2016届云南省昆明市高三适应性检测试卷(三)数学(理)-含解析
云南师大附中2016届高考适应性月考卷(3)理科数学
云南师大附中2016届高考适应性月考卷（3）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式：样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为R ，集合{}|0A x x =≥，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B ＝A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{|02x x ≤<或4}x >D ．{|02x x ≤<或4}x ≥2．设复数z 满足(12)5i z i +=，则复数z 为A ．2i +B ．2i -+C ．2i -D ．2i --3．在等比数列{}n a 中，18a =，435a a a =，则7a ＝A ．116B ．18C ．14D ．124．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为A．y x = B．y = C ．12y x =±D ．y x =±5．下列有关命题的说法错误的是A ．若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题B ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件C ．“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=” D ．若命题200:,0p x R x ∃∈≥，则命题2:,0p x R x ⌝∀∈<6．执行如图所示的程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的M 等于A ．12 B ．32C ．52D ．727．如图，网格纸的小正方形的边是1，粗线 画出的量个几何体的三视图，则这个几何体的 体积为A ．52B ．72C．24+D．33+8．已知△ABC 和点M 满足0MA MB MC ++= ，若存在实数m ，使得AB AC mAM +=，则m 等于A ．2B ．3C ．4D ．59．已知如图所示的三棱锥D ABC -的四个顶点均在球O 的球面上，△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，3AB =，AC =，BC CD BD ===O 的表面积为A ．4πB ．12πC ．16πD ．36π10．设函数3()f x x bx =-+（b 为常数），若方程()0f x =的根都在区间[]2,2-内，且函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，则b 的取值范围是A ．[)3,+∞B ．(]3,4C ．[]3,4D ．(],4-∞11．抛物线28y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的点，又已知点(2,0)A -，则||||PA PF 的取值范围是A ．[)3,+∞B ．(]1,2C ．(]1,4D ．(12．若曲线21:C y x =与曲线xy ae =存在公切线，则a 的DCABA ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．掷2个骰子，至少有一个1点的概率为 ．（用数字作答） 14．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ta n 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则l g (8s i n 6co s )l g (4s i n c o s )αααα+--＝ ．15．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，1n n a b +=，121n n nb b a +=-，*n N ∈，则2015b ＝ ． 16．已知函数()f x 满足()()f x f x -=，且(2)()(2)f x f x f +=+，当[]0,1x ∈时，()f x x =，那么区间[]1,3-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）恰有4个不同的根，则k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos 12a cC b b+=． （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求△ABC 的周长l 的取值范围． 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠= ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）求证：平面BED ⊥平面ABCD ；（2）求平面PBA 与平面EBD 所成二面角（锐角）的余弦值．19．（本小题满分12分）2015男蓝亚锦赛决赛阶段，中国男蓝以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男蓝主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP （最有价值球员），下表是易建联在这9场比赛中PADE投蓝的统计数据：注：①表中/a b 表示出手b 次命中a 次；①TS ％（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：2(0.44%TS ⨯⨯=全场得分投蓝出手次数＋罚球出手次数)．（1）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中TS%超过50％的概率；（2）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60％的概率；（3）用x 表示易建联某场的得分，用y 来表示中国队该场总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y 与x 之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的焦点在x 轴上，离心率等于5⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ=，求证：12λλ+为定值．21．（本小题满分12分）已知函数ln ()xf x x=，()x m g x e +=，其中 2.718e = ． （1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当2m ≥-时，证明：()()f x g x <．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】如图，P 为O 处一点，PC 交O 于,F C ，PA 切O 于,A B 为线段PA 的中点，BC 交O 于D ，线段PD 的延长线与O 交于E ，连接FE ．求证：（1）△PBD ∽△CBP ； （2）AP ∥FE ． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，已知圆C 的参数方程为1cos ,(sin ,x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C 的极坐标方程； （2）已知直线:(sin cos )l ρθθ=:3OM πθ=，射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 设函数()||f x x a =-．（1）当2a =时，解不等式()4|1|f x x ≥--； （2）若()1f x ≤的解集为[]0,2，11(0,0)2a m n m n+=>>，求证：24m n +≥．云南师大附中2016届高考适应性月考卷（3）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由已知得{|0}A x x =≥，{|24}B x x =≤≤，{024}A B x x =<>R ∴≤或ð，故选C ． 2．5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，故选A ． 3．{}n a ∵是等比数列，2143548a a a a a ===，，410a =∴或（舍），又2417718a a a a ==，∴，故选B ．4．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，可得2214c a =，可得22214a b a -=，解得b a =，∴双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：y =，故选A ． 5．1πsin 26x x =⇒=，π1sin 62x x =⇒=，命题中所说的条件是π6x =，即π6x =是1sin 2x =的充分不必要条件，故选C ． 6．当2x =时，2M =，11122x -=<；12x =，52M =，1112x -=-<；1x =-，32M =，1122x -=≥，程序结束．输出32M =，故选B ． 7．所给几何体是一个长方体上面横放了一个三棱柱，其体积为1711211322V =⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选B ．8．MA MB MC ++=0 ∵，∴M 是△ABC 的重心，33AB AC AM m +==∴，∴，故选B ．9．如图1所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互 相垂直，则圆心在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球的 大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的 表面积为24π16πS R ==，故选C ．图110．函数3()f x x bx =-+(b 为常数)，所以2()()0f x x b x =--=的根都在区间[2,2]-内，所以24b ⇒≤；又因为函数()f x 在区间(0，1)上单调递增，所以2()30f x x b '=-+>在区间(0，1)上恒成立，所以3b ≥，综上可得：34b ≤≤，故选C ．11．由抛物线定义得||2PF x =+，又||PA||||PA PF ==∴0x =时，||1||PA PF =；当0x ≠时，||||PA PF ==2x =时取等号．44x x +∵≥，||||PA PF =∴||||PA PF的取值范围是[1，故选D ． 12．设公共切线与曲线1C 切于点211()x x ，，与曲线2C 切于点22(e )x x a ，，则2221121e 2e x x a x x a x x -==-，将212e x x a =代入221121e 2x a x x x x -=-，可得1222x x =-，代入212e x x a =可得224(1)e x x a -=，设4(1)()e x x f x -=，求导得4(2)()e xx f x -'=，可得()f x 在(12)，上单调递增，()f x 在(2)+∞，上单调递减，所以max 24()(2)e f x f ==，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．551116636P ⨯=-=⨯． 14．π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，且πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan 131tan αα+=-∴，1tan 2α=∴，lg(8sin 6cos )lg(4sin cos )αααα+--∴8sin 6cos 8tan 6lglg lg1014sin cos 4tan 1αααααα++====--．15．1211n n n n n b a b b a ++==-∵且，112n n b b +=-∴，111111n n b b +=---∴，又112b =，1121b =--∴，11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭∴是首项为2-，公差为1-的等差数列，111n n b =---∴，1n n b n =+∴，201520152016b =∴． 16．令1y kx k =++，则化为1(1)y k x -=+，即直线1y kx k =++恒过(11)M -，．根据题意，画出()[13]y f x x =∈-，，的图象与直线1y kx k =++，如图2所示，由图象可知当直线介于直线MA 与MB 之间时，关于x 的方程()1f x kx k =++(k ∈R 且1k ≠-)恰有4个不同的根，又因为0MA k =，13MB k =-，所以103k -<<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得1cos 2a C c b +=，即1sin cos sin sin 2A C C B +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C =∴． …………………………………………………………（4分）1sin 0cos 2C A ≠=∵，∴． 又(0π)A ∈∵，，π3A =∴． ………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a B b B c C A ===，， 图21sin )1sin()]l a b c B C B A B =++=++=+++∴1π12cos 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………（10分）π3A =∵， 2πππ5π03666B B ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，，，，π1sin 162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦∴，．故△ABC 的周长l 的取值范围是(23]，． ……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，连接AC 交BD 于O 点，连接EO ， ∵四边形ABCD 是菱形，AO CO =∴， ∵E 为PC 中点， EO PA ∴∥，PA ⊥∵平面ABCD ，EO ⊥∴平面ABCD ，EO ⊂∵平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD ． ………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：方法一：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面EBD ⊥平面ABCD ， ∴平面P AB 和平面EBD 的交线与平面ABCD 垂直， ABO ∠∴即为平面P AB 和平面EBD 所成角的平面角，∵BD 是菱形ABCD 的对角线，1302ABO ABC ∠=∠=︒∴，∴平面PBA 与平面EBD． ……………（12分）方法二：∵四边形ABCD 是菱形， AC BD ⊥∴，图3EO ⊥∵平面ABCD ， EO AC ⊥∴，EO BD ⊥，如图4，建立空间直角坐标系O xyz -， …………………………………………（8分）∵y 轴⊥平面BED ，∴平面BED 的法向量为(010)u =，，． 设F 为AB 中点，连接CF ，菱形ABCD 的边长为2a ， 则CF AB ⊥，CF ⊥∴平面P AB ，∴平面P AB的法向量为302CF a ⎫=-⎪⎪⎝⎭ ，，，cos ||||u CF u CF θ==∴，∴平面PBA 与平面EBD． ……………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设易建联在比赛中TS%超过50%为事件A ，则8()9P A =．………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%为事件B ，2529C 13()1C 18P B =-=．…………………………………………………………（8分）（Ⅲ）不具有线性相关关系． ……………………………………………………（10分） 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围． 篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛． ……………………………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，图422211,c a ab ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩∴ 25a =∴，21b =， ∴椭圆C 的标准方程为2215x y +=． ………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：设点A ，B ，M 的坐标分别为11220()()(0)A x y B x y M y ，，，，，， 又易知F 点的坐标为(20)，．显然直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程是(2)y k x =-，将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得 2222(15)202050k x k x k +-+-=，……………………………………………（8分） 2212122220205,1515k k x x x x k k -+==++∴， ……………………………………………（9分）又12,MA AF MB BF λλ== ∵，将各点坐标代入得121212,22x x x x λλ==--， …………………………………（11分）121212121212122()22242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+=---++∴ 2222222220205215151020205421515k k k k k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭==---+++ ． ………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：ln1(1)01f ==，即切点为(10)，． 21ln ()x f x x -'=，21ln1(1)11f -'==∴，即切线的斜率1k =，∴切线方程为1y x =-，即10x y --=． ………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：方法一：()f x 的定义域为(0)+∞，，要证()()f x g x <只需证e ln 0x m x x +-> ，∵当2m -≥时，2e e x m x +-≥，故只需证明2e ln 0x x x --> ． 设2()e ln x h x x x -=- ，221()e e x x h x x x--'=+- ， 函数2221()2e e 0x x h x x x --''=++> 在(0)+∞，内单调递增， 又121212(1)e 1e 101eh --'=+-=-< ，662255665e e 0556h --⎛⎫'=+-=> ⎪⎝⎭ ， ()0h x '=∴在(0)+∞，内有唯一的实根0x ，且0615x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当0(0)x x ∈，时，()0h x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0h x '>． 从而当0x x =时，()h x 取得最小值． 由0()0h x '=得0022001e e x x x x --=-， 代入02000()e ln x h x x x -=- 得020001()e ln x h x x x -=--， 故0200016()e ln 5x h x x h x -⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， 设21()e ln x x x xϕ-=--， 2211()e x x x xϕ-'=---， ∵当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<， ()x ϕ∴在(0,)+∞单调递减，1144114555553345656116(e )(2)e ln eln ln e ln1.72805652352e ϕ---⎛⎫=--=-+-=+-> ⎪⎝⎭， 0605x <<∵，06()05x ϕϕ⎛⎫>> ⎪⎝⎭∴，即00()()0h x x ϕ=>．综上所述，当2m -≥时，()()f x g x <． ……………………………………（12分）方法二：设2()ln h x x x x =--，定义域为(0)+∞，，则1(21)(1)()21x x h x x x x+-'=--=． 当(01)x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1)x ∈+∞，时，()0h x '>，()h x 单调递増． 所以()(1)0h x h =≥，即2ln 0x x x --≥，则ln 1xx x-≤． 设2e ()1x x x ϕ-=-+，定义域为(0)+∞，，则2e ()1x x ϕ-'=-． 当(02)x ∈，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当(2)x ∈+∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递増． 所以()(2)0x ϕϕ=≥，即2e 10x x --+≥，则2e 1x x --≥． 当2m -≥，(0)x ∈+∞，时，2e 1e x m x x +--≥≥． 所以1e ln x m xx x+-≥≥，因为两个不等号分别当2x =，1x =时取得， 所以n e l x m xx+>． 综上所述，当2m -≥时，()()f x g x <． ………………………………………（12分）方法三：设2()e x h x -=，则2()e x h x -'=， 由()1h x '=可解得2x =，(2)1h =，即()h x 在点(21)，处的切线方程为12y x -=-，即为1y x =-， 由（Ⅰ）可知()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，()y f x =，()y h x =，1y x =-在同一坐标系内的图象如图5所示， 可得()1()f x x h x -≤≤，① 因为2m -≥，所以2e e x m x +-≥， 即()()()f x h x g x ≤≤，又因为①式中取等号的条件不相同，所以()()f x g x <．………………………………………（10分）（采用方法三证明第（Ⅱ）问时，过程不严密，第（Ⅱ）问给分不超过6分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图6，∵P A 切⊙O 于A ， 2BA BD BC = ∴，∵B 为线段P A 的中点，PB BA =∴，2PB BD BC = ∴，即PB BCBD PB=， PBD CBP ∠=∠∵，PBD CBP ∴△∽△． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）PBD CBP ∵△∽△， BPD C ∠=∠∴， C E ∠=∠∵，BPD E ∠=∠∴， AP FE ∴∥．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆的普通方程为：22(1)1x y -+=． cos sin x y ρθρθ==∵，，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=． …………………………………………（5分）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标， 则1112cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得111π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，.设22()ρθ，为点Q 的极坐标，图6则2222(sin )π3ρθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得223π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，12θθ=∵，122PQ ρρ=-=∴，∴线段PQ 的长为2． …………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：当2a =时，不等式为|2||1|4x x -+-≥．∵方程|2||1|4x x -+-=的解为121722x x =-=，，∴不等式的解集为1722⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ ，，． ……………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由()1f x ≤得||1x a -≤， 解得11a x a -+≤≤， 而()1f x ≤的解集为[02]，， 1012a a -=⎧⎨+=⎩，∴，1a =∴， 111(00)2m n m n+=>>∴，， 1122(2)2422n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭∴≥． ………………………………（10分）。
云南省昆明市2016届高三数学上册第三次双基检测
昆明第一中学2016届高中新课标高三第三次双基检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合ln |1x M x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1N y y ==，则M N =（ ）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．232015i i i i++++=…（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．i3．等比数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若23a =，313S =，则33log a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．1或24．若20sin a xdx π=⎰，则5(1)(2)ax x +-的展开式中3x 项的系数为（ ）A ．40B ．40-C ．120D ．120-5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为35S =，那么判断框中应填入的关于n 的条件是（ ）A ．6?n <B ．6?n ≤C ．6?n >D ．6?n ≥6．已知正四棱锥P ABCD -的各顶点在同一个球O 的球面上，且该棱锥的体积为2，O 的表面积为（ ）A ．6πB ．8πCD ．37．设'()f x 为函数()f x 的导函数，函数'()y xf x =的图象如图，则以下说法错误的是（ ）A ．'(2)'(2)f f =-B ．当2x =-时，函数()f x 取得极小值C ．当2x =时，函数()f x 取得极大值D ．方程'()0xf x =与()0f x =均有3个实根8．已知变量x ，y 满足约束条件20,,,x y y x y x a -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为4，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．52C ．83D ．9．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）A ．23B ．43C ．83D ．810．设3log 4a =，4log 3b =，3log 2c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c a b >>11．已知抛物线E ：22y x =的焦点为F ，E 上有四点A ，B ，C ，D 满足0F A F B F C F D +++=，则||||||||FA FB FC FD +++=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．112．在Rt △ABC中，AB AC ==M 为BC 的中点，动点P 满足3PM =，则△ABP与△ACP 的面积之比的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在△ABC 中，||||AB AC AB AC +=-，||2AB =，||1AC =，D ，E 为线段BC 的两个三等分点，则AD AE ⋅= ． 14．已知函数1()cos()12f x x ωϕ=++（0ω>），若()112f π=，1()42f π=，则ω的最小值为 ．15.从正方体的8个顶点中任取3个点，则以这3个点为顶点能构成正三角形的概率为 ．16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知18a =，42a =，且212n n n a a a ++=-（*n N ∈），若n S 的最大值为a ，n nS 的最大值为b ，则a b += ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222c o s c o s 3s i n s i n1c o sA C A CB +=+． （1）求B ；（2）设函数2()cos cos f x x x x =-（x R ∈），求()f A 的取值范围．18．（本小题满分12分）某工厂在2010年至2014年每年的机器维修费用y （单位：千元）的数据如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 年份代号t 1 2 3 4 5 维修费用y 1.8 2.22.72.83.5（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析该厂在2010年至2014年每年的机器维修费用的变化情况，并预测该厂在2016年所需的机器维修费用．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，1AB AA =，1120ABB ∠=︒．（1）证明：1AB AC ⊥； （2）若平面11A ABB ⊥平面ABC ，AB =，AC =，求二面角111A CC B --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知点P 为圆226x y +=上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足2(1)2PM PQ =-． （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(0,2)D -的直线l 与E 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆N 过坐标原点O ，求圆N 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()ln()x f x ke x m =-+．（1）若1k m ==，求函数()f x 的极小值； （2）当3k =，3m ≤时，证明：()ln 31f x >-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，直线EF 和圆O 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D ，直线EF 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：∠BAC =∠DAC ； （2）若2OB =，1AD =，求证：BC AFBF BC=． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,4x m s y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为cos 24cos ρρθθ=+．（1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与x 轴交于点P ，且于曲线C 相交于A ，B 两点，若||AB 是||PA 与||PB 的等比中项，求实数m 的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，a R ∈．（1）当1a =-时，求不等式()|1|30f x x ++-≤的解集； （2）若对[]1,2x ∀∈，2()1f x x <+恒成立，求a 的取值范围．昆明市第一中学2016届高三考试参考答案（理科数学）一、选择题BACACBDDCBDA1. 解析：集合|0{M x x =>且1}x ≠，{}|1N y y =≤，所以{}|01M N x x =<<I ，P选B ．2. 解析：因为()1230i i i i k k k k k ++++++=∈Z ，所以232015231i i i i i i i +⋅⋅⋅=+++-=++，选A ．3. 解析：因为23a =，313S =，联立化为231030q q -+=，解得13q =或3q =；当13q =时，31a =，33log 0a =，当3q =时，39a =，33log 2a =，选C ．4. 解析：由题意，2200sin (cos )1a xdx x ππ==-=⎰，则5(2)x -展开式中含2x 与3x 的项为232235280T C x x ==，323345240T C x x =-=-，所以5(1)(2)x x +-展开式中3x 项的系数为804040-=，选A.5. 解析：第一次循环，11S =，9n =；第二次循环20S =，8n =；第三次循环，28S =，7n =；第四次循环，35S =，6n =，结束循环，输出35S =，因此6n >，选C .6. 解析：如图，设点M 为正四棱锥P ABCD -的底面的中心，则PM 为四棱锥的高，球心O 必在直线PM 上， 不妨设点O 在线段PM 上，球O 的半径为R ，连接OA ，则OA R =；由条件知132PM =，所以2PM =，则2OM R =-，又由条件可求得2AM=，在Rt AOM ∆中，由勾股定理得222()(22R R =-+得R =当点O 在线段PM 的延长线上时求得同样结果，故球O 的表面积为248ππ=，选B ． 7. 解析：函数()f x 在(,2)-∞-单调递减，(2,2)-单调递增，(2,)+∞单调递减，所以(2)(2)0f f ''=-=，当2x =-时，函数取得极小值，当2x = 时，函数取得极大值，其图像可如图，所以D 错误，选D ．8. 解析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线0l ：20x y +=，观察图形，知直线2x y z +=过直线y x a =-+和20x y -=的交点2,33a a A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值，即22433a a ⨯+=，解得3a =，选D.9. 解析：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为2的正方形，所以此四面体一定可以放在正方体中，所以可以在正方体中寻找四面体，如图所示，四面体ABCD 满足题意，所以此四面体的体积是11884222323-⨯⨯⨯⨯⨯=，选C.10. 解析：3log 41a b =>>，令()log (1)x f x x =-，()ln(1)log (1)ln x x f x x x-=-=， ()21[ln (1)ln(1)]0(1)ln f x x x x x x x x'=--->-，()f x 在(1,)+∞ 单调递增，所以()()43f f >，即b c >，所以a b c >>，选B ．11. 解析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，由+++=0FA FB FC FD 得12341111+++=08888y y y y ----，12341+++=2y y y y ，根据抛物线定义有+++=FA FB FC FD12341111+++++++=18888y y y y ，选D ．12. 解析：由1sin sin 2==1sin sin 2ABP ACPAB AP BAPS BAPS CAP AC AP CAP ∆∆⋅⋅⋅∠∠∠⋅⋅⋅∠可知要ABP ∆与ACP ∆的面积之比最大，只需BAP ∠最大，CAP ∠最小，所以当AP 与以M 为圆心，半径为3的圆相切时BAP ∠最大.因为3sin =5MAP ∠，4cos =5MAP ∠，所以ABP ∆与ACP ∆的面积之比的最大值为sin (45+)sin (45)MAP MAP ︒︒∠-∠cos +sin ==7cos sin MAP MAP MAP MAP ∠∠∠-∠，选A ． 二、填空题 13．10914．3 15．1716．12813. 解析：由AB AC AB AC +=-，化简得0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形. 如图，以AB 所在直线为x轴，以AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,1C .由D ，E 为线段BC 的两个三等分点知41,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，41,33AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22,33AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以AD AE ⋅=42121033339⨯+⨯=.14. 解析：由题意可知函数12()cos()1(0)f x x ωϕω=++>的图象的一个对称中心为点,112π⎛⎫⎪⎝⎭，一条对称轴为直线4x π=，所以4412T ππ≤-，即232ππω≤，得3ω≥，所以ω的最小值为3．15. 解析：从正方体的8个顶点中任取3个点有38C 种取法，能构成正三角形的有11A BC ∆，11A DC ∆，11AB D ∆，11CBD ∆，1AB C ∆，1ADC ∆，1A BD ∆，1C BD ∆共8种可能，则所求的概率为81567P ==.16. 解析：因为212()n n n a a a n ++=-∈*N ，所以数列{}n a 为等差数列，由18a =，42a =得2d =-，所以22(1)9818(2)9=224n n n S n n n n -⎛⎫=+-=-+--+ ⎪⎝⎭，可知n S 的最大值20a =；329n nS n n =-+，由()2318=0n nS n n '=-+，得6n =，可知n nS 的最大值108b =； 所以128a b +=. 三、解答题17．解：（1）由222cos cos sin 1cos A C A C B +=+，得2221sin 1sin sin 2sin A C A C B -+-=-，由正弦定理得：222a cb +-=，于是222cos 2a c b B ac +-==， 所以56B π=． （2）因2()cos cos f x x x x =-cos2122x x +=-1sin(2)62x π=--， 所以1()sin(2)62f A A π=--． 又因为ABC ∆中，56B π=，所以06A π<<，所以2666A πππ-<-<，所以11sin(2)262A π-<-<，即1()0f A -<<，所以()f A 的取值范围是()1,0-．C 1A A1DABCA 1C 1B 118．解：（1）由所给数据计算可得1(12345)35t =++++=， 1(1.8 2.2 2.7 2.8 3.5) 2.65y =++++=，521()4101410i i t t =-=++++=∑，51()()(2)(0.8)(1)(0.4)0(0.1)10.220.94iii t t y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑，则51521()()40.410()ii i ii tt y y b t t ==--===-∑∑，a y bt =- 2.60.43 1.4=-⨯=， 则回归直线方程为0.4 1.4y t =+．（2）由（1）知，0.40b =>，故从2010年至2014年每年的机器维修费用在逐年增加，平均每年增加0.4千元，将2016年的年份代号记为7t =，代入（1）中的回归方程得ˆ0.47 1.4 4.2y =⨯+=（千元），故预测该厂在2016年所需的机器维修费用为4.2千元. ……… 12分17. 解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点D ，连接CD ，1A D ，因为1120ABB ∠=，所以160A AB ∠=，又1AB AA =， 所以1A AB ∆为正三角形，则11A A A B =，得1AB A D ⊥； 又因为AC BC =，所以AB CD ⊥， 因为1A DCD D =，所以AB ⊥平面1A DC ，因为1AC ⊂平面1A DC ，所以1AB AC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1A D AB ⊥，AB CD ⊥，因为平面11A ABB ⊥平面ABC ，交线为AB ， 所以1AD ⊥平面ABC ，则1A D CD ⊥． 以D 为原点，分别以DB ，DC ，1DA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，因为AB =AC =由（Ⅰ）知11AA A B AB ===，所以13A D =，CD ；所以(0,0,0)D ，(A ，B ，1(0,0,3)A ，C ，得11(3,0,3)CC AA ==，1(0,CA =，(BC =；设(,,)m x y z =为平面11ACC 的法向量，由1m CC ⊥，1m CA ⊥可求得(3,m =-；设(,,)n x y z =为平面1BCC 的法向量，同理可求得(3,n =-； 由cos ,m n m nm n⋅<>=⨯17==，所以二面角111A CC B --的余弦值为17．18. 解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，0(,0)Q x ，(,)M x y ，由2=12PM PQ ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭得000(,)=1(0,)x x y y y ⎛---- ⎝，0=x x ，00=1y y y ⎫--⎪⎪⎭，所以0=x x ，0y ，代人220+=6x y 得22+2=6x y ，22+=163x y ．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为=2y kx -， 由方程组22=2+2=6y kx x y -⎧⎨⎩消去y ，整理得22(2+1)8+2=0k x kx -，1228+=2+1kx x k ，1222=2+1x x k ， 所以121224+=(+)4=2+1y y k x x k --，21212246=(2)(2)=2+1k y y kx kx k ---. ………8分设点(,)C x y 为圆N 上任意一点，由=0AC BC ⋅得1122(,)(,)=0x x y y x x y y --⋅--，1212()()+()()=0x x x x y y y y ----，2212121212(+)++(+)+=0x x x x x x y y y y y y --，因为圆N 过坐标原点O ，所以1212+=0x x y y ，222246+=02+12+1k k k -，解得=1k ±， ………10分所以圆N的方程为2284++=033x x y y -或2284+++=033x x y y . ………12分19. 解：（Ⅰ）()ln(1)x f x e x =-+，所以()11xf x e x '=-+，……1分观察得()01001f e '=-=且()11xf x e x '=-+在(1,)-+∞上单调递增，所以当(1,0)x ∈-时()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时()0f x '>，所以()f x 在(1,0)x ∈-单调递减，()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增，故()f x 有极小值()01f =.……5分证明：（Ⅱ）因为3k m =≥，所以()3ln()3ln(3)x xf x e x m e x =-+≥-+，……7分 令()3ln(3)xh x e x =-+，1()33xh x e x '=-+，易知1()33xh x e x '=-+在(3,)-+∞单调递增，221(2)331023h e e --'-=-=-<-+，1111(1)330132h e e --'-=-=->-+，设0001()303xh x e x '=-=+，则0(2,1)x ∈--，当0(3,)x x ∈-时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>；所以()h x 在0(3,)x x ∈-上单调递减，0(,)x x ∈+∞上单调递增，……9分 所以0m i n00()()3l n (3)x h x h x e x ==-+，又因为001()303x h x e x '=-=+，故00133x e x =+， 所以01ln3l n l n 3x e x +=+，即00ln3ln(3)x x +=-+，所以min00()()3l n(3)x h x h x ex ==-+001ln 33x x =+++001(3)3ln 33x x =++-++3ln 3≥+ln 31=- 当且仅当00133x x =++，即02x =-或04x =-时等号成立，而0(2,1)x ∈--，所以min ()ln31h x >-即()ln31h x >-，所以()ln 31f x >-.……12分20.解：（Ⅰ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ACB ∠=，所以90B BAC ∠+∠=，因为AD CE ⊥，所以90ACD DAC ∠=∠=,因为AC 是弦，且直线CE 和圆O 切于点C ，所以 ACD B ∠=∠，所以DAC BAC ∠=∠, ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ABC ∆∽ACD ∆,所以AC AD AB AC=， 由此得2AC AB AD =⋅，因为2OB =，1AD =，所以4AB =，且2414A C A B A D =⋅=⨯=，所以2AC =，又1AD =，故2A C A D =， 又AD CE ⊥，于是30ACD ∠=，因为ACD B ∠=∠，所以30B ∠=，30BFD ∠=，故BC CF =，因为CF 与圆O 相切，由切割线定理得2CF AF BF =⋅，所以2BC AF BF =⋅，即BC AF BF BC=． 21.解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程得：34y x m =+⋅, 所以，直线l 的普通方程为4340x y m --=；由cos 24cos ρρθθ=+得：()2222cos sin 4cos ρρθθρθ=-+，即22y x =， 所以，曲线C 的普通方程为22y x =． （Ⅱ）因为()0,m P ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t m x 5453（t 为参数），将其代入22y x =得：21632255t m t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2815250t t m --=， 由2258000m ∆=+>得932m >-，12158t t +=，12258m t t =-， 因为AB 是PA 与PB 的等比中项，所以2AB PA PB =⋅，即21212()t t t t -=，所以2121212()4t t t t t t +-=显然当0m ≥时不满足题意，于是0m <， 所以21212()5t t t t +=， 即215255()88m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以940m =-． 22.解：(Ⅰ) 当1a =-时，不等式()130f x x ++-≤即为不等式21130x x -++-≤ 不等式21130x x -++-≤同解于：1330x x <-⎧⎨--≤⎩ 或 11210x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≤⎩ 或 12330x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩， 解得：∅ 或 112x -≤≤ 或 112x <≤， 所以不等式()130f x x ++-≤的解集为[]1,1-.(Ⅱ) 因为[]1,2x ∀∈，2()1f x x <+恒成立，即[]1,2x ∀∈，221x a x +<+恒成立， 而221x a x +<+⇒22121x x a x --<+<+ ⇒222121x x a x x ---<<-+， 即[]1,2x ∀∈，222121x x a x x ---<<-+恒成立， 设()221g x x x =---，()221h x x x =-+可转化为[]1,2x ∀∈，()()max min g x a h x <<，即40a -<<所以a 的取值范围是()4,0-. 薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
云南省云南师范大学附属中学2016届高三高考适应性月考(三)理数试题 含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1。
已知全集为R ,集合}0|{≥=x x A ，}086|{2≤+-=x xx B ，则=B C A RA ．}0|{≤x xB ．}42|{≤≤x xC ．20|{<≤x x 或}4>xD ．20|{<≤x x 或}4≥x 【答案】C 。
考点:１、集合间的基本运算。
2。
设复数z 满足i z i 5)21(=+,则复数z 为A ．i +2B ．i +-2C ．i -2D ．i --2 【答案】A 。
【解析】试题分析：因为5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，故应选A 。
考点：1、复数的概念；2、复数的四则运算。
3。
在等比数列}{na 中，81=a，534a a a =，则=7aA ．161 B ．81 C ．41 D ．21【答案】B . 【解析】 试题分析:{}n a ∵是等比数列,2143548a a a a a ===，，410a =∴或（舍），又2417718a a a a ==，∴,故应选B ．考点：1、等比数列。
4.若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，则双曲线12222=-by a x 的渐近线方程为 A ．x y 23±= B ．x y 3±=C ．x y 21±= D ．x y ±=【答案】A .考点:1、椭圆的标准方程；2、双曲线的性质。
【思路点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程和双曲线的性质，考查学生综合知识能力的应用和计算能力,属中档题。
其解题的一般思路为：首先由椭圆的离心率可得2214c a =，然后运用椭圆中,,a b c 的基本关系即222ab c =+即可得出b a的值，再由双曲线的方程求出其渐进线的方程,并将其代入即可得出所求的结果。
云南省昆明市2016届高三适应性检测(三)数学(理试题) 含答案
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设复数满足，则（）A．B．C．2 D．12．设命题，则为（）A．B．C．D．3．一射手对同一目标射击3次，已知该射手每次击中目标的概率为0.9,则这位射手至少2次击中目标的概率为( ）A．0.243 B．0.729 C．0.81 D．0.972 4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学著作《数书九章》,称为“秦九韶算法”．执行该程序框图,若输入,则输出的（）A．26 B．48 C．57 D．645．一个圆柱挖去一部分后,剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于( ）A．B．C．D．6．已知满足约束条件若目标函数的最大值是10，则( )A．B．0 C．1 D．67．设为所在平面内一点，且,则（)A．B．C．D．8．已知函数的图象与直线相交,其中一个交点的横坐标为4，若与相邻的两个交点的横坐标为2，8，则的单调递减区间为（)A．B．C．D．9．设函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．10．如图，在正方体中，，分别是的中点，过直线的平面平面,则平面截该正方体所得截面的面积为( )A．B．C．D．11．已知定义在上的函数在上是减函数,若是奇函数，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．12．已知抛物线的焦点为,点在上且关于轴对称,点分别为的中点，且，则（）A．或B．或C．或D．或第Ⅱ卷（共90分)二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13．二项式展开式中的常数项为______．（用数字作答) 14．已知随机变量服从正态分布，若，则______．15．若三边长是公差为1的等差数列,且,则的周长为______．16．已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，若为锐角，则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．(本小题满分12分）已知数列满足：．（Ⅰ)证明：数列是等差数列；(Ⅱ）证明：．18．（本小题满分12分）在四棱锥中，底面是直角梯形，，,，，．（Ⅰ）证明：；(Ⅱ）若平面平面，且，求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）PM2。
云南省昆明市第一中学2016届高三上学期第三次双基检测理科数学试卷 Word版含答案[ 高考]
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昆明第一中学2016届高中新课标高三第三次双基检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合ln |1x M x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1N y y ==，则M N =（ ）A ．(]0,1B ．()0,1C ．()1,+∞D ．[)1,+∞2．232015i i i i++++=…（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．i3．等比数列{}n a 的前n 项和为 n S ，若23a =，313S =，则33log a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．1或24．若20sin a xdx π=⎰，则5(1)(2)ax x +-的展开式中3x 项的系数为（ ）A ．40B ．40-C ．120D ．120-5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为35S =，那么判断框中应填入的关于n 的条件是（ ）A ．6?n <B ．6?n ≤C ．6?n >D ．6?n ≥6．已知正四棱锥P ABCD -的各顶点在同一个球O ，底O 的表面积为（ ）A ．6πB ．8πCD 7．设'()f x 为函数()f x 的导函数，函数'()y xf x =的图象如图，则以下说法错误的是（ ）A ．'(2)'(2)f f =-B ．当2x =-时，函数()f x 取得极小值C ．当2x =时，函数()f x 取得极大值D ．方程'()0xf x =与()0f x =均有3个实根8．已知变量x ，y 满足约束条件20,,,x y y x y x a -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为4，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．52C ．83D ．9．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为2的正方形，则此四面体的体积是（ ）A ．23B ．43C ．83D ．810．设3log 4a =，4log 3b =，3log 2c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c a b >>11．已知抛物线E ：22y x =的焦点为F ，E 上有四点A ，B ，C ，D 满足0F A F B F C F D +++=，则||||||||FA FB FC FD +++=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．112．在Rt △ABC中，AB AC ==M 为BC 的中点，动点P 满足3PM =，则△ABP 与△ACP 的面积之比的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在△ABC 中，||||AB AC AB AC +=-，||2AB =，||1AC =，D ，E 为线段BC 的两个三等分点，则AD AE ⋅= ． 14．已知函数1()cos()12f x x ωϕ=++（0ω>），若()112f π=，1()42f π=，则ω的最小值为 ．15.从正方体的8个顶点中任取3个点，则以这3个点为顶点能构成正三角形的概率为 ．16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知18a =，42a =，且212n n n a a a ++=-（*n N ∈），若n S 的最大值为a ，n nS 的最大值为b ，则a b += ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222c o s c o 3s i n s i n 1c o sA C A C B+=+． （1）求B ；（2）设函数2()cos cos f x x x x -（x R ∈），求()f A 的取值范围．18．（本小题满分12分）某工厂在2010年至2014年每年的机器维修费用y （单位：千元）的数据如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 年份代号t 1 2 3 4 5 维修费用y 1.82.22.72.83.5（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析该厂在2010年至2014年每年的机器维修费用的变化情况，并预测该厂在2016年所需的机器维修费用．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-19．（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，A C B C =，1AB AA =，1120ABB ∠=︒．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）若平面11A ABB ⊥平面ABC ，AB =，AC ，求二面角111A CC B --的余弦值．20.（本小题满分12分）已知点P 为圆226x y +=上一动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足2(1)2PM PQ =-． （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）过点(0,2)D -的直线l 与E 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆N 过坐标原点O ，求圆N 的方程．21．（本小题满分12分）已知函数()ln()x f x ke x m =-+．（1）若1k m ==，求函数()f x 的极小值； （2）当3k =，3m ≤时，证明：()ln 31f x >-．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，直线EF 和圆O 相切于点C ，AD ⊥EF ，垂足为D ，直线EF 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：∠BAC =∠DAC ； （2）若2OB =，1AD =，求证：BC AFBF BC=． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,4x m s y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为cos 24cos ρρθθ=+． （1）求直线l 与曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与x 轴交于点P ，且于曲线C 相交于A ，B 两点，若||AB 是||PA 与||PB 的等比中项，求实数m 的值．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|f x x a =+，a R ∈．（1）当1a =-时，求不等式()|1|30f x x ++-≤的解集； （2）若对[]1,2x ∀∈，2()1f x x <+恒成立，求a 的取值范围．昆明市第一中学2016届高三考试参考答案（理科数学）一、选择题BACACBDDCBDA1. 解析：集合|0{M x x =>且1}x ≠，{}|1N y y =≤，所以{}|01M N x x =<<I ，选B ．P2. 解析：因为()1230i i i i k k k k k ++++++=∈Z ，所以232015231i i i i i i i +⋅⋅⋅=+++-=++，选A ．3. 解析：因为23a =，313S =，联立化为231030q q -+=，解得13q =或3q =；当13q =时，31a =，33log 0a =，当3q =时，39a =，33log 2a =，选C ．4. 解析：由题意，2200sin (cos )1a xdx x ππ==-=⎰，则5(2)x -展开式中含2x 与3x 的项为232235280T C x x ==，323345240T C x x =-=-，所以5(1)(2)x x +-展开式中3x 项的系数为804040-=，选A.5. 解析：第一次循环，11S =，9n =；第二次循环20S =，8n =；第三次循环，28S =，7n =；第四次循环，35S =，6n =，结束循环，输出35S =，因此6n >，选C .6. 解析：如图，设点M 为正四棱锥P ABCD -的底面的中心，则PM 为四棱锥的高，球心O 必在直线PM 上， 不妨设点O 在线段PM 上，球O 的半径为R ，连接OA ，则OA R =；由条件知132PM =，所以2PM =，则2OM R =-，又由条件可求得AM =Rt AOM ∆中，由勾股定理得 222()(22R R =-+得R =；当点O 在线段PM 的延长线上时 求得同样结果，故球O 的表面积为248ππ=，选B ． 7. 解析：函数()f x 在(,2)-∞-单调递减，(2,2)-单调递增，(2,)+∞单调递减，所以(2)(2)0f f ''=-=，当2x =-时，函数取得极小值，当2x = 时，函数取得极大值，其图像可如图，所以D 错误，选D ．8. 解析：画出可行域（如图阴影部分所示）和直线0l ：20x y +=，观察图形，知直线2x y z +=过直线y x a =-+和20x y -=的交点2,33a a A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值，即22433a a ⨯+=，解得3a =，选D.9. 解析：由于正视图、侧视图、俯视图都是边长为2的正以此四面体的体积是11884222323-⨯⨯⨯⨯⨯=，选C. 10. 解析：3log 41a b =>>，令()log (1)x f x x =-，()ln(1)log (1)ln x x f x x x-=-=， ()21[ln (1)ln(1)]0(1)ln f x x x x x x x x'=--->-，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以()()43f f >，即b c >，所以a b c >>，选B ．11. 解析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，由+++=0FA FB FC FD 得12341111+++=08888y y y y ----，12341+++=2y y y y ，根据抛物线定义有+++=FA FB FC FD12341111+++++++=18888y y y y ，选D ．12. 解析：由1sin sin 2==1sin sin 2ABP ACP AB AP BAPS BAPS CAPAC AP CAP ∆∆⋅⋅⋅∠∠∠⋅⋅⋅∠可知要ABP ∆与ACP ∆的面积之比最大，只需BAP ∠最大，CAP ∠最小，所以当AP 与以M 为圆心，半径为3的圆相切时BAP ∠最大.因为3sin =5MAP ∠，4cos =5MAP ∠，所以ABP ∆与ACP ∆的面积之比的最大值为sin (45+)sin (45)MAP MAP ︒︒∠-∠cos +sin ==7cos sin MAP MAP MAP MAP∠∠∠-∠，选A ． 二、填空题 13．10914．3 15．1716．12813. 解析：由AB AC AB AC +=-，化简得0AB AC ⋅=，所以AB AC ⊥，所以ABC ∆为直角三角形. 如图，以AB 所在直线为x轴，以AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,1C .由D ，E 为线段BC 的两个三等分点知41,33D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，41,33AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22,33AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以AD AE ⋅=42121033339⨯+⨯=.14. 解析：由题意可知函数12()cos()1(0)f x x ωϕω=++>的图象的一个对称中心为点,112π⎛⎫⎪⎝⎭，一条对称轴为直线4x π=，所以4412T ππ≤-，即232ππω≤，得3ω≥，所以ω的最小值为3．15. 解析：从正方体的8个顶点中任取3个点有38C 种取法，能构成正三角形的有11A BC ∆，11A DC ∆，11AB D ∆，11CBD ∆，1AB C ∆，1ADC ∆，1A BD ∆，1C BD ∆共8种可能，则所求的概率为81567P ==.16. 解析：因为212()n n n a a a n ++=-∈*N ，所以数列{}n a 为等差数列，由18a =，42a =得2d =-，所以22(1)9818(2)9=224n n n S n n n n -⎛⎫=+-=-+--+ ⎪⎝⎭，可知n S 的最大值20a =；329n nS n n =-+，由()2318=0n nS n n '=-+，得6n =，可知n nS 的最大值108b =；所以128a b +=. 三、解答题17．解：（1）由222cos cos sin 1cos A C A C B +=+，得2221sin 1sin sin 2sin A C A C B -+-=-，由正弦定理得：222a cb +-=，于是222cos 2a c b B ac +-==， 所以56B π=． （2）因2()cos cos f x x x x =-cos2122x x +=-1sin(2)62x π=--， 所以1()sin(2)62f A A π=--． 又因为ABC ∆中，56B π=，所以06A π<<，所以2666A πππ-<-<，所以11sin(2)262A π-<-<，即1()0f A -<<，所以()f A 的取值范围是()1,0-．C 1A A1DABCA 1C 1B 118．解：（1）由所给数据计算可得1(12345)35t =++++=， 1(1.8 2.2 2.7 2.8 3.5) 2.65y =++++=，521()4101410i i t t =-=++++=∑，51()()(2)(0.8)(1)(0.4)0(0.1)10.220.94iii t t y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑，则51521()()40.410()ii i ii tt y y b t t ==--===-∑∑，a y bt =- 2.60.43 1.4=-⨯=， 则回归直线方程为0.4 1.4y t =+．（2）由（1）知，0.40b =>，故从2010年至2014年每年的机器维修费用在逐年增加，平均每年增加0.4千元，将2016年的年份代号记为7t =，代入（1）中的回归方程得ˆ0.47 1.4 4.2y =⨯+=（千元），故预测该厂在2016年所需的机器维修费用为4.2千元. ……… 12分17. 解：（Ⅰ）证明：取AB 的中点D ，连接CD ，1A D ，因为1120ABB ∠=，所以160A AB ∠=，又1AB AA =， 所以1A AB ∆为正三角形，则11A A A B =，得1AB A D ⊥； 又因为AC BC =，所以AB CD ⊥， 因为1A DCD D =，所以AB ⊥平面1A DC ，因为1AC ⊂平面1A DC ，所以1AB AC ⊥． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1A D AB ⊥，AB CD ⊥，因为平面11A ABB ⊥平面ABC ，交线为AB ，所以13A D =，CD =；所以(0,0,0)D ，(A ，B ，1(0,0,3)A ，C ，得11(3,0,3)CC AA ==，1(0,CA =，(BC =；设(,,)m x y z =为平面11ACC 的法向量，由1m CC ⊥，1m CA ⊥可求得(3,m =-；设(,,)n x y z =为平面1BCC 的法向量，同理可求得(3,n =-； 由cos ,m n m nm n⋅<>=⨯17==，所以二面角111A CC B --的余弦值为17．18. 解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，0(,0)Q x ，(,)M x y ，由2=12PM PQ ⎛⎫- ⎪ ⎝⎭得000(,)=1(0,)x x y y y ⎛--- ⎝，0=x x ，00=1y y y ⎫--⎪⎪⎭，所以0=x x ，0y ，代人220+=6x y 得22+2=6x y ，22+=163x y ．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为=2y kx -， 由方程组22=2+2=6y kx x y -⎧⎨⎩消去y ，整理得22(2+1)8+2=0k x kx -，1228+=2+1k x x k ，1222=2+1x x k ， 所以121224+=(+)4=2+1y y k x x k --，21212246=(2)(2)=2+1k y y kx kx k ---. ………8分 设点(,)C x y 为圆N 上任意一点，由=0AC BC ⋅得1122(,)(,)=0x x y y x x y y --⋅--，1212()()+()()=0x x x x y y y y ----，2212121212(+)++(+)+=0x x x x x x y y y y y y --，因为圆N 过坐标原点O ，所以1212+=0x x y y ，222246+=02+12+1k k k -，解得=1k ±， ………10分所以圆N的方程为2284++=033x x y y -或2284+++=033x x y y . ………12分19. 解：（Ⅰ）()ln(1)x f x e x =-+，所以()11xf x e x '=-+，……1分观察得()01001f e '=-=且()11xf x e x '=-+在(1,)-+∞上单调递增，所以当(1,0)x ∈-时()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时()0f x '>，所以()f x 在(1,0)x ∈-单调递减，()f x 在(0,)x ∈+∞单调递增，故()f x 有极小值()01f =.……5分证明：（Ⅱ）因为3k m =≥，所以()3ln()3ln(3)x xf x e x m e x =-+≥-+，……7分 令()3ln(3)xh x e x =-+，1()33xh x e x '=-+，易知1()33xh x e x '=-+在(3,)-+∞单调递增，221(2)331023h e e --'-=-=-<-+，1111(1)330132h e e --'-=-=->-+，设0001()303xh x e x '=-=+，则0(2,1)x ∈--，当0(3,)x x ∈-时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>；所以()h x 在0(3,)x x ∈-上单调递减，0(,)x x ∈+∞上单调递增，……9分 所以0min 00()()3ln(3)xh x h x e x ==-+，又因为0001()303xh x e x '=-=+，故00133xe x =+， 所以01ln 3l n l n 3x e x +=+，即00ln3ln(3)x x +=-+，所以0min 00()()3ln(3)x h x h x e x ==-+001ln 33x x =+++001(3)3ln 33x x =++-++3ln 3≥+ln 31=- 当且仅当00133x x =++，即02x =-或04x =-时等号成立，而0(2,1)x ∈--，所以m i n ()ln 31h x >- 即()ln31h x >-，所以()ln 31f x >-.……12分20.解：（Ⅰ）连接BC ，因为AB 是圆O 的直径，所以90ACB ∠=，所以90B BAC ∠+∠=，因为AD CE ⊥，所以90ACD DAC ∠=∠=,因为AC 是弦，且直线CE 和圆O 切于点C ，所以 ACD B ∠=∠，所以DAC BAC ∠=∠, ………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知ABC ∆∽ACD ∆,所以AC AD AB AC=， 由此得2AC AB AD =⋅，因为2OB =，1AD =，所以4AB =，且2414AC AB AD =⋅=⨯=，所以2AC =，又1AD =，故2AC AD =， 又AD CE ⊥，于是30ACD ∠=，因为ACD B ∠=∠，所以30B ∠=，30BFD ∠=，故BC CF =，因为CF 与圆O 相切，由切割线定理得2CF AF BF =⋅，所以2BC AF BF =⋅，即BC AF BF BC=． 21.解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程得：34y x m =+⋅, 所以，直线l 的普通方程为4340x y m --=；由cos 24cos ρρθθ=+得：()2222cos sin 4cos ρρθθρθ=-+，即22y x =， 所以，曲线C 的普通方程为22y x =． （Ⅱ）因为()0,m P ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t m x 5453（t 为参数），将其代入22y x =得：21632255t m t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2815250t t m --=， 由2258000m ∆=+>得932m >-，12158t t +=，12258m t t =-， 因为AB 是PA 与PB 的等比中项，所以2AB PA PB =⋅，即21212()t t t t -=， 所以2121212()4t t t t t t +-=显然当0m ≥时不满足题意，于是0m <， 所以21212()5t t t t +=，即215255()88m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以940m =-． 22.解：(Ⅰ) 当1a =-时，不等式()130f x x ++-≤即为不等式21130x x -++-≤ 不等式21130x x -++-≤同解于：1330x x <-⎧⎨--≤⎩ 或 11210x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≤⎩ 或 12330x x ⎧>⎪⎨⎪-≤⎩， 解得：∅ 或 112x -≤≤ 或 112x <≤， 所以不等式()130f x x ++-≤的解集为[]1,1-.(Ⅱ) 因为[]1,2x ∀∈，2()1f x x <+恒成立，即[]1,2x ∀∈，221x a x +<+恒成立， 而221x a x +<+⇒22121x x a x --<+<+ ⇒222121x x a x x ---<<-+， 即[]1,2x ∀∈，222121x x a x x ---<<-+恒成立， 设()221g x x x =---，()221h x x x =-+可转化为[]1,2x ∀∈，()()max min g x a h x <<，即40a -<<所以a 的取值范围是()4,0-.。
云南省昆明市高考数学三模试卷(理科)
云南省昆明市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·市北期中) 已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A . 1﹣IB . ﹣1+IC . 1+ID . ﹣1﹣i2. （2分）若集合A={1，2，3，4，5}，B={x|x（x﹣4）＞0}，则图中阴影部分（）A . {1，2，3，4}B . {5}C . {1，2，3}D . {4，5}3. （2分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.023，则P（﹣1≤ξ≤3）等于（）A . 0.977B . 0.954C . 0.628D . 0.4774. （2分） (2018高二下·张家口期末) 下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A . 平面内的三条直线，若，则 .类比推出：空间中的三条直线，若，则B . 平面内的三条直线，若，则 .类比推出：空间中的三条向量，若，则C . 在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为 .类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D . 若，则复数 .类比推理：“若，则”5. （2分） (2018高一下·开州期末) 执行如图所示的程序框图，若输出的值在集合中，则输入的实数的取值集合是（）A .B .C .D .6. （2分）四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB、AC、AD两两垂直，=2，则该四面体体积的最大值为（）A .B .C . 2D . 77. （2分）通过随机询问100名性别不同的小学生是否爱吃零食，得到如下的列联表：由K2=算得K2=≈4.762参照附表，得到的正确结论（）A . 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别有关”B . 在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“是否爱吃零食与性别无关”C . 有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关”D . 有97.5%以上的把握认为“是否爱吃零食与性别无关”8. （2分）(2017·大庆模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B . 27C .D .9. （2分）(2018·长安模拟) 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前n项和）.则 =（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·郏县期中) 若对于任意实数x总有，且在上是减函数，则（）A .B .C .D .11. （2分）若x,y，且，则的最小值等于（）A . 9B . 5C . 3D . 212. （2分）(2017·衡阳模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和动直线l：y=kx+b（k，b是参变量，且k≠0．b≠0）相交于A（x1 ， y2），N）x2 ， y2）两点，直角坐标系原点为O，记直线OA，OB的斜率分别为kOA•kOB= 恒成立，则当k变化时直线l恒经过的定点为（）A . （﹣ p，0）B . （﹣2 p，0）C . （﹣，0）D . （﹣，0）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·河源期末) 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．14. （1分） (2015高二下·福州期中) 求曲线y= ，y=x2所围成图形的面积________．15. （1分） (2019高三上·吉林月考) 在三棱锥中，，，两两垂直，且，.若以为球心，为半径做一个球，当球面与所在平面相切时， ________.16. （1分）已知点，圆点是圆上任意一点，若为定值，则 ________.三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高一下·咸阳期末) 已知函数f（x）=sinx+ cosx．求：（1） f（x）图象的对称中心的坐标；（2） f（x）的单调区间．18. （15分）(2016·赤峰模拟) 某地区业余足球运动员共有15000人，其中男运动员9000人，女运动员6000人，为调查该地区业余足球运动员每周平均踢足球占用时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位业务足球运动员每周平均踢足球占用时间的样本数据（单位：小时）得到业余足球运动员每周平均踢足球所占用时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：（0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．将“业务运动员的每周平均踢足球时间所占用时间超过4小时”定义为“热爱足球”．附：K2=P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879（1）应收集多少位女运动员样本数据？（2）估计该地区每周平均踢足球所占用时间超过4个小时的概率．（3）在样本数据中，有80位女运动员“热爱足球”．请画出“热爱足球与性别”列联表，并判断是否有99%的把握认为“热爱足球与性别有关”．19. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．20. （10分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A（x1 ， y1），B（x2 ，y2）两点，O为坐标原点．（1）求y1y2的值；（2）求证：OA⊥OB．21. （10分）(2018·辽宁模拟) 已知函数，曲线在处的切线经过点.（1）证明：；（2）若当时，，求的取值范围.22. （5分）(2017·沈阳模拟) 已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点为P（x，y）为直线l与圆C所截得的弦上的动点，求的取值范围．23. （10分）(2017·江西模拟) 已知函数f（x）=|x+a|+|x+ |（a＞0）（a＜0）（1）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集（2）证明：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
云南师大附中2016届高考适应性月考卷(三)理综-答案
云南师大附中2016届高考适应性月考卷（三）理科综合参考答案第Ⅰ卷（选择题，共126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13答案 B A A C D B C B A B D C D 二、选择题：本题共8小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，第14～17题只有一项符合题目要求；第18～21题有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
题号14 15 16 17 18 19 20 21 答案 A D C B AD CD BC ABD 【解析】1．依据题干，可推知该物质具有与糖蛋白类似的作用，故其很可能含有多糖和蛋白质。
2．与抗体合成、运输和分泌有关的细胞器有①③④⑤。
含RNA的细胞器有①②④。
3．当两侧液面不再变化时，a侧渗透压小于b侧。
水分子扩散方向可从a侧到b侧，也可从b 侧到a侧。
两侧液面不再变化时，在两侧加入等量的蔗糖酶后，两侧液面的高度差会增大。
4．该细胞可能为次级精母细胞或第一极体。
该细胞具有A和a基因，可能是由于基因突变或交叉互换导致的。
该生物可进行减数分裂，故其可遗传变异的来源包括基因重组。
5．衰老细胞由于细胞膜的通透性改变，物质运输功能会降低。
6．线粒体中无染色体。
该病只能通过母亲遗传给后代。
DNA分子中无尿嘧啶。
7．A、B、D项有污染空气的气体产生，不能体现“绿色化学”的思想。
8．氢碘酸中的I－会还原Fe3+，A错误。
过量二氧化碳会生成酸式盐，B正确。
Na2O2自身氧化还原，生成的氧分子不含18O，C错误。
碳酸氢钠与过量氢氧化钙反应只生成碳酸钙和水，D错误。
理科综合参考答案·第1页（共12页）理科综合参考答案·第2页（共12页）9．石灰水中的氢氧化钙与二氧化碳反应生成碳酸钙沉淀，碳酸钙悬浊液与二氧化碳反应生成易溶于水的碳酸氢钙，生成最大沉淀时消耗二氧化碳的量与溶解沉淀时所需二氧化碳的量相同。
最新2016年高考数学新课标3(理科)试题及答案【解析版】
2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（理科）1（使用地区：广西、云南、贵州）23一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，4只有一项是符合题目要求的.5【2016新课标Ⅲ】设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T= 6（）7A．[2，3] B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）8【答案】D9【解析】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），10∵T=（0，+∞），11∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），12【2016新课标Ⅲ】若z=1+2i ，则=（）13A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i14【答案】C15【解析】解：z=1+2i ，则===i．16【2016新课标Ⅲ】已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）17A．30°B．45°C．60°D．120°18【答案】A19【解析】解：，；201∴；21又0≤∠ABC≤180°；22∴∠ABC=30°．23【2016新课标Ⅲ】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各24月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温25约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）2627A．各月的平均最低气温都在0℃以上28B．七月的平均温差比一月的平均温差大29C．三月和十一月的平均最高气温基本相同30D．平均最高气温高于20℃的月份有5个31【答案】D32【解析】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确33B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平34均温差比一月的平均温差大，正确35C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确36D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，37【2016新课标Ⅲ】若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）38A ．B ．C．1 D ．39【答案】A40【解析】解：∵tanα=，41∴cos2α+2sin2α====．422【2016新课标Ⅲ】已知a=2，b=3，c=25，则（）43A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b44【答案】 A45【解析】解：∵a=2=，46b=3，47c=25=，48综上可得：b＜a＜c，49【2016新课标Ⅲ】执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n= 50（）5152A．3 B．4 C．5 D．653【答案】 B54【解析】解：模拟执行程序，可得55a=4，b=6，n=0，s=056执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=157不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=258不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=359不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4603满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．61【2016新课标Ⅲ】在△ABC中，B=，BC 边上的高等于BC，则cosA=（）62A ．B ．C ．﹣D ．﹣63【答案】 C64【解析】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，65令∠DAC=θ，6667∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，68∴BD=AD=a，CD=a，69在Rt△ADC 中，cosθ===，故sinθ=，70∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．71【2016新课标Ⅲ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多72面体的三视图，则该多面体的表面积为（）7374A．18+36B．54+18C．90 D．81754【答案】 B76【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱77柱，78其底面面积为：3×6=18，79前后侧面的面积为：3×6×2=36，80左右侧面的面积为：3××2=18，81故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．82【2016新课标Ⅲ】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若83AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）84A．4π B ．C．6π D ．85【答案】 B86【解析】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，87∴AC=10．88故三角形ABC的内切圆半径r==2，89又由AA1=3，90故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，91此时V 的最大值=，92【2016新课标Ⅲ】已知O为坐标原点，F是椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的左93焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直94线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的95离心率为（）96A ．B ．C ．D ．97【答案】A98【解析】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），99令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b =±，100可得P（﹣c ，），101设直线AE的方程为y=k（x+a），102令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），103设OE的中点为H，可得H（0，），104由B，H，M三点共线，可得kBH =kBM，1055即为=，106化简可得=，即为a=3c，107可得e==．108【2016新课标Ⅲ】定义“规范01数列”{an }如下：{an}共有2m项，其中m项109为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，110若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）111A．18个B．16个C．14个D．12个112【答案】 C113【解析】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的114个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：1150，0，0，0，1，1，1，1； 0，0，0，1，0，1，1，1； 0，0，0，1，1，1160，1，1； 0，0，0，1，1，1，0，1； 0，0，1，0，0，1，1，1；1170，0，1，0，1，0，1，1； 0，0，1，0，1，1，0，1； 0，0，1，1，0，1181，0，1； 0，0，1，1，0，0，1，1； 0，1，0，0，0，1，1，1；1190，1，0，0，1，0，1，1； 0，1，0，0，1，1，0，1； 0，1，0，1，0，1200，1，1； 0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．121122二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.123【2016新课标Ⅲ】（2015•新课标II）若x，y 满足约束条件，则124z=x+y的最大值为．125【答案】126【解析】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最127大，128由得D（1，），129所以z=x+y的最大值为1+；1306131【2016新课标Ⅲ】函数y=sinx ﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图132象至少向右平移个单位长度得到．133【答案】134【解析】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2in（x+），y=sinx﹣cosx=2in（x 135﹣），136∴f（x﹣φ）=2in（x+﹣φ）（φ＞0），137令2in（x+﹣φ）=2in（x﹣），138则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），139即φ=﹣2kπ（k∈Z），140当k=0时，正数φmin =，141142【2016新课标Ⅲ】已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，143则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．144【答案】 2x+y+1=0．145【解析】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），146当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有147x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，148可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，149则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），150即为2x+y+1=0．1517【2016新课标Ⅲ】已知直线l：mx+y+3m ﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，152过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|= ．153【答案】4154【解析】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，155∴=3，156∴m=﹣157∴直线l的倾斜角为30°，158∵过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，159∴|CD|==4．160三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.161【2016新课标Ⅲ】已知数列{an }的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．162（1）证明{an }是等比数列，并求其通项公式；163（2）若S5=，求λ．164【解析】解：（1）∵Sn =1+λan，λ≠0．165∴an ≠0．166当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1，167即（λ﹣1）an =λan ﹣1，168∵λ≠0，an ≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，169即=，（n≥2），170∴{an }是等比数列，公比q=，171当n=1时，S1=1+λa1=a1，172即a1=，173∴an =•（）n﹣1．174（2）若S5=，175则若S5=1+λ（•（）4=，176即（）5=﹣1=﹣，177则=﹣，得λ=﹣1．1788179【2016新课标Ⅲ】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：180亿吨）的折线图．181182注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．183（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以184证明；185（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾186无害化处理量．187附注：188参考数据：yi =9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．189参考公式：r=，190回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：191=，=﹣．192【解析】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如193下：1949∵r==≈195≈≈0.996，196∵0.996＞0.75，197故y与t之间存在较强的正相关关系；198（2）==≈≈0.10，199=﹣≈1.331﹣0.10×4≈0.93，200∴y关于t 的回归方程=0.103+0.93，2012016年对应的t值为9，202故=0.10×9+0.93=1.83，203预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨．204【2016新课标Ⅲ】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，205AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．206（1）证明：MN∥平面PAB；207（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．208209【解析】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，210∵N为PC的中点，211∴NG∥BC，且NG=，212又AM=，BC=4，且AD∥BC，213∴AM∥BC，且AM=BC，21410则NG∥AM，且NG=AM，215∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，216∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，217∴MN∥平面PAB；218法二、219在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，220在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，221∵AD∥BC，222∴cos，则sin∠EAM=，223在△EAM中，224∵AM=，AE=，225由余弦定理得：EM==，226∴cos∠AEM=，227而在△ABC 中，cos∠BAC=，228∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，229∴AB∥EM，则E M∥平面PAB．230由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，231∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．232∵NE∩EM=E，233∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；234（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2352AC•AM•cos∠MAC=．236∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，237∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，238∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，239∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．240在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平241面PMN所成角．242在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，24311在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，244∴sin．245∴直线AN与平面PMN 所成角的正弦值为．246247【2016新课标Ⅲ】已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线248l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．249（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；250（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．251【解析】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，252由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，253∴∠PFQ=90°，254∵R是PQ的中点，255∴RF=RP=RQ，256∴△PAR≌△FAR，257∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，258∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，259∴∠FQB=∠PAR，260∴∠PRA=∠PRF，261∴AR∥FQ．262（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），263F （，0），准线为 x=﹣，264S△PQF =|PQ|=|y1﹣y2|，265设直线AB与x轴交点为N，266∴S△ABF =|FN||y1﹣y2|，267∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，268∴2|FN|=1，∴xN =1，即N（1，0）．26912设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），270又=，271∴=，即y2=x﹣1．272∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．273274【2016新课标Ⅲ】设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记275f（x）的最大值为A．276（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．277【解析】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．278（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a+2（a﹣1）=3a 279﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．280当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a 281﹣1）cosx﹣1，282令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，283则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，284且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g （）=﹣﹣1=﹣285，286令﹣1＜＜1，得a ＜（舍）或a ＞．因此A=3a﹣2287g（﹣1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，∴t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，288即f（x）的最大值为3a+2．289综上可得：t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2．290∴A=3a+2．291①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2 292﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，293∴A=2﹣3a，29413②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞295g （），296又|g （）﹣g（﹣1）|=＞0，297∴A=|g（）|=，298综上，A=．299（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a 300﹣1|，301当0＜a≤时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，302当＜a＜1时，A==++≥1，303∴|f′（x）|≤1+a≤2A，304当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，305综上：|f′（x）|≤2A．306307请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选308修4-1：几何证明选讲]309【2016新课标Ⅲ】如图，⊙O 中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F 310两点．311（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；312（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．313314315【解析】（1）解：连接PA，PB，BC，316设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，317∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，31814由⊙O 中的中点为P，可得∠4=∠5，319在△EBC中，∠1=∠2+∠3，320又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，321即有∠2=∠4，则∠D=∠1，322则四点E，C，D，F共圆，323可得∠EFD+∠PCD=180°，324由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，325即有3∠PCD=180°，326可得∠PCD=60°；327（2）证明：由C，D，E，F共圆，328由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 329可得G为圆心，即有GC=GD，330则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，331则OG⊥CD．332333[选修4-4：坐标系与参数方程]334【2016新课标Ⅲ】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α335为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2 336的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．337（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；338（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．339【解析】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），340移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，341即有椭圆C1：+y2=1；342曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，343即有ρ（sinθ+cosθ）=2，344由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，345即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；34615（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，347|PQ|取得最值．348设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，349联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，350由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，351解得t=±2，352显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，353即有|PQ|==，354此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，355即为P （，）．356357[选修4-5：不等式选讲]358【2016新课标Ⅲ】已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．359（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；360（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．361【解析】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，362∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，363|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，364∴﹣2≤x﹣1≤2，365解得﹣1≤x≤3，366∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．367（2）∵g（x）=|2x﹣1|，368∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，3692|x ﹣|+2|x ﹣|+a≥3，370|x ﹣|+|x ﹣|≥，371当a≥3时，成立，372当a＜3时，|a ﹣1|≥＞0，373∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，374解得2≤a＜3，375∴a的取值范围是[2，+∞）．3763773783792016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（理科）38016（使用地区：广西、云南、贵州）381382一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只383有一项是符合题目要求的.3841．【2016新课标Ⅲ】设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T= 385（）386A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）3872．【2016新课标Ⅲ】若z=1+2i ，则=（）388A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3893．【2016新课标Ⅲ】已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）390A．30°B．45°C．60°D．120°3914．【2016新课标Ⅲ】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中392各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气393温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）394395A．各月的平均最低气温都在0℃以上396B．七月的平均温差比一月的平均温差大397C．三月和十一月的平均最高气温基本相同398D．平均最高气温高于20℃的月份有5个3995．【2016新课标Ⅲ】若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）400A ．B ．C．1 D ．4016．【2016新课标Ⅲ】已知a=2，b=3，c=25，则（）402A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b403177．【2016新课标Ⅲ】执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n= 404（）405406A．3 B．4 C．5 D．64078．【2016新课标Ⅲ】在△ABC中，B=，BC 边上的高等于BC，则cosA=（）408A ．B ．C ．﹣D ．﹣4099．【2016新课标Ⅲ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某410多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）41118412A．18+36B．54+18C．90 D．81 41310．【2016新课标Ⅲ】在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若414AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）415A．4π B ．C．6π D ．41611．【2016新课标Ⅲ】已知O为坐标原点，F是椭圆C ：+=1（a＞b＞0）的417左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的418直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C 419的离心率为（）420A ．B ．C ．D ．42112．【2016新课标Ⅲ】定义“规范01数列”{an }如下：{an}共有2m项，其中m422项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，423若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）424A．18个B．16个C．14个D．12个425426二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.42713．【2016新课标Ⅲ】（2015•新课标II）若x，y 满足约束条件，428则z=x+y的最大值为．42914．【2016新课标Ⅲ】函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的430图象至少向右平移个单位长度得到．4311915．【2016新课标Ⅲ】已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，432则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．43316．【2016新课标Ⅲ】已知直线l：mx+y+3m ﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两434点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则435|CD|= ．436437三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.43817．【2016新课标Ⅲ】已知数列{an }的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．439（1）证明{an }是等比数列，并求其通项公式；440（2）若S5=，求λ．44118．【2016新课标Ⅲ】如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单442位：亿吨）的折线图．443444注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．445（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以446证明；447（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾448无害化处理量．449附注：450参考数据：yi =9.32，tiyi=40.17，=0.55，≈2.646．451参考公式：r=，452回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：45320=，=﹣．45419．【2016新课标Ⅲ】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，455AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．456（1）证明：MN∥平面PAB；457（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．45845920．【2016新课标Ⅲ】已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线460l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．461（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；462（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．46321．【2016新课标Ⅲ】设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，464记f（x）的最大值为A．465（Ⅰ）求f′（x）；466（Ⅱ）求A；467（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．468469请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选470修4-1：几何证明选讲]47122．【2016新课标Ⅲ】如图，⊙O 中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F 472两点．473（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；474（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．47547647721[选修4-4：坐标系与参数方程] 47823．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以479坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方480程为ρsin（θ+）=2．481（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；482（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．483484[选修4-5：不等式选讲]48524．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．486（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；487（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．48848949022。
2016届云南省昆明三中高三上学期第三次综合测试数学(理)试题(解析版)
2015-2016学年云南省昆明三中高三（上）第三次综合测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上．1．设集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，则∁U A=( )A．{x|2≤x＜3} B．{x|2＜x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥2}2．i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )A．B．C．D．4．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是( )A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x6．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，PF1⊥PF2，PF1=c，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．7．如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P 在球面上，如果，则求O的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π8．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=( )A．10 B．8 C．D．9．已知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣5成立的自然数n( )A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值3110．如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是( )A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣211．设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N时，f（n）∈N，且f[f（n）]=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=( )A．39 B．40 C．43 D．4612．已知函数f（x），当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等差数列{a n}中，已知前20项之和S200=170，则a5+a16=__________．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=__________．15．已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是__________．16．如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使，，，依此类推，在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3，…．记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，…，n），则a1+a2+…+a n=__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求证数列{a n}为等差数列，并求它的通项公式；（Ⅱ），求证：．18．已知，，．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为，且在此范围内，关于x的方程f（x）=k恰有2个解，确定a的值，并求k的范围．19．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，．（1）求证：AC⊥BN；（2）求证：AN∥平面MEC；（3）求二面角M﹣EC﹣D的大小．20．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．2015-2016学年云南省昆明三中高三（上）第三次综合测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案涂在答题卡上．1．设集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，则∁U A=( )A．{x|2≤x＜3} B．{x|2＜x≤3} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x≥2}【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，求出A的补集即可．【解答】解：∵集合U={x|x＜3}，A={x|x＜2}，∴∁U A={x|2≤x＜3}．故选：A．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．i是虚数单位，复数表示的点落在哪个象限( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简即可得到结论．【解答】解：==﹣3﹣8i，对应的坐标为（﹣3，﹣8），位于第三象限，故选：C【点评】本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算先化简是解决本题的关键．3．如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为( )A．B．C．D．【考点】循环结构．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环x y z循环前/1 1 2第一圈是1 2 3第二圈是2 3 5第三圈是3 5 8第四圈否故最终的输出结果为：故选D．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．4．“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；综合题．【分析】分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件．【解答】解：2a＞2b⇒a＞b，当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b，反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立．故选B．【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．5．把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是( )A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=cos2x D．y=﹣cos2x【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及诱导公式求得所得图象的解析式．【解答】解：把函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是y=sin2（x+）=cos2x，故选C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6．已知F1和F2分别是双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支的一点，PF1⊥PF2，PF1=c，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由|PF1|=c，结合双曲线的定义得到|PF2|，再根据PF1⊥PF2，由勾股定理列式得到关于a，c的方程，整理得到关于e的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：因为P是双曲线左支的一点，又|PF1|=c，所以|PF2|=2a+c，又PF1⊥PF2，所以，即c2+（2a+c）2=4c2，c2﹣2ac﹣2a2=0．e2﹣2e﹣2=0．解得（舍），或e=．故选C．【点评】本题考查的是双曲线的简单性质，考查了双曲线的定义，解答的关键是得到关于a，c的关系式，此题是中档题．7．如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P 在球面上，如果，则求O的表面积为( )A．4πB．8πC．12πD．16π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题．【分析】由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，S ABCD=2R2，，所以，R=2，球O的表面积是16π，故选D．【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．8．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，则tan∠APB=( )A．10 B．8 C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PD⊥x轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出∠APD与∠BPD的正切，利用两角和的正切函数求出tan∠APB．【解答】解：函数y=sin（πx+φ）∴T=，最大值为1，过p作PD⊥x轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，在直角三角形中有tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tan∠APB=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选B．【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目．9．已知数列{a n}的通项公式为a n=log2（n∈N），设其前n项和为S n，则使S n＜﹣5成立的自然数n( )A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31【考点】数列的求和．【专题】常规题型．【分析】先有{a n}的通项公式和对数的运算性质，求出S n，再把S n＜﹣5转化为关于n的不等式即可．【解答】解：∵a n=log2，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=log2+log2+…+log2=log2=log2，又因为S n＜﹣5=log2⇒⇒n＞62，故使S n＜﹣5成立的正整数n有最小值：63故选 A【点评】本题考查了数列的求和以及对数的运算性质，是一道基础题．10．如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是( )A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题．【分析】根据O为AB的中点，我们易得=，又由OPC 三点共线，故为定值，根据基本不等式，我们易得的最小值．【解答】解：因为O为AB的中点，所以，从而则==；又为定值，所以当且仅当，即P为OC的中点时，取得最小值是﹣2，故选D．【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，基本不等式，根据O为AB的中点，将化为，进而转化为一个基本不等式问题是解答本题的关键．11．设f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，当n∈N时，f（n）∈N，且f[f（n）]=2n+1，则f（1）+f（2）+…+f（7）=( )A．39 B．40 C．43 D．46【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】利用函数单调递增及n∈N时，f（n）∈N，通过赋值法，和简单的逻辑推理，即可得到f（4）的值．【解答】解：由f[f（n）]=2n+1，令n=1，2得：f[f（1）]=3，f[f（2）]=5．∵当n∈N时，f（n）∈N，且f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数，①若f（1）=1，则由f[f（1）]=3得：f（1）=3，与单调递增矛盾，故不成立；②若f（1）=2，则f（2）=3，则f（3）=5，则f（5）=7，则f（3）＜f（4）＜f（5）即5＜f（4）＜7，∴f（4）=6．f（6）=f（f（4））=2×4+1=9，f（7）=f（f（5））2×5+1=11．∴f（1）+f（2）+…+f（7）=2+3+5+6+7+9+11=43．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性，抽象函数的应用，以及赋值法，考查推理能力，属于中档题．12．已知函数f（x），当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，若在区间内，函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A．B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】若函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则函数y=f（x）和y=ax的图象有三个不同的交点，根据已知求出函数的解析式，利用导数法，求出两图象相切时的临界值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）当x∈（0，1]时满足如下性质：f（x）=2lnx且，∴在区间内，f（x）=，∵f（1）=0，f（3）=﹣4ln3，若y=ax的图象过（3，﹣4ln3）则a=，若y=ax的图象与f（x）=﹣4lnx，x∈[1，3]相切于（b，﹣4lnb）点，则切线方程为：y+4lnb=（x﹣b），即4lnb=4，b=e，此时a=若函数g（x）=f（x）﹣ax，有三个不同的零点，则函数y=f（x）和y=ax的图象有三个不同的交点，则a∈，故选：B．【点评】此题充分利用了分类讨论的思想，是一道综合题，将函数零点问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在等差数列{a n}中，已知前20项之和S200=170，则a5+a16=17．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，前20项之和S20=170，∴S20==10（a5+a16）=170，∴a5+a16=17．故答案为：17．【点评】本题考查等差数列中两项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b﹣c）cosA=acosC，则cosA=．【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正弦函数．【专题】计算题．【分析】先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到sinBcosA=sinB，进而可求得cosA的值．【解答】解：由正弦定理，知由（b﹣c）cosA=acosC可得（sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，∴sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∴cosA=．故答案为：【点评】本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．15．已知直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，，那么实数m的取值范围是．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】计算题．【分析】根据直线与圆有两个交点可推断出圆心到直线的距离小于或等于半径，根据，利用平行四边形法则推断出和的夹角为锐角，利用直线的斜率可推断出其与x轴的夹角，看当和的夹角为直角时求得原点到直线的距离，进而可推断出d＞1，最后综合可得d范围，然后过原点作一直线与x+y+m=0垂直，两直线交点可得，进而求得d和m的关系，进而根据d的范围求得m的范围．【解答】解：∵直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，∴O点到直线x+y+m=0的距离d＜，又∵，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，∴和的夹角为锐角．又∵直线x+y+m=0的斜率为﹣1，即直线与x的负半轴的夹角为45度，当和的夹角为直角时，直线与圆交于（﹣，0）、（0，﹣），此时原点与直线的距离为1，故d＞1综合可知1≤d＜，过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x，两直线交点为（﹣，﹣），则d=|m|综上有：﹣2＜m≤﹣或≤m＜2故答案为：【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的几何意义等．考查了学生分析问题和解决问题的能力．16．如图，在面积为1的正△A1B1C1内作正△A2B2C2，使，，，依此类推，在正△A2B2C2内再作正△A3B3C3，…．记正△A i B i C i的面积为a i（i=1，2，…，n），则a1+a2+…+a n=．【考点】数列的求和．【专题】计算题．【分析】先利用边长之间的关系得出三角形的面积组成以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式进行求和【解答】解：由，，，∴tanB1=，∴=tanB1•||=||，∴，进而，…（i=1，2，…，n），根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得：S i+1=3S i（i=1，2，…，n），即所作三角形的面积构成以1为项，以为公比的等比数列∴a1+a2+…+a n==故答案为：【点评】本题主要考查等比数列的和的求解，关键是从实际问题中抽象出等比数列的模型，进而再利用等比数列的求和公式三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求证数列{a n}为等差数列，并求它的通项公式；（Ⅱ），求证：．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（I），化为a n+1﹣a n=2，即可证明；（II）当n≥2时，=＜=．利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．【解答】证明：（I）∵，化为a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}为等差数列，首项为1，公差为2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n≥2时，=＜=．∴b1+b2+…+b n+…+=1+．当n=1时也成立，∴．【点评】本题考查了“裂项求和”、等差数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知，，．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）当时，f（x）的最大值为，且在此范围内，关于x的方程f（x）=k恰有2个解，确定a的值，并求k的范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．【专题】数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）运用数量积的坐标计算公式，辅助角公式化简函数式，再求最小正周期和单调区间；（2）根据自变量的范围得出函数的最值，求出a，再结合函数图象求k的范围．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin2x+a=cos2x+sin2x+a+1=sin（2x+）+a+1，该函数的最小正周期为：π，令2x+∈[2kπ﹣，2kπ+]，解得x∈[kπ﹣，kπ+]；所以，f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，π]，此时，sin（2x+）∈[0，1]，所以，f（x）max=+a+1=，解得a=﹣1，因此，f（x）=sin（2x+），要使f（x）=k在x∈[0，]内恰有两解，结合正弦函数图象知，k∈[f（0），f（）），即k∈[1，），故实数k的取值范围为[1，）．【点评】本题主要考查了向量的数量积，三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，以及运用函数图象解决根的个数问题，属于中档题．19．如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AB的中点，MA⊥平面ABCD，且在矩形ADNM中，AD=2，．（1）求证：AC⊥BN；（2）求证：AN∥平面MEC；（3）求二面角M﹣EC﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）通过连接BD，证明AC⊥平面NDB，利用BN⊂平面NDB，从而证明AC⊥BN；（2）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；（3）通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设平面MEC的法向量为=（x，y，z）．利用求出向量，求出平面ADE的法向量，利用，求出二面角M﹣EC﹣D的大小．【解答】（共14分）解：（1）证明：连接BD，则AC⊥BD．由已知DN⊥平面ABCD，因为DN∩DB=D，所以AC⊥平面NDB．…又因为BN⊂平面NDB，所以AC⊥BN．…（2）CM与BN交于F，连接EF．由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点．因为E是AB的中点，所以AN∥EF．…又EF⊂平面MEC，AN⊄平面MEC，所以AN∥平面MEC．…（3）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，C（0，2，0），.，．…，设平面MEC的法向量为=（x，y，z）．则所以令x=2．所以．…，又平面ADE的法向量=（0，0，1），所以．．所以二面角M﹣EC﹣D的大小是60°．…（14分）【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判断，二面角的求法，考查空间想象能力与计算能力．20．如图，椭圆E：的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆E的方程．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x0，y0）∴m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0∴4k2﹣m2+3=0①此时x0==，y0=，即P（，）由得Q（4，4k+m）取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x﹣2）2+（y﹣）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x﹣）2+（y﹣）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下∵∴故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）【点评】本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f （x）的单调区间；（2）解法一：根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可，解法二：将化为：，由二项式定理化简=，再由放缩法和裂项相消法进行化简；（3）先将kx＞f（x）+2分离出k：，构造函数g（x）=，再求出此函数的导数g′（x）并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值，再由自变量的范围确定出g（x）的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值．【解答】解：（1）依题意，（x＞0），所以=，由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，此时（x＞0），，令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e，所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（2）解法一：由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f＞f，即＞，则2015ln2014＞2014ln2015，所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014解法二：=，因为==1+1+++…+＜2+＜2+＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣）=3﹣＜3，所以，所以20142015＞20152014．（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则，记g（x）=，只需k＞g（x）max．又=，记h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0，所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0，x （0，x0）x0（x0，+∞）h（x）+ 0 ﹣g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘所以g（x）max=g（x0）=，又因为1﹣2x0﹣2lnx0=0，所以2x0+2lnx0=1，所以g（x0）===，因为，所以，所以，（13分）又g（x）max≥g（1）=2，所以，因为k＞g（x）max，即k＞g（x0），且k∈Z，故k的最小整数值为3．所以存在最小整数k=3，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立．（14分）【点评】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）先利用消去参数t得到曲线C的直角坐标方程．再将原极坐标方程ρcos2θ=4sinθ两边同时乘以ρ，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，利用直线的参数方程中t的几何意义结合根与系数的关系建立关于α的方程即可求出求出α的值．【解答】解：（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：sinαx﹣cosαy+cosα=0．曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，曲线C的标准方程：x2=4y．（2）将代入曲线C的标准方程：x2=4y得：t2cos2α﹣4tsinα﹣4=0，∴|AB|=|t1﹣t2|==8，∴cosα=．∴或．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．古今名言敏而好学，不耻下问——孔子业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随——韩愈兴于《诗》，立于礼，成于乐——孔子己所不欲，勿施于人——孔子读书破万卷，下笔如有神——杜甫读书有三到，谓心到，眼到，口到——朱熹立身以立学为先，立学以读书为本——欧阳修读万卷书，行万里路——刘彝黑发不知勤学早，白首方悔读书迟——颜真卿书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲——于谦书犹药也，善读之可以医愚——刘向莫等闲，白了少年头，空悲切——岳飞发奋识遍天下字，立志读尽人间书——苏轼鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书——李苦禅立志宜思真品格，读书须尽苦功夫——阮元非淡泊无以明志，非宁静无以致远——诸葛亮熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟——孙洙《唐诗三百首序》书到用时方恨少，事非经过不知难——陆游问渠那得清如许，为有源头活水来——朱熹旧书不厌百回读，熟读精思子自知——苏轼书痴者文必工，艺痴者技必良——蒲松龄声明访问者可将本资料提供的内容用于个人学习、研究或欣赏，以及其他非商业性或非盈利性用途，但同时应遵守著作权法及其他相关法律的规定，不得侵犯本文档及相关权利人的合法权利。
云南师大附中2016届高考适应性月考卷(三)理数-答案
理科数学参考答案·第1页（共10页）云南师大附中2016届高考适应性月考卷（三）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．由已知得{|0}A x x =≥，{|24}B x x =≤≤，{024}A B x x =<>R ∴≤或ð，故选C ． 2．5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，故选A ． 3．{}n a ∵是等比数列，2143548a a a a a ===，，410a =∴或（舍），又2417718a a a a ==，∴，故选B ．4．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，可得2214c a =，可得22214a b a -=，解得b a =∴双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：y =，故选A ． 5．1πsin 26x x =⇒=，π1sin 62x x =⇒=，命题中所说的条件是π6x =，即π6x =是1sin 2x =的充分不必要条件，故选C ． 6．当2x =时，2M =，11122x -=<；12x =，52M =，1112x -=-<；1x =-，32M =，1122x -=≥，程序结束．输出32M =，故选B ． 7．所给几何体是一个长方体上面横放了一个三棱柱，其体积为1711211322V =⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选B ．8．MA MB MC ++=0 ∵，∴M 是△ABC 的重心，33AB AC AM m +==∴，∴，故选B ．理科数学参考答案·第2页（共10页）9．如图1所示，∵222AB AC BC +=，∴CAB ∠为直角，即过△ABC 的小圆面的圆心为BC 的中点O '，ABC △和DBC △所在的平面互 相垂直，则圆心在过DBC △的圆面上，即DBC △的外接圆为球的 大圆，由等边三角形的重心和外心重合易得球半径为2R =，球的 表面积为24π16πS R ==，故选C ．10．函数3()f x x bx =-+(b 为常数)，所以2()()0f x x b x =--=的根都在区间[2,2]-内，所以24b ⇒≤；又因为函数()f x 在区间(0，1)上单调递增，所以2()30f x x b '=-+>在区间(0，1)上恒成立，所以3b ≥，综上可得：34b ≤≤，故选C ． 11．由抛物线定义得||2PF x =+，又||PA||||PA PF ∴0x =时，||1||PA PF =；当0x ≠时，||||PA PF =当且仅当2x =时取等号．44x x +∵≥，||||PA PF ∴||||PA PF的取值范围是[1，故选D ． 12．设公共切线与曲线1C 切于点211()x x ，，与曲线2C 切于点22(e )x x a ，，则2221121e 2e x x a x x a x x -==-，将212e x x a =代入221121e 2x a x x x x -=-，可得1222x x =-，代入212e x x a =可得224(1)e x x a -=，设4(1)()e x x f x -=，求导得4(2)()exx f x -'=，可得()f x 在(12)，上单调递增，()f x 在(2)+∞，上单调递减，所以max 24()(2)ef x f ==，故选B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）图1理科数学参考答案·第3页（共10页）【解析】 13．551116636P ⨯=-=⨯． 14．π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵，且πtan 34α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，tan 131tan αα+=-∴，1tan 2α=∴，lg(8sin 6cos )lg(4sin cos )αααα+--∴8sin 6cos 8tan 6lglg lg1014sin cos 4tan 1αααααα++====--．15．1211n n n n n b a b b a ++==-∵且，112n n b b +=-∴，111111n n b b +=---∴，又112b =，1121b =--∴，11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭∴是首项为2-，公差为1-的等差数列，111n n b =---∴，1n n b n =+∴，201520152016b =∴． 16．令1y kx k =++，则化为1(1)y k x -=+，即直线1y kx k =++恒过(11)M -，．根据题意，画出()[13]y f x x =∈-，，的图象与直线1y kx k =++，如图2所示，由图象可知当直线介于直线MA 与MB 之间时，关于x 的方程()1f x kx k =++(k ∈R 且1k ≠-)恰有4个不同的根，又因为0MA k =，13MB k =-，所以103k -<<．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得1cos 2a C c b +=，即1sin cos sin sin 2A C C B +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，图2理科数学参考答案·第4页（共10页）1sin cos sin 2C A C =∴． …………………………………………………………（4分）1sin 0cos 2C A ≠=∵，∴． 又(0π)A ∈∵，，π3A =∴． ………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a B b B c C A ===，，1sin )1sin()]l a b c B C B A B =++=++=+++∴1π12cos 12sin 26B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………（10分）π3A =∵， 2πππ5π03666B B ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，，，，π1sin 162B ⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦∴，．故△ABC 的周长l 的取值范围是(23]，． ……………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图3，连接AC 交BD 于O 点，连接EO ， ∵四边形ABCD 是菱形，AO CO =∴， ∵E 为PC 中点， EO PA ∴∥，PA ⊥∵平面ABCD ，EO ⊥∴平面ABCD ，EO ⊂∵平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD ． ………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：方法一：∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面EBD ⊥平面ABCD ， ∴平面P AB 和平面EBD 的交线与平面ABCD 垂直， ABO ∠∴即为平面P AB 和平面EBD 所成角的平面角，图3理科数学参考答案·第5页（共10页）∵BD 是菱形ABCD 的对角线，1302ABO ABC ∠=∠=︒∴，∴平面PBA 与平面EBD……………（12分）方法二：∵四边形ABCD 是菱形， AC BD ⊥∴，EO ⊥∵平面ABCD ， EO AC ⊥∴，EO BD ⊥，如图4，建立空间直角坐标系O xyz -， …………………………………………（8分）∵y 轴⊥平面BED ，∴平面BED 的法向量为(010)u =，，． 设F 为AB 中点，连接CF ，菱形ABCD 的边长为2a ， 则CF AB ⊥，CF ⊥∴平面P AB ，∴平面P AB的法向量为302CF a ⎫=-⎪⎪⎝⎭，，，cos ||||u CF u CF θ== ∴∴平面PBA 与平面EBD……………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设易建联在比赛中TS%超过50%为事件A ，则8()9P A =．………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%为事件B ，2529C 13()1C 18P B =-=．…………………………………………………………（8分）（Ⅲ）不具有线性相关关系． ……………………………………………………（10分） 因为散点图并不是分布在某一条直线的周围． 篮球是集体运动，个人无法完全主宰一场比赛．……………………………（12分）图4理科数学参考答案·第6页（共10页）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，22211,c a ab ⎧=⎪⎪⎪⎨⎪⎝⎭⎪+=⎪⎩∴ 25a =∴，21b =， ∴椭圆C 的标准方程为2215x y +=． ………………………………………………（4分）（Ⅱ）证明：设点A ，B ，M 的坐标分别为11220()()(0)A x y B x y M y ，，，，，， 又易知F 点的坐标为(20)，．显然直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程是(2)y k x =-，将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得 2222(15)202050k x k x k +-+-=，……………………………………………（8分） 2212122220205,1515k k x x x x k k -+==++∴， ……………………………………………（9分）又12,MA AF MB BF λλ== ∵，将各点坐标代入得121212,22x x x x λλ==--， …………………………………（11分）121212121212122()22242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+=---++∴ 22222220205215151020205421515k k k k k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭==---+++ ． ………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：ln1(1)01f ==，即切点为(10)，． 21ln ()x f x x -'=，21ln1(1)11f -'==∴，即切线的斜率1k =，∴切线方程为1y x =-，即10x y --=．………………………………………（4分）理科数学参考答案·第7页（共10页）（Ⅱ）证明：方法一：()f x 的定义域为(0)+∞，，要证()()f x g x <只需证e ln 0x m x x +-> ，∵当2m -≥时，2e e x m x +-≥，故只需证明2e ln 0x x x --> ． 设2()e ln x h x x x -=- ，221()e e x x h x x x--'=+-， 函数2221()2e e 0x x h x x x--''=++> 在(0)+∞，内单调递增， 又121212(1)e 1e 101eh --'=+-=-< ，662255665e e 0556h --⎛⎫'=+-=> ⎪⎝⎭ ， ()0h x '=∴在(0)+∞，内有唯一的实根0x ，且0615x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当0(0)x x ∈，时，()0h x '<； 当0()x x ∈+∞，时，()0h x '>． 从而当0x x =时，()h x 取得最小值． 由0()0h x '=得0022001e e x x x x --=-， 代入02000()e ln x h x x x -=- 得020001()e ln x h x x x -=--， 故0200016()e ln 5x h x x h x -⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， 设21()e ln x x x xϕ-=--， 2211()e x x x xϕ-'=---， ∵当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<， ()x ϕ∴在(0,)+∞单调递减，理科数学参考答案·第8页（共10页）1144114555553345656116(e )(2)e ln eln ln e ln1.72805652352e ϕ---⎛⎫=--=-+-=+-> ⎪⎝⎭， 0605x <<∵，06()05x ϕϕ⎛⎫>> ⎪⎝⎭∴，即00()()0h x x ϕ=>．综上所述，当2m -≥时，()()f x g x <． ……………………………………（12分）方法二：设2()ln h x x x x =--，定义域为(0)+∞，，则1(21)(1)()21x x h x x x x+-'=--=． 当(01)x ∈，时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当(1)x ∈+∞，时，()0h x '>，()h x 单调递増． 所以()(1)0h x h =≥，即2ln 0x x x --≥，则ln 1xx x-≤． 设2e ()1x x x ϕ-=-+，定义域为(0)+∞，，则2e ()1x x ϕ-'=-． 当(02)x ∈，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当(2)x ∈+∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递増． 所以()(2)0x ϕϕ=≥，即2e 10x x --+≥，则2e 1x x --≥． 当2m -≥，(0)x ∈+∞，时，2e 1e x m x x +--≥≥． 所以1e ln x m xx x+-≥≥，因为两个不等号分别当2x =，1x =时取得， 所以n e l x m xx+>． 综上所述，当2m -≥时，()()f x g x <． ………………………………………（12分）方法三：设2()e x h x -=，则2()e x h x -'=， 由()1h x '=可解得2x =，(2)1h =，即()h x 在点(21)，处的切线方程为12y x -=-，即为1y x =-， 由（Ⅰ）可知()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，理科数学参考答案·第9页（共10页）()y f x =，()y h x =，1y x =-在同一坐标系内的图象如图5所示， 可得()1()f x x h x -≤≤，① 因为2m -≥，所以2e e x m x +-≥， 即()()()f x h x g x ≤≤，又因为①式中取等号的条件不相同， 所以()()f x g x <．………………………………………（10分）（采用方法三证明第（Ⅱ）问时，过程不严密，第（Ⅱ）问给分不超过6分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】证明：（Ⅰ）如图6，∵P A 切⊙O 于A ， 2BA BD BC = ∴，∵B 为线段P A 的中点，PB BA =∴，2PB BD BC = ∴，即PB BCBD PB=， PBD CBP ∠=∠∵， PBD CBP ∴△∽△．……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）PBD CBP ∵△∽△， BPD C ∠=∠∴， C E ∠=∠∵，BPD E ∠=∠∴， AP FE ∴∥．……………………………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）圆的普通方程为：22(1)1x y -+=． cos sin x y ρθρθ==∵，，∴圆C 的极坐标方程为：2cos ρθ=． …………………………………………（5分）图6图 5理科数学参考答案·第10页（共10页）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标，则1112cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，解得111π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，.设22()ρθ，为点Q 的极坐标，则2222(sin )π3ρθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得223π3ρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，，12θθ=∵，122PQ ρρ=-=∴，∴线段PQ 的长为2． …………………………………………………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】（Ⅰ）解：当2a =时，不等式为|2||1|4x x -+-≥．∵方程|2||1|4x x -+-=的解为121722x x =-=，，∴不等式的解集为1722⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，．……………………………………（5分）（Ⅱ）证明：由()1f x ≤得||1x a -≤， 解得11a x a -+≤≤， 而()1f x ≤的解集为[02]，， 1012a a -=⎧⎨+=⎩，∴，1a =∴， 111(00)2m n m n+=>>∴，， 1122(2)2422n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭∴≥． ………………………………（10分）。
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2016届云南省昆明市高三适应性检测试卷(三)数学(理)-含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设复数z 满足()12i z i +=+，则z =（ ）A 5B 3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：因i ii i z 2212-==-+=,故2|2|||=-=i z ,故应选C. 考点：复数的运算及模的求法． 2．设命题:0,0xp x xe∀>>，则p ⌝为（ ）A ．0,0xx xe ∀≤≤ B ．0000,0x xx e ∃≤≤ C ．0,0xx xe∀>≤D ．0000,0x xx e ∃>≤【答案】D 【解析】试题分析：因命题P 是全称命题且是含一个量词的命题,故其否定为存在性命题,故应选D.考点：全称命题与存在命题之间的关系及运用． 3．一射手对同一目标射击3次，已知该射手每次击中目标的概率为0.9，则这位射手至少2次击中目标的概率为（ ）A ．0.243B ．0.729C．0.81 D．0.972【答案】D考点：独立性重复试验及概率．4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图，若输入2,5==，则输出的v=（）x nA．26 B．48C．57 D．64【答案】A考点：算法流程图及识读．5．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（）A．39π B．48π C．57πD．63π【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知剩余几何体是圆柱挖去一个圆锥的几何体.表面积为一个圆面圆柱的侧面和圆锥的侧面三部分,其面积之和为ππππ4815249=++=S,故应选B.考点：三视图及圆柱圆锥的面积及运算．【易错点晴】本题考查的是三视图的阅读和理解及几何体的体积面积的计算的的问题.解答时要充分借助题设中提供的三视图中所给的图形信息和数据信息,先确定三视图所提供的几何体的形状,再根据几何体的形状特征选择所运用的几何体的体积和公式运算求解.如本题所提供的是一个圆柱挖去一同底的圆锥所剩几何体的表面积问题.求解时借助图中所提供的数据可以看出:圆柱圆锥的半径均为3,高为4,再运用直角三角形求出圆锥母线长为5,圆锥的侧面积是解答本题的关键.6．已知,x y满足约束条件20,6,26,xx yx y-≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩若目标函数3z x y a=++的最大值是10，则a=（）A．4- B．0C．1 D．6【答案】A考点：线性规划表示的区域及运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的知识在解题中的运用.本题设置的是在线性约束条件下动直线取得最大值时直线方程中参数值的取值范围,求解时先在平面直角坐标系中准确作出不等式组所表示的线性区域,然后运用数形结合的方法探寻出动直线取得最值时所经过的点,最后将该点的坐标代入动直线,建立了关于参数的方程,通过解方程从而使问题获解.u u u r u u u r，则（）7．设D为ABC∆所在平面内一点，且3=-CD BDA ．3122AD AB AC=-u u u r u u u r u u u r B ．1322AD AB AC=-+u u u r u u ur u u u rC ．3144AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r D ．1344AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】C 【解析】 试题分析：由3CD BD=-u u u r u u u r知点D 是CB 的四等分点,且DB CD 3=,所以3144AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r ,故应选C.考点：向量的几何形式及运算．8．已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<相交，其中一个交点P 的横坐标为4，若与P 相邻的两个交点的横坐标为2，8，则()f x 的单调递减区间为（ ） A ．[]6,63,k k k Z ππ+∈ B ．[]63,6,k k k Z -∈ C ．[]6,63,k k k Z +∈ D ．[]63,6,k k k Z ππ-∈ 【答案】B考点：函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象及运用． 9．设函数()2xf x eax=+在()0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)1,-+∞B ．()1,-+∞C ．[)2,-+∞D ．()2,-+∞ 【答案】C试题分析：因02)(2/≥+=a e x fx ,故222-<-≥xea ,应选C.考点：导数及运用．10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，,M N 分别是1111,A D A B的中点，过直线BD 的平面αP 平面AMN ，则平面α截该正方体所得截面的面积为（ ）A ．42B ．92C ．23D ．6【答案】B考点：截面图形的面积及运算．11．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．(][),22,-∞-+∞UB ．[][)4,20,--+∞UC ．(][),42,-∞--+∞UD ．(][),40,-∞-+∞U 【答案】C试题分析：由于()()2=-是)(x f向右平移2个单位得到,g x f x且(2)(0)0-=-f gg g==，(4)(2)=-=-==,结合函数的图象可知当4-≤x或2-≥x时,g f g(2)0,(2)(0)0()0xf x≤,故应选C.考点：函数的图象与单调性、奇偶性的运用．【易错点晴】本题考查的是抽象函数的图象、单调性、奇偶性等性质的问题,解答时充分借助题设中提供的条件信息,进行合理的推理和运算,找出符合题设条件的函数的零点,从而依据不等式所反映的问题的特征,数形结合、合情推证,最后写出所给不等式的解集.解答本题的关键是借助图形中所提供的信息确定函数的零点为xf x≤问题要合理转化, -等,值得注意的是不等式()0,4-2,0,2才能写出其解集使其获解.12．已知抛物线2:4=的焦点为F，点,A B在C上且关于x轴C y x对称，点,M N分别为,AF BF的中点，且AN BM⊥，则AB=（）A．8365++或8365 B．12245 -245C．458或58- D．41012+或-41012【答案】D考点：抛物线及几何性质的运用．【易错点晴】本题设置的背景是抛物线和直线的位置关系,考查的是坐标运算和位置关系的合理转化的问题.求解时充分抓住题设中提供的信息,通过巧设坐标)2,(),2,(t t B t t A -,进而算成中点坐标),21(),,21(t t N t t M -++,再借助AN BM ⊥运用向量将合理转化和化归为方程问题来求解,求出方程的解,再根据图形的特征求出了弦长AB 的值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13．二项式431x x ⎫+⎪⎭展开式中的常数项为______．（用数字作答） 【答案】4 【解析】试题分析：因3434443141)(r r rrrr xC x x C T ---+==,令03434=-r 得1=r ,则常数项为41411==+C T.考点：二项展开式及通项公式．14．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()00.2P ξ<=，则()12P ξ<<=______．【答案】3.0 【解析】试题分析：由正态分布的图象可知2.0)0()2(=<=>ξξP P ,故6.00221)20(=⨯-=≤≤ξP ,故()12P ξ<<=3.06.021=⨯.考点：正态概率分布的运算．15．若ABC ∆三边长公差为1的等差数列，且,2A B C A C >>=，则ABC ∆的周长为______． 【答案】15考点：正弦定理余弦定理．【易错点晴】本题考查的是正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用问题.解答时充分依据题设条件先建立方程和方程组,通过求出方程的解使问题获解.解答的过程中肯那个容易出现正弦定理运用不合理,选择的边的对应、不恰当等错误等问题,余弦定理的一个重要作用就是建构方程或不等式,本题的最为显著的特征是借助正弦定理得出1cos 21-=+x Cx ,进而代入余弦定理公式中,建立了关于边长x 的方程,最后通过解方程得5=x ,求出三角形的周长. 16．已知圆()()22:10C x a y a -+=>，过直线:2230l x y ++=上任意一点P 作圆C 的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，若APB ∠为锐角，则a 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由于圆心到直线的距离22|32|+=a d ,当APB ∠090=时,2=PC ,所以222|32|>+a ,即4|32|>+a ,注意到0>a ,故432>+a ,即21>a . 考点：圆与直线的位置关系及运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分） 已知数列{}na 满足：1113,22n n n aa a n n++==++．（Ⅰ）证明：数列na n⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）证明：12311111na a a a+++⋅⋅⋅+<． 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.考点：等差数列的通项公式、裂项相消法及放缩法等推证方法的运用．18．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是直角梯形，AB DCP，∠=︒，90BCD∠=︒，60BAD==，PC BD⊥．BC DC2（Ⅰ）证明：PB PD=；（Ⅱ）若平面PBD⊥平面ABCD，且90--∠=︒，求二面角A PB CDPB的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) 5-.7（Ⅱ）由（Ⅰ）及平面PBD⊥平面ABCD知，PO⊥平面ABCD，以过O且分别平行于,AD CD的直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系（如图），考点：等腰三角形的概念和性质及空间向量在立体几何中的运用．19．（本小题满分12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大．2012 年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用1,2,3,4,5x=依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用y表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：3/g mμ）．已知某市2013年到2016年每年3月份的PM2.5指数的平均值的折线图如下：（Ⅰ）根据折线图中的数据，完成下列表格：年份 2013 2014 2015 2016 年份代号（x ） 1 2 3 4 PM2.5指数（y ）（Ⅱ）建立y 关于x 的线性回归方程；（Ⅲ）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程$$y bx a =+$中参数的最小二乘估计公式：()()()$121,niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑$$．【答案】(Ⅰ)表格见解析；(Ⅱ) $9.6102y x =-+；（Ⅲ）354/g m μ.考点：折线图、线性回归方程及运用．20．（本小题满分12分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3，以该椭圆上的点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形的周长为(223． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点()1,0P 的直线l 交C 于,A B 两点，是否存在x 轴上的定点Q ，使QA QB⋅u u u r u u u r 为定值？若存在，求出定点Q 的坐标和QA QB⋅u u u r u u u r 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(Ⅰ)2214x y +=；(Ⅱ) 存在定点17,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使3364QA QB ⋅=u u u r u u u r .考点：直线的方程及椭圆的标准方程及向量的数量积公式的运用．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线中的典型代表曲线椭圆的标准方程及相关几何性质.求圆锥曲线的标准方程的常规方法是想方设法建立关于基本量c b a,,的方程或方程组,通过解方程组解出b a,,依据图形的位置写出其标准方程即可;直线与圆锥曲线的位置关系依靠联立直线与圆锥曲线的方程来实现的,通过对方程的研究,到达解决问题的目的.本题设置了直线与椭圆的交点B A,与x轴上的动点Q的向量之间的关系进行分析和探究,有效地检测了学生运算求解能力和运用向量等知识去分析问题解决问题的能力.21．（本小题满分12分）已知函数()ln 21x f x ax b x =+--（,a b 为常数）．（Ⅰ）若函数()f x 在1x =处的切线方程为240x y --=，求,a b ；（Ⅱ）当(],0,a b x e =∈时，()1f x x≤，求实数a 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) 1,1a b ==；(Ⅱ) 122a e -≤≤-. （2）当a ≠时，令()0g x '=，得12x a =或1x =．①当102a <，即0a <时，函数()g x 在()0,1上为增函数，在(]1,e 上为减函数，所以函数()g x 在(]0,e 上的最大值为()()1211g a a =-+-，由()10g ≤，得20a -≤<；②当1012a <<，即12a >时，函数()g x 在(]10,,1,2e a⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，在1,12a⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数， 所以函数()g x 在(]0,e 上的最大值为()1max ,2g g e a⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，考点：导数的知识与分类整合思想的运用．【易错点晴】本题考查的是导数在研究函数的单调性和最值方面的运用的问题,这类问题的设置重在考查导数的工具作用.解答这类问题是,一要依据导数的几何意义,导函数在切点处的导函数值就切线的斜率;再一个就是切点既在切线上也在曲线上,这两点是解决曲线的切线这类问题所必须掌握的基本思路.本题的第二问设置的是不等式恒成立的前提下求参数的取值范围问题,求解时先将不等式进行转化,再构造函数)(x g,然后通过运用导数对函数)(x g最值的分类研究,最后求出参数a的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，F为O e上一点，点A在直径BD的延长线上，过点B作O e的切线交AE的延长线于点C，=．CE CB（Ⅰ）证明：2AE AD AB=⋅；（Ⅱ）若4,6==，求O e的半径．AE CB【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)3.（Ⅱ）∵6,4===，CE CB AE∴10AC=．在Rt ABCAB=，∆中，有222AB AC BC=-，则8由（Ⅰ）得248AD=⨯，∴2AD=．∴826BD=-=，即O e的半径为3．……………………………………………………………………………………………10分考点：圆幂定理及运用．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是2sin8cos0ρθθ-=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在直角坐标系中，倾斜角为α的直线l过点()P．2,0（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设点Q 和点G 的极坐标分别为()32,,2,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若直线l 经过点Q ，且与曲线C 相交于,A B 两点，求GAB ∆的面积．【答案】(Ⅰ) 28y x =，2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩；(Ⅱ)216.考点：极坐标方程参数方程和直角坐标之间的互化．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()315f x x x =+--+（Ⅰ）求函数()f x 的值域； （Ⅱ）若函数()f x 的值域是[],m n ，且2222,ab mcd n +=+=，求ac bd +的取值范围．【答案】(Ⅰ)[]1,3；(Ⅱ)]3,3[-. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用分段函数的图象求解；(Ⅱ)借助题设条件和柯西不等式求解.试题解析:（Ⅰ）设()315g x x x =+--+，则()()()()13,2731,91,x g x x x x ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩所以()[]1,9g x ∈，所以函数()f x 的值域是[]1,3．………………………………………………………………………………5分考点：绝对值不等式与柯西不等式及运用．。