条件极值拉格朗日乘数法例题

条件极值拉格朗日乘数法例题
假设有一个函数 $f(x,y)=x^2+y^2$，同时有一个限制条件
$g(x,y)=xy-1=0$，求在该约束条件下$f(x,y)$的最小值和最大值。

首先根据拉格朗日乘数法，可以得到如下的方程组：
$$
begin{cases}
abla f(x,y)=lambda
abla g(x,y)
g(x,y)=0
end{cases}
$$
其中，$
abla f(x,y)$ 和 $
abla g(x,y)$ 分别是 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$ 的梯度向量。

对于本题来说，有：
$$
abla f(x,y) = begin{bmatrix} 2x 2y end{bmatrix}, qquad abla g(x,y) = begin{bmatrix} y x end{bmatrix}
$$
把上面的式子带入到拉格朗日方程组中可以得到：
$$
begin{cases}
2x = lambda y
2y = lambda x
xy - 1 = 0
end{cases}
$$
解这个方程组，我们可以得到两组解：
$$
begin{aligned}
& (x, y, lambda) = (sqrt{2}, sqrt{2}, 2), (-sqrt{2}, -sqrt{2}, -2)
& (x, y, lambda) = (-sqrt{2}, sqrt{2}, 2), (sqrt{2}, -sqrt{2}, -2)
end{aligned}
$$
接下来需要判断这些解的类型，即是极大值还是极小值。

为了方便起见，我们可以先计算函数 $f(x,y)$ 在条件
$g(x,y)=0$ 下的取值范围。

根据限制条件 $g(x,y)=xy-1=0$，有$x=frac{1}{y}$，把它代入到函数 $f(x,y)$ 中可以得到：
$$
f(x,y) = left(frac{1}{y}
ight)^2 + y^2 = frac{1}{y^2} + y^2
$$
由于 $y
eq 0$，所以 $f(x,y)$ 的定义域为 $mathbb{R}-{0}$。

同时，
我们可以发现当 $y
ightarrow pminfty$ 时，$f(x,y)$ 的取值趋近于无穷大，因此在条件 $g(x,y)=0$ 下，$f(x,y)$ 取到的最小值应该在某个有限区
间内。

对于第一组解 $(x, y, lambda) = (sqrt{2}, sqrt{2}, 2)$，
可以计算出 $f(x,y)=4$；而对于另外三组解，可以发现它们都不满
足 $xy>0$ 的条件，因此不是合法的解。

因此，在条件 $g(x,y)=0$ 下，函数 $f(x,y)$ 的最小值为 $4$，对应的解为 $(x, y) = (sqrt{2}, sqrt{2})$。

至于最大值，根据拉格朗日乘数法的结论，它一定在所有的合法解中取到。

因此，我们只需要在 $g(x,y)=0$ 的条件下，找到
$f(x,y)$ 的最大值即可。

由于函数 $f(x,y)$ 在 $x=y$ 时达到最小值
$frac{4}{sqrt{2}}$，因此为了使 $f(x,y)$ 取到最大值，$x$ 和$y$ 应该尽量远离 $x=y$ 这条线。

可以发现，在 $xy=1$ 的条件下，$x$ 和 $y$ 越远离 $x=y$ 这条直线，$f(x,y)$ 的值越大。

而当
$x$ 或 $y$ 趋近于无穷大时，$f(x,y)$ 的取值也趋近于无穷大。

因此，在条件 $g(x,y)=0$ 下，$f(x,y)$ 的最大值为正无穷大，但是
对应的解并不存在。