数值分析复习要点
数值分析 知识点总结
数值分析知识点总结一、数值分析的基本概念1. 数值分析的对象数值分析的对象是现实生活中的数字数据和信息。
这些数据和信息可以来自各个领域，包括自然科学、社会科学、技术工程等。
例如，物理实验中测得的实验数据、经济管理中的统计信息、天气观测中的气象数据等，都是数值分析的对象。
2. 数值分析的目的数值分析的主要目的是通过对数值数据和信息的定量分析，发现其中的规律，提取有用的信息，做出科学的预测和决策。
例如，通过对某种药物的临床试验数据进行数值分析，可以得出这种药物的疗效和毒性情况，为临床医生的治疗决策提供依据。
3. 数值分析的方法数值分析采用数学和计算机科学的方法对数值数据和信息进行处理和分析。
它涉及的具体方法包括数值计算、插值与逼近、数值微分和积分、常微分方程数值解、数值线性代数等。
二、数值分析的基本内容1. 数值计算数值计算是数值分析的基本方法之一，它包括离散化、数值稳定性、误差分析等内容。
离散化是将连续问题转化为离散问题，这是数值计算的基本工作方式。
数值稳定性研究的是数值方法对误差的敏感程度，是评价数值方法好坏的重要指标。
误差分析则研究数值计算中产生的误差的成因和大小。
2. 插值与逼近插值与逼近是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过已知的数值数据估计未知函数的值。
插值是通过已知的离散数据点构造一个连续函数，使得这个函数通过这些数据点；逼近则是通过已知的离散数据点构造一个近似函数，使得这个函数与原函数的差尽量小。
3. 数值微分和积分数值微分和积分是数值分析的又一重要内容，它研究如何通过已知的函数值计算函数的导数和定积分值。
数值微分是通过函数值计算函数的导数值；数值积分则是通过函数值计算函数的定积分值。
这两项工作在科学计算中有着广泛的应用。
4. 常微分方程数值解常微分方程数值解也是数值分析的重要内容之一，它研究如何通过数值方法计算常微分方程的近似解。
常微分方程是自然界和技术工程中经常出现的数学模型，因此其数值解的研究有着广泛的应用价值。
数值分析复习重点.doc
第一章、绪论1、了解数值分析的研究对象与特点。
2、了解误差的来源与分类，会求有效数字，会简单的误差估计。
3、了解误茅的定性分析及避免误茅危害。
第一早、插值重点题目：P19, 5, 7.1、 了解插值的概念。
2、 掌握拉格朗日(Lagrange)插值法及其余项公式。
3、 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿(Newton)插值法。
4、 了解茅分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。
5、 会埃尔米特(Hermite)插值及其余项公式。
6、 知道高次插值的病态性质，会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误并和收敛性。
7、 了解三次样条插值，知道其误差和收敛性。
重点题目：P5& 2, 6, 16.第三章、函数逼近与曲线拟合1、 了解函数逼近的基木概念，了解范数和内积空间。
2、 了解正交多项式的概念，了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质，知道其他常用止交多项式。
理解最佳一致逼近的概念和切比雪夫定理，掌握简单的最佳一致逼近多项式的求法。
理解最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法，了解用止交多项式做最佳平 方逼近的方法。
6、了解最佳平方逼近与快速傅里叶变换。
7、了解有理逼近。
重点题目:P115, 4, 13, 15, 17, 19.第四章、数值积分与数值微分1、 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的 收敛性和稳定性。
2、 掌握低阶牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式及其性质和余项。
3、 会复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。
4、 会龙贝格(Romberg)求积算法。
5、 了解高斯求积公式的理论,会高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。
6、 了解儿种常用的数值微分方法。
重点题目：P15& 1, 4, 6.第五章、解线性方程组的直接方法1、 了解求解方程组的两类方法，了解矩阵基础知识。
2、 掌握高斯消去法，了解矩阵的三角分解。
数值分析复习资料
数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
数值分析复习要点
3 v3 / v3 (
2 10
,
1 10
,
1 10
,
2 10
)T
u3 v3 6 1 2 2 10 3 6 1 2 2
得到R( A)的标准正交基为{ 1 , 2 , 3 }. 1 1 1 1 T 1 1 1 1 T 1 ( , , , ) , 2 ( , , , ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 ( 2,1, 1, 2)T 10
(1) A为对称阵, 用H阵可将A作相似变换为三对角阵
习题
1. 已知向量x (2,0,2,1) , 试构造Householde r阵H
T
使Hx ke3 , 其中e3 0,0,1,0 , k R .
T
2.已知向量x (1,2,1,2)T , 试构造Householde r阵H 使Hx (1, 2 ,0,0)T .
估计迭代次数
|| x ( k ) || B ||k x* || || x (1) x ( 0) || 103 k ? 1 || B ||
收敛速度 R ln( ( B))
SOR分量形式 : (以二阶方程组为例)
( k 1) (k ) ( ( x1 x1 (b1 a11 x1 k ) a12 x2k ) ) a11 x ( k 1) x ( k ) (b a x ( k 1) a x ( k ) ) 2 2 21 1 22 2 2 a22
i , j 1
n
1 2 2
|| A || p max
|| x|| 0
|| Ax || p || x || p
p 1,2, , || A || （行范数）
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析复习提纲(修改完)
第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。
近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。
【考点2】相对误差限的概念。
近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。
【考点3】有效数字定义。
设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。
例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。
因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。
若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。
例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。
41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。
例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。
410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。
【考点5】有效数字与相对误差的关系。
设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。
数值分析主要知识点
第三章
非线性方程的数值解法
二分法的思想以及其中对分次数的计算；
不动点迭代法、迭代格式的收敛性判定方法、
误差估计式；
Newton迭代法及其收敛性; 割线法迭代格式；
迭代加速方法。
第四章
线性方程组的直接解法
Gauss消去法与列主元素Gauss消去法； 三角分解（LU）法； 平方根方法（Cholesky分解）； 向量与矩阵范数； 条件数与病态方程组求解。
第五章
曲线拟合与最小二乘问题
拟合与插值的异同点、矛盾方程组的最小二乘解； 满秩分解、法方程组、可化为线性拟合的非线性拟合；
（极小）最小二乘解的存在唯一性、广义逆与极小
最小二乘解;
GS与MGS正交化与最小二乘解；
Householder正交化与最小二乘解。
第六章代法与Gauss-Seidel迭代法及其收敛性；
SOR迭代法及其收敛的必要条件、最佳松弛因子； 解非线性方程组的Newton迭代法与拟Newton思想。
第七章
最优化方法与共轭梯度法
与方程组等价的变分问题、线性寻查（线搜索）法；
最速下降法； 解线性方程组的共轭梯度法。
写、不得打印、不得复印，纸上签有姓名和学号；
可以携带计算器（考试期间不允许互借）。
《数值分析》复习主要知识点 第一章
绪论 基本概念：误差的分类（截断误差、舍入误差）、 绝对误差和相对误差、有效数字;
数值稳定性; 误差分析的原则：1）尽量避免相近的数相减，2）
尽量避免绝对值小的数做除数，3）防止大数吃小数， 4）先化简再计算，5）选用数值稳定的算法;
浮点数系统特征（四个整数表征）。
第八章
数值微分与数值积分
数值分析的所有知识点总结
数值分析的所有知识点总结一、数值分析的基本概念1.1 数值分析的定义和作用数值分析是研究利用计算机对数学问题进行数值计算的一门学科。
它旨在发展和分析数值计算方法，以解决实际问题中出现的数学模型。
数值分析的主要作用在于加快科学研究和工程设计的速度，提高计算精度和可靠性，以及发现新的科学规律和工程技术。
1.2 数值计算的基本步骤数值计算通常包括以下基本步骤：建立数学模型、选择适当的数值方法、编写计算程序、进行计算和分析结果。
其中，建立数学模型是数值计算的基础，它将实际问题抽象为数学公式或方程组的形式；选择适当的数值方法是指根据具体问题的特点，选择合适的数值计算方法进行求解；编写计算程序是指将选择的数值方法用计算机程序的形式实现；进行计算和分析结果是指利用计算机进行数值计算，并分析计算结果的准确性和可靠性。
1.3 数值分析的应用范围数值分析广泛应用于科学、工程、经济、金融等领域。
在科学研究中，数值分析常用于数学建模、实验数据处理、科学计算等方面；在工程领域，数值分析常用于工程设计、结构分析、流体力学、传热传质等方面；在经济金融领域，数值分析常用于风险评估、金融工程、市场预测等方面。
二、数值计算方法2.1 插值法插值法是利用已知的离散数据（如实验数据、观测数据）推导出未知的数据值的一种数值计算方法。
常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值等。
2.2 数值微分与数值积分数值微分是指利用离散数据计算函数的导数值的数值计算方法。
常用的数值微分方法包括差商法、中心差商法等。
数值积分是指利用离散数据计算函数的积分值的数值计算方法。
常用的数值积分方法包括复合梯形法、复合辛普森法等。
2.3 数值线性代数数值线性代数是研究线性代数问题的数值计算方法。
它涉及到线性方程组的求解、线性方程组的特征值和特征向量的计算、矩阵的LU分解、矩阵的QR分解等内容。
2.4 非线性方程求解非线性方程求解是研究非线性方程的数值计算方法。
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三. Householder变换,矩阵的相似变换
Householde r变换阵 H = I − 2 wwT , 其中 || w ||2 = 1
定理 : 设n维向量x , y , x ≠ y , 但 || x ||2 = || y ||2 , u = x − y, u 则存在Householder 变换阵 H = I − 2 ww , w = , || u ||2
已知向量 = = 3. x (1, 2, 2)T , y (0, 3, 4)T , 试构造一个 = Householder阵H 使 Hx ky，k ∈ R。给出k 值和 变换阵H .
返回
1 3 4 4.对矩阵A = 3 1 2 , 用Householder 阵 4 2 1 将A相似约化为三对角阵 , 即 HAH 为三对角阵 .
u1
1 2 2 1
2 3 ，试求A的正交分解. 1 6
T = = (1,1,1,1) , u2 (1, 2, 2,1)T , u3 (2, 3,1, 6)T
S = {u1 , u2 , u3 }是R( A)的一组基.
v = u = v1 (1,1,1,1) , ε= 1 1 1
T
1 1 1 1 T v2 = u2 − ( u2 , ε 1 )ε 1 = (1, 2, 2,1) − 3( , , , ) 2 2 2 2 1 1 1 1 T (− , , , − ) = 2 2 2 2
2 1 1 2 T v3 = v3 / v3 = ε3 = 10, (− , ,− , ) 10 10 10 10
u3 =v3 + 6ε 1 − 2ε 2 = 10ε 3 + 6ε 1 − 2ε 2
得到R( A)的标准正交基为{ε 1 , ε 2 , ε 3 }. 1 1 1 1 T 1 1 1 1 T ε1 = ( , , , ) ,ε2 = (− , , , − ) , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ε 3= ( −2,1, −1, 2)T 10
−1
|| δA || || δb || ) + || A |||| A || ( || δx || || A || || b || ≤ * −1 1− || A |||| δA || || x ||
何为事后误差估计.
|| e || || r || −1 答 :由计算解估计误差 ∗ ≤|| A |||| A || || x || || b ||
a b 1 p
p = 1,2, ∞,
p26− 27
数值算法的稳定性 例 利用递推公式 y0 = ln 6 − ln 5 ≈ 0.182 = y 0 1 − 5 yn −1 n= 1, 2， ... yn = n 计算yn，试分析算法的稳定性 习题：p15 − − − 10
数值计算中应注意的问题 (1) 防止相近的两数相减 (2) 防止大数吃小数 (3) 防止接近零的数做除数 (4) 注意计算步骤的简化,减小运算次数
T
使Hx = y .
应用 : (2) A为非对称阵, 用H阵可将A作相似变换为上 Hessenberg 阵.
= , HAH
T
v1= 2, u= v= 2ε 1 1 1
1 1 1 1 T v1 = ( , , , ) 2 2 2 2
u2 = v2 + 3ε 1 = ε 2 + 3ε 1
T
1 1 1 1 T v2 = 1, ε2 = v2 v2 = (− , , , − ) 2 2 2 2
v3 = u3 − ( u3 , ε 1 )ε 1 − ( u3 , ε 2 )ε 2 1 1 1 1 T 1 1 1 1 T (2, 3,1, 6) − 6( , , , ) − ( −2)( − , , , − ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( −2,1, −1, 2)T =
|| x ( k )
k || || B || x (1) − x ( 0 ) ||< 10 −3 → k > ? − x * ||≤ 1− || B ||
收敛速度 R = − ln( ρ ( B ))
SOR分量形式 : (以二阶方程组为例)
ω ( k +1) (k ) (k ) (k ) = + − − x x ( b a x a x 1 1 11 1 12 2 ) 1 a11 ω (k ) ( k + 1) (k ) x ( k +1) = + − − x ( b a x a x 2 2 2 21 1 22 2 ) a22
五. 解线性方程组的直接法
习题:P138—14,16. 系数矩阵A为哪些矩阵时,可用顺序Gauss消元 法求解Ax=b. 系数矩阵A为哪些矩阵时,可用列主元Gauss 消元法求解Ax=b. 何为病态矩阵,如何判别矩阵为病态矩阵. 举例说明数学稳定性与数值稳定性 的区别.
解的精度改进的常用方法.P102-105 何为先验误差估计.
谱半径
ρ ( A) =| λ ( A) |max
Σ r ≠ 0, i 1,..., = λi ( A A) = r, Σ 0
T
奇异值与奇异值矩阵 = σi 0 0
条件数 cond ( A) p =|| A−1 || p || A || p ,
p = F ,1,2, ∞
谱条件数
cond ( A) 2 =|| A−1 ||2 || A ||2 =
习题 : 3 2 1 1.已知矩阵A = 2 3 0 , 试计算 1 0 3 (1) A的谱半径ρ ( A), (2) A的谱条件数cond ( A) 2 , (3) A的奇异值 2.已知向量x = (1, 4, −3, 0)T , y = (3, 6,1, 2)T , 求x, y之间的距离ρ ( x, y ).
习题 : 1 2 1.设矩阵A = 2 1 , 用Schmidt正交化方法, −1 2 对A作正交分解A = QR.
2 −1 7 2.设矩阵A = 0 3 10 , 用Householde r变换法, 0 4 5 对A作正交分解A = QR.
迭代矩阵 A = D − L−U BJ = D −1 ( L + U ) BG = ( D − L ) −1 U Bω = ( D − ω L)−1 (ωU + (1 − ω ) D )
λmax ( AT A) σ 1 = λmin ( AT A) σ n
A对称时，cond ( A) 2 =|| A−1 ||2 || A ||2 | λ ( A) |max = | λ ( A) |min
距离概念
向量空间的距离 （x , y ) = ρ || x − y || p = (∑ | xi − yi | p )
(1) A为对称阵, 用H阵可将A作相似变换为三对角阵
即 : HAH
习题
1. 已知向量x = (2,0,2,1) , 试构造Householde r阵H
T
使Hx = ke3 , 其中e3 = (0,0,1,0 ) , k ∈ R .
T +
2.已知向量x = (1,2,1,−2)T , 试构造Householde r阵H 使Hx = (1,−σ 2 ,0,0)T .
i =1 n 1 p
p= 1, 2, ∞, p25
矩阵空间的距离 ρ ( A, B) =|| A − B || p
p = 1,2, ∞, F
连续函数空间的距离 ρ ( f ( x), g ( x)) =|| f ( x) − g ( x) || p = ( ∫ | f ( x) − g ( x) | p dx)
数值分析复习要点
一. 基本概念
二. Gauss变换与矩阵的三角分解 三. Householder变换与矩阵的相似变换 四. 矩阵的正交分解 五. 解线性方程组Ax=b的直接法 六. 解线性方程组Ax=b的迭代法 七. 列满秩最小二乘问题
八. 构造正交多项式 九. 连续函数的最佳平方逼近 十. 离散数据的最佳平方逼近 十一. 函数插值 十二. 数值积分 十三. 数值微分 十四. 非线性方程的数值解法 十五. 数值计算的基本思想 十六.读程序
3.已知一组线性无关的向量 u1 = ( −1,1,1)T , u2 = (1, 0, −1)T , u1 = (0,1,1)T , 由此向量组，按Schmidt正交化方法，求一组对应的 3 1 0 A − 共轭向量组,其中A= 1 3 1 0 1 3
1 1 例：已知矩阵A = 1 1 解 : A的列线性无关,
n
1 2 2
|| A || p = max
|| x|| ≠ 0
|| Ax || p || x || p
T
p = 1,2, ∞, || A ||∞ （行范数）
p103−106
|| A ||1 （列范数）
|| A ||2 = λmax ( A A) （谱范数）
矩阵范数
①矩阵A的1 − 范数(又称为A的列范数) A 1 = max ∑ aij
u= v= 2ε 1 1 1 u 2= v2 + 3ε 1 = ε 2 + 3ε 1
u 3 =v3 + 6ε 1 − 2ε 2 = 10ε 3 + 6ε 1 − 2ε 2
2 3 ε3 ) 0 1 0 0 6 −2 10
(u
1
u2
u3)
(ε 1 ε 2
A = QR 称为A的正交分解.
对∀x = (x1 ,..., x j ,..., xn ) ≠ 0,
xj ≠ 0
T
i = j + 1, j + 2,...n