材料力学 组合变形资料
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材料力学 组合变形完整版汇总
材料力学
|FN|最大处 |T|最大处
|M|最大处
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型
拉压
内力
轴力FN
正应力
FN/A 无
切应力 无 Tρ/Ip 无
忽略不计
扭转
纯弯曲
扭矩T
弯矩M
My/Iz
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs My/Iz
材料力学
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
C L A D
30º
1.3m
F
材料力学
1.3m
B
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：பைடு நூலகம்
选AB为研究对象， 求A、B处的约束反力
C L A D
30º
根据受力分析判断AB杆 的变形组合类型 压缩和弯曲的组合
1.3m F
1.3m
B
分解成基本变形
做出压缩的轴力图和弯曲的弯矩图，确定危险截面 将D截面压缩的压应力与弯曲的最大压应力叠加， 进行强度校核
组合变形/拉压与弯曲的组合
巩固练习
练习一：图示的压力机框架为实心圆截面，直径d=100mm，最 大加工压力为F=12KN，已知材料许用应力为100Mpa，试校核 框架立柱的强度。
200
F
F
材料力学
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的
变形组合类型
200
F
拉伸和弯曲的组合
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
2FL
FL
求中点处的最大正应力：
FL FL Wz Wy 0 2FL Wz Wy
求固定端的最大正应力：
|FN|最大处 |T|最大处
|M|最大处
组合变形/组合变形和叠加原理
求基本变形横截面上的应力：
变形类型
拉压
内力
轴力FN
正应力
FN/A 无
切应力 无 Tρ/Ip 无
忽略不计
扭转
纯弯曲
扭矩T
弯矩M
My/Iz
横力弯曲 弯矩M+剪力Fs My/Iz
材料力学
4.将危险截面的应力叠加，并进行强度校核
C L A D
30º
1.3m
F
材料力学
1.3m
B
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：பைடு நூலகம்
选AB为研究对象， 求A、B处的约束反力
C L A D
30º
根据受力分析判断AB杆 的变形组合类型 压缩和弯曲的组合
1.3m F
1.3m
B
分解成基本变形
做出压缩的轴力图和弯曲的弯矩图，确定危险截面 将D截面压缩的压应力与弯曲的最大压应力叠加， 进行强度校核
组合变形/拉压与弯曲的组合
巩固练习
练习一：图示的压力机框架为实心圆截面，直径d=100mm，最 大加工压力为F=12KN，已知材料许用应力为100Mpa，试校核 框架立柱的强度。
200
F
F
材料力学
组合变形/拉压与弯曲的组合
思路分析：
根据受力情况判断立柱的
变形组合类型
200
F
拉伸和弯曲的组合
拉伸： 求轴力，绘制轴力图 弯曲： 求弯矩，绘制弯矩图
2FL
FL
求中点处的最大正应力：
FL FL Wz Wy 0 2FL Wz Wy
求固定端的最大正应力：
材料力学组合变形
第八章 组合变形
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
组合变形和叠加原理 拉伸或压缩与弯曲旳组合 扭转与弯曲旳组合
目录
§8-1 组合变形和叠加原理
一、组合变形旳概念
构件在荷载作用下发生两种或两种以上旳基本变形,则构件 旳变形称为组合变形.
l 基本变形 u 拉伸、压缩
u 剪切
u 扭转
u 弯曲
二、处理组合变形问题旳基本措施－叠加法
叠加原理旳成立要求:内力、应力、应变、变形等与外力之 间成线性关系.
M A(F) 0
F 42 kN
H 40 kN, V 12.8 kN
l 内力图 l 危险截面
C 截面
M C 12 kNm, N 40 kN
l 设计截面旳一般环节
u 先根据弯曲正应力选择工字钢型号； u 再按组合变形旳最大正应力校核强度，必要时选择大一号或 大二号旳工字钢； u 若剪力较大时，还需校核剪切强度。
按第四强度理论
Qy My T
r4
1 W
Mz Qz
M 2 0.75T 2 47.4 MPa [ ]
(3) 曲柄旳强度计算
l 危险截面 III-III截面
l 计算内力 u 取下半部分
Qx Qz
N R2 C1 13 kN Mx m H2 d /2
765 Nm
M z R2 (a b / 2) 660 Nm
横截面上任意一点 （ z, y） 处旳正应 力计算公式为
1.拉伸正应力
FN
A
2.弯曲正应力
Mz y
Iz
FN Mz y
A Iz
( z,y)
Mz
z
O
x
FN
y
3.危险截面旳拟定
作内力图
F1
轴力
《材料力学组合变形》课件
这种变形通常发生在承受轴向力 和弯矩的杆件中，其变形特点是 杆件既有伸长或缩短，又有弯曲 。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
拉伸与压缩组合变形的分析方法
01
02
03
弹性分析方法
基于弹性力学的基本原理 ，通过求解弹性方程来分 析杆件内部的应力和应变 分布。
塑性分析方法
在材料进入塑性阶段后， 采用塑性力学的基本理论 来分析杆件的承载能力和 变形行为。
材料力学在组合变形中的应用实例
01
02
03
04
桥梁工程
桥梁的受力分析、桥墩的稳定 性分析等。
建筑结构
高层建筑、大跨度结构的受力 分析、抗震设计等。
机械工程
机械零件的强度、刚度和稳定 性分析，如轴、轴承、齿轮等
。
航空航天
飞机和航天器的结构分析、材 料选择和制造工艺等。
材料力学在组合变形中的发展趋势
特点
剪切与扭转组合变形具有复杂性和多样性，其变形行为受到多种因素的影响，如 材料的性质、杆件的长度和截面尺寸、剪切和扭转的相对大小等。
剪切与扭转组合变形的分析方法
1 2 3
工程近似法
在分析剪切与扭转组合变形时，通常采用工程近 似法，通过简化模型和假设来计算杆件的应力和 变形。
有限元法
有限元法是一种数值分析方法，可以模拟杆件在 剪切与扭转组合变形中的真实行为，提供更精确 的结果。
弯曲组合变形的分析方法
叠加法
刚度矩阵法
叠加法是分析弯曲组合变形的基本方 法之一。该方法基于线性弹性力学理 论，认为各种基本变形的应力、应变 分量可以分别计算，然后按照线性叠 加原理得到最终的应力、应变分布。
刚度矩阵法是通过建立物体内任意一 点的应力、应变与外力之间的关系， 来求解复杂变形问题的一种方法。对 于弯曲组合变形，可以通过构建系统 的刚度矩阵来求解。
材料力学-组合变形
强度条件（简单应力状态）—— max
7
4、刚度计算
y
f y max
f max
Fy L3 3EI z
,
Fz L3 f z max 3EI y
Fy L3
Fsz z
z
F
y
Fsy
y
3 F L f y2 f z2 ( )2 ( z )2 3EI z 3EI y
48.44o
2 2 2 2 f max wz ) max wy max 11.99 10.63 16.02(m m
f max
3.3 103 16.02(m m) w 16.5(m m) 200
10
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l= 1m，许用应力[σ ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
z （1）中性轴不过截面形心，与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有 ez 关； （2）中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与中性轴分别在 截面形心的相对两侧； （3）外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外 面。当中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉 22 应力；
a y1 h 2
i ey
2 y
2 z
④D
b 6 b 6
z
2
①
A
a z1
az
2 iy
ay
ez
b
3
1
h 6
y
b 23 12 hb i A 12 bh
2 z
Iy
4h
7
4、刚度计算
y
f y max
f max
Fy L3 3EI z
,
Fz L3 f z max 3EI y
Fy L3
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z
F
y
Fsy
y
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48.44o
2 2 2 2 f max wz ) max wy max 11.99 10.63 16.02(m m
f max
3.3 103 16.02(m m) w 16.5(m m) 200
10
例 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l= 1m，许用应力[σ ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸： (1) 截面为矩形，h=2b；(2) 截面为圆形。
z （1）中性轴不过截面形心，与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有 ez 关； （2）中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与中性轴分别在 截面形心的相对两侧； （3）外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外 面。当中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉 22 应力；
a y1 h 2
i ey
2 y
2 z
④D
b 6 b 6
z
2
①
A
a z1
az
2 iy
ay
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b
3
1
h 6
y
b 23 12 hb i A 12 bh
2 z
Iy
4h
材料力学10组合变形
材料力学10组合变形组合变形是指当结构受到外力作用时，由于各个零件的不同材料及尺寸性质的差异，导致各个零件产生不同的变形现象，从而使整个结构发生整体的变形。
组合变形是结构力学的重要内容，对于工程结构的设计、安全性评估和结构稳定性分析都至关重要。
本文将介绍组合变形的概念、分析方法和影响因素。
组合变形的概念：组合变形是指由于结构中不同零件的尺寸和材料性质的不一致，而导致结构在受力时产生的整体变形。
组合变形分为两类：一是刚体体变形，即结构在受力作用下整体平移、旋转或缩放；二是构件本身变形，即结构中各零件由于尺寸和材料的不一致而产生的内部变形。
组合变形的分析方法：组合变形的分析方法主要有两种：力法和位移法。
力法是指根据梁的变形方程和杨氏模量的定义，通过计算各零件在各个截面上的张力或弯矩，从而得到整体的变形情况。
位移法是指根据构件的位移和应变关系，通过求解位移方程组，从而得到整体的变形情况。
力法和位移法都是基于弹性理论，适用于较小变形和线性弹性材料的情况。
组合变形的影响因素：组合变形的大小与结构的几何形状、零件尺寸和材料性质有关。
影响组合变形的因素主要有以下几个方面：1.结构的几何形状：结构的几何形状对组合变形有重要影响。
例如，在长梁的弯曲变形中，梁的长度和曲率半径都会影响变形的大小。
2.零件的尺寸：零件的尺寸对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的截面积和转动惯量会影响变形的大小。
3.零件的材料性质：零件的材料性质对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，梁的弹性模量和截面剪切模量会影响变形的大小。
4.外力的作用方式：外力的作用方式对组合变形有重要影响。
例如，在梁的弯曲变形中，集中力和均布力对变形的影响是不同的。
除了以上几个因素外，结构的边界条件和连接方式也会影响组合变形的大小。
此外，在实际工程中，结构中可能存在的缝隙、温度变化、材料老化等因素也会对组合变形产生影响。
对于设计工程结构来说，合理控制组合变形是非常重要的。
14-1组合变形-材料力学
Fz F sin
五、自由端的变形
z
A
y
y
FL3 cos
3EI z
z
B y
x
B z
FL3 sin
3EI y
B
z
y
查表7-1（3）
在 Fz B点的位移 z ：
例题14.1 图所示屋架结构。已知屋面坡度为1：2， 两屋架之间的距离为4m，木檩条梁的间距为1.5m， 屋面重（包括檩条）为1.4kN/m2。若木檩条梁采
"
Iy
Iy
'
M z y M y z
Iz
Iy
cos sin
M ( y z)
Iz
Iy
四、斜弯曲时的强度条件
1、中性轴的位置
M (
Iz
yo
sin
Iy
zo )
0
tan yo Iz tan
zo
和扭矩图如图c、d
危险截面在杆的根部（固定端）
（3）应力分析
B
M W
T
T Wp
在杆的根部取一单元体分析
y 0, x B , xy T
计算主应力
1
3
B
2
( B
2
)2
2 T
2 0
（4）强度分析
选择第三、第四强度理论
r3
入偏心拉伸的强度条
4
32
件校核
32.4106 32.4MPa 35MPa
满足强度条件，最后选用立柱直 d = 12.5cm
材料力学第十章 组合变形
r 3 2 4 2
r3
2 M y M z2 T 2
W
M 2 T 2 W
r 4 3
2
2
2 M y M z2 0.75T 2
r4
W
M 2 0.75T 2 W
例3 图示空心圆杆，
内径d=24mm，外
径D=30mm， P1=600N， []=100MPa，试用 第三强度理论校核 A
Lmax D1
⑤变形计算
ymax D 2
f f
2 y 2 z
fz
f
tg
fy fz
f fy
当j = 时，即为平面弯曲。
例1结构如图，P过形心且与z轴成j角，求此梁的最大应力与挠度。 解：危险点分析如图 中性轴 h Pz
x
Py
P z j z
D2 P 变形计算 Py y
P
P
10203 [ 1020252 ] 12 7.27105 mm4
M 5P 3 500Nm 10
P N M
20 20
y yC z
应力分析如图
100
N M z max max A I yc
P
100 103 500 55 103 6 800 10 7.27107
P Mz y Myz x A Iz Iy
三、中性轴方程
P M z y0 M y z0 x 0 A Iz Iy
对于偏心拉压问题 P Py y Pz z P yP y0 z P z0 P 0 P 0 (1 2 2 )0 y 2 2 A Aiz Aiy A iz iy y
1
材料力学——8组合变形
A
F m
B
T 15kN m
M max 20kN m
W
15kN· m
D 3
32
(1 )
4
+
r3
20kN· m
-
M2 T2 157.26MPa [ ] W
例题8 传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩
m=1kN· m，皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为 F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用 应力[]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径
例3 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, []=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。 解：拉扭组合,危险点应力状态如图 T P A T P
P 450 10 3 6.37 MPa A 0.12
T 167000 35 .7MPa 3 Wn 0.1
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
N P P P 1 2 A A (2a) 4a2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2 a a 1 2a 2 a a 6 2 P a2 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
2、相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
2 0
r 3 1 3 2 4 2
第四强度理论,计算相当应力
r 4 2 3 2
3、强度校核
F m
B
T 15kN m
M max 20kN m
W
15kN· m
D 3
32
(1 )
4
+
r3
20kN· m
-
M2 T2 157.26MPa [ ] W
例题8 传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩
m=1kN· m，皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为 F1，松边拉力为F2。且F1=2F2，L=200mm，轴的许用 应力[]=160MPa。试用第三强度理论设计轴的直径
例3 直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN, []=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。 解：拉扭组合,危险点应力状态如图 T P A T P
P 450 10 3 6.37 MPa A 0.12
T 167000 35 .7MPa 3 Wn 0.1
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
N P P P 1 2 A A (2a) 4a2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2 a a 1 2a 2 a a 6 2 P a2 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
2、相当应力计算 第三强度理论,计算相当力
2 0
r 3 1 3 2 4 2
第四强度理论,计算相当应力
r 4 2 3 2
3、强度校核
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y
hb
b
az ef
c
d
y
Mz y My z
Iz
Iy
a
Mz Wz
My Wy
b
Mz Wz
My Wy
c
Mz Wz
My Wy
d
Mz Wz
My Wy
max
Mz Wz
My Wy
hb
y0
b
az ef
c
d
y
a
b
e
z0
o
z
d
f c
P
y
Mz y My z
Iz
Iy
中性轴的位置
P cos
Iz
y0
P sin
Iy
z0
0
tg y0 Iz tg
z0 I y
[例8－1]图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知
q=0.5kN/m，l=4m，=30°，容许应力[]=10MPa，试校核该
梁的强度。
q
A
B
l
解：
M max
1 8
ql 2
1kN.m
120
q
M zmax
1 8
(q cos )l 2
z y
M max cos 866 N.m
c2 c1
8P / a2 P / a2
8
[例8－5]已知P、h、b、l，求图示偏心拉杆的最大拉应力和 最大压应力。
b b
zP h
l
y
A
h
my
Bl
z P
mz y
最大拉应力发生在横截面的A点； 最大压应力发生在横截面的B点。
M zmax 17.678 kN.m M ymax 17.678 kN.m
zA 56.9 2 80.5mm
zK 200
2 2
zA
141 .4 80.5
60 .9mm
K
M zmax Wz
M ymax Iy
zK
17678 17678 6.09 146.14MPa
322 1180
（压）
80
M
y m ax
1 8
(q sin )l 2
M max sin 500 N.m
q
q
A
B
l
120
M
z m ax
1 8
(q
cos )l 2
z y
M max cos 866 N.m
80
M
y m ax
1 8
(q sin )l 2
M max
1 8
ql 2
1kN.m
M max sin 500 N.m
材料力学
第8章 组合变形
§8–1 组合变形的概念 §8–2 斜弯曲 §8–3 拉压与弯曲的组合变形 §8–4 偏心压缩 §8–5 弯扭组合变形
§8–1 组合变形的概念
杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。
P P
R
M
前面各章介绍了杆件在单一基本变形（拉压、剪切、扭 转、弯曲）时应力、变形的计算。对于组合变形的应力计算， 只需分别计算每一基本变形的应力，再进行叠加即可。
6M y hb2
6 1600 9 182
6 2000 18 92
11.52MP
a
§8–3 拉压与弯曲的组合变形
P2 P1
N Mz y
A Iz
=
=
=
+
P1 P2
+
+
' N
A " Mz y
Iz
[例8－3]图示结构中，横梁BD为Ⅰ20a工字钢，已知P=15kN，
钢的容许应力[]=160MPa，试校核该梁的强度。
P
P
mz= Pe
mz= Pe
+
=
P
P
mz= Pe
mz= Pe
+
= =
+
N Mz y
A Iz
' N
A
" Mz y
Iz
z x yp
P
zp
y
z x yp P
zp y
my=Pzp
z x yp
mz=Pyp P
zp
y
my=Pzp
Pz
z my=Pzp
mz=Pyp
z
y
y
y
+ +
Pz
z my=Pzp
mz=Pyp
" M y z,
Iy
b3h I y 12
hb
b
a
z
c
+
d Mz=Pyx
y
' M z y,
Iz
Iz
bh3 12
hb
b
a
z
c
d My=Pzx
y
" M y z,
Iy
b3h I y 12
hb
b
az ef
c
d
y
Mz y My z
Iz
Iy
hb
b
a
z
c
+
d Mz=Pyx
y
hbbΒιβλιοθήκη azcd My=Pzx
A
P=15kN
SAC
P=15kN
解： B
30
C
D
2.6m 1.4m
N图 M图
○－
40kN 21kN.m
○－
XB
30
B
C
D
YB
mB 0;
SAC sin 30 2.6 P 4 0
SAC 46.15kN
X 0; XB SAC cos30 0
X B 40kN
A
P=15kN
30
B
C
D
2.6m 1.4m
[练习1]求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。
A
P2=1.6kN z
P1=1kN
z
18cm
B 1m
1m y
y 9cm
解：最大拉应力在固端截面A点，最大压应力在固端截面B点， 二者大小相等。
固端截面： M Z 1.6kN.m, M y 2kN.m
max
MZ Wz
My Wy
6M z bh2
20a工字钢截面性质:
A 23.5cm2 Wz 237 cm3
N图
○－
40kN 21kN.m
BD梁的最大正应力发生在C 截面的下边缘，为压应力。
○－
M图
cmax
N A
M
WZ
40103 3550
21103 237
99.9MPa
横梁安全。
§8–4 偏心压缩
x
Pz e
P
y
e
P mz= Pe
z
y
y
y
+
+
z
z
z
y
y
y
+
+
' N
A
" My z
Iy
M z y
Iz
[例8－4]求图示立柱挖槽后的最大应力是挖槽前的几倍。
P
P
P m=Pa/4
a
解： 挖槽前最大压应力
挖槽后最大压应力
a/2 a/2
c1
N A1
P a2
c2
N A2
M W
a
P 2/
2
Pa / 4 a(a / 2)2
/
6
8P a2
200
2m 2m 解：
C
I y 1180cm4
A
Wy 146cm3
y
M
max
1 4
Pl
25kN.m
P
M
z max
1 4
(P
cos45)l
M
max
cos45
17.678kN.m
M
y
max
1 4
(P
cos45)l
M
max
cos45
17.678kN.m
200
56.9
K z
C
A y
P
I z 4554 .6cm4 Wz 322 cm3 I y 1180cm4 Wy 146cm3
P q
hg
§8–2 斜弯曲
变形后，杆件的轴线弯成一空间曲线称为斜弯曲。斜弯 曲可分解为两个平面弯曲。
z
x
Pz
Py
Py
z
x+
Py y
Py P cos
Pz P sin
z x Pz y
z
x
x
Py
y
z
z
x Pz x
y z
hb hb
Mz=Pyx y
' M z y,
Iz
Iz
bh3 12
My=Pzx y
max
M zmax Wz
M ymax Wy
866 6 8122
500 6 12 82
8.42MPa
此梁安全。
[例8－2]图示梁为等边角钢∟200×200×20，荷载作用线如图 所示，截面的几何性质已知，求危险截面上K点的应力。
P=25kN
56.9
K
I z 4554 .6cm4
A
B
z Wz 322 cm3
hb
b
az ef
c
d
y
Mz y My z
Iz
Iy
a
Mz Wz
My Wy
b
Mz Wz
My Wy
c
Mz Wz
My Wy
d
Mz Wz
My Wy
max
Mz Wz
My Wy
hb
y0
b
az ef
c
d
y
a
b
e
z0
o
z
d
f c
P
y
Mz y My z
Iz
Iy
中性轴的位置
P cos
Iz
y0
P sin
Iy
z0
0
tg y0 Iz tg
z0 I y
[例8－1]图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知
q=0.5kN/m，l=4m，=30°，容许应力[]=10MPa，试校核该
梁的强度。
q
A
B
l
解：
M max
1 8
ql 2
1kN.m
120
q
M zmax
1 8
(q cos )l 2
z y
M max cos 866 N.m
c2 c1
8P / a2 P / a2
8
[例8－5]已知P、h、b、l，求图示偏心拉杆的最大拉应力和 最大压应力。
b b
zP h
l
y
A
h
my
Bl
z P
mz y
最大拉应力发生在横截面的A点； 最大压应力发生在横截面的B点。
M zmax 17.678 kN.m M ymax 17.678 kN.m
zA 56.9 2 80.5mm
zK 200
2 2
zA
141 .4 80.5
60 .9mm
K
M zmax Wz
M ymax Iy
zK
17678 17678 6.09 146.14MPa
322 1180
（压）
80
M
y m ax
1 8
(q sin )l 2
M max sin 500 N.m
q
q
A
B
l
120
M
z m ax
1 8
(q
cos )l 2
z y
M max cos 866 N.m
80
M
y m ax
1 8
(q sin )l 2
M max
1 8
ql 2
1kN.m
M max sin 500 N.m
材料力学
第8章 组合变形
§8–1 组合变形的概念 §8–2 斜弯曲 §8–3 拉压与弯曲的组合变形 §8–4 偏心压缩 §8–5 弯扭组合变形
§8–1 组合变形的概念
杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。
P P
R
M
前面各章介绍了杆件在单一基本变形（拉压、剪切、扭 转、弯曲）时应力、变形的计算。对于组合变形的应力计算， 只需分别计算每一基本变形的应力，再进行叠加即可。
6M y hb2
6 1600 9 182
6 2000 18 92
11.52MP
a
§8–3 拉压与弯曲的组合变形
P2 P1
N Mz y
A Iz
=
=
=
+
P1 P2
+
+
' N
A " Mz y
Iz
[例8－3]图示结构中，横梁BD为Ⅰ20a工字钢，已知P=15kN，
钢的容许应力[]=160MPa，试校核该梁的强度。
P
P
mz= Pe
mz= Pe
+
=
P
P
mz= Pe
mz= Pe
+
= =
+
N Mz y
A Iz
' N
A
" Mz y
Iz
z x yp
P
zp
y
z x yp P
zp y
my=Pzp
z x yp
mz=Pyp P
zp
y
my=Pzp
Pz
z my=Pzp
mz=Pyp
z
y
y
y
+ +
Pz
z my=Pzp
mz=Pyp
" M y z,
Iy
b3h I y 12
hb
b
a
z
c
+
d Mz=Pyx
y
' M z y,
Iz
Iz
bh3 12
hb
b
a
z
c
d My=Pzx
y
" M y z,
Iy
b3h I y 12
hb
b
az ef
c
d
y
Mz y My z
Iz
Iy
hb
b
a
z
c
+
d Mz=Pyx
y
hbbΒιβλιοθήκη azcd My=Pzx
A
P=15kN
SAC
P=15kN
解： B
30
C
D
2.6m 1.4m
N图 M图
○－
40kN 21kN.m
○－
XB
30
B
C
D
YB
mB 0;
SAC sin 30 2.6 P 4 0
SAC 46.15kN
X 0; XB SAC cos30 0
X B 40kN
A
P=15kN
30
B
C
D
2.6m 1.4m
[练习1]求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。
A
P2=1.6kN z
P1=1kN
z
18cm
B 1m
1m y
y 9cm
解：最大拉应力在固端截面A点，最大压应力在固端截面B点， 二者大小相等。
固端截面： M Z 1.6kN.m, M y 2kN.m
max
MZ Wz
My Wy
6M z bh2
20a工字钢截面性质:
A 23.5cm2 Wz 237 cm3
N图
○－
40kN 21kN.m
BD梁的最大正应力发生在C 截面的下边缘，为压应力。
○－
M图
cmax
N A
M
WZ
40103 3550
21103 237
99.9MPa
横梁安全。
§8–4 偏心压缩
x
Pz e
P
y
e
P mz= Pe
z
y
y
y
+
+
z
z
z
y
y
y
+
+
' N
A
" My z
Iy
M z y
Iz
[例8－4]求图示立柱挖槽后的最大应力是挖槽前的几倍。
P
P
P m=Pa/4
a
解： 挖槽前最大压应力
挖槽后最大压应力
a/2 a/2
c1
N A1
P a2
c2
N A2
M W
a
P 2/
2
Pa / 4 a(a / 2)2
/
6
8P a2
200
2m 2m 解：
C
I y 1180cm4
A
Wy 146cm3
y
M
max
1 4
Pl
25kN.m
P
M
z max
1 4
(P
cos45)l
M
max
cos45
17.678kN.m
M
y
max
1 4
(P
cos45)l
M
max
cos45
17.678kN.m
200
56.9
K z
C
A y
P
I z 4554 .6cm4 Wz 322 cm3 I y 1180cm4 Wy 146cm3
P q
hg
§8–2 斜弯曲
变形后，杆件的轴线弯成一空间曲线称为斜弯曲。斜弯 曲可分解为两个平面弯曲。
z
x
Pz
Py
Py
z
x+
Py y
Py P cos
Pz P sin
z x Pz y
z
x
x
Py
y
z
z
x Pz x
y z
hb hb
Mz=Pyx y
' M z y,
Iz
Iz
bh3 12
My=Pzx y
max
M zmax Wz
M ymax Wy
866 6 8122
500 6 12 82
8.42MPa
此梁安全。
[例8－2]图示梁为等边角钢∟200×200×20，荷载作用线如图 所示，截面的几何性质已知，求危险截面上K点的应力。
P=25kN
56.9
K
I z 4554 .6cm4
A
B
z Wz 322 cm3