傅里叶 变换
傅里叶变换及反变换
1 2{F [j(0) ]F [j(0) ] }
F ( j )
1
m 0 m
P( j)
( )
( )
0
0
0
R( j)
1 2
0
0
0
F ( j )
1
m 0 m
f (t)
r(t)
y1(t)
低通
滤波
y(t)
cos(0t) cos(0t)
R( j)
1 2
0 ( )
0
P( j)
0 ( )
§4.5 连续时间傅里叶变换的性质
复习
F(j)＝ f(t)ejtdt
f(t)21 F(j)ejtd
1 唯一性： 2 线性特性： 3 奇偶特性： 4 共轭特性： 5 对称特性： 6 时域展缩特性： 7 时移特性：
9 时域微分特性： 10 频域微分特性： 11 时域卷积定理： 12 频域卷积定理：
偶信号的频谱是偶函数，奇信 号的频谱是奇函数。
F(j) f(t)ejtdt令t
f()ejd f()关e于jtd F(j)
f(t) F (j) ， 则 f* (t) F * ( j)
证F (： j)＝ f (t)ejtd可 t F 得 *(j)＝ f*(t)ejtdt
F *(j)＝ f *(t)ejtdt
0
1 4
20
0
0
Y1( j)
1
1
2
4
0
20
Y ( j) 1
2
0
4.7 傅里叶反 变换
要解决的问题：由F( jw)求 f(t)
f(t)21 F (j)ejtd
利用傅里叶变换的互易对称性 部分分式展开
通信第三章 常见函数的傅里叶变换
(t)
…
-T0 O T0 2T0 t
求T0 (t) 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解
Fn
1 T0
T0 2
T0 2
(t)e jn0tdt
1 T0
T0 (t)
1 T0
e jn0t
n
a0
1 T0
又
an
2 T0
T0 2
T0 2
(t) cos
n0tdt
2 T0
bn 0
T0 (t)
的三角傅里叶级数为：T0
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
nT0 )
n
[ A
A T0
(t
nT0 )][u(t
nT0 )
u(t
(n
1)T0 )]
将 f (t) 去除直流分量，则仅剩交流分量 fAC (t)
fAC (t)
f
(t)
A [u(t
T n 0
nT0 ) u(t
(n 1)T0 )]
n
[
A
A T0
(t
nT0
)]{
(t
nT0
)
（2）利用直接法求解
4种傅里叶变换
copyright©赵越 ise_zhaoy1@
4种傅里叶变换
DFT的变换 的变换
x(nT)=x(n)
Tp = 1 F
Tp = NT
x(e jkΩ0T ) x(k)
0 T 2T 1 2
Ωs = 2 π T 1 fs = T
NT
N
Ω0 =
2 π =2 F π Tp
t n
Ωs = N 0 Ω
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
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4种傅里叶变换
四种傅里叶变换形式的归纳
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Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
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4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
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几种常见函数的傅里叶变换及推导
几种常见函数的傅里叶变换及推导傅里叶变换是数学中一种非常重要的变换方法，它可以将一个函数在时域（或空域）中的表达转换为频域中的表达。
在信号处理、图像处理、通信等领域中被广泛应用。
本文将介绍几种常见函数的傅里叶变换及推导过程。
1. 方波函数的傅里叶变换方波函数是一种周期函数，它在每个周期内以不同的幅度交替出现。
方波函数的傅里叶变换可以通过将方波函数表示为一系列正弦函数的和来推导得到。
假设方波函数为f(t)，其周期为T，傅里叶变换为F(ω)。
根据傅里叶级数展开的性质，方波函数可以表示为：f(t) = (1/2) + (2/π)sin(ωt) + (2/π)sin(2ωt) + (2/π)sin(3ωt) + ...其中，ω = 2π/T是方波函数的角频率。
根据傅里叶变换的定义，可以得到方波函数的傅里叶变换为：F(ω) = (1/2)δ(ω) + (1/2π)[δ(ω-ω0) - δ(ω+ω0)] + (1/2π)[δ(ω-2ω0) - δ(ω+2ω0)] + (1/2π)[δ(ω-3ω0) - δ(ω+3ω0)] + ...其中，δ(ω)是狄拉克函数，表示单位冲激函数。
傅里叶变换的结果是一系列的冲激函数，每个冲激函数对应一个正弦函数的频谱分量。
2. 高斯函数的傅里叶变换高斯函数是一种常用的连续函数，其在数学和物理学中有广泛的应用。
高斯函数的傅里叶变换可以通过将高斯函数表示为指数函数的平方和来推导得到。
假设高斯函数为f(t)，傅里叶变换为F(ω)。
根据高斯函数的定义，可以得到：f(t) = e^(-αt^2)其中，α是常数。
根据傅里叶变换的定义，可以得到高斯函数的傅里叶变换为：F(ω) = √(π/α)e^(-ω^2/(4α))高斯函数的傅里叶变换仍然是一个高斯函数，只是幅度和频率发生了变化。
3. 矩形函数的傅里叶变换矩形函数是一种常见的函数，它在一个有限区间内的值为常数，而在其他区间内的值为零。
矩形函数的傅里叶变换可以通过将矩形函数表示为两个单位阶跃函数的差来推导得到。
傅里叶全部公式
傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。
它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。
傅里叶变换和逆变换的公式如下：
傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt
逆傅里叶变换公式：f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω
其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j 是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。
此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数展开公式：f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。
这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。
需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。
常见傅里叶变换
常见傅里叶变换傅里叶变换是一种常见的数学方法，用来把一个信号从时域（time domain）变换到频域（frequency domain），即从时间变换成周期，为信号分析和处理提供理论。
从量子物理学到电路设计，从数字图像处理到数字信号处理，傅里叶变换都发挥着重要作用。
一般来说，傅里叶变换可分为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）。
离散傅里叶变换是对某类数字信号进行频率谱分析的方法，用于表达在某一时刻及其之前的信号。
例如，它可以用来分析歌曲中的某些音调，或者某个难以分析的电路中的某些信号。
另一方面，连续傅里叶变换是一种从时域变换到频域的数学技术，它可以计算信号的振幅和相位，以及其他用于检测特定频率信号的信息。
它广泛应用于音频处理，天文观测，射电望远镜等领域。
傅里叶变换也可以用来表示函数和操作，比如傅里叶级数、小波变换等。
傅里叶变换可以帮助人们实现更高精度的信号处理，提高信号处理效率。
它有助于确定信号构成，也可以探索不同信号之间的关系。
举个例子，当电台收到许多不同频率的电视信号时，傅里叶变换可帮助把这些信号的相位分开，避免它们混合在一起。
此外，傅里叶变换也有助于把复杂的数据简化为简单的数学形式，比如利用傅里叶级数来解决非线性方程。
除离散傅里叶变换和连续傅里叶变换外，还有一类受欢迎的傅里叶变换，它在信号处理领域也有广泛的应用。
它包括快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）、中心矩形法（Central Momentum Method）、矩形变换（Rectangular Transform）、拉普拉斯变换（Laplace Transform）等。
快速傅里叶变换几乎在所有的数字信号处理系统中都有应用，它可以以更少的时间来完成傅里叶变换，从而使信号处理变得更有效率。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1.傅里叶变换定义：F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)] dt2.傅里叶逆变换定义：f(t) = ∫[F(w)e^(jwt)] dw / (2π)傅里叶逆变换定义了将频域函数F(w)转换回时域函数f(t)的方式。
3.单位冲激函数的傅里叶变换：F(w) = ∫[δ(t)e^(-jwt)] dtδ(t)是单位冲激函数，其傅里叶变换结果为14.周期函数的傅里叶级数展开：f(t) = ∑[a(n)cos(nω0t) + b(n)sin(nω0t)]f(t)可以用无穷级数形式表示，其中ω0为基本角频率，a(n)和b(n)为系数。
5.周期函数的傅里叶变换：F(w)=2π∑[δ(w-nω0)]周期函数f(t)的频谱是一系列频率为nω0的冲激函数。
6.卷积定理：FT[f*g]=F(w)G(w)f*g表示函数f(t)和g(t)的卷积，FT表示傅里叶变换，*表示复数乘法。
卷积定理说明卷积在频域中的运算等于对应的傅里叶变换相乘。
7.积分定理：∫[f(t)g(t)] dt = 1/2π ∫[F(w)G(-w)] dw积分定理表明函数f(t)和g(t)的乘积在时域中的积分等于它们在频域中的乘积的逆变换。
8.平移定理：g(t) = f(t - t0) 对应的傅里叶变换 F(w) = e^(-jwt0) G(w)平移定理说明在时域中将函数f(t)右移t0单位，等价于在频域中将F(w)乘以e^(-jwt0)。
9.缩放定理：g(t) = f(at) 对应的傅里叶变换 G(w) = 1/，a， F(w/a)缩放定理说明在时域中将函数f(t)横向拉伸为af(t)，等价于在频域中将F(w)纵向压缩为1/，a，F(w/a)。
除了以上列举的公式，傅里叶变换还有许多性质和定理，如频移定理、频域微分定理、频域积分定理等，这些公式和定理在信号处理中非常有用，可以加速计算和简化问题的分析。
五种傅里叶变换解析
五种傅里叶变换解析标题：从简到繁：五种傅里叶变换解析引言：傅里叶变换是数学中一种重要且广泛应用于信号处理、图像处理和物理等领域的工具。
它的基本思想是将一个信号或函数表示为若干个不同频率的正弦波的叠加，从而揭示信号或函数的频谱特性。
本文将展示五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开，帮助读者逐步理解傅里叶变换的原理与应用。
第一部分：离散傅里叶变换（DFT）在此部分中，我们将介绍离散傅里叶变换的基本概念和算法。
我们将讨论DFT的离散性质、频域和时域之间的关系，以及如何利用DFT进行频域分析和滤波等应用。
此外，我们还将探讨DFT算法的时间复杂度，以及如何使用DFT来解决实际问题。
第二部分：快速傅里叶变换（FFT）在这一部分中，我们将深入研究快速傅里叶变换算法，并详细介绍其原理和应用。
我们将解释FFT如何通过减少计算量和优化计算过程来提高傅里叶变换的效率。
我们还将讨论FFT算法的时间复杂度和几种不同的FFT变体。
第三部分：连续傅里叶变换（CTFT）本部分将介绍连续傅里叶变换的概念和定义。
我们将讨论CTFT的性质、逆变换和时频分析的应用。
进一步，我们将引入傅里叶变换对信号周期性的描述，以及如何利用CTFT对信号进行频谱分析和滤波。
第四部分：离散时间傅里叶变换（DTFT）在这一章节中，我们将介绍离散时间傅里叶变换的基本原理和应用。
我们将详细讨论DTFT的定义、性质以及与DFT之间的关系。
我们还将探讨DTFT的离散频率响应、滤波和频谱分析的相关内容。
第五部分：傅里叶级数展开最后，我们将深入研究傅里叶级数展开的原理和应用。
我们将解释傅里叶级数展开如何将周期函数分解为多个不同频率的正弦波的叠加。
我们还将讨论傅里叶级数展开的收敛性和逼近性，并探讨如何利用傅里叶级数展开来处理周期信号和周期性问题。
结论：综上所述，本文介绍了五种常见的傅里叶变换方法，包括离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、连续傅里叶变换（CTFT）、离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶级数展开。
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第一章 傅里叶变换 1.1 傅里叶变换傅里叶（Fourier ）变换与小波变换从本质上看无非是研究如何利用简单、初等的函数近似表达复杂函数（信号）的方法和手段。
1777年以前，人们普遍采用多项式函数P (x )来对信号f (x )进行表征：∑-==≈1)()(N n nn xa x P x f 。
1777年，数学家Euler 在研究天文学时发现某些函数可以通过余弦函数之和来表达。
1807年，法国科学家傅里叶进一步提出周期为2π的函数f (x )可以表示为系列三角函数之和，即]sin cos [2)(10∑+∞=++≈k k kkx b kx aa x f （1.1）其中2π01()cos d πk a f x kx x =⎰，2π01()sin d πk b f x kx x =⎰。
表达式（1.1）可以理解为信号f (x )是由正弦波（含余弦与正弦函数）叠加而成，其中a k ，b k 为叠加的权值，表示信号在不同频率时刻的谱幅值大小。
显然，当信号具有对称性（偶）特征时，b k =0，01()cos 2k k a f x a kx +∞=≈+∑而当信号具有反对称性（奇）特征时，a k =0，∑+∞=+≈10sin 2)(k k kx b a x f在研究热传导方程的过程中，为了简化原问题，傅里叶建议将热导方程从时间域变换到频率域，为此他提出了著名的傅里叶变换的概念。
信号f (x )的傅里叶变换定义为：i ˆ()()e d ,i x f f x x ϖϖ-==⎰R（1.2） 傅里叶变换建立了信号时域与频域之间的关系，频率是信号的物理本质之一。
随着计算机技术的发展与完善，科学与工程中的所有计算问题跟计算机已经密不可分，计算机计算的一个典型特征是离散化。
而式（1.2）定义的傅里叶变换本质上是一个积分计算，体现为连续化特征，同时在实际应用中信号都是通过离散化采样得到的。
为了通过离散化来采样信息以及有效地利用计算机实现傅里叶变换的计算，需要对式（1.2）实现高效、高精度的离散化。
为此，需要导出离散傅里叶变换（DFT ）的概念。
为简单计，设f (x )为[-π,π]上的有限信号，则f (x )的傅里叶变换可简化为：πi πˆ()()e d x f f x x ϖϖ--=⎰再假设采用等间距采样，其采样点数为N ，输入时域信号为f k ，要求输出频率信号为k f ˆ。
为了利用采样点f k 得到尽可能符合式（1.2）的输出值kf ˆ，DFT 的思想是根据f k 拟合出f (x )的最佳逼近多项式S (x )，然后在式（1.2）中利用S (x )代替f (x )，从而得到kf ˆ。
下面简要讨论)(x S 与k f ˆ的求法。
给定一组正交基：k Φ222{1eek k NNππ⋅=，，，…}ei 1)-(2N N k π⋅，1,,2,1,0-=N k 。
直接验证向量满足内积关系：,,k l N δ<>=k l N I ΦΦ，其中I N 为N 阶单位矩阵，,1,0,k l k lk l δ=⎧=⎨≠⎩设∑-==10i e1)(N k kxkc Nx S ，利用正交基}{k Φ求解最小二乘问题： ),,(min11010--∈N N k c c c c F k R,=∑-=-∈-1210)]2([minN n n N k c Nn S f k πR, （1.3） 求解式（1.3）得到：∑-==1N n nk N n k W f c ，1,,2,1,0-=N k ；i π2e N NW -= （1.4）现在利用S (x )的定义，以及由式（1.4）得到的系数值c k 来近似计算k f ˆ。
将式（1.4）中的系数值代入多项式函数S (x )中，并利用S (x )作为f (x )的近似，则有：11ππi i()-ππ0012πˆ()e d e d πN N lx k l x nl l k n N k n f S x x c x f W N N -----=====∑∑⎰⎰ （1.5） 除开常数2π外，式（1.5）即为通常意义的离散傅里叶变换（DFT ），其中输入f n 与输出ˆl f 分别为信号的时域与频域信息。
特别地，如果采用其他的正交基，利用最小二乘逼近则得到各种不同意义的离散正交变换，例如，离散余弦变换（DCT ，一共4种），离散正弦变换（DST ，一共4种），离散Hartley 变换（DHT ）以及离散Walsh 变换（含离散Hadmard 变换）等。
限于篇幅，在此不再一一介绍，有兴趣的读者可以参见其他相关文献。
1.2 短时傅里叶变换尽管傅里叶变换及其离散形式DFT 已经成为信号处理，尤其是时频分析中最常用的工具，但是，傅里叶变换存在信号的时域与频域信息不能同时局部化的问题。
例如，从定义式（1.2）我们看到，对于任一给定频率，根据傅里叶变换不能看出该频率发生的时间与信号的周期（如果有的话），即傅里叶变换在频率上不能局部化。
同时，在傅里叶变换将信号从时域上变换到频域上时，实质上是将信息ϖx x f i e )(-在整个时间轴上的叠加，其中ϖx i e -起到频限的作用，因此，傅里叶变换不能够观察信号在某一时间段内的频域信息。
而另一方面，在信号处理，尤其是非平稳信号处理过程中，如音乐、地震信号等，人们经常需要对信号的局部频率以及该频率发生的时间段有所了解。
由于标准傅里叶变换只在频域有局部分析的能力，而在时域内不存在局部分析的能力，故Dennis Gabor 于1946年引入短时傅里叶变换≤≤ ≤≤（Short-Time Fourier Transform ）。
短时傅里叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅里叶变换分析每个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。
图1.1（a ）、图1.1（b ）为短时傅里叶变换对信号分析示意图。
假设对信号f (x )在时间x =τ附近内的频率感兴趣，显然一个最简洁的方法是仅取式（1.2）中定义的傅里叶变换在某个时间段I τ内的值，即定义（1.6）（a ）时域加窗示意图 （b ）时频平面划分示意图图1.1 短时傅里叶变换示意图其中|I τ|表示区域I τ的长度。
如果定义方波函数g τ(x )为（1.7）则式（1.6）又可以表示为:x x g x f fx Rd e )()(),(ˆi ϖττϖ-⎰= （1.8）其中R 表示整个实轴。
从式（1.2）、式（1.7）与式（1.8）很容易看到，为了分析信号f (x )在时刻τ的局部频域信息，式（1.6）实质上是对函数f (x )加上窗口函数g τ(x )。
显然，窗口的长度|I τ|越小，则越能够反映出信号的局部频域信息。
图1.2（a ）为对于参数取τ(τ=1)，窗口函数g τ(x )的图形。
容易得到下面的简单性质：① ②将函数g τ(x )与著名的“δ函数”及其性质以及比较不难发现，“δ函数”δ(x)实际上可以视为函数gτ(x)的极限函数。
从另外一个角度来看，窗口函数可以看作对于原信号在区域上的加权，而利用方波函数gτ(x)作为窗口函数时存在的一个明显缺陷就是在区域Iτ上平均使用权值，不符合权值应该重点位于时刻τ且距离该时刻越远和权值越小的特点。
也就是权函数主值位于时刻τ，在该时刻的两端函数图像迅速衰减的特点。
在满足上述特性并保持函数的光滑性质的前提下，Dennis Gabor于1946年提出了利用具有无穷次可微的高斯函数作为窗口函数。
图1.2（b）给出了取几种不同的值时高斯函数的图像，显然高斯函数具有窗口函数所需要的性质。
下面讨论高斯函数与δ函数的关系。
x2Iτ2Iτ-()g xτ1Iτ-5-4-3-2-10123450.20.40.60.811.21.41.6a=1/2a=1/4a=1/16a=1/32（a）窗口函数g(x)的图形（b）a取值不同时高斯函数的图形图1.2 窗口函数与高斯函数的图形定理1.1 对于高斯函数g a(x)以及可积函数，g a(x)>0且对于任意a>0均是无穷次可微的，并且（1.9）对于f的所有连续点x成立。
式（1.9）称之为高斯函数的卷积性质。
将式（1.9）与δ函数δ(x)的卷积性质进行比较，不难发现，无穷次可微高斯函数g a(x)可以作为函数δ(x)的高度近似，即在连续函数的集合C上，有，。
Gabor 变换是一种特殊的短时傅里叶变换，而一般的短时傅里叶变换按照下列方式来定义。
定义1.1 信号f (x )的短时傅里叶变换（STFT ）Gf (ω,τ)定义为：（1.10）其中称为积分核。
为了保证信号f (x )的短时傅里叶变换（STFT ）Gf (ω,τ)以及逆变换有意义，一个充分必要条件为:（1.11）另外，由于g (x )可以看成是对函数x x f ϖi e )(-加权，因此，人们经常要求： （1）当)()(1R L x g ∈时()d 0g x x A =>⎰R，g (x )≥0（2）当)()(2R L x g ∈时，2()d 1gx x =⎰R以及2ˆ()d 1gϖϖ=⎰R)(τ-x g 作为对于x x f ϖi e )(-的加权，其贡献应该主要集中在x =τ附近。
最常见的要求是：g (x -τ)在x =τ附近迅速衰减，使得窗口外的信息几乎可以忽略，而g (x -τ)起到时限作用，xϖi e -起到频限作用。
当“时间窗”在x 轴上移动时，信号f (x )“逐渐”进入分析状态，其短时傅里叶变换Gf (ϖ,τ)反映了f (x )在时刻x =τ、频率ω附近“信号成分”的相对含量。
根据前面的分析，写出两种常见的窗口函数如下。
（1）B 样条⎩⎨⎧∈=其他,0]1,0[,1)(1x x N （1.12）对于自然数m ，递推定义110()()d m m N x N x t t -=-⎰，(m ≥2) （1.13）显然，N m (x )是存在m -1阶导函数且仅在有限区间[0，m ]上非零（称之为紧支集）的 函数。
（2）高斯（Gaussian ）函数a x a ax g 42e π21)(-=，a >0前面讨论了短时傅里叶变换的概念、性质以及窗口函数的取法。
下面利用短时傅里叶变换的特性通过设计时域与频率窗口来分析信号的局部性质。
设时域窗口的中心与半径分别为*t 与g Δ，而频率窗口的中心与半径分别为*ϖ与g Δˆ，显然，*t 与*ϖ应该分别为其“重心”，即其值满足式（1.14）：2222221()d 1ˆ()d ˆt x g x xg gg ϖϖϖϖ**⎫=⎪⎪⎬⎪=⎪⎭⎰⎰RR （1.14）利用统计学原理，窗口半径g Δ与g ˆΔ应该设计为其“标准差”，表示有效半径，其值满足式（1.15）：1*222212*22ˆ21(()|()|d )||||1ˆ(()|()|d )ˆ||||g g x t g x x g g g ϖϖϖϖ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩⎰⎰R R ΔΔ （1.15） 为了对信号在（时间，频率）=)(a,0ϖ附近的信息进行分析，时间-频率窗口的形式设计为],[],[ˆ0*ˆ0***g g g g ΔΔΔa t Δa t ++-+⨯++-+ϖϖϖϖ。