条件极值

§ 4 条件极值
1．应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： （1） f ( x, y ) = x + y , 若 x + y − 1 = 0;
2 2
（2） f ( x, y, z , t ) = x + y + z + t , 若 xyzt = c （其中 x, y, z , t , > 0, c > 0 ） ；
4
⎧ Lx = 1 + λyzt = 0, ⎪ L = 1 + λxzt = 0, ⎪ y ⎪ ⎨ Lz = 1 + λxyt = 0, ⎪ L = 1 + λxyz = 0, ⎪ t 4 ⎪ ⎩ Lλ = xyzt − c = 0,
解方程组得 x = y = z = t = c. 由于当 n 个正数的积一定时, 其和必有最小值, 故 f 一定存 在唯一稳定点 (c, c, c, c) 取得最小值也是极小值, 所以极小值 f (c, c, c, c) = 4c . (3) 设 L( x, y, z , λ , u ) = xyz + λ ( x + y + z − 1) + u ( x + y + z ) , 并令
2 2 2 2
Ax + By + Cz + D = 0 下的最小值问题. 由几何学知, 空间定点到平面的最短距离存在.
设 L( x, y, z , λ ) = f ( x, y, z ) + λ ( Ax + By + Cz + D) ，且
⎧ Lx ⎪L ⎪ y ⎨ ⎪ Lz ⎪L ⎩ λ
= 2( x − x0 ) + λA = 0, (1) = 2( y − y 0 ) + λB = 0, (2) = 2( z + z 0 ) + λC = 0, (3) = Ax + By + Cz + D = 0, (4)
4
（3） f ( x, y, z ) = xyz ，若 x + y + z = 1, x + y + z = 0 .
2 2 2
解 (1) 设 L( x, y, λ ) = x + y + λ ( x + y − 1) ，由
2 2
⎧ L x = 2 x + λ = 0, ⎪ ⎨ L y = 2 y + λ = 0, ⎪ ⎩ L z = x + y − 1 = 0.
⎧ Lx1 = x1 x 2 " x n x1 + λ = 0, ⎪ ⎪ Lx2 = x1 x 2 " x n x 2 + λ = 0, ⎪ ⎨""" ⎪ L = x x " x x + λ = 0, 1 2 n n ⎪ xn ⎪ Lλ = x1 + x 2 + " + x n − a = 0, ⎩
2 2 2
⎧ 1 ⎪x = 6 ⎪ ⎪ 2 , ⎨y = − 6 ⎪ ⎪ 1 ⎪z = 6 ⎩
⎧ 1 ⎪x = − 6 ⎪ ⎪ 2 . ⎨y = 6 ⎪ ⎪ 1 ⎪z = − 6 ⎩
又 f ( x, y, z ) = xyz 在有界闭集 {( x, y, z ) | x + y + z = 1, x + y + z = 0} 上连续 , 故有最 值. 因此, 极小值为 f (
1 6 ,−
, 1 6
1 6 ,
,− 2 6
2 6
) = f (− 2 6
2 6 1
,−
1 6 1
,
1 6
)=− 1 3 6
1 3 6
,
极大值为 f ( −
1 6
)= f(
,−
6
,−
6
)=
.
2．(1) 求表面积一定而体积最大的长方体； （2）求体积一定而表面积最小的长方体 解： （ 1 ）设长方体的长 、宽、高分 别为 x, y, z ，表面 积为 a ( a > 0) ，则体 积为
n
2 − L( x1 , x 2 , " x n , λ ) = ∑ a k x k + λ (∑ x k − a 2 )(0 < a ≤ 1) k =1 k =1
n
⎧ L xk = a k + 2λx k = 0(k = 1,2,", n) ⎪ n 令⎨ ， k 2 = − = L x a 0 ∑ λ ⎪ k =1 ⎩
Ax + By + Cz + D 1 2 2 λ ( A + B 2 + C 2 ) = 0 2 0 2 02 4 A + B +C
故d =
Ax0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
为所求最短距离.
4 ． 证 明 : 在 n 个 正 数 的 和 为 定 值 条 件 x1 + x 2 + " + x n = a 下 , 这 n 个 正 数 的 乘 积
n
1 2
n
0< a ≤1 k =1
2 2 sup (∑ a k ) = (∑ a k2 ) 2 . k =1
n
1
（注此题也可用柯西不等式，方法更简） 6．求函数 f ( x1 , x 2 , " x n ) = x1 + x 2 + " + x n 在条件
2 2 2
∑a
k =1
n
k
x k = 1(a k > 0, k = 1,2, ", n)
解得 x k = +a k a /(
n
∑ ak ) 2 )(k = 1,2,", n), λ = +
k =1 n k =1 2 k 1 2
n
1
1 n 2 2 (∑ a k ) . 此时，有 2a k =1
1
∑a
k =1
k
x k = +a (∑ a ) .
于是， f 在条件
n
∑x
k =1 1
n
2 k
2 = a 下的最大值为 a(∑ a ) . 故 f 在条件 ∑ x k ≤ 1 下的最大值为 2 k =1 2 k k =1
由(1),(2),(3)得 x = x 0 −
λ
2 2 2( Ax0 + By0 + Cz 0 + D) . 所以 λ= A2 + B 2 + C 2
( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 =
A , y = y0 −
λ
B , z = z0 −
λ
2
C . 代入(4)解得
x1 x 2 " x n 的 最 大 值 为
an .并由此结果推出 n 个正数的几何中值不大于算术中值 nn
n
x1 x 2 " x n ≤
x1 + x 2 + " + x n . n
证：设 f ( x1 , x 2 , " x n ) = x1 x 2 " x n ,
L( x1 , x 2 , " x n , λ ) = f ( x1 , x 2 ," x n ) + λ ( x1 + x 2 + " + x n − a) , ( x1 , x 2 , ", x n > 0) ,
解得 x1 = x 2 = " = x n =
a ，由题意知,最大值在唯一稳定点取得. 所以 n
3
a a a an f 最大 = f ( , ," , ) = n . n n n n
n
x1 x 2 " x n ≤ n
x + x2 + " + xn a n a x1 + x 2 + " + x n ，因此 n x1 x 2 " x n ≤ 1 . = = n n n n n
1
⎧ ⎧ 1 2 ⎪x = ⎪x = − 6 ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 , ⎨y = ⎨y = 6 ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎪ 2 1 ⎪z = − ⎪z = 6 ⎩ 6 ⎩
⎧ 1 ⎪x = 6 ⎪ ⎪ 2 , ⎨y = − 6 ⎪ ⎪ 1 ⎪z = 6 ⎩
⎧ 1 ⎪x = − 6 ⎪ ⎪ 1 , ⎨y = − 6 ⎪ ⎪ 2 ⎪z = 6 ⎩
解
得 x = y = z = 3 V ，故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.
2
3．求空间一点 ( x0 , y 0 , z 0 ) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的最短距离. 解 : 由 题 意 , 相 当 于 求 f ( x, y , z ) = d = ( x − x 0 ) + ( y − y 0 ) + ( z − z 0 ) 在 条 件
1 , λ = −1. 由于当 x → ∞, y → ∞ 时, f → ∞ .故函数必在唯一稳定点处 2 1 1 1 取得极小值, 极小值 f ( , ) = . 2 2 2
解之得 x = y = (2) 设 L( x, y, z , t , λ ) = x + y + z + t + λ ( xyzt − c ) ，由
下的最小值 解：设 L( x1 , x 2 ," x n , λ ) = f ( x1 , x 2 , " x n ) + λ (