Fourier变换练习题(全,有答案).docx

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积分变换习题解答1-2

1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰（换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则()()()()()j j e d e d t t F f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰（换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解：由Fourier 正弦变换公式，有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有()120022sin ()()sin 1s s s t f t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ 由此，当0t α=>时，可得()()2sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明：在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a ()()()Im sin cos d ri F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰()b 1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re cos d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰()()Im sin d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦反之，若已知()()F F ωω-=，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰ 亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之，若已知()()F F ωω-=-，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰，亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰ ()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰ 但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πt t t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222aa t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解：()()()()j 1δδδδe d 222ta a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t t f t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin5cos5322f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ55δ52f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F . 14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ，其中()t ϕ为一实数，则()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F ()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F 其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j e e d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e ee d cos e d cos 22t t t t F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解：02π,T ω=()1,00,ht t Tf t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011e d e d e d TTTn t n t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n nωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划） 1、2121z z z z +=+ （）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （）3、()()i i i 125432+=++ （）三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（）（A ）不存在的（B ）唯一的（C ）纯虚数（D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（）（A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（）。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为。

2、k 为任意整数，则34+k 的值为。

3、复数i i (1)-的指数形式为。

工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)

再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2．求下列函数的 Fourier 积分：
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1）函数 f ( t ) = ⎨ 解：解：1 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩

积分变换习题

p30 : 11 .解 : sin 3 t sin 2 t sin t (1 cos2 t ) sin t 1 sin t 1 (1 cos 2t ) sin t cos 2t sin t 2 2 2 3 1 sin t sin 3t 4 4
1 1 3 3 sin t sin t sin 3t sin t sin 3t 4 4 4 4
p30 : 8.解 : sgnt 2u(t ) 1 2u(t ) 2 ( )
2 2 2 ( ) 2 ( ) j j
1 1 ja 1 p30 : 9.解 : (t a) e (cosa j sin a) 2 2 2 1 1 ja 1 (t a) e (cosa j sin a) 2 2 2 1 1 a 1 2 j a 1 a a (t ) e (cos j sin ) 2 2 2 2 2 2 1 1 a 1 2 j a 1 a a (t ) e (cos j sin ) 2 2 2 2 2 2

(u cost v sin t ) j (v cost u sin t dt

F ( )
(u cost v sin t ) j (v cost u sin t dt
v 0 即f (t ) u为实值函数.
3

3 1 j ( 1) ( 1) j ( 3) ( 3) 4 4 j ( 3) ( 3) 3 ( 1) 3 ( 1) 4
p30 : 12.
解 : sin(5t ) sin 5t cos cos 5t sin 3 3 3 1 3 sin 5t cos 5t 2 2

变换试题及答案

变换试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪个选项是数学中的变换概念？A. 旋转B. 反射C. 缩放D. 所有选项答案：D2. 在二维坐标系中，将点(1,2)绕原点顺时针旋转90度后，新的坐标是？A. (-2,1)B. (2,-1)C. (1,-2)D. (-1,2)答案：A3. 将一个图形按比例因子2缩放，意味着什么？A. 所有长度翻倍B. 所有长度减半C. 所有角度翻倍D. 所有角度减半答案：A4. 在三维空间中，反射变换通常指的是？A. 旋转B. 缩放C. 翻转D. 移动答案：C5. 变换矩阵在变换中的作用是什么？A. 改变图形的颜色B. 改变图形的形状和位置C. 改变图形的大小D. 改变图形的纹理答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 将点(3,4)绕原点旋转180度后，新的坐标是______。

答案：(-3,-4)2. 将图形按比例因子1/2缩放，意味着所有长度变为原来的______。

答案：一半3. 在二维坐标系中，点(-1,3)关于x轴的反射点是______。

答案：(-1,-3)4. 在三维空间中，将点(2,3,4)绕z轴旋转90度后，新的坐标是______。

答案：(-4,3,-2)5. 变换矩阵[1 0; 0 -1]表示的变换是______。

答案：y轴反射三、简答题（每题5分，共20分）1. 描述一下平移变换是如何影响一个图形的。

答案：平移变换会将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，而不会改变图形的形状、大小和方向。

2. 什么是相似变换？请举例说明。

答案：相似变换是一种保持图形形状和方向不变的变换，但可以改变图形的大小。

例如，将一个正方形放大两倍，形状和方向不变，但大小改变。

3. 请解释一下仿射变换。

答案：仿射变换是一种线性变换，它保持了图形中的直线和平行性，但不一定保持角度。

它可以包括平移、缩放、旋转和剪切等变换。

4. 请描述一下投影变换及其应用。

答案：投影变换是一种将三维空间中的图形映射到二维平面上的变换。

《高等数学教学资料》fourier变换的性质复习

03
Fourier变换的应用
信号处理
80%
信号的频谱分析
通过Fourier变换，可以将信号分解成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。
100%
信号去噪
在信号处理中，Fourier变换可以帮助我们识别和去除噪声，提高信号的清晰度。
80%
信号压缩
通过识别信号中的冗余成分， Fourier变换可以实现信号压缩，减少存储和传输所需的资源。
卷积的逆Fourier变换
总结词
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频域中的乘积转换为时域表示的过程。
VS
详细描述
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频域中的乘积转换为时域表示的过程。这个过程可以通过将两个函数的Fourier变换相乘，然后进行逆Fourier变换来实现。在时域中，两个函数的乘积可以通过卷积来表示，因此卷积的逆Fourier变换可以用来计算两个函数的乘积在时域中的表示。
02
Fourier变换的卷积性质
卷积定理
总结词
卷积定理是Fourier变换中的一个重要性质，它表明两个函数的卷积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。
详细描述
卷积定理是Fourier分析中的一个基本定理，它表明两个函数的卷积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。这个定理在信号处理、图像处理、量子力学等领域有广泛的应用。
叠和计算量大。
习题答案与解析
01
进阶习题3解析
02
进阶习题4答案
03
进阶习题4解析
全面分析了Fourier变换在图像处理中的优缺点和应用时的注意事项。
Fourier变换在数值分析中主要用于求解微分方程、积分方程等数学问题，提高计算效率和精度。

傅里叶变换的练习题

傅里叶变换的练习题傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号转换为频域表示，从而更好地理解和处理信号。

为了加深对傅里叶变换的理解，以下将提供一些傅里叶变换的练习题，帮助读者巩固相关知识点。

练习一：离散信号的傅里叶变换考虑离散信号x(n) = [1, 2, 3, 4]，使用离散傅里叶变换（DFT）计算其频谱X(k)。

解答：首先，我们需要计算离散信号的长度N，即N = 4。

然后，根据傅里叶变换的定义，计算频谱X(k)的每个元素：X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * exp(-j2πkn/N)带入x(n)的值：X(0) = 1 * exp(-j2π*0*0/4) + 2 * exp(-j2π*0*1/4) + 3 * exp(-j2π*0*2/4) + 4 * exp(-j2π*0*3/4)= 1 + 2 + 3 + 4= 10X(1) = 1 * exp(-j2π*1*0/4) + 2 * exp(-j2π*1*1/4) + 3 * exp(-j2π*1*2/4) + 4 * exp(-j2π*1*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ/2) + 3 * exp(-jπ) + 4 * exp(-j3π/2)= 1 - 2j + 3 - 4j= 4 - 6jX(2) = 1 * exp(-j2π*2*0/4) + 2 * exp(-j2π*2*1/4) + 3 * exp(-j2π*2*2/4) + 4 * exp(-j2π*2*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ) + 3 + 4 * exp(-j2π)= 1 + 2 - 3 + 4= 4X(3) = 1 * exp(-j2π*3*0/4) + 2 * exp(-j2π*3*1/4) + 3 * exp(-j2π*3*2/4) + 4 * exp(-j2π*3*3/4)= 1 + 2 * exp(-j3π/2) + 3 * exp(-j3π) + 4 * exp(-j9π/4)= 1 + 2j + 3 - 4j= 4 - 2j因此，离散信号[1, 2, 3, 4]的频谱为X(k) = [10, 4-6j, 4, 4-2j]。

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积分变换练习题第一章 Fourier 变换________系 _______专业班级姓名 ______ ____学号 _______§ 1 Fourier 积分§ 2 Fourier 变换一、选择题1．设 f (t ) (t t 0 ) ，则 F [ f (t)][]（A ） 1（B ） 2（C ）ej t（ D ） e jt 0F [ f ( t)]( t t 0 )e i tdte i te i t 0t t 0二、填空题1．设 a0 ， f (t)e at, t 0，则函数 f (t) 的 Fourier 积分表达式为e at , t2a cos tdt0 a 22F ( )[ f (t )]f (t )e i t dt = e at e i t dte at e i t dtFR= lim e ( ai )tdtlime (ai ) tdtRRR( a i )tR( a i )t 0= lim e lim e1122a 2;R(a i ) 0 Ra i Ra ia iaF 1[F()]1 F ( )e itd= 1 a 22a 2 (cost i sin t)d22= 2acos t d 0 a 2 21 2．设 F [ f (t)]( ) ，则 f (t )2F1[()]1( )e i td = 1e i t12223．设 f (t) sin 2 t ，则 F [ f (t)]( )[ (2) (2)]F [ f (t )]f ( t)e i t dt= sin 2 te i t dt1 cos2t e i t dt2 1e i t dt 1(e 2ite 2 it )e i t dt( )[ ( 2) ( 2)]2424．设(t ) 为单位脉冲函数，则(t )cos 2 (t3 )dt 14(t)cos 2 (t)dt cos 2 ( ) 13 34三、解答题1．求下列定积分： (可用《高等数学》的方法做)(1)1(2)1e az sin bzdze az cosbzdz1 i sin bz)dze az(cosbz 0( e a (cosb i sin b) 1)(a a 2 b 211(a ib ) z1a ibee1e az e ibz dze ( a ib ) z dza iba ibib ) ae a cosb be a sin b 1 i ae a sin b be a cosb ba 2b 2 a 2 b 2在原积分中，由于被积函数解析，则I1 1 1e az(cosbz i sin bz)dze ax(cosbx i sin bx)dx e ax e ibxdx,从而1 e az1 e azsin bzdz Im I0cosbzdz Re I ;A,0 t 2．求矩形脉冲函数f (t )0, 其他的 Fourier 变换。

F [ f ( t)]f ( t)e i t dt= Ae i tA(1 e Ai )dti3．求下列函数的 Fourier 积分：t, | t | 1(1) f (t)，0, | t | 1解法一：1F ( )f (t) e i tdt = te i t dt11 it11 i1 i2isinei te ii(cos2122e)；f (t)1 F ( ) e it d1 2i(cossin)e itd221 2i(cossin )(cos ti sin t )d22 sin sin t2cossin t d解法二：由于 f(t) 为奇函数，故由课本P12 页的 (1.12) 式可知，221f (t)f ( )sindsin tdsind sin td0 0211d cos211 1sin tdcoscos dsin td0 021sin12 1sincossin tdtdcossin 02 sin2 cos sin td0,t1,1, 1 t0,(2) f (t)1,0t1,0,1t.解法一： f ( t)为奇函数，从而F () f (t) e i t dt = f (t )(cos t i sin t )dt2i f (t)sin tdt12i cos t 11)2i sin tdt2i (cos00f (t)1 F ()e i t dt =12i (cos1) e i t dt22i(cos1)(cos t i sin t) dt2(1cos)sin t dt解法二：同上题，根据余弦逆变换公式可得：221f (t) f ()sin d sin tdt sin d sin tdt00002cos12 1 cossin tdt tdtsin000sint ,| t |4．求函数 f (t)0, | t|的 Fourier 积分 ,并计算下列积分：sin sin t2sin t ,| t |012d0,| t |解：同上题，f (t)2f ()sin d sin tdt2sin sin d sin tdt 00001[cos(1)cos(1) ]d sin tdt 1sin(1)sin(1)sin tdt11000001sin(1)sin(1)sin tdt 2sin sin tdt2sin sin t112112dt000当 t时，f (0) f (0)0. 从而2sinsin t2 sin t,| t | 01 2d0,| t |e j a5．设 a 为实数，求积分2 d 的值。

(分别讨论 a 为正实数和负实数的情形 )1当 a 0时，R( z)1在上半平面只有一个奇点z i ，从而1 z 2e ia 2 d2 i Res[ R(z)e iaz ,i ] 2i lime iaze a ;1z iz i当 a 0时，e iae ia 2d2 i Res[ R(z) e iaz,i ] 2 i lime iaza1 2dz ie .1z i解法二：参考课本 146 页 Fourier 变换表中的 21，即Fc t]2c ，[e2c2 Re(c) 0取 c=-1，从而F - t]2，则积分[e 21ej ata1 2dF 1[ 12 ]ee 211 t a2t a2e ja 2de a1积分变换练习题第一章 Fourier 变换 ________系 _______专业班级姓名 ______ ____ 学号 _______ § 3 Fourier 变换的性质§ 4 卷积与相关函数一、选择题1．设 F [ f (t )]F ( ) ，则 F [( t 2) f (t )]（A ）F() 2F( )（B ）（ C ） iF ( ) 2F ( )（ D ）[ ]F( ) 2F( )iF ( ) 2F ( )（利用 Fourier 变换的线性性质和象函数的导数公式）2．设 F [ f (t )]F ( ) ，则 F [ f (1t)][]（ A ） F ( )e j（B ） F()e j（C ） F()e j（ D ） F ()e j1 t sf ( s)e i(1 s) (F [ f (1 t )]f (1 t )e i t dtds)e if (s)e i ()sdse iF ()二、填空题1．设 F[ f (t)] 3 ，则 f (t )3e - t122由1 三 -5解法二中的分析可知： F - t] 2 ，- [e 21从而 3F [ e - t ]3 f (t ) 3e - t22122．设 f (t ) e tu(t) ，则 F [ f (t)]。

已知单位阶跃函数u(t) t( )d ，及 Fourier 变换的微分性质： F [ f '(t )]i F [ f (t)]令 g(t ) e tu(t )e tt( )d ，则dg (t)e t t ( )d e t (t ) g(t ) e t (t )，dt即 F [dg (t)]F [ g(t ) e t (t )]F [ g(t )] F [e t (t )]，dt又由 F [dg(t )] i F [ g (t )]，从而dtFF [ e t (t )]e t (t )e i t dt[ g(t)]=i1 i11e (1 i)t 011 i t 1 i三、解答题1．若 F( )F [ f (t)] ，且 a0，证明：s ati F [ f (at )] f (at)e i tdt =f ( s)e2．若 F() F d[ f (t)] ，证明：F ( )d即证： F1[d F ( )]itf (t)d1 (t )e (1 i )t dt1 iF [ f (at)]1F ( )a as ds1 f ( s)ea ds1F( )isa aa aF [ jtf (t )]F1[d F( )] 1 d F ( )e i t d 1 F ( )e i t1F ( ) d e i t dd 2 d 22d1F ()ite i td( it )1F ( )e itd( it ) f (t )22sin3．已知某函数的Fourier 变换为F ( )，求该函数f (t) 。

F ( )sinF ( ) sinF1[F( )]F1[sin ]一方面， F[ f '(t )] i F[ f (t)] i F ( ) F1[ F ()]if；'(t)另一方面， F1[sin ] 1 sine i t d1 e ie i e i t d 12122ie i (1 t )e i ( 1 t ) d(t 1)(t 1) ；4 i 2i从而if '(t)1 (t1)(t 1)f '(t ) 1 (1 t ) (t1)2i2f (t )1t( 1)d t(1)d 1 u(t 1) u(t1)224．若 F( ) F [ f (t)] ，证明： F () F[ f ( t)]证：t sf (s)e i s ( ds) f ( s)e i ( ) s ds F ( )F [ f ( t )]f ( t) e i t dt5．若 f 1(t)e t u(t ),f 2 (t ) sin t u(t) ，求 f 1 (t )* f 2 (t)f 1(t) * f 2 (t )e t u(t)sin t u(t )e u( )sin( t) u(t ) dtts te t te t1 te sin(t)de ( t s) sin sds e s sin sds sin s coss e s 021 sin t cost e t 2积分变换练习题第一章 Fourier 变换________系 _______专业班级姓名 __________ 学号 _______§ 5 Fourier变换的应用综合练习题一、选择题：1．设 F [ f (t )]F ( ) 且当 ttf ( )d0,则F [ 2t时 , g (t) f ( )d ] []（A ）1F ( )（B ） 1F() （C ）1F ()（D ）1F( )2i 2i22ii变换的积分性质： F [ t f (1 F [ f (t )]F [f ( )d ]= 1F [ f (2t )]1iF ( )2ti2i 2最后一个等号由 2（§ §）三 -1得到.3 4 -2．设 F [ f (t )] F ( ) ，则下列公式中，不正确的是[]（A ） F [ f (t ) f (t )](F ())2（ B ） F [( f (t)) 2 ]1 F()F()2（C ） F [ f (t)ejt] F (0 )（ D ） t f (t ) jF1( )][ FjtF [ f ( t)e] F ( m 0 )1．设 f (t)0, t 0，则 u(t )f (t)et ,t 0参照课本 51 页 (10)， u(t) f (t )f (t) u(t)2．计算积分(t )sin 2tdt 12(t)sin 2 tdt sin 2 t12t23．设 sgntt1, t 0 |t |1, t，则 F [sgn t]0, t 01 e t , tt)df (。