最优化方法第四章B-孙文瑜
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最优化方法第四章(2)
1. 算法的构成 内部罚函数法的初始点必须是容许点，迭代点在容许 集的内部移动。基本想法是，对越接近容许集边界的（容 许）点施加越大的惩罚，对边界上的点干脆施加无穷大的 惩罚。这好比在容许集的边界上筑就了一道高墙，阻碍迭 代点穿越边界，把迭代点封闭在容许集内。根据这个想法， 内部罚函数法就仅适用于具有不等式约束的问题，
1. 算法的构成 首先讨论一个例子。求解
min x x ;
2 1 2 2
如图所示。此问题的容许集 D 是直线 x1 x2 2 。用 * T 图解法或Lagrange乘子法不难求出它的极小点是 x [1,1] 根据前面提出的惩罚策略，即 对容许点不予“惩罚”，而对非容 许点则给予正无穷大的“惩罚”， 设法将约束问题（4.68）转化为无约 束问题。 x2 x2 , x x 2 0
证 必要性是显然的。因为极小点是容许点。 充分性 设 x D ，这里的 D 是约束问题（4.67）
f ( x ) F ( x , ) [因 ( x ) 0] F ( x , ) [因x 是F的极小点] f ( x ). [因 ( x ) 0] 所以 x 也是约束问题（4.67）的极小点。 该定理说明,若由无约束问题(4.79)解出的极小点 x 属于（4.67）的容许集 D，则它就是约束问题（4.67）的 极小点。这时只需求解一次无约束问题。但实际上，这种 有利的情况很少发生，即 x 一般不属于 D。而若 x D ， 则 x就一定不是约束问题（4.67）的极小点。这时，应该 增大 ，再重新求解无约束问题（4.79），新的极小点 将 向容许集进一步靠近，即向（4.67）的极小点进一步靠近。 把 在实际的算法中， 取为一个趋于正无穷大的正数 序列 k ，并对 k 0,1, 2, 依次求解无约束问题
最优化方法课
英文简介
The course considers to solve nonlinear unconstrained and constrained optimization problems. Because of the wide use of optimization in science, engineering, economics, and industry, it is essential for students to develop an understanding of optimization algorithms.
五、非线性最小二乘问题
解决小剩余问题与大剩余问题的基本方法, 其中包括GN方法、LM方法等.
六、约束优化问题的最优性条件。
约束问题的基本概念和一、二阶最优性条件。
七、约束规划问题及其方法
内、外罚函数方法，乘子罚函数方法，二次规划问题的等式约束问题的解法及解一般二次规划起作用集方法，SQP方法。
课堂讲授
最优化方法课程详细信息
课程号
00130630
学分
3
英文名称
Optimization Methods
先修课程
数学分析、数值代数
中文简介
学习解决光滑非线性优化的无约束问题和有约束问题的基本方法、方法的基本性质等。希望通过本课程的学习， 使学生掌握基本优化方法，培养学生对算法进行理论分析的初步能力, 培养学生通过计算机用优化方法解决问题的能力。
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
最优化方法,孙文瑜, 徐成贤，朱德通,高等教育出版社,2004,Numerical Optimization,J. Nocedal and S. J. Wright,Springer,1999,
The course considers to solve nonlinear unconstrained and constrained optimization problems. Because of the wide use of optimization in science, engineering, economics, and industry, it is essential for students to develop an understanding of optimization algorithms.
五、非线性最小二乘问题
解决小剩余问题与大剩余问题的基本方法, 其中包括GN方法、LM方法等.
六、约束优化问题的最优性条件。
约束问题的基本概念和一、二阶最优性条件。
七、约束规划问题及其方法
内、外罚函数方法，乘子罚函数方法，二次规划问题的等式约束问题的解法及解一般二次规划起作用集方法，SQP方法。
课堂讲授
最优化方法课程详细信息
课程号
00130630
学分
3
英文名称
Optimization Methods
先修课程
数学分析、数值代数
中文简介
学习解决光滑非线性优化的无约束问题和有约束问题的基本方法、方法的基本性质等。希望通过本课程的学习， 使学生掌握基本优化方法，培养学生对算法进行理论分析的初步能力, 培养学生通过计算机用优化方法解决问题的能力。
开课院系
数学科学学院
通选课领域
是否属于艺术与美育
否
平台课性质
平台课类型
授课语言
中文
教材
最优化方法,孙文瑜, 徐成贤，朱德通,高等教育出版社,2004,Numerical Optimization,J. Nocedal and S. J. Wright,Springer,1999,
[数学]最优化方法刘第四章
![[数学]最优化方法刘第四章](https://img.taocdn.com/s3/m/b93fcd4ef01dc281e43af003.png)
0 x1 1 , f x1 0 1 0 1 第二次迭代： g1 0 , G1 1 2 2 1 而：d1 G1 g1 1 2 2 T 使 g1 d1 2 0, 故令 d1 1 1 沿d1 进行线搜索， 得出1 0.3479422, 0.6958844 于是: x2 1.3479422 f x2 0.5824451 7 0.73 10 此时: g 2 0
T 显然当 cos 1 时， g k d k 取极小值． 因此： d k g k
结论： 负梯度方向使 f x 下降最快， 亦即最速 下降方向．
最速下降法算法
Step1: 给出 x0 R ,0 1, k : 0 Step2: 计算f xk , 如果 f xk , 停．
小结
(1) 最速下降法是基本算法之一，而非有效 的实用算法． 最速下降法的本质是用线性函数来近似 目标函数， 要想得到快速算法，需要考 虑对目标函数的高阶逼近．
§ 4.2 牛顿法
基本思想
利用目标函数 f x 在点 xk 处的二阶Taylor 展开式去近似目标函数， 用二次函数的极小点 去逼近目标函数的极小点．
9 k xk , k 1, 2, k 0.8 1 xk 1 x* xk 1 lim 0.8 分析： (1) lim * k k xk xk x
因此： 最速下降法是整体收敛的， 且是线性收敛的． (2) 两个相邻的搜索方向是正交的．
T k
Step6: 若 g k 1 2 , 停； Step7: 令 k k 1, 转Step1； Step8: 令d k g k , 转Step5； Step9: 令 d k d k , 转Step5.
最优化方法孙文瑜课后答案
最优化方法孙文瑜课后答案【篇一：81010218《最优化算法》教学大纲】xt>课程编号: 81010218课程名称：最优化算法英文名称：optimization algorithm 总学时：32 学分：2适用对象: 信息与计算科学本科专业先修课程：数学分析（1-3），高等代数（1-2），运筹学一、课程性质、目的和任务《最优化算法》课程是信息与计算科学专业的一门主要专业选修课。
本课程的目的是使学生理解最优化理论与方法的基本概念，掌握最优化的基本理论和常见的优化算法，为学习后继课程和解决实际问题打下扎实的基础，培养学生用数学知识解决实际问题的兴趣、意识，以及分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容、方法及基本要求1．非线性规划基本概念教学内容：多元函数极值理论。
基本要求：理解非线性规划问题概念，一般形式，最优解的情况。
理解梯度、海赛矩阵等概念，掌握极值点的必要条件，充分条件。
理解凸函数概念，掌握凸函数的判定条件和方法。
理解凸规划概念。
2. 一维搜索教学内容：一维搜索。
基本要求：掌握求解非线性规划问题搜索法的基本思想。
掌握一维搜索的斐波那契方法和0.618法。
3．求解无约束非线性规划问题的解析法教学内容：梯度法，广义牛顿法，共轭梯度法，变度量法。
基本要求：理解梯度法，广义牛顿法，共轭梯度法，变度量法的基本思想，掌握四种方法的迭代步骤，了解四种方法的收敛定理。
4. 求解无约束非线性规划问题的直接法教学内容：步长加速法，方向加速法，单纯形法。
基本要求：理解步长加速法，方向加速法，单纯形法的基本思想，掌握三种方法的迭代步骤，了解三种方法的收敛准则。
了解解析法与直接法的优缺点。
5. 求解约束非线性规划问题的逐步线性逼近法教学内容：逐步线性逼近法。
基本要求：理解约束非线性规划问题一般模型。
理解逐步线性逼近法基本思想，掌握逐步线性逼近法的求解步骤。
6. 求解约束非线性规划问题的拉格朗日乘子法教学内容：拉格朗日乘子法。
最优化方法 第二版 孙文瑜 部分课后答案
T = {x|f (x) α}
为函数 f (x) 关于实数 α 的水平集. 证明对任意实数 α，集合 T 是凸集. 证: 对于 ∀x1, x2 ∈ T ，根据 T 的定义则有 f (x1) α, f (x2) α. 由于 D 是凸集，则对于 ∀λ ∈ [0, 1]，必 有
λx1 + (1 − λ)x2 ∈ D 又由于 f (x) 是 D 上的凸函数，则有
11 − ,−
T
是否是可行点? 如果是可行点，是内点还是边界点? 是哪个约束的边界点?
22
解: 画出可行域 F，图如下
T
和
x2
1 x2 x1 0
x1 x12 x22 1
则 x(1) 是可行点，是 1 − x2 + x1 0 的边界点； x(2) 不是可行点；
x(3) 是可行点，是 x21 + x22 1 和 1 − x2 + x1 x(4) 是可行点，是 x1 0 的边界点； x(5) 是可行点，也是内点.
Ax 0, x 0, bTx > 0; ATy = b, y 0.
证: 先给这个系统标号：
Ax 0, x 0, bTx > 0; (1) ATy = b, y 0; (2)
要证 (1)(2) 中有且仅有一组解，即证 (1) 有解 ⇐⇒ (2) 无解。 先证充分性：若 (1) 有解，则说明 ∃x¯ 0 使得 Ax¯ 0, bTx¯ > 0. 用反证法证明 (2) 无解，若在 (1) 的条 件下，(2) 有解，则 ∃y¯ 0 使得 ATy¯ = b，即 y¯TA = bT，两边同时右乘 x¯，则有
λx1 + (1 − λ)y1 − λx2 − (1 − λ)y2 = λ(x1 − x2) + (1 − λ)(y1 − y2) 0
最优化方法 尹秋响课件第四章
二次插值多项式近似法（抛物线法） （二）二次插值多项式近似法（抛物线法）的基本原理 在三点x 上的函数值分别为f 设目标函数 f(x)在三点 1 < x2 <x3 上的函数值分别为 1 , f2 , f3 在三点 相应的二次插值多项式为 P2(x)=a0＋a1x + a2x2 令P2(x) 和f(x)在三点上的函数值相等 在三点上的函数值相等 f(x) P2(x1)=a0+a1x1 + a2x12 ＝f1 P2(x2)=a0+a1x2 + a2x22＝f2 P2(x3)=a0+a1x3 + a2x32＝f3 a0, a1, a2 a * ’(x)＝a +2a x =0 的解 x = − 1 P2(x)的平稳点是 P2 ＝ 1 的平稳点是 2 2a 所以只需求出a 所以只需求出 1, a2, 最后得
f(x) f(x) f(x) f(x)
a
b
x
a
a b
x
a
b
b
x
x
连续单峰函数
不连续单峰函数
非单峰函数离散单峰函数
单峰函数具有一个重要的消去性质 定理： 是区间[a,b]上的一个单峰函数，x*∈[a,b]是其极小 上的一个单峰函数， 定理：设f(x)是区间 是区间 上的一个单峰函数 是其极小 上的任意两点， 点， x1 和x2是[a, b]上的任意两点，且a<x1 <x2<b，那么比较 1) 上的任意两点 ，那么比较f(x 的值后， 与f(x2)的值后，可得出如下结论： 的值后 可得出如下结论： （I） 若f(x1)≥f(x2)，x*∈[x1,b] ） ，
x1 x3 x2 P2(x) 三个待定系数
2
பைடு நூலகம்
最优化方法
一、 课程介绍 1.课程描述：
最优化方法是近几十年发展和形成的一门新兴的应用学科。它利用数学、计算机 科学以及其它科学的新成果研究各种系统和实际问题的优化设计，控制和管理的途径 以及策略，为决策者和管理者提供科学决策的理论依据和实际操作手段与方法，是集 理论性与应用性为一体的学科，在生产管理和工程技术等许多领域中有广泛的应用前 景。本课程为运筹学课程的后续进阶课程，针对高年级数学类专业学生开设，侧重非 线性最优化问题的理论和方法，包括最优化方法的若干基本内容：无约束最优化方法 （最速下降法和 Newton 类方法）、共轭梯度方法、非线性最小二乘问题及数值解法、 约束最优化问题的数值解法等。通过课程学习，要求学生掌握最优化的基本理论和方 法，能够利用这些理论方法并借助计算机软件对实际问题进行建模、分析和求解，进 而提升对应用数学的理解，培养应用数学知识解决实际问题的能力。 2.设计思路：
学基础等 并行课程：泛函分析；微分方程数值解法等 后置课程：《计算复杂性理论》、《时间序列分析》、《现代数值方法选讲》等。 二、课程目标
本课程目标是为数学类专业高年级学生提供最优化理论和算法的基本知识框架和 主流成果，使学生了解学科发展的历程和前沿研究动态，同时引导并培养学生用数学 语言和数学思维来描述和解决实际问题的能力，增强沟通能力和团队合作意识。课程 结束时，学生应能： （1）理解和掌握最优化方法的基本理论，常用算法的构造思想和途径，并能针对简单 问题给出这些算法的计算步骤和结果。 （2）提高数学理论分析能力，理解并掌握本课程中较常采用的数学思想和技巧，并且
中国海洋大学本科生课程大纲
课程名称
最优化方法 Optimization Methods
课程属性 专业知识
课程代码 075103301333
最优化方法
最优化方法
任课教师：赵俊锋
联系方式：zhaojf@
办公地点：勇字楼506
教材及主要参考书目
●实用最优化方法(第三版)，唐焕文，秦学志
●应用最优化方法及MATLAB实现，刘兴高，胡云卿●最优化理论与方法，袁亚湘，孙文瑜
●非线性规划(第2版)，宋士吉等译
●最优化计算方法，陈开周编
答疑安排
考核方式
学科总成绩
平时成绩
（30％）
课堂考勤（40％）平时作业
（30％）
课堂表现
（30％）
期末成绩
（70％）
课堂讨论
编程计算
闭卷考试
具体内容
●第一章绪论
●第二章无约束最优化方法●第三章约束最优化方法●第四章人工智能优化算法●第五章多目标优化算法
一
绪论最优化问题模型及分类最优化问题举例
课程简介二三四最优化问题数学基础。
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1 2M
g
i 0
2
k
gk 0 . f ( x k ) , 或lim 两边取极限, 于是, 或者 lim k k 11 从而定理成立
最速下降法优缺点
优点：程序设计简单，计算工作量小，存储量小， 对初始点无要求 缺点：最速下降方向仅是局部性质，对整体而言， 下降速度慢，锯齿现象
T d k 0 , 则是下降方向, 它使得 显然, 若 d k 满足 g k
f ( xk d k ) f ( xk )
4
T T g d k 的值越大, 函 当 取定后, k d k的值越小, 即 g k 数f(x)在xk处下降量越大.
由Cauchy-Schwartz(柯西-施瓦)不等式 T dk gk dk gk (4.1.3)
g k cos k 其中, k 是gk与d之间的夹角 当 k 0时取极值
(4.1.6)
7
这时
gk d gk
最速下降法的迭代格式为 其中步长因子 k 由线性搜索策略确定.
(4.1.7)
xk 1 xk k g k
(4.1.8)
8
算法4.1.1 (最速下降法)
*
1 T min f ( x) x Gx 最速下降 2
1 k 1
2 2
(4.1.12)
x k 1 x * xk x
*
1 1 n 1 n k 1 n 1
12
锯齿现象
数值试验表明, 当目标函数的等值线接近于一个圆 (球)时, 最速下降法下降较快; 而当目标函数的等值线是一个扁长的椭球时, 最速 下降法开始几步下降较快, 后来就出现锯齿现象, 下降十分缓慢
T 事实上, 由于精确线性搜索满足g k 1 d k 0 则 T T (4.1.11) gk g d 1 k k 1d k 0
定理4.1.2 设 f ( x) 在水平集L={x∈Rn|f(x)≤f(x0)}上存 在且一致连续, 则最速下降法产生的序列满足或者对 某个k 有gk=0, 或者f(xk)→-∞, gk→0. 证明：利用定理3.4.3立得.
10
最速下降法的总体收敛性定理
定理4.1.3 设函数f(x)二次连续可微, 且 2 f ( x ) M , 其中M是某个正常数.对任何给定的初始点x0, 最速下 gk 0 f ( x k ) , 或 lim 降算法4.1.1或有限终止, 或 lim k k 证明:考虑无限迭代下去的情形, 由定理3.4.2, 有 1 2 f ( x k ) f ( x k 1 ) gk (4.1.9) 2M k 1 于是 f ( x0 ) f ( xk ) [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i 0 (4.1.10) k 1
(4.1.13)
其中1 和 2 分别是矩阵G的最大和最小特征值, 1 / 2 是矩阵G的条件数.
15
在非二次情形, 如果f (x)在x*附近二次连续可微, f ( x * ) 0, 2 f ( x * ) 0 正定, 则(4.1.12)也成立.
16
二次型
n个变量的二次齐次多项式 f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
步1. 给出 x0 R n ,0 1, k : 0 步2. 计算dk=-gk; 如果 g k , 停止. 步3. 由线性搜索求步长因子 k . 步4. 计算 xk 1 xk k d k 步5. k:=k+1, 转步2 .
9
最速下降法的收敛性
对于最速下降法,θk=0, 因而, 利用定理3.4.3立即可知 最速下降法是总体收敛的.
这表明最速下降法中相邻两次的搜索方向是相互直 交的, 这就产生了锯齿形状.越接近极小点, 步长越 小, 前进越慢. 13
最速下降法的锯齿现象
x2 x3
x*
x1
14
最速下降法的收敛速度
精确线性搜索的最速下降法的收敛速度是线性的
对于极小化正定二次函数, 法产生的序列满足
f ( x k 1 ) f ( x ) 1 n * f ( xk ) f ( x ) 1 n
3
设目标函数f(x)在xk附近连续可微, 且g k f ( x k ) 0 . 将f(x)在xk处Taylor展开 T f ( x) f ( xk ) g k ( x xk ) o( x xk ) (4.1.1) 记 x xk d k ，则上式可写为 T f ( x) f ( xk ) g k d k o( x xk ) (4.1.2)
第4章无约束最优化方法
1
主要内容
4.1 最速下降法 4.2 牛顿法 4.3 共轭梯度法 4.4 拟牛顿法Biblioteka 24.1 最速下降法
最速下降法是以负梯度方向作为下降方 向的极小化算法, 又称梯度法, 是1874 年 法国科学家Cauchy(柯西)提出的. 最速下降法是无约束最优化中最简单的 方法
T T 可知, 当且仅当dk=-gk时, d k g k最小, d k g k最大, 从而gk 是最速下降方向. 以-gk为下降方向的方法叫最速下降法
5
如何选择下降最快的方向？
f ( x k ) 函数值增加最快的方向
xk
函数值下降的方向
f ( x k ) 函数值下降最快的方向
6
事实上, 最速下降方向也可以这样来考虑. 因为目标函数f 沿方向d 的变化率是g(xk)Td, 故最速下 降的单位方向d是问题 T min g (4.1.4) d kd (4.1.5) d 1 s..t 的解 这时 d T g k d g k cos k
2 2 a22 x2 2a 2 n x2 xn ann xn
g
i 0
2
k
gk 0 . f ( x k ) , 或lim 两边取极限, 于是, 或者 lim k k 11 从而定理成立
最速下降法优缺点
优点：程序设计简单，计算工作量小，存储量小， 对初始点无要求 缺点：最速下降方向仅是局部性质，对整体而言， 下降速度慢，锯齿现象
T d k 0 , 则是下降方向, 它使得 显然, 若 d k 满足 g k
f ( xk d k ) f ( xk )
4
T T g d k 的值越大, 函 当 取定后, k d k的值越小, 即 g k 数f(x)在xk处下降量越大.
由Cauchy-Schwartz(柯西-施瓦)不等式 T dk gk dk gk (4.1.3)
g k cos k 其中, k 是gk与d之间的夹角 当 k 0时取极值
(4.1.6)
7
这时
gk d gk
最速下降法的迭代格式为 其中步长因子 k 由线性搜索策略确定.
(4.1.7)
xk 1 xk k g k
(4.1.8)
8
算法4.1.1 (最速下降法)
*
1 T min f ( x) x Gx 最速下降 2
1 k 1
2 2
(4.1.12)
x k 1 x * xk x
*
1 1 n 1 n k 1 n 1
12
锯齿现象
数值试验表明, 当目标函数的等值线接近于一个圆 (球)时, 最速下降法下降较快; 而当目标函数的等值线是一个扁长的椭球时, 最速 下降法开始几步下降较快, 后来就出现锯齿现象, 下降十分缓慢
T 事实上, 由于精确线性搜索满足g k 1 d k 0 则 T T (4.1.11) gk g d 1 k k 1d k 0
定理4.1.2 设 f ( x) 在水平集L={x∈Rn|f(x)≤f(x0)}上存 在且一致连续, 则最速下降法产生的序列满足或者对 某个k 有gk=0, 或者f(xk)→-∞, gk→0. 证明：利用定理3.4.3立得.
10
最速下降法的总体收敛性定理
定理4.1.3 设函数f(x)二次连续可微, 且 2 f ( x ) M , 其中M是某个正常数.对任何给定的初始点x0, 最速下 gk 0 f ( x k ) , 或 lim 降算法4.1.1或有限终止, 或 lim k k 证明:考虑无限迭代下去的情形, 由定理3.4.2, 有 1 2 f ( x k ) f ( x k 1 ) gk (4.1.9) 2M k 1 于是 f ( x0 ) f ( xk ) [ f ( xi ) f ( xi 1 )] i 0 (4.1.10) k 1
(4.1.13)
其中1 和 2 分别是矩阵G的最大和最小特征值, 1 / 2 是矩阵G的条件数.
15
在非二次情形, 如果f (x)在x*附近二次连续可微, f ( x * ) 0, 2 f ( x * ) 0 正定, 则(4.1.12)也成立.
16
二次型
n个变量的二次齐次多项式 f ( x1 , x2 ,, xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a1n x1 xn
步1. 给出 x0 R n ,0 1, k : 0 步2. 计算dk=-gk; 如果 g k , 停止. 步3. 由线性搜索求步长因子 k . 步4. 计算 xk 1 xk k d k 步5. k:=k+1, 转步2 .
9
最速下降法的收敛性
对于最速下降法,θk=0, 因而, 利用定理3.4.3立即可知 最速下降法是总体收敛的.
这表明最速下降法中相邻两次的搜索方向是相互直 交的, 这就产生了锯齿形状.越接近极小点, 步长越 小, 前进越慢. 13
最速下降法的锯齿现象
x2 x3
x*
x1
14
最速下降法的收敛速度
精确线性搜索的最速下降法的收敛速度是线性的
对于极小化正定二次函数, 法产生的序列满足
f ( x k 1 ) f ( x ) 1 n * f ( xk ) f ( x ) 1 n
3
设目标函数f(x)在xk附近连续可微, 且g k f ( x k ) 0 . 将f(x)在xk处Taylor展开 T f ( x) f ( xk ) g k ( x xk ) o( x xk ) (4.1.1) 记 x xk d k ，则上式可写为 T f ( x) f ( xk ) g k d k o( x xk ) (4.1.2)
第4章无约束最优化方法
1
主要内容
4.1 最速下降法 4.2 牛顿法 4.3 共轭梯度法 4.4 拟牛顿法Biblioteka 24.1 最速下降法
最速下降法是以负梯度方向作为下降方 向的极小化算法, 又称梯度法, 是1874 年 法国科学家Cauchy(柯西)提出的. 最速下降法是无约束最优化中最简单的 方法
T T 可知, 当且仅当dk=-gk时, d k g k最小, d k g k最大, 从而gk 是最速下降方向. 以-gk为下降方向的方法叫最速下降法
5
如何选择下降最快的方向？
f ( x k ) 函数值增加最快的方向
xk
函数值下降的方向
f ( x k ) 函数值下降最快的方向
6
事实上, 最速下降方向也可以这样来考虑. 因为目标函数f 沿方向d 的变化率是g(xk)Td, 故最速下 降的单位方向d是问题 T min g (4.1.4) d kd (4.1.5) d 1 s..t 的解 这时 d T g k d g k cos k
2 2 a22 x2 2a 2 n x2 xn ann xn