Fourier变换

积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 积分变换是应用性很强的数学工具，在数学和其它学科中均有应用． 主要应用： ．求解线性微分方程(组 ； 线性微分方程 主要应用：a．求解线性微分方程 组)； b．信号处理． ．信号处理．
第一章
Fourier 变 换
§1.1 Four ier 积 分 为周期， 设 f T (t ) 以Ｔ为周期，在 [− 第一类间断点； 第一类间断点；
f (t ) 是 偶 函数 ， 有 f (t ) = 函数，
2
+∞ 0
π
+∞ f (τ )cos(ωτ ) dτ cos ω t dω ， （ Four ier 余弦积分公 ∫0
． 式） (5)
+ 上有定义， 级数中的奇延拓或偶延拓方法， 注：若 f (t ) 仅在 [0， ∞） 上有定义，可采用类似于 Fourier 级数中的奇延拓或偶延拓方法，
T T , ] 满足 Dirichlet 收敛条件， 即：10 连续或只有有限个 收敛条件， 连续或只有有限个 2 2
则在 [−
2 0 只有有限个极值点． 只有有限个极值点．
T T , ] 的连续点 t 处， 有 2 2
其中 ω =
a 0 +∞ f T (t ) = + ∑ (a n cosn ω t + b n sin nω t ) ， 2 n =1
(n = 1, 2, 3, L) ．
可合写成： 可合写成：cn =
+∞
1 T2 2nω , f T (t )e − j n ω t dt , ω n = nω = ∫−T 2 T T
(n ∈ Z)
．
代入(1)得 代入 得 ： 数形式． 数形式．
f T (t ) = c0 + ∑ [c n e
n =1
−∞
+∞
− jω t
dt = ∫ 0dt + ∫ e −( β + jω ) t dt
0
−1 = e − β t ⋅ e − jω t β + jω
f (t ) = F −1[ F (ω )] = 1 2π
t = +∞
=
t= 0
1 β − jω = 2 β + jω β + ω 2 ．
1 2π
∫
+∞
余弦逆变换式． 为 F (ω ) 的 Fourier 余弦逆变换式．
1, f (t ) = 例 1．求 ． 0,
0 ≤ t <1 t ≥1
正弦变换和余弦变换． 的 Fourier 正弦变换和余弦变换．
进行奇延拓， 正弦变换为 解：先将 f (t ) 进行奇延拓，得 f (t ) 的 Fourier 正弦变换为
达式． 达式．
．
f (t )
F
．
F (ω )
f (t ) ——象原函数 ——象原函数
F (ω ) ——象函数 ——象函数
K (ω , t ) = e − jω t —— ——Fourier 变换核
f (t ) ← F F (ω ) →
+∞ 0
A 为奇函数时， 当 f (t ) 为奇函数时， (4) 由 正弦变换式； 正弦变换式；
它成立的条件如下． 它成立的条件如下． Fourier 积分定理． 若 f (t ) 在 (−∞, + ∞) 上满足：10 f (t ) 在任一有限区间上满足 Dirichlet 条 积分定理． 满足： 件；
20
∫
+∞
−∞
f (t ) dt 收敛，即 f (t ) 绝对可积． 则在 Cauchy 主值意义下，广义积分 在连 收敛， 绝对可积． 主值意义下，广义积分(3)在连
−∞
F (ω ) e jω t dω =
∫
β − jω j ω t 1 ⋅ e dω = 2 2 −∞ β + ω 2π
+∞
∫
β − jω (cos ω t + j sin ω t )dω −∞ β 2 + ω 2
+∞
=
1 2π
β cos ω t + ω sin ω t j dω + 2 2 ∫ −∞ 2π β +ω
+∞
β sin ω t − jω cos ω t 1 +∞ β cos ω t + ω sin ω t dω = ∫ dω ． ∫ −∞ β 2 + ω2 π 0 β 2 + ω2
0 0
+∞
1
sin ω
， ω ∈ (−∞, + ∞) ． ω
0, 例 2．求指数衰减函数 f (t ) = − β t ． e ,
解： F (ω ) =
t<0 t≥0
0 −∞
( β > 0) 的 Fourier 变换及积分表达式． 变换及积分表达式．
+∞
F [ f (t )] = ∫ f (t )e
1 2π
+∞
T2 f T (τ )e − jω n τ dτ e j ω n t = L ∑ ∫−T 2 n = −∞
(3)． 称为 Fourier 积分公式． ． 积分公式．
+∞
=
+∞f (τ )e − jωτ dτ e jω t dω , t ∈ (−∞, + ∞) ∫− ∞ ∫− ∞ ，
+∞
为偶函数时， 当 f (t ) 为偶函数时，由(5) 式，称 Fc (ω ) = Fc [ f (t )] = ∫0 f(t)cosω tdt 余弦变换式； 余弦变换式； 称
为 f (t ) 的 Fourier
f (t ) = Fc−1[ Fc (ω )] =
π∫
2
+∞ 0
Fc (ω )cosω tdω
．
公式，转化成复数形式： 利用 Euler 公式，转化成复数形式： cos ϕ =
1 jϕ 1 jϕ ( e − e − jϕ ) ， (e + e − jϕ ) ， sin ϕ = 2j 2
(1) 记
a0 +∞ a n − jbn j n ω t a n + jbn − j n ω t e e fT (t ) = + ∑ + . 2 n =1 2 2
处成立． 续点 t 处成立． 右边收敛于 （在间断点 t 处，公式 (3)右边收敛于 右边 广义积分的收敛： 广义积分的收敛： (高等数学 高等数学) 高等数学
1 [ f (t − 0) + f (t + 0)] ） ． 2
+∞ 0
∫
+∞
−∞
f (t )dt = ∫ f (t )dt + ∫
−∞
0
f (t )dt = lim
非周期函数的展开： 不是周期函数， 的函数： 非周期函数的展开： 设 f (t ) 不是周期函数， t ∈ ( −∞, ∞ ) ． 作周期 T > 0 的函数：
f T (t ) = f (t ), t ∈ [
则
1 f (t ) = lim f T (t ) (2)式 Tlim∞ →+ T T → +∞
《积 分 变 换》 变换是数学的灵魂．我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算．例如，解析几何中的 变换是数学的灵魂．我们经常利用变换把复杂运算转化为简单运算．例如， 坐标变换、复变中的保角变换，四则运算中利用对数变换可将积与商转化为加与减：
lg(ab) = lg a + lg b, lg = lg a − lg b ． 再取反对数变换复原． 再取反对数变换复原．
得到
f (t ) 相应的 Fourier 正弦积分展开式或 Fourier 余弦积分展开式． 余弦积分展开式．
§1.2 Fourier 变换 1．Fourier 变换 ． 设 f (t ) 满足 Fourier 积分定理条件，则在连续点处， 有 积分定理条件，则在连续点处， 条件
f (t ) =
记
1 2π
A→ − ∞ A
∫
0
f (t )dt + lim
B→ +∞ 0
∫
B
f (t )dt ；
主值意义收敛： 按 Cauchy 主值意义收敛： 例如： 例如：
+∞
(C ) ∫
+∞ 0
+∞
−∞
f (t )dt = lim
A→ + ∞ − A
0
∫
A
f (t )dt ．
+sin tdt = ∫ sin tdt + ∫ sin tdt = − cos t −∞ − cos t
Fs (ω ) = Fs [ f (t )] = ∫ f(t)sinω tdt = ∫ sin ω tdt =
0 0
+∞
1
1 − cos ω
ω
，
ω ∈ (−∞, + ∞) ；
进行偶延拓， 弦变换为 再将 f (t ) 进行偶延拓，得 f (t ) 的 Fourier 余弦变换为
Fc (ω ) = Fc [ f (t )] = ∫ f(t)cosω tdt = ∫ cos ω tdt =
−∞
A A→ + ∞ − A
0
发散； ， 发散；
(C ) ∫ sin tdt = lim
−∞
∫
sin tdt = lim 0 = 0 ， 收敛． 收敛． A→ + ∞
公式(3)可化为三角形式： 公式 可化为三角形式： 可化为三角形式
f (t ) =
= 1 2π