坐标为(1,4)，则|AB |＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l 2的方程为3x ＋4y ＋1＝0或x ＝1.能力提升一、选择题1．已知点A (2,3)和B (－4,1)，则线段AB 的长及中点坐标分别是( ) A ．210，(1,2) B ．210，(－1，－2) C ．210，(－1,2) D ．210，(1，－2)[答案] C [解析] |AB |＝－4－2＋－2＝210，中点坐标为(2－42，3＋12)，即(－1,2)，故选C ．2．已知两点P (m,1)和Q (1,2m )之间的距离大于10，则实数m 的范围是( ) A ．－45＜m ＜2B ．m ＜－45或m ＞2C ．m ＜－2或m ＞45D ．－2＜m ＜45[答案] B[解析] 根据两点间的距离公式 |PQ |＝m －2＋－2m2＝5m 2－6m ＋2＞10⇒5m 2－6m －8＞0⇒m ＜－45或m ＞2.3．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A 、B ，则|AB |等于( )A ．895 B ．175C ．135D ．115[答案] C[解析] 易得A (0，－2)，B (－1，25)．∴|AB |＝－1－2＋25＋2＝135. 4．在直线2x －3y ＋5＝0上求点P ，使P 点到A (2,3)距离为13，则P 点坐标是( ) A ．(5,5)B ．(－1,1)C ．(5,5)或(－1,1)D ．(5,5)或(1，－1)[答案] C[解析] 设点P (x ，y )，则y ＝2x ＋53，由|PA |＝13得(x －2)2＋(2x ＋53－3)2＝13，即(x －2)2＝9，解得x ＝－1或x ＝5，当x ＝－1时，y ＝1，当x ＝5时，y ＝5，∴P (－1,1)或(5,5)．二、填空题5．已知点A (5,2a －1)，B (a ＋1，a －4)，若|AB |取得最小值，则实数a 的值是_________. [答案] 12[解析] 由题意得|AB |＝－a －2＋a －1－a ＋2＝2a 2－2a ＋25＝a －122＋492，所以当a ＝12时，|AB |取得最小值．6．已知点A (4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，则点P 的坐标为_________. [答案] (9,0)或(－1,0) [解析] 设P (a,0)，则a －2＋122＝13，解得a ＝9或a ＝－1，∴点P 的坐标为(9,0)或(－1,0)．三、解答题7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD 是长方形，则对平面内任一点M ，等式AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2成立．[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．证明：如图，取长方形ABCD 的两条边AB 、AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设长方形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)、B (a,0)、C (a ，b )、D (0，b )．在平面上任取一点M (m ，n )，则有AM 2＋CM 2＝m 2＋n 2＋(m －a )2＋(n －b )2，BM 2＋DM 2＝(m －a )2＋n 2＋m 2＋(n －b )2，∴AM 2＋CM 2＝BM 2＋DM 2.8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD ＝5 m ，宽AB ＝3 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，问是否在BC 上存在一点M ，使得两条小路AC 与DM 相互垂直？若存在，则求出小路DM 的长．[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．[解析] 以B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为AD ＝5 m ，AB ＝3 m ，所以C (5,0)，D (5,3)，A (0,3)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，所以k AC ·k DM ＝－1，即3－00－5·3－05－x＝－1. 所以x ＝3.2，即BM ＝3.2，即点M 的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC 与DM 相互垂直．故在BC 上存在一点M (3.2,0)满足题意．由两点间距离公式得DM ＝－2＋－2＝3534.。

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第13课两点间距离公式
一、新知探究：
试一试，求下列两点间的距离：
（1）)0,2(),0,2(B A - （2）)5,3(),5,3(B A -
（3）)7,0(),3,0(-B A （4）)7,5(),3,5(---B A
（5）)0,0(),8,6(B A （6）)3,4(),0,0(--B A
总结：
若平面上的有两点111222(,),(,)P x y P x y ，
1、如果1P 、2P 两点在x 轴上或在平行于x 轴的直线上，则两点距离12PP 是
2、如果1P 、2P 两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离12PP 是
3、点1P 到原点的距离是，点2P 到原点的距离是
探索二：已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP
例1 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B 。

（1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA
例2 已知△ABC 的三个顶点是13(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。

例3 已知△ABC 的顶点坐标为A （3，2），B （1，0），C （2+3，1－3），求AB 边上的中线CM 的长；
练习：
1.22(1)(2)a b ++-( )
()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离 ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离
()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离 ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离
2.已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标
（1）A （8，6），B （2，1）（2）A （-2，4）B （-2，-2）
（3）A （5，10），B （-3，0）（4）A （-3，-1），B （5，7）
3.已知点A （-1，-1），B （b ,5）,且AB =10，求b .
4.已知A 在y 轴上，B （4，-6），且两点间的距离AB =5，求点A 的坐标
5.已知A （a ,-5），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB=17，求a 。

6.已知A （2，1）,B （-1，2）,C （5,y ）,且为等腰三角形，求y 并求底上中线的长度
巩固提高：
1．若A(-1,3)、B （2，5）则AB =___________．AB 的中点M 的坐标为
2．已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，则a 的值为．
3.已知点)1,(-m M ，),5(m N ，且52=MN ，则m =___________.
4.已知)5,4(),3,(),1,1(C a B A -，且BC AB =，则a =_______________.
5.已知△ABC 的三个顶点是)3,0(),0,1(),01(C B A ，-，试判断△ABC 的形状。

6.已知△ABC 的三个顶点是)1,4(),3,2(),12(----C B A ，，试判断△ABC 的形状。

7.已知△ABC 的三个顶点是)2,3(),1,3(),11(C B A ---，，试判断△ABC 的形状。

8.已知△ABC 的三个顶点是)2,1(),1,4(),12(C B A ---，，试判断△ABC 的形状。

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