Fourier变换练习题(全,有答案).docx

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积分变换习题解答1-2

积分变换习题解答1-2

1-21.求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解:[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换,证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明:()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对,即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰,()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数,即()()F F ωω-=-,则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ (令u ω-=)()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰(换积分变量u 为ω)()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数,即()()f t f t -=-,则()()()()()j j e d e d t t F f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ (令t u -=)()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰(换积分变量u 为t )()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4.求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换,并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解:由Fourier 正弦变换公式,有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式,有()120022sin ()()sin 1s s s t f t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ 由此,当0t α=>时,可得()()2sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5.设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ,试证明:1)()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=; 2)()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明: 在一般情况下,记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数,且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰, ()a ()()()Im sin cos d ri F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰()b 1)若()f t 为t 的实值函数,即()()(),0r i f t t f f t ==.此时,()a 式和()b 式分别为()()Re cos d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰()()Im sin d rF f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦反之,若已知()()F F ωω-=,则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数;()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此,必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰ 亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1)获证.2)若()f t 为t 的虚值函数,即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时,()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之,若已知()()F F ωω-=-,则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数;()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此,必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰, 亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2)获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=,求该函数()f t .解:sin ()F ωωω=为连续的偶函数,由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰ ()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰ 但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰当0a =时,sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩,,,7.已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦,求该函数()f t .解:由函数()()()00δd t t g t t g t -=,易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πt t t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8.求符号函数(又称正负号函数)()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier变换.解:容易看出()()()sgn t u t u t =--,而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9.求函数()()()1δδδδ222aa t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解 :()()()()j 1δδδδe d 222ta a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t t f t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin5cos5322f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ55δ52f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F . 14.证明:若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ,其中()t ϕ为一实数,则()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F ()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F 其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明:因为 ()()j j e e d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e ee d cos e d cos 22t t t t F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17.求作如图的锯齿形波的频谱图.(图形见教科书).解 :02π,T ω=()1,00,ht t Tf t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011e d e d e d TTTn t n t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n nωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。

复变函数与积分变换习题册(含答案)

复变函数与积分变换习题册(含答案)

第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。

2、k 为任意整数,则34+k 的值为 。

3、复数i i (1)-的指数形式为 。

4、设b a ,为实数,当=a , b= 时,).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题(正确的划√,错误的划 ) 1、2121z z z z +=+ ( )2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= ( )3、()()i i i 125432+=++ ( ) 三、选择题1.当ii z -+=11时,5075100z z z ++的值等于( ) (A )i (B )i - (C )1 (D )1-2.复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是( )(A ))]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i (B ))]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i (C ))]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i (D ))]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3.使得22z z =成立的复数z 是( )(A )不存在的 (B )唯一的 (C )纯虚数 (D )实数 4.若θi re i i=+--2)1(3,则( ) (A )πθ-==3arctan ,5r (B )πθ-==3arctan ,210r (C )3arctan ,210-==πθr (D )3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限,则z arg 等于( )。

(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11,求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时,等式()i iy i x +=+-++13531成立?3、求复数ii-+23的辐角。

工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)

工程数学-积分变换(第四版)-高等教育出版社-课后答案(1)

再由 Fourier 变换公式得
f (t ) =
1 +∞ 1 +∞ 1 +∞ ω 2 + 2 jω t F ω e d ω = F ω cos ω t d ω = cos ω t dω ( ) ( ) 2 π ∫ −∞ π∫0 π ∫ 0 ω4 + 4 +∞ ω 2 + 2 π −t ∫ 0 ω 4 + 4 cos ω tdω = 2 e cos t
f (t) =
2 +∞ ⎡ +∞ f (τ ) sin ωτ dτ ⎤ sin ω tdω ⎢ ∫0 ⎥ ⎦ π ∫0 ⎣
=
2 +∞ ⎡ +∞ − β t sin ω tdω e sin ωτ dτ ⎤ ∫ ∫ ⎢ ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ π
− βτ 2 +∞ ⎡ e ( β sin ωτ − ω cos ω t ) +∞ ⎤ = ∫ ⎢ ⎥ sin ω tdω π 0 ⎣ β 2 + ω2 0 ⎦
=
=
由于 a ( ω ) = a ( −ω ) , b ( ω ) = − b ( −ω ) , 所以
f (t) =
1 +∞ 1 +∞ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω tdω ∫ 2 −∞ 2 −∞
+∞ +∞ 0 0
= ∫ a ( ω ) cos ω t dω + ∫ b ( ω ) sin ω t dω 2.求下列函数的 Fourier 积分:
2 2 ⎧ ⎪1 − t , t ≤ 1 1)函数 f ( t ) = ⎨ 解: 解:1 为连续的偶函数,其 Fourier 变换为 2 0, 1 t > ⎪ ⎩

积分变换习题

积分变换习题

p30 : 11 .解 : sin 3 t sin 2 t sin t (1 cos2 t ) sin t 1 sin t 1 (1 cos 2t ) sin t cos 2t sin t 2 2 2 3 1 sin t sin 3t 4 4
1 1 3 3 sin t sin t sin 3t sin t sin 3t 4 4 4 4
p30 : 8.解 : sgnt 2u(t ) 1 2u(t ) 2 ( )
2 2 2 ( ) 2 ( ) j j
1 1 ja 1 p30 : 9.解 : (t a) e (cosa j sin a) 2 2 2 1 1 ja 1 (t a) e (cosa j sin a) 2 2 2 1 1 a 1 2 j a 1 a a (t ) e (cos j sin ) 2 2 2 2 2 2 1 1 a 1 2 j a 1 a a (t ) e (cos j sin ) 2 2 2 2 2 2

(u cost v sin t ) j (v cost u sin t dt


F ( )
(u cost v sin t ) j (v cost u sin t dt
v 0 即f (t ) u为实值函数.
3


3 1 j ( 1) ( 1) j ( 3) ( 3) 4 4 j ( 3) ( 3) 3 ( 1) 3 ( 1) 4
p30 : 12.
解 : sin(5t ) sin 5t cos cos 5t sin 3 3 3 1 3 sin 5t cos 5t 2 2

变换试题及答案

变换试题及答案

变换试题及答案一、单项选择题(每题2分,共10分)1. 以下哪个选项是数学中的变换概念?A. 旋转B. 反射C. 缩放D. 所有选项答案:D2. 在二维坐标系中,将点(1,2)绕原点顺时针旋转90度后,新的坐标是?A. (-2,1)B. (2,-1)C. (1,-2)D. (-1,2)答案:A3. 将一个图形按比例因子2缩放,意味着什么?A. 所有长度翻倍B. 所有长度减半C. 所有角度翻倍D. 所有角度减半答案:A4. 在三维空间中,反射变换通常指的是?A. 旋转B. 缩放C. 翻转D. 移动答案:C5. 变换矩阵在变换中的作用是什么?A. 改变图形的颜色B. 改变图形的形状和位置C. 改变图形的大小D. 改变图形的纹理答案:B二、填空题(每题2分,共10分)1. 将点(3,4)绕原点旋转180度后,新的坐标是______。

答案:(-3,-4)2. 将图形按比例因子1/2缩放,意味着所有长度变为原来的______。

答案:一半3. 在二维坐标系中,点(-1,3)关于x轴的反射点是______。

答案:(-1,-3)4. 在三维空间中,将点(2,3,4)绕z轴旋转90度后,新的坐标是______。

答案:(-4,3,-2)5. 变换矩阵[1 0; 0 -1]表示的变换是______。

答案:y轴反射三、简答题(每题5分,共20分)1. 描述一下平移变换是如何影响一个图形的。

答案:平移变换会将一个图形沿着某个方向移动一定的距离,而不会改变图形的形状、大小和方向。

2. 什么是相似变换?请举例说明。

答案:相似变换是一种保持图形形状和方向不变的变换,但可以改变图形的大小。

例如,将一个正方形放大两倍,形状和方向不变,但大小改变。

3. 请解释一下仿射变换。

答案:仿射变换是一种线性变换,它保持了图形中的直线和平行性,但不一定保持角度。

它可以包括平移、缩放、旋转和剪切等变换。

4. 请描述一下投影变换及其应用。

答案:投影变换是一种将三维空间中的图形映射到二维平面上的变换。

《高等数学教学资料》fourier变换的性质复习

《高等数学教学资料》fourier变换的性质复习

03
Fourier变换的应用
信号处理
80%
信号的频谱分析
通过Fourier变换,可以将信号分 解成不同频率的成分,从而更好 地理解信号的特性。
100%
信号去噪
在信号处理中,Fourier变换可以 帮助我们识别和去除噪声,提高 信号的清晰度。
80%
信号压缩
通过识别信号中的冗余成分, Fourier变换可以实现信号压缩, 减少存储和传输所需的资源。
卷积的逆Fourier变换
总结词
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。
VS
详细描述
卷积的逆Fourier变换是将两个函数在频 域中的乘积转换为时域表示的过程。这个 过程可以通过将两个函数的Fourier变换 相乘,然后进行逆Fourier变换来实现。 在时域中,两个函数的乘积可以通过卷积 来表示,因此卷积的逆Fourier变换可以 用来计算两个函数的乘积在时域中的表示 。
02
Fourier变换的卷积性质
卷积定理
总结词
卷积定理是Fourier变换中的一个重要性质,它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。
详细描述
卷积定理是Fourier分析中的一个基本定理,它表明两个函数的卷 积的Fourier变换等于这两个函数Fourier变换的乘积。这个定理在 信号处理、图像处理、量子力学等领域有广泛的应用。
叠和计算量大。
习题答案与解析
01
进阶习题3解析
02
进阶习题4答案
03
进阶习题4解析
全面分析了Fourier变换在图像处 理中的优缺点和应用时的注意事 项。
Fourier变换在数值分析中主要用 于求解微分方程、积分方程等数 学问题,提高计算效率和精度。

傅里叶变换的练习题

傅里叶变换的练习题

傅里叶变换的练习题傅里叶变换是一种重要的数学工具,广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

通过傅里叶变换,我们可以将一个时域信号转换为频域表示,从而更好地理解和处理信号。

为了加深对傅里叶变换的理解,以下将提供一些傅里叶变换的练习题,帮助读者巩固相关知识点。

练习一:离散信号的傅里叶变换考虑离散信号x(n) = [1, 2, 3, 4],使用离散傅里叶变换(DFT)计算其频谱X(k)。

解答:首先,我们需要计算离散信号的长度N,即N = 4。

然后,根据傅里叶变换的定义,计算频谱X(k)的每个元素:X(k) = Σ[n=0, N-1] x(n) * exp(-j2πkn/N)带入x(n)的值:X(0) = 1 * exp(-j2π*0*0/4) + 2 * exp(-j2π*0*1/4) + 3 * exp(-j2π*0*2/4) + 4 * exp(-j2π*0*3/4)= 1 + 2 + 3 + 4= 10X(1) = 1 * exp(-j2π*1*0/4) + 2 * exp(-j2π*1*1/4) + 3 * exp(-j2π*1*2/4) + 4 * exp(-j2π*1*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ/2) + 3 * exp(-jπ) + 4 * exp(-j3π/2)= 1 - 2j + 3 - 4j= 4 - 6jX(2) = 1 * exp(-j2π*2*0/4) + 2 * exp(-j2π*2*1/4) + 3 * exp(-j2π*2*2/4) + 4 * exp(-j2π*2*3/4)= 1 + 2 * exp(-jπ) + 3 + 4 * exp(-j2π)= 1 + 2 - 3 + 4= 4X(3) = 1 * exp(-j2π*3*0/4) + 2 * exp(-j2π*3*1/4) + 3 * exp(-j2π*3*2/4) + 4 * exp(-j2π*3*3/4)= 1 + 2 * exp(-j3π/2) + 3 * exp(-j3π) + 4 * exp(-j9π/4)= 1 + 2j + 3 - 4j= 4 - 2j因此,离散信号[1, 2, 3, 4]的频谱为X(k) = [10, 4-6j, 4, 4-2j]。

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积分变换练习题第一章 Fourier 变换________系 _______专业班级姓名 ______ ____学号 _______§ 1 Fourier 积分§ 2 Fourier 变换一、选择题1.设 f (t ) (t t 0 ) ,则 F [ f (t)][](A ) 1(B ) 2(C )ej t( D ) e jt 0F [ f ( t)]( t t 0 )e i tdte i te i t 0t t 0二、填空题1.设 a0 , f (t)e at, t 0,则函数 f (t) 的 Fourier 积分表达式为e at , t2a cos tdt0 a 22F ( )[ f (t )]f (t )e i t dt = e at e i t dte at e i t dtFR= lim e ( ai )tdtlime (ai ) tdtRRR( a i )tR( a i )t 0= lim e lim e1122a 2;R(a i ) 0 Ra i Ra ia iaF 1[F()]1 F ( )e itd= 1 a 22a 2 (cost i sin t)d22= 2acos t d 0 a 2 21 2.设 F [ f (t)]( ) ,则 f (t )2F1[()]1( )e i td = 1e i t12223.设 f (t) sin 2 t ,则 F [ f (t)]( )[ (2) (2)]F [ f (t )]f ( t)e i t dt= sin 2 te i t dt1 cos2t e i t dt2 1e i t dt 1(e 2ite 2 it )e i t dt( )[ ( 2) ( 2)]2424.设(t ) 为单位脉冲函数,则(t )cos 2 (t3 )dt 14(t)cos 2 (t)dt cos 2 ( ) 13 34三、解答题1.求下列定积分: (可用《高等数学》的方法做)(1)1(2)1e az sin bzdze az cosbzdz1 i sin bz)dze az(cosbz 0( e a (cosb i sin b) 1)(a a 2 b 211(a ib ) z1a ibee1e az e ibz dze ( a ib ) z dza iba ibib ) ae a cosb be a sin b 1 i ae a sin b be a cosb ba 2b 2 a 2 b 2在原积分中,由于被积函数解析,则I1 1 1e az(cosbz i sin bz)dze ax(cosbx i sin bx)dx e ax e ibxdx,从而1 e az1 e azsin bzdz Im I0cosbzdz Re I ;A,0 t 2.求矩形脉冲函数f (t )0, 其他的 Fourier 变换。

F [ f ( t)]f ( t)e i t dt= Ae i tA(1 e Ai )dti3.求下列函数的 Fourier 积分:t, | t | 1(1) f (t),0, | t | 1解法一:1F ( )f (t) e i tdt = te i t dt11 it11 i1 i2isinei te ii(cos2122e);f (t)1 F ( ) e it d1 2i(cossin)e itd221 2i(cossin )(cos ti sin t )d22 sin sin t2cossin t d解法二:由于 f(t) 为奇函数,故由课本P12 页的 (1.12) 式可知,221f (t)f ( )sindsin tdsind sin td0 0211d cos211 1sin tdcoscos dsin td0 021sin12 1sincossin tdtdcossin 02 sin2 cos sin td0,t1,1, 1 t0,(2) f (t)1,0t1,0,1t.解法一: f ( t)为奇函数,从而F () f (t) e i t dt = f (t )(cos t i sin t )dt2i f (t)sin tdt12i cos t 11)2i sin tdt2i (cos00f (t)1 F ()e i t dt =12i (cos1) e i t dt22i(cos1)(cos t i sin t) dt2(1cos)sin t dt解法二:同上题,根据余弦逆变换公式可得:221f (t) f ()sin d sin tdt sin d sin tdt00002cos12 1 cossin tdt tdtsin000sint ,| t |4.求函数 f (t)0, | t|的 Fourier 积分 ,并计算下列积分:sin sin t2sin t ,| t |012d0,| t |解:同上题,f (t)2f ()sin d sin tdt2sin sin d sin tdt 00001[cos(1)cos(1) ]d sin tdt 1sin(1)sin(1)sin tdt11000001sin(1)sin(1)sin tdt 2sin sin tdt2sin sin t112112dt000当 t时,f (0) f (0)0. 从而2sinsin t2 sin t,| t | 01 2d0,| t |e j a5.设 a 为实数,求积分2 d 的值。

(分别讨论 a 为正实数和负实数的情形 )1当 a 0时,R( z)1在上半平面只有一个奇点z i ,从而1 z 2e ia 2 d2 i Res[ R(z)e iaz ,i ] 2i lime iaze a ;1z iz i当 a 0时,e iae ia 2d2 i Res[ R(z) e iaz,i ] 2 i lime iaza1 2dz ie .1z i解法二:参考课本 146 页 Fourier 变换表中的 21,即Fc t]2c ,[e2c2 Re(c) 0取 c=-1,从而F - t]2,则积分[e 21ej ata1 2dF 1[ 12 ]ee 211 t a2t a2e ja 2de a1积分变换练习题第一章 Fourier 变换 ________系 _______专业班级姓名 ______ ____ 学号 _______ § 3 Fourier 变换的性质§ 4 卷积与相关函数一、选择题1.设 F [ f (t )]F ( ) ,则 F [( t 2) f (t )](A )F() 2F( )(B )( C ) iF ( ) 2F ( )( D )[ ]F( ) 2F( )iF ( ) 2F ( )(利用 Fourier 变换的线性性质和象函数的导数公式)2.设 F [ f (t )]F ( ) ,则 F [ f (1t)][]( A ) F ( )e j(B ) F()e j(C ) F()e j( D ) F ()e j1 t sf ( s)e i(1 s) (F [ f (1 t )]f (1 t )e i t dtds)e if (s)e i ()sdse iF ()二、填空题1.设 F[ f (t)] 3 ,则 f (t )3e - t122由1 三 -5解法二中的分析可知: F - t] 2 ,- [e 21从而 3F [ e - t ]3 f (t ) 3e - t22122.设 f (t ) e tu(t) ,则 F [ f (t)]。

已知单位阶跃函数u(t) t( )d ,及 Fourier 变换的微分性质: F [ f '(t )]i F [ f (t)]令 g(t ) e tu(t )e tt( )d ,则dg (t)e t t ( )d e t (t ) g(t ) e t (t ),dt即 F [dg (t)]F [ g(t ) e t (t )]F [ g(t )] F [e t (t )],dt又由 F [dg(t )] i F [ g (t )],从而dtFF [ e t (t )]e t (t )e i t dt[ g(t)]=i1 i11e (1 i)t 011 i t 1 i三、解答题1.若 F( )F [ f (t)] ,且 a0,证明:s ati F [ f (at )] f (at)e i tdt =f ( s)e2.若 F() F d[ f (t)] ,证明:F ( )d即证: F1[d F ( )]itf (t)d1 (t )e (1 i )t dt1 iF [ f (at)]1F ( )a as ds1 f ( s)ea ds1F( )isa aa aF [ jtf (t )]F1[d F( )] 1 d F ( )e i t d 1 F ( )e i t1F ( ) d e i t dd 2 d 22d1F ()ite i td( it )1F ( )e itd( it ) f (t )22sin3.已知某函数的Fourier 变换为F ( ),求该函数f (t) 。

F ( )sinF ( ) sinF1[F( )]F1[sin ]一方面, F[ f '(t )] i F[ f (t)] i F ( ) F1[ F ()]if;'(t)另一方面, F1[sin ] 1 sine i t d1 e ie i e i t d 12122ie i (1 t )e i ( 1 t ) d(t 1)(t 1) ;4 i 2i从而if '(t)1 (t1)(t 1)f '(t ) 1 (1 t ) (t1)2i2f (t )1t( 1)d t(1)d 1 u(t 1) u(t1)224.若 F( ) F [ f (t)] ,证明: F () F[ f ( t)]证:t sf (s)e i s ( ds) f ( s)e i ( ) s ds F ( )F [ f ( t )]f ( t) e i t dt5.若 f 1(t)e t u(t ),f 2 (t ) sin t u(t) ,求 f 1 (t )* f 2 (t)f 1(t) * f 2 (t )e t u(t)sin t u(t )e u( )sin( t) u(t ) dtts te t te t1 te sin(t)de ( t s) sin sds e s sin sds sin s coss e s 021 sin t cost e t 2积分变换练习题第一章 Fourier 变换________系 _______专业班级姓名 __________ 学号 _______§ 5 Fourier变换的应用综合练习题一、选择题:1.设 F [ f (t )]F ( ) 且当 ttf ( )d0,则F [ 2t时 , g (t) f ( )d ] [](A )1F ( )(B ) 1F() (C )1F ()(D )1F( )2i 2i22ii变换的积分性质: F [ t f (1 F [ f (t )]F [f ( )d ]= 1F [ f (2t )]1iF ( )2ti2i 2最后一个等号由 2(§ §)三 -1得到.3 4 -2.设 F [ f (t )] F ( ) ,则下列公式中, 不正确的是[](A ) F [ f (t ) f (t )](F ())2( B ) F [( f (t)) 2 ]1 F()F()2(C ) F [ f (t)ejt] F (0 )( D ) t f (t ) jF1( )][ FjtF [ f ( t)e] F ( m 0 )1.设 f (t)0, t 0,则 u(t )f (t)et ,t 0参照课本 51 页 (10), u(t) f (t )f (t) u(t)2.计算积分(t )sin 2tdt 12(t)sin 2 tdt sin 2 t12t23.设 sgntt1, t 0 |t |1, t,则 F [sgn t]0, t 01 e t , tt)df (。

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