材料力学(刘鸿文)08章-组合变形
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材料力学(刘鸿文)第八章 组合变形
Fy Fz ∥ A 是剪力，按横力弯曲切应力公式计算切应力；
y , z 矢量叠加；
各力矩对应的变形
z
M x与x 重合， 对应扭转变形
Mx Fx
Fz Mz
x
M x 扭 矩T
y
My Fy
P
My与x 垂直， 对应弯曲变形;
以y轴为中性轴.
弯矩 M y
；
M z 垂直于x轴， 对应另一个方向的弯曲变形；
_+ _+
z ++
++
例3 矩形截面柱。 P1的作用线与杆轴线 重合，P2作用在 y 轴 上。已知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m截面只出现压应 力，求P2的偏心距e。
P1 P2
m
m
ze
b
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
m
m
m
P1 +P2
+=
t,max
c,max
t ,max
Fl Wy
F A
c,max
Fl Wy
F A
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[t ]
c,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
(2)分解外力
Fx F Fy
y , z 矢量叠加；
各力矩对应的变形
z
M x与x 重合， 对应扭转变形
Mx Fx
Fz Mz
x
M x 扭 矩T
y
My Fy
P
My与x 垂直， 对应弯曲变形;
以y轴为中性轴.
弯矩 M y
；
M z 垂直于x轴， 对应另一个方向的弯曲变形；
_+ _+
z ++
++
例3 矩形截面柱。 P1的作用线与杆轴线 重合，P2作用在 y 轴 上。已知， P1= P2=80KN，b=24cm , h=30cm。如要使柱的 m—m截面只出现压应 力，求P2的偏心距e。
P1 P2
m
m
ze
b
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
m
m
m
P1 +P2
+=
t,max
c,max
t ,max
Fl Wy
F A
c,max
Fl Wy
F A
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
Fl Wy
F A
[t ]
c,max
Fl Wy
F A
[ c ]
4、中性轴位置
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
(2)分解外力
Fx F Fy
材料力学(刘鸿文_第5版)
第十四章 习题
2012年11月5日星期一
常州大学机械学院力学教研室
第五章 习题
第六章 弯曲变形
§6-1、工程中的弯曲变形问题 §6-2、挠曲线的微分方程 §6-3、用积分法求弯曲变形 6.1和连续性条件 6.3(a) Page 196 §6-4、用叠加法求弯曲变形 6.9(a) 6.10(b) Page 200 §6-5、简单超静定梁 Page 208 6.36 §6-6、提高弯曲刚度的一些措施
第十三章 习题
§13-1、概述 §13-2、杆件应变能的计算104 Page §13-3、应变能的普遍表达式 §13-4、互等定理 Page 106 §13-5、卡氏定理 Page 107 §13-6、虚功原理 §13-7、单位载荷法 Page 109 莫尔积分 §13-8、计算莫尔积分的图乘法 Page 109
第一章 绪论
§1-1、材料力学的任务 §1-2、变形固体的基本假设 §1-3、外力及其分类 §1-4、内力、截面法和应力的概念 §1-5、变形与应变 §1-6、杆件变形的基本形式
第一章 绪论习题
Page 11 1.2 Page 11 1.4 1.6
第二章 拉伸、压缩与剪切 第二章 习题
§2-1、轴向拉伸与压缩的概念和实例 §2-2、轴向拉伸与压缩时横截面上的内力和应力 2.2 Page 53 2.1(a)(c) §2-3、直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 Page 54 2.6 §2-4、材料拉伸时的力学性能 §2-5、材料压缩时的力学性能 §2-7、失效、安全因数与强度计算54 2.7 Page 54 2.12 Page §2-8、轴向拉伸或压缩时的变形 58 2.19 Page 61 2.30 Page
附录 I 平面图形的几何性质
材料力学2-第八章-组合变形PPT课件
x
z
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
② 应力
My引起的应力：
MyzMzcojs
Iy
Iy
M z引起的应力：
MzyMysijn
Iz
Iz
合应力： M(zcoj sysijn)
Iy
Iz
m
x
z
x
m Pz
Py
y
LP
Pz
zj
Py P
y
③ 中性轴方程 M(z0cojsy0sijn)0 中性轴
Iy
Iz
D2
tg y0 Iz ctgj
均布力作用， []=12MPa，许可挠度为L/200 ，E=9GPa，试选
择截面尺寸并校核刚度。
解：① 外力分析—分解q
yq
z
26°34´
q
A
B
L
qyqsin 80 0.0 44 375 N8/m
q z q co 8 s 0 0 .8 0 9 74 N 15 /m
Mzmaxqy8L235838240N 3m Myma xqz8L271 83 5280N4m
az
中性轴
1 yP y0 zPz0 0
iz2
iy2
ay
截面核心
已知 ay， az 后 ，
z
1
yPa y
i
2 z
0
1
z
Pa
i
2 y
z
0
P(zP,yP)
可求 P力的一个作用点 (zP,yP)
y
利用以上关系可确定截面核心的边界
例3 分别确定圆截面与矩形截面的截面核心.
材料力学第五版课件 主编 刘鸿文 第八章组合
33
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横 向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合 变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。
34
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附 加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当 大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。
20
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕 通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相 互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点 处弯曲正应力为零。
态，故可把t,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度
条件。
37
材料力学Ⅰ电子教案
Ⅱ.偏心拉伸(压缩)
第八章 组合变形及连接部分的计算
偏心拉伸或偏心压缩是 指外力的作用线与直杆的轴 线平行但不重合的情况。
图a所示等直杆受偏心 距为e的偏心拉力F作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为 y轴和z轴。
P
P
P
e
Pe
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-4 扭转和弯曲的组合变形
机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合 变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴 便是一种典型的情况。土建工程中发生扭－弯组合变形的杆件 往往是非圆截面的。
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横 向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合 变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。
34
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附 加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当 大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。
20
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕 通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相 互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点 处弯曲正应力为零。
态，故可把t,max直接与材料的许用正应力进行比较来建立强度
条件。
37
材料力学Ⅰ电子教案
Ⅱ.偏心拉伸(压缩)
第八章 组合变形及连接部分的计算
偏心拉伸或偏心压缩是 指外力的作用线与直杆的轴 线平行但不重合的情况。
图a所示等直杆受偏心 距为e的偏心拉力F作用，杆 的横截面的形心主惯性轴为 y轴和z轴。
P
P
P
e
Pe
材料力学Ⅰ电子教案
第八章 组合变形及连接部分的计算
§8-4 扭转和弯曲的组合变形
机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合 变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴 便是一种典型的情况。土建工程中发生扭－弯组合变形的杆件 往往是非圆截面的。
9.刘鸿文版材料力学-组合变形
xM
z
Mzy Iz
xM
y
Myz Iy
P Mz y Myz x A Iz Iy
偏心拉（压） 截面核心 中性轴方程
对于偏心拉压问题
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
P PyP y0 PzP z0 P yP y0 z P z0 (1 2 2 )0 2 2 A Aiz Aiy A iz iy
y
z P az 0 1 2 0 iy
可求 P力的一个作用点 ( zP , yP )
50
偏心拉（压） 截面核心 例3 如图所示偏心受压短柱的截面为矩形，试确定截面核心。 解： 矩形截面的对称轴即为形心主惯性轴，且 b2 h2 2 iy , i z2 12 12 若中性轴与AB边重合，则中性轴 在坐标轴上的截距分别是 h cy , az 2 代入公式，得力的作用点a的坐标是
P（zP， yP） y
y P y0 zP z0 2 0 1 2 iz iy
i ay , az y FP z FP
48
2 z
2 iy
偏心拉（压） 截面核心 危险点
（距中性轴最远的点）
P Mz My L max A Wz Wy P Mz My y max A Wz Wy
20 20
解：内力分析如图 y
yC
z P
100
坐标如图，挖孔处的形心
201020 zC 5mm 100102010
N M
101003 I yC 10100 52 12
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
P
M 5P 3 500Nm 10
刘鸿文《材料力学》(第5版)章节题库(组合变形)【圣才出品】
第8章 组合变形一、解答题1．矩形截面梁如图8-1（a ）所示。
已知：q ＝2kN ／m ，P 0＝240kN ，P 1＝160kN ，P 2＝4kN ，b ＝12cm，l ＝2m ，h ＝16cm 。
求梁内的最大拉应力和压应力以及危险截面上中性轴的位置。
图8-1解：梁的固定端为危险截面，其上的内力为危险截面上M y 和M z所引起的应力的正、负号如图8-1（b ）所示。
从图中可以看出，最大拉应力发生在第一象限的角点A ，最大压应力发生在第四象限的角点B 。
对于危险截面，N ＜0、M y ＞0、M z ＞0；而矩形截面的惯性半径的平方所以，中性轴n －n 在z 轴和y 轴的截距分别为2．简易摇臂吊车如图8-2（a ）所示，吊重F ＝8 kN ，梁由两根槽钢组成，许用应力[σ]＝120 MPa 。
试按正应力强度条件选择槽钢的型号。
图8-2解：梁AB 的受力简图如图8-2（b ）所示，由平衡方程∑M A ＝0，得F （2．5＋1．5）－F C sin30°×2．5＝0F C ＝25．6 kN力F Cr 在x ，y 方向的分量分别为F xC ＝F C cos30°＝22．2kNF Cy ＝F C sin30°＝12．8 kNAB 梁受轴力F Cr ，横向力F 及F Cy作用发生压缩与弯曲组合变形，其轴力图和弯矩图如图8-2（c）所示，危险截面是C 截面。
C 截面的压缩应力和最大弯曲正应力分别为压缩和弯曲的组合应力为有两个未知参数，可先不考虑轴力的影响，按弯曲应力选取即得W z ≥10×1044 mm 3每根槽钢w'z ≥5×104mm 3，查型钢表，选取12．6槽钢，其W'z ＝6．2×104mm 3，A ＝1569 mm 2。
根据压缩和弯曲的组合应力进行校核强度满足，选定12．6槽钢。
3．偏心拉伸杆，弹性模为E ，尺寸、受力如图8-3所示，试求：（1）最大拉应力和最大压应力的位置和数值；（2）AB 长度的改变量。
大学材料力学C08 组合变形27
d3 32
10 PL d3 32
安全
例8-6 图示折杆CAB位于水平面内，AB段直径 d=60mm, L=90mm,P=6kN, s 60MPa ,试用第三 P P 强度理论校核AB的强度。 C
z
解：AB杆为拉伸、两 垂直平面内弯曲、扭 转组合变形
P P 拉伸： s A d2 4
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条 件为 M 2 0.75T 2
s r4
W [s ]
即
(1064 N m) 2 0.75(1000 N m) 2 100106 Pa W
1372 N m 6 100 10 Pa 3 πd / 32
3
亦即
于是得
d
此二式为基本公式公式适用于平面应力状态而不论正应力s是由弯曲或是由其他变形引起的切应力t是由扭转或是由其他变形引起的也不论正应力和切应力是正值或是负值
8.4 扭转与弯曲
一般的传动轴通常发生扭转与 弯曲组合变形。由于传动轴大都是 圆截面的, 故以圆截面杆为例, 讨论 杆件发生扭转与弯曲组合变形时的 强度计算。
B
L y
N:
A
L
P PL
x
My :
2
斜弯： s
My Mz
2
PL
MZ :
pL
W
T:
( PL) ( PL) d3 32 T PL 扭转： t 2W d 3 16
2 2
z
P P C
B
L y
A
L
x
故：s r 3
s ) 2 4t 2 (s
2 2
4 P 32 2 PL 16PL 2 4 3 3 d d d
材料力学第八章__组合变形
图f
M c M c y2M c z2
0 .56 20 8 .22 20 7 .6k 12 N m
M B M B y 2M B z 2
0.36 24 121.0k 6N m
（3）应力分析 危险截面上的正应力及剪应力分布如图 h。 围绕危险点 D1 截至取单元体应力状态如图 i 所示 。
弯曲
弯曲是平面弯曲，还是斜弯曲？
(1)当外力偶作用面位于形心主惯性 平面或平行于形心主惯性平面时,梁 产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用面在平行于形心 主惯性平面,并且通过弯曲中心时, 梁发生平面弯曲。
解题步骤
1.外力分解:将外力分解成若干类简单外力,使每 一类简单外力只产生一种基本变形。
某圆轴受力如图所示 , 已知圆轴的直径D= 100mm，材料的容许应力[σ ]=160MPa。试 按第三强度理论进行强度校核。
1. 外 力 分 析
2.内力分析
N
T
N=100kN
T=5kN.m
M
M=11.2kN.m
3.应力分析
T 25.5MPa
WT
N M
12.7MPa114MPa127MPa
承受弯曲与扭转的圆轴解题步骤：
•计算简图； •外力分析； •内力分析（内力图与可能危险面，忽略 剪力）； •应力分析（危险点及其应力状态）； •强度计算
计算简图；
内力图与可能危险面
危险点及其应力状态 危险点的位置
危险点及其应力状态 危险点的应力状态
强度计算公式
M, W
Mx, WP
P1
80ºP2 z
x
A 150
B 200 C 100 D
y
No
M c M c y2M c z2
0 .56 20 8 .22 20 7 .6k 12 N m
M B M B y 2M B z 2
0.36 24 121.0k 6N m
（3）应力分析 危险截面上的正应力及剪应力分布如图 h。 围绕危险点 D1 截至取单元体应力状态如图 i 所示 。
弯曲
弯曲是平面弯曲，还是斜弯曲？
(1)当外力偶作用面位于形心主惯性 平面或平行于形心主惯性平面时,梁 产生平面弯曲。
(2)当横向外力作用面在平行于形心 主惯性平面,并且通过弯曲中心时, 梁发生平面弯曲。
解题步骤
1.外力分解:将外力分解成若干类简单外力,使每 一类简单外力只产生一种基本变形。
某圆轴受力如图所示 , 已知圆轴的直径D= 100mm，材料的容许应力[σ ]=160MPa。试 按第三强度理论进行强度校核。
1. 外 力 分 析
2.内力分析
N
T
N=100kN
T=5kN.m
M
M=11.2kN.m
3.应力分析
T 25.5MPa
WT
N M
12.7MPa114MPa127MPa
承受弯曲与扭转的圆轴解题步骤：
•计算简图； •外力分析； •内力分析（内力图与可能危险面，忽略 剪力）； •应力分析（危险点及其应力状态）； •强度计算
计算简图；
内力图与可能危险面
危险点及其应力状态 危险点的位置
危险点及其应力状态 危险点的应力状态
强度计算公式
M, W
Mx, WP
P1
80ºP2 z
x
A 150
B 200 C 100 D
y
No
8 组合变形简练版
M 2 T 2
W
r4
M W
2
3
T WP
2
M 2 0.75T 2
W
（4）
材料力学 第八章 组合变形
例8-4-1 图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切 向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向力的 点构成的圆）直径dC=400 mm,齿轮D的节圆直径 dD=200 mm。已知许用应力 [s ]=100 MPa。试按第四 强度理论求轴的直径。
1.5ｍ
M A 0, Fcy 18kN, Fcx 24kN
做弯矩图和轴力图，危险截面 为C点左侧截面。
2ｍ
1ｍ
注意：求工字钢截面几何尺寸 时，因为A、W不可能同时获 得，所以不能同时考虑弯矩与 轴力条件，可先按弯曲强度条 件试算，再按弯压组合进行强 度校核。
12kN .m
24kN
例6.2图
P P 500
z yc
c
y
h
材料力学 第八章 组合变形
解：由图可见，载荷P偏离立柱轴线，其偏心距为： e=yc+500=200+500=700mm。
最大组合正应力发生在截面内、外侧边缘a、b 处，其值分别为
a b
P A
P A
Pe y c Iz
Pe y 2 Iz
32.3MPa 53.5MPa
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M 2 T 2 W d 3
W
32
d 3
32
刘鸿文《材料力学》复习笔记和课后习题(含考研真题)详解(组合变形)【圣才出品】
Iz
（3）根据叠加原理，总正应力：
FN M z gy
A Iz
5．强度计算 危险点通常位于截面上距中性轴最远处。 （1）强度条件 危险点处于单向应力状态，强度条件 σmax≤[σ]。 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件： σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。 （2）强度计算步骤 ①作内力图，确定危险截面； ②计算截面应力并作其分布图，确定危险点；
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第 8 章 组合变形
8.1 复习笔记
一、组合变形和叠加原理 组合变形是指构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形。在下述情况下组合变 形可用叠加法求解：①内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系，即满足胡克定律； ②变形是小变形，可以用原始尺寸原理。
W
其中，W 为抗弯截面系数。 8.2 课后习题详解
8.1 试求图 8-2-1 所示各构件在指定截面上的内力分量。
9 / 67
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图 8-2-1 解：（a）FN＝Fcosθ，FS＝Fsinθ，M＝Facosθ＋Flsinθ （b）FN＝Fy，FSx＝Fx，FSz＝Fz，Mx＝2Fy－FzL，Mz＝FxL－3Fy，T＝2Fx－3Fz （c）截面 1-1：FSy＝F1/2，FSz＝F2/2，Mz＝F1a，My＝F2a，T＝－F1a/2；
图 8-1-1 3．内力分析 横截面上的内力包括：轴力 FN、弯矩 Mz 和剪力 FS。其中，由于剪力引起的切应力较 小，因此，一般不考虑。
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4．应力分析 （1）拉伸正应力：
（3）根据叠加原理，总正应力：
FN M z gy
A Iz
5．强度计算 危险点通常位于截面上距中性轴最远处。 （1）强度条件 危险点处于单向应力状态，强度条件 σmax≤[σ]。 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉和抗压强度条件： σtmax≤[σt]，σcmax≤[σc]。 （2）强度计算步骤 ①作内力图，确定危险截面； ②计算截面应力并作其分布图，确定危险点；
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第 8 章 组合变形
8.1 复习笔记
一、组合变形和叠加原理 组合变形是指构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形。在下述情况下组合变 形可用叠加法求解：①内力、应力、应变、变形等与外力之间成线性关系，即满足胡克定律； ②变形是小变形，可以用原始尺寸原理。
W
其中，W 为抗弯截面系数。 8.2 课后习题详解
8.1 试求图 8-2-1 所示各构件在指定截面上的内力分量。
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图 8-2-1 解：（a）FN＝Fcosθ，FS＝Fsinθ，M＝Facosθ＋Flsinθ （b）FN＝Fy，FSx＝Fx，FSz＝Fz，Mx＝2Fy－FzL，Mz＝FxL－3Fy，T＝2Fx－3Fz （c）截面 1-1：FSy＝F1/2，FSz＝F2/2，Mz＝F1a，My＝F2a，T＝－F1a/2；
图 8-1-1 3．内力分析 横截面上的内力包括：轴力 FN、弯矩 Mz 和剪力 FS。其中，由于剪力引起的切应力较 小，因此，一般不考虑。
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4．应力分析 （1）拉伸正应力：
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cmax
A
Wz
94.37MPa [ ]
C
A
300
B
D
1.2m
1.2m
R SA
RA
NAB
300
B
D HA
P
练习:
一折杆由两根无缝钢管焊接 而成,已知两根钢管的外径都 是140mm ,壁厚都是10 mm 。
试求折杆危险截面上的最大 拉应力和最大压应力。
12.24mm
250 KN C
A
B
1.8 m
P
P
R
M
P z
x y
二、叠加原理
构件在小变形和服从胡克定理的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的叠加
解决组合变形的基本方法将其分解 为几种基本变形；分别考虑各个基本变 形时构件的内力、应力、应变等；最后 进行叠加。
§8.2 拉(压)与弯曲的组合
=+
t,max
=+
c,max
c
F A
t,max
=+
t,max
Fl W
c,max
Fl W
c,max
t,max
Fl W
F A
[ t ]
c,max
Fl W
F A
[ c ]
2、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
①外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴 分解
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力 图，确定危险面。
第第4章八弯曲章内
组力 合 变 形 王明禄
2020年4月13日星期一
组合变形工程实例
压弯组合变形
组合变形工程实例
F 350 F
F 350
M
FN
拉弯组合变形
组合变形工程实例
弯扭组合变形
组合变形工程实例
拉扭组合变形
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形：在复杂外载作用下，构件的变形常包含几 种简单变形，当它们的应力属同一量级时，均不能忽 略，变形可以看成简单变形的组合，称为组合变形
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
1 2 4 2 0
22
M
W
T
Wp
1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
第三强度理论：
圆截面轴:
M
W
T
Wp
1
2
1 2
2 4 2
2 0
3
2
1 2
2 4 2
第四强度理论：
圆截面轴:
例1：传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩 m=1KN.m， 皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为N1，松边拉力为N2。 且N1=2 N2，L=200mm，轴的许用应力[]=160MPa。试用第三 强度理论设计轴的直径。
NAB=P
A
300
B
D
1.2m
1.2m
RA=0.5P HA=0.866P AB为平面弯曲与压缩组合变形。 中间截面为危险截面。最大压应力
R SA
RA
NAB
300
B
D HA
发生在该截面的上边缘。
P
压缩正应力
H A 0.866P
A
A
最大弯曲正应力
W
max
1.2 RA Wz
0.6P Wz
0.866P 0.6P
Ty
B C
P
x
12kN .m
x
24kN
例3：悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。 其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积A=35.5cm2，总荷载 P=34KN，横梁材料的许用应力为[]=12.5MPa。校核横 梁AB的强度。
C
A
300
B
D
1.2m
1.2m
C
解：分析AB的受力
m A 0 N ABsin 300 2.4 1.2P 0
y
d
m
x
Z
A
c
B
N2
N1
L/2
L/2
解：1.外力分析：将力向轴
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险 点的强度条件。
例1 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉 应力[t]＝30MPa，许用压应力[c]＝120MPa。试按立柱的强度 计算许可载荷F。
解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩
F 350
F
F
y1 z0 y z1
150
350
Tx
A
M
16号工字钢，其横截面积为
N
26.1cm3 。
Ty
B C
P
x
12kN .m
x
24kN
在C左侧的下边缘压应力最大， 需要进行校核。
+
=
T
RA
HA
Tx
A
max
N M max AW
24 103 12 103 M
26.4 104 141106
94.3MPa 100MPa
N
固工字钢合适。
M FN
50
A 15000mm 2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm 4
（2）立柱横截面的内力
FN F
M F 350 75103
50
150
425F 103N.m
A 15000mm 2 z0 75mm z1 125mm I y 5.31107 mm 4
1.8 m
作业和练习
• 练习：8.1，8.2，8.3，8.4，8.5 • 作业：8.6
§8-4 弯扭组合变形
关于扭转和弯曲的几个知识点的回顾
1.内力图的画法： 扭矩图： 右手螺旋判方向，左上右下算大小。 弯矩图： 载荷集度、剪力和弯矩的微分关系。
2.应力计算公式：
扭转切应力：
T
I45000N 45kN
例2 起重机的最大吊重P=12kN，
[σ]=100kN/m2 ,横梁AB为16号工
字钢,校核其强度。
解：（1）受力分析
由 MA 0 得
Tx
2 1.5
T
y
24kN
Ty 18kN
（2）作AB的弯矩图和轴力图， 确定C左侧截面为危险截面。
T
RA
HA
Iz
max
T Wp
max
M Wz
l
C
F
B
a
A
Fa T
M
Fl
C平面
y
1
T
4
z
x
2
3 Mz
1
τ
T Wp
σ
Mz Wz
3
τ
T Wp
σ
Mz Wz
1
τ
T Wp
σ
Mz Wz
3
τ
T Wp
σ
Mz Wz
max
x
y
2
1 2
x
y
2
4
2 xy
M
W
T
Wp
1 2 4 2 0
22
min
x
y
15
F 10
3
934F Pa
F 350
FN
t.max 667F c.max 934F
（4）求压力F
t.max 667F t
t.max
c.max
F t 30 106 45000N
667 667
c.max 934F c
F c 120 106 128500N
F 350
M FN
t.max
c.max
（2）立柱横截面的内力
FN F
M 425103 F N.m
（3）立柱横截面的最大应力
t.max
Mz0 Iy
FN A
425103 F 0.075 5.31105
F 15 103
667F Pa
c.max
Mz1 Iy
FN A
425103 F 0.125 5.31105