高考数学解题方法与技巧-----外接球解题模型与思路

高考数学解题方法与技巧
-----外接球解题模型与思路
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
P
c
A
b
C
a
B
图1
P
c
C
b
A
a
B
图2
P
A
a
c C b B
图3
P O2
c
B
b
C
a
A
图4
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 (2R)2 = a2 + b2 + c2 ，即 2R = a2 + b2 + c2 ，求出 R
3
1
， 的外接球直径为 ， ， BC = 7 ∆ABC
2r = BC = 7 = 2 7 ∴ (2R)2 = (2r)2 + SA2 = ( 2 7 )2 + 4 = 40
sin ∠BAC 3 3
3
3
2
，选 S = 40π 3
D
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1．题设：如图 5， PA ⊥ 平面 ABC 解题步骤： 第一步：将∆ABC画在小圆面上， A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 P
∴ SA ⊥ 平面 SBC ，∴ SA ⊥ SC ，
A
C
D
H E
B
题 (3) -1
S
故三棱锥 S − ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，
M
∴ (2R)2 = (2 3)2 + (2 3)2 + (2 3)2 = 36 ，即 4R2 = 36 ，
A
∴ 正三棱锥 S − ABC 外接球的表面积是 36π
C B
； 2R = PA2 + (2r)2
A
② R2 = r 2 + OO12 ⇔ R = r2 + OO12 2．题设：如图 6，7，8，P 的射影是∆ABC的外心⇔ 三棱锥 P − ABC 的三条侧棱 相等⇔ 三棱锥 P − ABC 的底面∆ABC在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点
O
C
O1
（ 4 ） 平面 在 四 面 体 S − ABC 中 ， SA ⊥ ABC ，
C N
题 B (3) -2
∠BAC = 120° , SA = AC = 2, AB = 1, 则 该 四 面 体 的 外 接 球 的 表 面 积 为 （ D ） A.11π
B.7π
C.10 π 3
解析： D. 40 π
（4）在 ∆ABC 中， BC 2 = AC 2 + AB2 − 2 AB ⋅ BC ⋅ cos120o = 7 ，
D
B
图5
P
P
P
P
A B
O
C
O1 B
D
A
图6
O C
O1
图7-1
B
A
P
P
A
A
O2
B
C
D
O
C O2 O
O C
O1 B
图7-2
O
C
A
O1
B
图8
P
A O2 D
B O
图8-1
图8-2
图8-3
解题步骤：
第一步：确定球心O 的位置，取∆ABC 的外心O1，则 P,O,O1 三点共线；
第二步：先算出小圆O1的半径 AO1 = r ，再算出棱锥的高 PO1 = h （也是圆锥的高）；
例 1（3）在正三棱锥 S − ABC 中， M、N 分别是棱 SC、BC 的中点，且 AM ⊥ MN ,若侧棱 SA = 2 3 ,则正三
棱锥 S − ABC 外接球的表面积是
。 36π
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：
如图（3）-1，取 AB, BC 的中点 D, E ，连接 AE, CD ， AE, CD 交于 H ，连接 SH ，则 H 是底面正三角形 ABC
sin A sin B sin C
2．如图 9-2，平面 PAC ⊥平面 ABC ，且 AB ⊥ BC （即 AC 为小圆的直径）
OC 2 = O1C 2 + O1O2 ⇔ R2 = r 2 + O1O2 ⇔ AC = 2 R 2 − O1O 2
3．如图 9-3，平面 PAC ⊥平面 ABC ，且 AB ⊥ 棱锥 P − ABC 的三条侧棱相等 ⇔ 三棱 P − ABC 解题步骤：
2
第三步：勾股定理： ，解出 OA2 = O1A2 + O1O2 ⇒ R2 = (h − R)2 + r 2
R
方法二：小圆直径参与构造大圆。
例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C
A． 3π B． 2π
C． 16π 3
D．以上都不对
解：选 C， , , , ( 3 − R)2 +1 = R2 3 − 2 3R + R2 +1 = R2 4 − 2 3R = 0
R
4．如图 9-3，平面 PAC ⊥平面 ABC ，且 AB ⊥ BC （即 AC 为小圆的直径），且 PA ⊥ AC ，则
B的C底（面即∆AABCC为在小圆圆锥的的直底径上），，且顶点P
的P 射点影也是是圆∆A锥B的C顶的点外心
⇔
三
第一步：确定球心O 的位置，取∆ABC 的外心O1，则 P,O,O1 三点共线；
第二步：先算出小圆O1的半径 AO1 = r ，再算出棱锥的高 PO1 = h （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 OA2 = O1A2 + O1O2 ⇒ R2 = (h − R)2 + r 2
径 AD ，连接 PD ，则 PD 必过球心O； 第二步：O1为 ∆ABC 的外心，所以OO1 ⊥ 平面 ABC ，算出小圆O1的半
A
径O1D = r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
）， ； a = b = c = 2r
sin A sin B sin C
OO1
=
1 2
PA
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① (2R)2 = PA2 + (2r)2 ⇔ P
, R = 2 S = 4πR2 = 16 π
3
3
类型三、切瓜模型（两个平面A B
CA
O1
CA
O1
CA
O1
C
B
B
B
图9-1
图9-2
图9-3
图9-4
1．题设：如图 9-1，平面 PAC ⊥平面 ABC ，且 AB ⊥ BC （即 AC 为小圆的直径） 第一步：易知球心O必是∆PAC的外心，即∆PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC = 2r ； 第二步：在∆PAC 中，可根据正弦定理 a = b = c = 2R ，求出 R
的中心，∴ SH ⊥ 平面 ABC ，∴ SH ⊥ AB ，
S
Q AC = BC ， AD = BD ，∴ CD ⊥ AB ，∴ AB ⊥ 平面 SCD ，
∴ AB ⊥ SC ，同理： BC ⊥ SA ， AC ⊥ SB ，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2， Q AM ⊥ MN ， SB // MN ， ∴ AM ⊥ SB ，Q AC ⊥ SB ，∴ SB ⊥ 平面 SAC ， ∴ SB ⊥ SA ， SB ⊥ SC ，Q SB ⊥ SA ， BC ⊥ SA ，