计算方法-牛顿求根
迭代法求根号
迭代法求根号
迭代法是一种数值计算方法，用于逼近函数的根。
在求解根号的迭代法中，通常采用牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method）或二分法（Bisection method）。
1.牛顿-拉弗森方法：
这是一种迭代方法，通过不断更新初始猜测值来逼近函数的根。
具体来说，对于要求解的根号函数f(x)，牛顿-拉弗森方法的迭代公式如下：
x n+1=x n−f(x n) f′(x n)
其中，x n是第n次迭代的猜测值，x n+1是第n+1次迭代的猜测值，f′(x n)是函数f在x n处的导数。
2.二分法：
二分法是一种简单而直观的迭代方法，通过不断缩小根所在的区间来逼近根。
具体来说，对于要求解的根号函数f(x)，二分法的迭代步骤如下：
(1)首先确定一个初始区间[a, b]，使得f(a) 与f(b) 异号。
(2)然后计算区间的中点c = (a + b) / 2，并计算f(c)。
如果f(c) 等于零或者满足预先设定的精度要求，则 c 就是所求根的近似值；否则，根据f(a) 与f(c) 的符号确定新的区间[a, c] 或[c, b]，然后重复上述步骤。
非线性方程求根—牛顿迭代法(新)
非线性方程求根——牛顿迭代法一、牛顿迭代法的基本思想基本思想：将非线性方程逐步归结为某种线性方程求解。
设方程f (x )=0有近似根x k （f `(x k )≠0），将f (x )在x k 展开：（ξ在x 和x k 之间）2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-()()()()k k k f x f x f x x x '≈+-可设记该线性方程的根为x k +1，则()()()0k k k f x f x x x '+-=1()()k k k k f x x x f x +=-'故f (x )=0可近似表示为即为Newton 法迭代格式。
（k =0,1,……）例：用Newton 迭代法求方程310x x --=在x 0=1.5附近的近似实根。
解：32()1,()31f x x x f x x '=--=-迭代公式为312131kk k k k x x x x x +--=--计算步骤如下:（1）取初值x 0=1.5;（2）按照迭代公式计算x 1；（3）若|x 1-x 0|<=0.00001，终止迭代；否则，x 0=x 1；转(2)；（4）输出迭代次数和近似根.二、牛顿迭代法的实现MATLAB求解程序设计：方程及一阶导数函数：function[fun,dfun]=fun0(x)fun=x^3-x-1;%求原函数的值dfun=3*x^2-1;%求一阶导数的值计算主程序：clearx0=1.5;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=1;while abs(x1-x0)>1e-5x0=x1;[fun,dfun]=fun0(x0);x1=x0-fun/dfun;i=i+1;enddisp('the solution is x1=')x1disp('the iter time is ')i计算结果为：the solution is x1=x1 =1.3247the iter time isi =4可见经过4次迭代即到达要求的精度，原方程的一个近似实数根为1.3247.三、牛顿迭代法的收敛性牛顿迭代法的迭代函数：)()()(x f x f x x '-=ϕ222)]([)()()]([)()()]([1)(x f x f x f x f x f x f x f x '''='''-'-='ϕ设f (x *)=0，f `(x *)≠0，则ϕ`(x *)=0，故Newton 迭代法在x *附近至少平方收敛。
最优化理论方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton ’s method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。
设函数()f x 在k x 附近连续可微，且()0k k g f x =∇≠。
由泰勒展开式： ()()()()()Tk k k k fx f x x x f x x x ο=+-∇+- （*）可知，若记为k k x x d α-=，则满足0Tk k d g <的方向k d 是下降方向。
当α取定后，Tk k d g 的值越小，即T kk d g -的值越大，函数下降的越快。
由Cauchy-Schwartz 不等式：T k k kk d g d g ≤，故当且仅当k k d g =-时，Tk k d g 最小，从而称k g -是最速下降方向。
最速下降法的迭代格式为： 1k k k k x x g α+=-。
实验五 用Newton法计算方程的根
五. 讨论分析当初始值选取离零点较远时将导致算法无法使用，例如第三题，将初始值改为2就无法计算出结果了，显示如下例如求020sin 35=-+-x x e x 的根，其中控制精度1010-=eps ，最大迭代次数40=M ,在steffensen 加速迭代方法的程序中，我们只需改动：it_max=40; ep=1e-10， 其余不变 。
利用以上程序，我们只需输入：phi=inline('exp(5*x)-sin(x)+(x)^3-20');[x_star,index,it]=steffensen(phi,0.5)可得：x_star = 0.637246094753909index = 0it = 41观察上述结果，index = 0，it = 41表明迭代失败，所以使用以上方法估计的时候，应该尽量估计出解的范围，偏离不应过大，距离增加迭代次数增加，也有可能迭代失败六. 改进实验建议根据上述分析，我认为，应该先对函数作一个简图，方便知道解的大概位置，然后我们才将这个大概值代入Newton 法或者Steffensen 中进行求解。
当然，我们可以用其他数学软件实现Newton 迭代法，我们可以用z-z 超级画板，其操作流程为：牛顿迭代法的公式是：x n+1=x n-f(x n)/f'(x n)。
下面我们就用牛顿迭代法设计程序求方程f(x)=ln(x)+2*x-6的近似解。
（一）观察方程f(x)=0的零点位置（1）显示坐标系的坐标刻度。
（2）作出函数y=ln(x)+2*x-6的图像，如下图所示：可以观察到方程的根在区间[2，3]上，我们可以设定近似解的初始值为2。
（二）设计求方程近似解的程序（1）在程序工作区中输入：f(x){ln(x)+2*x-6;}执行后，返回结果为：>> f(x) #这表示在计算机已经完成了函数f(x)的定义。
（2）定义f(x)的导函数g(x)，在程序工作区中输入：Diff(f(x),x);执行后，返回结果为：>> 2+1/x #得到了f(x)的导函数。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
牛顿法解非线性方程组
一、求根方法原理把非线性函数f(x)=0在x0处展开成泰勒级数取其线性部分，作为非线性方程的近似方程，则有 , 设，则其解为,再把f(x)在x1处展开为泰勒级数，取其线性部分为的近似方程，若，则得，如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：，通过迭代，这个式子必然在的时候收敛。
整个过程如下图：牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。
二、求解步骤1. 选取一个接近函数零点的自变量 x 值作为起始点。
2. 使用如下的迭代公式更新近似解。
3. 如果得出的解满足误差要求，终止迭代，所得的值即视为方根根的近似解。
三、自定的非线性方程使用牛顿迭代法近似求解如下方程在[-1, 1]之间的根：四、源程序代码clear, close allclcf = @(x) cos(x) -x.^3;f_prime = @(x) -sin(x) -3*x.^2;error = 1; %初始化误差变量iter = 0; %初始化迭代次数变量max_iter = 5000; %定义最大允许迭代次数tol = 1e-8; %定义循环终止误差x0 = 0.5; %初始值while error > tol && iter <= max_iterx = x0 - f(x0)/f_prime(x0); %更新x的值error = abs((x-x0)/x0); %计算相对误差iter = iter +1; %更新迭代次数x0 = x; %计算出的x赋值给x0，继续迭代，直到达到误差条件。
end五、上机运行结果截图六、结论1.迭代法是求解非线性方程组的一种很好的方法，它可以反复校验根的近似值，直到得出符合精度的解。
从几何角度上来解释可以解释为两个函数的无限逼近2.我们为了加快迭代的速度，引入了牛顿法，牛顿法的收敛速度很快，但是其收敛性取决于牛顿法的取值。
3.。
matlab牛顿法求根程序
matlab牛顿法求根程序1、引言牛顿法求解方程的数值解是非常常用的一种方法，也是收敛速度很快的一种方法。
在Matlab中，可以使用fzero函数实现牛顿法求根。
本篇文章将介绍如何使用Matlab实现牛顿法求根。
2、牛顿法求根的原理牛顿法求根实际上是一种迭代法，迭代公式为：x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}其中，x_n 是第n次迭代的数值解，f(x_n)是方程在x_n处的函数值，f'(x_n)是方程在x_n处的导数值。
3、使用Matlab实现牛顿法求根在Matlab中，我们可以使用fzero函数实现牛顿法求根。
该函数的基本用法为：x=fzero(fun,x0,options)其中，fun是一个函数句柄，x0是初始迭代值，options是一个选项结构体，用于设置迭代精度等参数。
例如，我们想求解方程x^2-2=0在x=1附近的解，可以写出如下Matlab程序：fun=@(x)x^2-2;x0=1;options=optimset('TolX',1e-8,'Display','iter');x=fzero(fun,x0,options)其中，optimset函数可以设置迭代精度等参数，‘TolX’表示迭代停止条件，‘Display’表示是否输出迭代过程。
程序的运行结果如下：Func-count x f(x) Procedure1 1 -1 initial2 1.5000 0.2500 search3 1.4167 0.0069 search4 1.4142 0.0000 search即求得方程的解为1.4142。
4、代码实现除了使用fzero函数外，我们也可以自己实现牛顿法求根的代码。
以下是一个简单的例子：function x=newton(fun,x0,tol)while abs(fun(x0))>tolx0=x0-fun(x0)/diff(fun,x0);endx=x0;end其中，fun是函数句柄，x0是初始迭代值，tol是迭代停止条件。
计算方法---牛顿迭代法的应用
牛顿迭代法的应用一、牛顿法简介牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
该方法广泛用于计算机编程中。
简单迭代法是用直接的方法从原方程中隐含地解出x ，从而确定出)(x ϕ。
而牛顿迭代法是用一种间接而特殊的方法来确定)(x ϕ的。
下面具体推到牛顿迭代公式。
假设k x 是非线性方程为0)(=x f 的一个近似根，把)(x f 在k x 处作泰勒展开：+-+-+=2''')(!2)())(()()(k k k k k x x x f x x x f x f x f若取前两项来近似代替)(x f （称为)(x f 的线性化），则得近似的线性方程0))(()()('=-+≈k k k x x x f x f x f设0)('≠k x f ，令其解为1+k x ，则得)()('1k k k k x f x f x x -=+ （1）这称为0)(=x f 的牛顿迭代公式。
它对应的迭代方程为)()('x f x f x x -=显然是0)(=x f 的同解方程，故其迭代函数为)()()('k k k x f x f x x -=ϕ （0)('≠x f ） 在0)(=x f 的根α的某个邻域)|(|δα≤-x R 内，0)(≈x f1|)('||)(||)(||)(|2'''<≤•=L x f x f x f x ϕ 在α的邻域R 内，对任意初值x 0，应用由公式(1)来解方程的方法称为牛顿迭代法，它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。
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1 3 1 3 ( 4) x k 1 x , ( x ) x , k 2 xk 2 x 3 1.7320508 1 3 ( x ) 1 2 , ( x ) ( 3 ) 0. 2 x 取x0=2, 对上式4种迭代法, 计算三步所得结果入下表. k xk 迭代法(1) 迭代法(2) 迭代法(3) 迭代法(4) 0 x0 2 2 2 2 1 x1 3 1.5 1.75 1.75 2 x2 9 2 1.73475 1.732143 3 x3 87 1.5 1.732361 1.732051 ┆ ┆ ┆ ┆ ┆
( x ) ( 3 ) 2 3 1 1 . 3 3 3 ( 2 ) x k 1 , ( x ) , ( x ) 2 , ( x ) 1. xk x x 1 2 1 2 ( 3) x k 1 x k ( x k 3), ( x ) x ( x 3), 4 4 1 3 ( x ) 1 x , ( x ) 1 0.134 1. 2 2
f ( xk ) xk 1 =xk f ( xk )
(k 0,1,2)
局部收敛于 ，且为平方收敛。
牛顿迭代法的收敛性
牛顿迭代法的迭代函数为
f ( x) ( x) x f ( x )
设α是f(x)的一个单根，即f(α)=0有
f ( x ) f ( x ) ( x ) 0, * 2 [ f ( x )] f ( x ) (x ) 0. f ( x )
(2) 按公式 xk 1 得新的近似值xk+1 (3) 对于给定的允许精度，如果 | xk 1 xk | 则终止迭代，取 x* xk 1;否则k=k+1，再转 步骤(2)计算 允许精度
最大迭代 迭代信息 次数
f ( xk ) xk 迭代 f ( xk )
例1 用牛顿迭代法求方程x=e–x在x=0.5附近的根.
f '( x1 ) 0
• 以此类推，可得一般的迭代公式
f ( xk ) xk 1 =xk f ( xk )
(k 0,1,2)
称为求 f ( x) 0 的牛顿迭代公式
几何意义
f(x0)
x0
切线方程
也叫切线求根法
2. 牛顿迭代法的收敛条件与收敛速度 （针对单根而言）
• 定理设 f ( ) 0 ，f '( ) 0 且 f ( x) C2 -， + 则由牛顿迭代法的迭代序列
3 2
Newton 法
牛顿迭代法的基本思想
牛顿迭代法一种重要和常用的迭代法, 它的基本
思想是将非线性函数f(x)逐步线性化, 从而将非线性方
程f(x)=0近似地转化为线性方程求解。
f ( x) 0 其单根为
算法推导
1、设存在 的某一邻域 -， + ,使得非线性 函数f(x) C2 -， + ，取迭代初值 x0 -， + 满足： f '( x0 ) 0
简单迭代法&牛顿法求根
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• 二分法
是求方程近似解的一种简单直观的方法。应用对 分法的前提条件是： 设f(x)在区间[a, b]上连续, [a, b]内有方程的根. f(a)· f(b)<0, 则在
计算中通过对分区间缩小区间范围，搜索零 点的位置。
迭代法
基本思想: 设欲求方程f(x)=0的根, 变成 yx 形式 x ( x) ,或 y ( x) ,于是方程f(x)=0 的根是直线y=x与曲线 y ( x) 的交点。
k 1 xk 1 ( p) lim lim = ( ) / p ! k k x k k
证明首先， '( ) 0,由迭代序列的局部收敛性 在附近展开 ( xn )
xn 1 ( xn ) ( ) '( )( xn )
二、收敛条件 定理： 设函数在有限区间[a,b]上满足如下条件：
( x) [a, b] 即 （1）当 x [a, b] 时，
a ( x) b
（2）存在正常数
L 1 ，对于 x1 , x2 [a, b] 有
( x1 ) ( x2 ) L x2 x1
则
（1）在[a,b]上的解α存在且唯一；
解 将原方程化为x–e–x= 0，则 f(x)=x–e–x， f(x)=1+e–x， 牛顿迭代公式为
x k 1
xk e xk xk 1 e
xk
取 x0=0.5，迭代得 x1=0.566311, x2=0.5671431, x3=0.5671433.
例题2：用Newton法求方程Байду номын сангаасx e 2 0 的根, 5 | x x | 10 要求 k 1 k
简单迭代法的收敛速度。
由微分中值定理有 xk 1 ( ) ( xk ) ( )( xk )
k 1 xk 1 ( ) k xk
k 1 * lim lim ( ) ( x ) 0 k k k
4、初始值x0 [a, b]， f ( x0 ) f ''( x0 ) 0
保证从x0出发的xn [a, b]
即有下面的局部收敛性定理.
定理(局部收敛性) 设fC2[a, b], 若x*为f(x)在[a, b] 上的根，且f(x*)0，则存在x*的邻域U, 使得任取初 值x0U，牛顿法产生的序列{xk}收敛到x*，且满足
1、建立从 x0 x1 的迭代公式 将f(x)在x0点一阶Taylor展开
1 2 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) f ( )( x x0 ) 2
f ( x0 ) f (( x0 )( x x0 )
由f(x)=0得
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0
x k 1 x f ( x ) lim . 2 k ( x x ) 2 f ( x ) k
由此得到，当x*为单根时，牛顿迭代法在根x*的 邻近是二阶(平方)收敛的.
关于x*为重根时，牛顿迭代法在根x*的邻近的收 敛性在后面讨论.
计算步骤
(1) 选定初值x0 ,计算f (x0) , f (x0)
（2）任意选取的初始近似值 由迭代过程产生的序列
x0 [a, b]
xk k 0
收敛到α
推论： 若条件2可以改为导数条件，即在使用时如果 (x)∈C[a, b]且对任意x∈[a, b]有
'( x ) L 1
误差估计
在上面定理条件下，有误差估计：
Ln xn x1 x0 . 1 L
* x 即如果数
x1 ( x 0 )
再将 x1 代入式 x ( x) 的右端, 得到 x2 依此类推, 得到一个数列 x3 ( x2 ) …， 其一般表示
xk 1 ( xk ) (k 0,1,2,)
( x1 ) ,
(1)
式(1)称为求解非线性方程的简单迭代法。
局部收敛性与收敛阶
上面给出了迭代序列{xk}在区间[a, b]上的收敛性, 通常称为全局收敛性. 有时不易检验定理的条件，实 际应用时通常只在根α的邻近考察其收敛性，即局 部收敛性.
( x ) 1 ， 定理 设根α的某个邻域连续，且
则迭代法局部收敛.
初值选取的重要性！！！
迭代过程的收敛速度 （收敛阶）
x
迭代格式一： xk 1 ln(2 xk )
xk e 2 迭代格式二： xk 1 xk xk 1 e
xk
取初值x0＝0.0,计算如下： 对迭代格式一: the iterative number is 27, the numerical solution is 0.442852706 对迭代格式二: the iterative number is 3, the numerical solution is 0.442854401
利用 ( )
( p 1)
( )( xn )
( p 1)
/ ( p 1)!
( p ) ( )( xn ) p / p !
( xn ) p ( p ) xn1 - = ( ) p!
由 ( p) ( x)的连续性，得证
x x 1 0
用数学式表示迭代公式为：
xk 1 ( xk ), k 0,1,...
迭代序列： xk k 0
使f(x)=0, 则也有 x* ( x* ) , 反之, 若 x * ( x * ), 则也有 f ( x * ) 0, 称 ( x) 为迭代函数 任 取一个初值 x0 , 代入式 x ( x) 的右端, 得到
简单迭代法收敛速度一般是线性的。
定理 设 是x ( x)的根， ( x)于的邻域
p次连续可微（p 2），又
'( ) ( p1) ( ) 0, p ( ) 0
则只要初值选的充分接近于，迭代方法
xk 1 ( x),(k 0)，是p阶收敛，且有
牛顿迭代法具有二阶收敛速度。
定理：设 f ( x)在[a,b]上的二阶导数存在，且满足：
1、f (a) f (b) 0
保证[a, b]区间至少存在一个根。
2、x [a, b]， f '( x) 0
保证牛顿迭代的进行
3、x [a, b]， f ''( x)保持符号不变 保证f ( x)在[a, b]上式上凸或者下凸的