2009年一道高考数学题的多解问题解析
．
三．
２ ４
．
２ ｎ
．
—
：
２
—
．
４
… ．
２ ｎ
—
２
４
…
Ｖ￣ （ ｎ ２） ｎ ２＋ ２ ＝
ｎ
… 一
—
．
ｂ２
… 一— ｌ ｂ＋
—
＞
ｂ
、ｎ Ｉ 立 。 ／＋ 成
法 二 ：放 缩 法 ） （
（ ） ｂ ２ ，ｄ ２１ｇａ＋ ） ２ 当 ＝ 时 ｉ ｂ＝ （ ２ １（ ｏ ｎ∈Ｎ。 证 明 ： 任 意 的ｎ∈ ） ， 对
Ｎ， 等 ｂ 一 ＋ ． ＞／＋成 ＋ 式＿ ｂ ｌ… 、 ｌ 立 不 ｌ ２ ｆ ｎ
．
，一
马金 玲
（ 营 市 第 一 中学 ， 东 山东 东 营 ２７ ９ ） ５ ０ １
２ ０ 年 一 道 高 考 数 学 题 的 多 解 问 题 解 析 ０９
山 东省 ２ ０ 年高 考 数 学 试 题 数 列 与 不 等 式 的解 答 题 为 ： ０９
・
． ．
ｎｋ ｌ 不等式成立。 ＝＋ 时
Ｚ
‘ ． ．
Ｔ ｌ ２ ／ （— ） ％—ｎ １ ｎ ＋
…
４ｎ ＋４ ｎ＋ｌ ＞１ ４ｎ ＋ ２４
—
ｎ
ｎ ｌ 不等式成立 。 ＝时
Ｔ＞ ， Ｔ 即 为 增 函数 。
②设ｋ， 式立 寻寻 一＋何 。 假ｎ 不 成 ， ‘… ｌ ＝ 等 即 时 ２＞ ｋ
当ｎｋ ｌ ． ＝ ＋时
ｎ ２ ｎ
旦
由于ｂ ０ ＞ 且ｂ≠１．
．
’ ．
．
ｎ 时 ， ｎ 以ｂ 公 比的 等 比数 列 。 ≥２ ｛ ｝ ａ是 为
．
．
．
ｒ＞ ｒ， ． ． 一 …一ｎｌ — — ： ｎ２ ｎ １ Ｉ ．ｒ三 三 ６ ’ ｒ： ２ ２＋ ２＋ — — ：＋ ｎ２ ２＋
“ ２ ３ ４ ５ ２ｎ＋１ ２
．
’ ，
Ｙａ＝ ＋ ，２ｂｂ １， ． ｂ ｒａ＝ （一 ）
．
・
．
＞、／ ＋１。 ｎ
：
ｂ． ｂｂ １ ｂ 即 （－ ）
一
ａ１
ｂ ｒ ＋
对任 意ｎ∈ 不 等 式 Ｎ，
Ｄ．
・ ２１ ＋ ｂ
… ・
ｂ＋ｌ
ｂ
＞ 俪
成立。
Ｏ
．
ｒ＝ 。 ＝一１
（ ） 一 ： 数 学 归 纳 法 ） （ ） 知ａ＝ … ， ２法 （ 由 １可 ２
２＋ ２俪 ｋ２ 、
２＋ ｋ２
三 ． … ．ｎｌ 一＋ ＞ ２
２ ４ ２ ｎ
２／ １ 、 －
２／ １ 、 ＿
： 倔
。
对 任
Ｎ
式
１ ３
，ｂ ＞ 成。 Ｄ佩 立 警…
‘
１ ３
三 ． …一— — ２＋ ｎｌ
Ｔ＞ 。— Ｔ： ＞， ｒ １即ｒ： ｎ
２ ４ ２ ｎ ＞１．
２ ／２ 、
．
—
—
、ｎ ／ ＋ｌ
。
三 ． ．． — ＋１ ． ２ 一 ｋ
２ ４ பைடு நூலகம் ２ ｋ
２ｋ ＋３ ） ／ Ｘｋ ２ ￣
—
一 ｋ３ ２！ ： ２＋ ｋ
等 比数列｛｝ ａ 的前ｎ 和为ｓ， 项 已知对任 意的ｎ Ｎ ， ｎＳ ∈ ＋点（，
） 在 函数 ｙ ｂ＋（ ０ ｂ １ｂ ｒ 为 常数 ） 图 像 上 。 均 ＝ ｒ ＞ 且 ≠ ， ， ｂ 均 的
（） ｒ １ 求 的值 ：
由①② 可 知 ， Ｎ 时 ，不等 式
ｂ１
当 ｎ 时 ， ＝ ＋ ， ≥２ Ｓ ｂ～ ｒ
’
． ～
２ 、
—
（ ＋ ） ２ ２＞ ｎ
。
・ ２ ＋ｌ 。 ・ ｎ
一 ： …（ １。 ＿－ ｂ ｂ ） －
或者 ： ｒ ２ ５ 令ｒ一３ ４ ｎ
—
２ ＋ｌ ｎ
ｌ Ｉ
２ ，ｎ ＿ ‘ ５ … ｎ Ｔ ＝４ 旦 ３
ｂ ｂ ｂ
所证不等式为三 … …．ｎ ＞Ｖ％ Ｓ ５ —＋ｌ ｎ 。 ２
—
。
２ ４
２ ｎ
事实上 ：
２４ ＋ ４ ６ ＋ ２＋ｎ ２ ｎ２＋
该 题 主 要 考 查 了 等 比 数列 的 定 义 、 项 公 式 ， 及 已知 Ｓ 通 以
求 ａ的基 本 题 型 ，并 运 用 数 学 归 纳 法 证 明与 自然 数 有 关 的 命
‘ ． ．
三 ． …一２— 三 —＋ ｎｌ
令 ：
ｘｎ ／ ＋ｌ
，
三 ． …． 三 ．
则ｒ ｒ ｎ —
Ｖ “
ｂ＝ ｎｎ ２ （ ∈Ｎ） ，
。
所证不等式为三 ． …～２＋ ＞ ｎｌ ｖ
２ ４ ２ ｎ
２
２ｎ ＋１
：
—
① 当ｎ １ ， ＝ 时 左边＝ ＞ Ｖ ： 右边 ，
2009年湖北省 高考理科数学试题(真题与答案解析)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1、已知{|(1,0)(0,1),},{|(1,1)(1,1),}P a a m m R Q b b n n R ==+∈==+-∈是两个向量集合，则P Q =IA ．｛〔1，1〕｝ B. ｛〔-1，1〕｝ C. ｛〔1，0〕｝ D. ｛〔0，1〕｝ 2.设a 为非零实数，函数11(,)1ax y x R x ax a-=∈≠-+且的反函数是 A 、11(,)1ax y x R x ax a -=∈≠-+且 B 、11(,)1ax y x R x ax a+=∈≠--且 C 、1(,1)(1)x y x R x a x +=∈≠-且 D 、1(,1)(1)xy x R x a x -=∈≠-+且3、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n,则复数（m+ni ）(n-mi)为实数的概率为A 、13 B 、14 C 、16 D 、1124. 函数cos(2)26y x π=+-的图象F 按向量a 平移到'F ,'F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时，向量a 可以等于.(,2)6A π-- .(,2)6B π-.(,2)6C π- .(,2)6D π5. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为.18A .24B .30C .36D6.设22212012212) (2)n n n n n x a a x a x a x a x --+=+++++（，则22024213521lim[(...)(...)]n n n a a a a a a a a -→∞++++-++++=A. -1B. 0C. 1D.27. 已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是A. 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B. 11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C. ,22K ⎡∈-⎢⎣⎦D. 2,,22K ⎛⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭8. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年北京市高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分,满分40分)1．（5分)（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i,∴复数z所对应的点为（﹣2,1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分)(2009•北京）已知向量=(1，0）,=(0,1),=k+（k∈R）,=﹣，如果∥,那么(）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项．【解答】解：∵=(1,0),=（0,1），若k=1，则=+=(1，1），=﹣=（1，﹣1)，显然，与不平行,排除A、B．若k=﹣1,则=﹣+=（﹣1,1）,=﹣=(1,﹣1)，即∥且与反向,排除C，故选D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分)（2009•北京）为了得到函数的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点(）A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】对数函数的图像与性质．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解:∵,∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度故选C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(）A． B．1 C． D．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】画出图象,利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解:依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．(5分）（2009•北京)“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时,cos2a=cos(4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z）,或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z）,故选A．【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．(5分）(2009•北京)若（1+)5=a+b（a,b为有理数)，则a+b=()A．45 B．55 C．70 D．80【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b,求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：(1+)5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（)4+C55•（)5=1+5+20+20+20+4=41+29,∴a=41,b=29,a+b=70．故选C【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分)（2009•北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．648【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解:由题意知本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种,十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）（2009•北京)点P在直线l：y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且｜PA|=｜AB|,则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（)A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点"C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点"【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；压轴题;创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A,B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解,进而可推断出直线l 上的所有点都符合．【解答】解：设A(m，n）,P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2,2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1 )x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解,∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时,利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．(5分)（2009•北京）=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l:y﹣x=0平移l过点A(4，﹣2）时s有最小值﹣6,故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）（2009•北京)设f（x)是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1,f(1）)处的切线的斜率为1,则该曲线在（﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1．【考点】偶函数；导数的几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象,根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f(﹣1）)处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）（2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上,若｜PF1|=4,则｜PF2|=2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】第一问用定义法,由｜PF1｜+｜PF2｜=6,且｜PF1｜=4，易得｜PF2｜；第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1｜+｜PF2|=2a=6，∴|PF2｜=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中,cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2;120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型，难度不大，考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分)（2009•北京）若函数则不等式的解集为［﹣3，1]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3,1］．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．(5分）(2009•北京)｛a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014=0．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】压轴题．【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解:∵2009=503×4﹣3,∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1,∴a2014=0,故答案为:1,0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值;（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值;(Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和(Ⅰ）可知公式里边的a不知道,所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin(﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ)由(Ⅰ）知sinA=,sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理,得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分)（2009•北京）如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC．（1)求证：BC⊥平面PAC;（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题;证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC 内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC，满足定理所需条件; (2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE 中,求出AD与平面PAC所成角即可;（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P 的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A ﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解:（1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB．又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中,∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．(3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时,∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强．17．（13分）（2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min．(Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2,4，6，8（单位:min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2,3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ0 2 4 6 8P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率．18．(13分）（2009•北京)设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程;（Ⅱ)求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x)在区间（﹣1，1）内单调递增,求k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题;压轴题．【分析】(I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f(x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；(III)由（Ⅱ)知，若k＞0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f（x）(﹣1,1)内单调递增，若k＜0,则当且仅当﹣≥1时，函数f(x)(﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′(x）=（1+kx)e kx,f′（0)=1,f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程为y=x;（Ⅱ）由f′（x)=(1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0）,若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x)＜0,函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＞0，函数f（x)单调递增，若k＜0，则当x∈(﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x)单调递增,当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＜0，函数f(x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时,函数f（x）(﹣1，1）内单调递增,若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f(x)（﹣1，1)内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时,k的取值范围是［﹣1,0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）(2009•北京）已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为,右准线方程为x= （I)求双曲线C的方程；（Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B,证明∠AOB的大小为定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题;综合题；压轴题；转化思想．【分析】( I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：(Ⅰ）由题意，，解得a=1,c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．(Ⅱ)设P（m,n）（mn≠0)在x2+y2=2上,圆在点P（m，n)处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m)，化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0,∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0＜m2＜2,3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）(8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1,y1)，(x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵,且=x1x2+［4﹣2m（x1+x2)+m2x1x2］=+［4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分)(2009•北京）已知数集A=｛a1,a2，…，a n｝（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P;对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与两数中至少有一个属于A．（I)分别判断数集{1，3,4｝与{1，2,3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明:a1=1,且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1,a2,a3,a4，a5成等比数列．【考点】数列的应用．【专题】证明题；综合题;压轴题；新定义；分类讨论．【分析】(I）根据性质P;对任意的i,j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集｛1，3，4}与{1,2，3，6｝中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；(Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，,，…,，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ)跟据(Ⅱ)，只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3,4,∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3,1×6,2×3，，，，,，都属于数集{1,2，3,6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A=｛a1，a2，…，a n｝具有性质P,∴a n a n与中至少有一个属于A,由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n(k=2,3，4，…，n）,故a k a n∉A（k=2，3，4，…,n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n)．又∵＜＜…＜＜,∴，,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,∴且；（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当n=5时,有，,即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴,∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1,公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查,属于较难层次题．。
2009年浙江高考理科数学卷(含详细答案解析)
绝密★考试结束前2009年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数 学（理科） 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至5页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 )(312211S S S S h V ++= 24S R π= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式 h 表示棱台的高334R V π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则UAB =( )A ．{|01}x x ≤<B ．{|01}x x <≤C ．{|0}x x <D ．{|1}x x >答案：B【解析】 对于{}1U C B x x =≤，因此UAB ={|01}x x <≤．2．已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：C【解析】对于“0a >且0b >”可以推出“0a b +>且0ab >”，反之也是成立的 3．设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +答案：D 【解析】对于2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++ 4．在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( )A ．10-B ．10C ．5-D ．5答案：B【解析】对于()251031551()()1rrrr r r r T C x C x x--+=-=-，对于1034,2r r -=∴=，则4x 的项的系数是225(1)10C -=5．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45 C ．60 D ．90答案：C【解析】取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，AE DE ∴⊥，因此AD 与平面11BB C C 所成角即为ADE ∠，设AB a =，则32AE a =，2a DE =，即有0tan 3,60ADE ADE ∠=∴∠=．6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7答案：A【解析】对于0,1,1k s k ==∴=，而对于1,3,2k s k ==∴=，则2,38,3k s k ==+∴=，后面是113,382,4k s k ==++∴=，不符合条件时输出的4k =．7．设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0⋅=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案：C【解析】对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现． 8．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )答案：D【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴<，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A 2 B 3 C 5 D 10答案：C【解析】对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭，因222,4,5AB BC a b e =∴=∴=． 10．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数()f x 构成的集合：12,x x ∀∈R 且21x x >，有212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-．下列结论中正确的是 ( )A ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα⋅⋅∈B ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且()0g x ≠，则12()()f x M g x αα∈ C ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，则12()()f x g x M αα++∈D ．若1()f x M α∈，2()g x M α∈，且12αα>，则12()()f x g x M αα--∈ 答案：C【解析】对于212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-，即有2121()()f x f x x x αα--<<-，令2121()()f x f x k x x -=-，有k αα-<<，不妨设1()f x M α∈，2()g x M α∈，即有11,f k αα-<<22g k αα-<<，因此有1212f g k k αααα--<+<+，因此有12()()f x g x M αα++∈．非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2009年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2009年广东省高考数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分,满分50分）1．(5分)（2009•广东)已知全集U=R，则正确表示集合M=｛﹣1，0,1}和N=｛x｜x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】集合．【分析】先化简集合N,得N={﹣1，0｝，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N=｛﹣1，0}．∵M=｛﹣1,0，1｝，∴N⊂M，故选B．【点评】本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、一元二次方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．(5分）（2009•广东）下列n的取值中，使i n=1（i是虚数单位）的是(）A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5【考点】虚数单位i及其性质．【专题】数系的扩充和复数．【分析】要使的虚数单位的n次方等于1，则n只能是4的整数倍,在本题所给的选项中，只有数字4符合题意，得到结果．【解答】解：∵要使i n；=1，则n必须是4的整数倍,在下列的选项中只有C符合题意，故选C【点评】本题考查虚数单位及性质,是一个基础题,题目若出现一定是一个必得分题目，不要忽视对这种简单问题的解答．3．（5分）（2009•广东）已知平面向量=（x，1），=(﹣x，x2)，则向量+（)A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线【考点】平面向量的坐标运算．【专题】平面向量及应用．【分析】先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零,得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点,比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．【解答】解:+=（0，1+x2)，1+x2≠0,故+平行于y轴．故选C【点评】本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．4．（5分）（2009•广东）若函数y=f（x）是函数y=a x﹣a（a＞0,且a≠1）的反函数，且f（)=1,则函数y=()A．log2x B．C．D．2x﹣2【考点】反函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（）=1可得f﹣1（1)=，即a1﹣a =，解出a的值,即得函数y的解析式．【解答】解：∵f（）=1,∴f﹣1(1）=，由题意知a1﹣a =，∴a=2，y=a x﹣a(a＞0，且a≠1）y=2x﹣2，故选D．【点评】本题考查反函数的定义和反函数的求法,函数与反函数的关系．5．(5分）（2009•广东）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=() A．B．C．D．2【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程,由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2,即q2=2,又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=,故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,是一道中档题．6．(5分）（2009•广东）给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④【考点】平面与平面垂直的判定;平面与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】从直线与平面平行与垂直,平面与平面平行与垂直的判定与性质，考虑选项中的情况，找出其它可能情形加以判断，推出正确结果．【解答】解：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；如果这两条直线平行，可能得到两个平面相交，所以不正确．②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；这是判定定理，正确．③垂直于同一直线的两条直线相互平行；可能是异面直线．不正确．④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．正确．故选：D．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定,是基础题．7．（5分）（2009•广东）已知△ABC中，∠A，∠B,∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（)A．2 B．4+2C．4﹣2D．﹣【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．【解答】解：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得：=4，∴b=2．故选A【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用与已知三角形的两角与一边，解三角形；已知三角形的两边和其中一边所对的角,解三角形；运用a:b：c=sinA：sinB:sinC解决角之间的转换关系．8．(5分)（2009•广东）函数f（x）=（x﹣3)e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞,2） B．（0,3）C．（1，4）D．（2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】若求解函数f（x）的单调递增区间,利用导数研究函数的单调性的性质，对f（x）求导，令f′（x）＞0，解出x的取值区间，要考虑f（x）的定义域．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x)′=（x﹣2）e x,求f（x)的单调递增区间，令f′(x）＞0,解得x＞2，故选D．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质，值得注意的是，要在定义域内求解单调区间．9．(5分）(2009•广东）函数y=2cos2(x﹣）﹣1是（)A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】三角函数的周期性及其求法；函数奇偶性的判断．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角公式化简为一个角的一个三角函数的形式,求出周期，判定奇偶性．【解答】解：由y=2cos2(x﹣)﹣1=cos（2x﹣）=sin2x，∴T=π，且y=sin2x奇函数,即函数y=2cos2(x﹣）﹣1是奇函数．故选A．【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，函数奇偶性的判断，是基础题．10．（5分）（2009•广东）广州2010年亚运会火炬传递在A，B,C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的距离（单位：百公里）见表．若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次,那么火炬传递的最短路线距离是（)A B C D EA 0 5 4 5 6B 5 0 7 6 2C 4 7 0 9 8.6D 5 6 9 0 5E 6 2 8.6 5 0A．20。
2009年高考北京数学(理科)试题及参考答案
2009年高考数学北京理科试卷含详细解答一. 选择题（本大题共8小题，共0分）1. （2009北京理1）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部2. （2009北京理2）已知向量a、b不共线，c a b R),d a b,如果c d，那么（）A．且c与d同向B．且c与d反向C．且c与d同向D．且c与d反向答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部3. （2009北京理3）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部4. （2009北京理4）若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则到底面的距离为（）A.B.1C. D.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部5. （2009北京理5）“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部6. （2009北京理6）若为有理数），则（）A．45 B．55 C．70 D．80答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部7. （2009北京理7）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．648答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部8. （2009北京理8）点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（）A.直线上的所有点都是“点”B.直线上仅有有限个点是“点”C.直线上的所有点都不是“点”D.直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部二. 填空题（本大题共12小题，共0分）9. （2009北京理9）._________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部10. （2009北京理10）.若实数满足则的最小值为__________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部11. （2009北京理11）设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部12. （2009北京理12）椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部13. （2009北京理13）若函数则不等式的解集为____________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部14. （2009北京理14）已知数列满足：则________；=_________.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部15. （2009北京理15）.在中，角的对边分别为，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部16. （2009北京理16）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部17. （2009北京理17）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望.18.设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部19. （2009北京理19）.已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值答案详解加入试题篮收藏题目有误回顶部20. （2009北京理20）已知数集。
2009年成人高考高起点数学(文史)真题及答案
2009年成人高考高起点数学(文史)真题及答案解析2009年成人高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)1．答案必须答在答题卡上的指定的位置，答在试卷上无效。
2．在本试卷中，tan a表示角a的正切，cot a表示角a的余切．一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
(1)设集合M={1，2，3}，N={1，3，5}，则M∩N=(A)φ(B) {1，3}(C) {5} (D) {1，2，3，5}【答案】B【解析】本题考查集合中交集的基本概念。
【点评】每年的高起点数学选择题都会涉及类似题，属于送分题。
(2)函数y=sin x+cos x的最大值为(A)1 (B)2 (C) (D)【答案】D【解析】本题考查三角函数最大值，只要记住三角函数值的话没有问题。
【点评】本题考查三角函数最大值，属于基本题型。
(3)a，b为实数，则a2>b2的充分必要条件为(A) > (B)a>b (C)a<b (D)a>-b【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的概念。
【点评】本题考查的基本内容没有变化，表达形式变了，学生做起来可能有点困难。
(4)抛物线y2=4x的准线方程为(A)x=4 (B)x=2 (C)x=-1 (D)x=-4【答案】C【解析】求抛物线准线方程，只要记住公式了，这个题没问题。
【点评】本题考查抛物线准线方程，属于容易题。
(5)不等式x2-1>0的解集为(A) (B){x|x<-1}(C){x|x<-1或x>l} (D){x?-l<x<l}【答案】C【解析】考查二次不等式的解法。
【点评】属于基本题。
(6)点P(3，2)，Q(-3，2)，则P与Q(A)关于x轴对称(B)关于y轴对称(C)关于直线y=x对称(D)关于直线y=-x对称【答案】B【解析】属于解析几何内容，而且是最基本的概念。
完整word版2009年江苏省高考数学试卷答案与解析
2009年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）（2009?江苏）若复数z=4+29i，z=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z﹣z）i2112的实部为﹣20．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把复数z=4+29i，z=6+9i，代入复数（z﹣z）i，化简，按多项式乘法法则，展2112开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到实部．【解答】解：∵z=4+29i，z=6+9i，21∴（z﹣z）i=（﹣2+20i）i=﹣20﹣2i，21∴复数（z﹣z）i 的实部为﹣20．21故答案为：﹣20【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．0，则向量，江苏）已知向量和和向量的夹角为2．（5分）（2009?30．3向量的数量积=【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可．×=3，【解答】解：由题意知：=2故答案为：3．【点评】本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积．32）．的单调减区间为（﹣1，11=x（5分）2009?江苏）函数f（x）﹣15x﹣33x+6．3（【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．的不等式求出解，并令其小于零得到关于x′（x）f【分析】要求函数的单调减区间可先求出集即可．22﹣11）（30x﹣33=3x﹣10x﹣（【解答】解：f′x）=3x ，）＜x﹣110（=3（x+1））．，＜1＜x11，故减区间为（﹣111解得﹣，111）（﹣故答案为：此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．【点评】14．（5分）（2009?江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=3．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出ω．【解答】解：由图中可以看出：=，T=πT=π，∴∴ω=3．故答案为：3【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，是基础题．5．（5分）（2009?江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为0.2．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】由题目中共有5根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取2根竹竿的基本事件总数，及满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率．【解答】解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数有2.5和2.8，2.6和2.9，共2个∴所求概率为0.2．故答案为：0.2．【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．6．（5分）（2009?江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：学7 7 8 7 6甲班7 6 7 9 6乙班2．0.4则以上两组数据的方差中较小的一个为S=【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把根据表中所给的两组数据，【分析】方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．，8，7，，，解：由题意知甲班的投中次数是【解答】677 ，这组数据的平均数是72，甲班投中次数的方差是，6，7，9乙班的投中次数是6，7，，这组数据的平均数是7这组数据的方差是，∴两组数据的方差中较小的一个为0.40.4故答案为：这种问题一旦出现是比较两组数据的方差的大小，是一个基础题，【点评】本题考查方差，一个必得分题目，注意运算过程中不要出错．．江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=227．（5分）（2009?【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．，不满足则循环，直到满足就跳10，判定是否满足S≥S【分析】根据流程图可知，计算出值即可．出循环，最后求出W10≥S=1；不满足S【解答】解：由流程图知，第一次循环：T=1，210≥；不满足ST=3，S=3﹣1=8第二次循环：210 S≥S=5﹣8=17，满足T=5第三次循环：，W=5+17=22．此时跳出循环，∴22故答案为当型循环结构和直到型循循环结构有两种形式：本题主要考查了直到型循环结构，【点评】环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．，则它们的面积比为：21分）（2009?江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为．8（5 则它们的体积比8，：若两个正四面体的棱长的比为类似地，41：，在空间内，12【考点】类比推理．立体几何．【专题】3【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8故答案为：1：8．【点评】本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．3上，且在10x+3y=x﹣P在曲线C：（5分）（2009?江苏）在平面直角坐标系xOy中，点9．．2，15）P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（﹣C第二象限内，已知曲线在点【考点】导数的几何意义．【专题】导数的概念及应用．处的）在x=xf（x）y（x＜0），根据导数的几何意义求出函数【分析】先设切点P（x，0000导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．2，=3x﹣10=20），由题意知：y′|x=x＜【解答】解：设P（x，y）（x000002．∴x=40，=﹣2∴x0．∴y=150．15）∴P点的坐标为（﹣2，），15故答案为：（﹣2本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，【点评】本题属于基础题．x）（m，n满足f，函数f（x）=log，若正实数200910．（5分）（?m江苏）已知a＞f（n），则m，n的大小关系为m＜n．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．x在=logx）＜1，故函数f（【分析】，即因为已知条件中对数函数的底数0＜a a（0，+∞）上为减函数，根据函数的单调性，结合足f（m）＞f（n），不难判断出m，n的大小关系．解：∵【解答】∴0＜a＜1x∴f（x）=log在（0，+∞）上为减函数a若f（m）＞f（n）则m＜n故答案为：m＜n4x时，指数函数和对数函数在其定义域上均1，在底数a＞【点评】函数y=a和函数y=logx a）x 时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣0＜a＜1为增函数，当底数x﹣，在底x）轴对称，其单调性相反，故函数y=a和函数y=log（﹣与f（x）的图象关于Y a时，指数函数1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜a数＞1 和对数函数在其定义域上均为增函数．的取aA?B则实数，≤2}，B=（﹣∞a），若（11．5分）（2009?江苏）已知集合A={x|logx2．c= 4值范围是（c，+∞），其中集合的包含关系判断及应用．【考点】集合．【专题】A 先化简集合，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．【分析】【解答】解：A={x|logx≤2}={x|0＜x≤4} 2而B=（﹣∞，a），∵A?B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：4【点评】本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型．12．（5分）（2009?江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【专题】空间位置关系与距离．【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可．【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，理解定理是判断的前提，是中档题．13．（5分）（2009?江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A，A，B，B为椭圆2112的四个顶点，F为其右焦点，直线AB与直线BF相交于点T，112．OTMOT线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 5【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．，联立的方程为，直线B【分析】解法一：可先直线ABF的方程为112的坐标，代入椭圆的方程即可解出离的坐标，进而表示出中点M两直线的方程，解出点T 心率的值；'2'2根），F'．（解法二：，对椭圆进行压缩变换，0，，椭圆变为单位圆：x+y=1 轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．T与x据题设条件求出直线BT方程，直线直线B11的方程为，的方程为直线BF【解答】解法一：由题意，可得直线AB112（M）T（，则），由于此点在椭圆两直线联立则点上，故有22=0﹣c10ac，整理得3a﹣2 +10e﹣，解得3=0即e故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，'2'2．，0+y=1，F'）（椭圆变为单位圆：x ，TM=MO=ON=1，AB斜率为1，交圆延长TOO于N，易知直线21′+1，′），则，y′=x，T设（x′y，×TN由割线定理：TB×TA ，=TM12，（负值舍去）方程：T1（B0，﹣），直线B易知：11=0令y′F，即横坐标6e=．即原椭圆的离心率故答案：．【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．14．（5分）（2009?江苏）设{a}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令b=a+1（n=1，2，…），nnn若数列{b}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=﹣9．n【考点】等比数列的性质；数列的应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据B=A+1可知A=B﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}nnnn中，则可推知则{A}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述n数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{A}中连续的四项，求得q，进而求n得6q．【解答】解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中B=A+1 A=B﹣1nnnn则{A}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中n{A}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项n等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值18，﹣24，36，﹣54，81相邻两项相除﹣=﹣=﹣=﹣=很明显，﹣24，36，﹣54，81是{A}中连续的四项n﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）q= ﹣或q=﹣q= ∴∴6q=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2009?江苏）设向量与垂直，求tan（α+β）的值；1（）若的最大值；2（）求7∥．，求证：）若tanαtanβ=16（3【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．【专题】平面向量及应用．与与先根据向量的线性运算求出，的再由【分析】（1）垂直等价于数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．||，然后根据向量的求模运算得到的关系，最后根据正（2）先根据线性运算求出弦函数的性质可确定答案．∥β，正是α）?（4cosβ）=sinαsin（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cos 的充要条件，从而得证．垂直，β，4cosβ+8sinβ）与（【解答】解：1，）∵=（sinβ﹣2cos∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），cos（α+β）=0，显然等式不成立∴tan（α+β）=2．）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣（24sinβ），||=∴，=．||1β=﹣时，取最大值，且最大值为sin2∴当，即sinαsin β=16，∴β=16cosαcosβ，α（3）∵tantan 4cosα∴（4cos）?（β）=sin，sinβα）共线，，sinsin，α=）与（β4cosβα（即=4cos∥．∴求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和【点评】本题主要考查向量的线性运算、三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．的分别是ABA，CFE中，CB﹣江苏）如图，在直三棱柱2009分）（16．14（?ABCA，11111在中点，点DB⊥．求证：BCDA上，C1111（∥平面EF1）；ABC 2（）平面CBB⊥平面FD．AC1118直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【考点】立体几何．【专题】即可；∥BCEF ∥平面ABC，证明EF【分析】（1）要证明即可，利用平面与平面CBBC，通过证明AD⊥面）要证明平面（2AFD⊥平面BBCC111111垂直的判定定理证明即可．C的中点，A分别是B，A 【解答】证明：（1）因为E，F11 ABC；ABC，所以EF∥平面EF?面ABC，BC?面所以EF∥BC，又D，BB⊥A，所以BB⊥面ABC，ABC（2）因为直三棱柱﹣ABC111111111⊥FD所以平面A，D?面AFD⊥面BC=B，所以ADBBCC，又AB又AD⊥C，BB∩11111111111．CC平面BB11本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，【点评】是中档题．项和，满足为其前nS?江苏）设a是公差不为零的等差数列，17．（14分）（2009nn2222=7，Sa+a=a+a72435 S；的通项公式及前n项和（1）求数列a nn中的项．，使得为数列（2）试求所有的正整数ma n数列的求和；等差数列的性质．【考点】等差数列与等比数列．【专题】代入等差数列的通项da，）先把已知条件用a及d表示，然后联立方程求出【分析】（111 n项和公式可求．公式及前ma2的通项公式可寻求）先把已知化简可得，然后结合数列（n满足的条件．）由题意可得【解答】解：（1d=2 ﹣5，=联立可得a1，×）2=2n﹣71n5+=a∴﹣（﹣n（2中的项a=1）由（）知若使其为数列n9为正整数必需为整数，且m则；，m=1m=2 是最小值）故舍去．﹣5时不满足题意，（a=m=11．所以m=2解题的重点是要熟练掌握项和的公式，本题主要考查了等差数列的通项公式及前n【点评】基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．22和﹣1）=4C：（x+3）+（y18．（16分）（2009?江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆122=4 ﹣5）x﹣4）+（yC圆：（2，求直线l0），且被圆C的方程；截得的弦长为I（）若直线l过点A（4，1的斜，l）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l与l（II）设P（a，b112截得C被圆C截得的弦长与直线l被圆相交，率为2，它们分别与圆C和圆C且直线l212121的关系式．的弦长相等，试求满足条件的a，b直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．【考点】直线与圆．【专题】的点斜式方程，又由直线被圆，故可以设出直线l4，0）I 【分析】（）因为直线l过点A（，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，截得的弦长为C1lk值，代入即得直线即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出的方程．的圆心到直C与ll的点斜式方程，分析可得圆（II）根据题意，可以设出过P点的直线112的方程，整理ba、的距离相等，即可以得到一个关于l的距离和圆C的圆心到直线l线212变形可得答案．不相交，与圆C （Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4【解答】解：1），x﹣4l故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线的方程为y=k（）到直线的距离，C圆心（﹣3，1圆﹣即kxy﹣4k=01=1，则，l直线被圆C截得的弦长为1k=0联立以上两式可得，或故所求直线．y=0方程为l或10：，l x﹣a），（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l：y﹣b=2（21因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，l的距离相等，l的距离和圆C的圆心到直线的圆心到直线故圆C2112即，解得：a﹣3b+21=0或3a+b﹣7=0．【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．19．（16分）（2009?江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n他卖出该产品的单价为m元，则．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h和他的满意度为h，则他21．对这两种交易的综合满意度为现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m元和m元，甲买进A与卖出B BA的综合满意度为h，乙卖出A与买进B的综合满意度为h．乙甲=m时，求证：h的表达式；当m=h；（1）求h和h关于m、m BAAB乙甲甲乙=m，当mm、m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综（2）设BBAA合满意度为多少？（3）记（2）中最大的综合满意度为h，试问能否适当选取m、m的值，使得h≥h和00AB甲h≥h 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．0乙【考点】函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用．=mm时，表示出要证【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件BA明的相等的两个式子，得到两个式子相等．（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．≤，不能取到m，m=h）知hh=．因为h的值，使）先写出结论：不能由（（32B0A0乙甲同时成立，但等号不同时成立．h 和≥hh≥h得00乙甲=；hB=的满意度为）甲：买进（【解答】解：1Ah，卖出的满意度为B1A111=；h= 所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为甲=；=，买进B的满意度为：乙：卖出A的满意度为：hh B2A2=；= A与买进B的综合满意度h所以，乙卖出乙=，所以hh，=h当m=m时，BA甲甲乙=h乙=m时，0），当mm（2）设=x（其中x＞BAB≤；= =h=h乙甲=×10=6m时，=10时，上式“=”成立，即m当且仅当，x=，即x=10AB甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为；≤h =．因为（3）不能由（2）知hh0乙甲同时成立，但等号不同时成立．h≥hm的值，使得h≥h和因此，不能取到m，0BA0乙甲【点评】本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．2．﹣a|x﹣a）|x江苏）设a为实数，函数f（x）=2x+（1620．（分）（2009? a的取值范围；10）≥，求（1）若f（x）的最小值；2）求f（（的解集．）≥1）+∞，求不等式h（x，h3）设函数（x）=f（x）x∈（a，（二次函数的性质；一元二次不等式的解法．【考点】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【专题】a再去绝对值求的取值范围，﹣a|a|≥1≥【分析】（1）f（0）1?借助二次函数的a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，和x＜≥（2）分xa 对称轴及单调性．最后综合即可．22，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再0﹣﹣2ax+a1≥转化为x3（）h（）≥13x 对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可． 1 ≤?≥，则﹣≥0f1解：【解答】（）若（）1a|a|1?a﹣1222，∴，﹣2ax+a xx≥a时，f（）=3x2（）当如图所示：22﹣af（x）=x，+2ax≤当xa时，∴．综上所述：．1，h（x）≥a（3）x∈（，+∞）时，22222﹣8a（a﹣1）=12△得3x﹣2ax+a1﹣≥0，=4a12﹣）；∞（0≤，x∈a，+△a≤当a﹣或≥时，＞时，＜当﹣a＜△0，得：13即2类讨论：进而分＜时，a，当﹣＜a＜﹣；+，∞，]∪）[a此时不等式组的解集为（a；≤＜时，＜x当﹣≤）．此时不等式组的解集为，[+∞综上可得，）；，+∞+，∞当a∈（﹣∞，﹣）∪（）时，不等式组的解集为（a）；[，+∈当a∞（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪．+，∞）时，不等式组的解集为[a当∈﹣，][分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，【点评】本题考查了分段函数的最值问题．最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．14。
2009年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析
2009年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2009•湖南）log2的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想．【分析】先将转化成，然后根据对数的运算性质进行求解即可．【解答】解：log2=log22=．故选：D【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是对数运算中常用的公式，属于基础题．2．（5分）（2009•湖南）抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（4，0）B．（2，0）C．（1，0）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出p的值，进而得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：∵2p=4⇒p=2，∴，∴抛物线y2=4x的焦点是（1，0），故选C；【点评】本题主要考查抛物线的简单性质．属基础题．3．（5分）（2009•湖南）设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题．4．（5分）（2009•湖南）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（）A．++=B．﹣+=C．+﹣=D．﹣﹣=【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项．【解答】解：由图可知=，==在△DBE中，++=0，即++=0．故选项为A．【点评】考查向量相等的定义及向量加法的三角形法则．5．（5分）（2009•湖南）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（）A．14 B．16 C．20 D．48【考点】计数原理的应用．【专题】计算题．【分析】本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类，含有甲的选法有C21C42种；不含有甲的选法有C43种，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，由于甲有两个人参加会议需要分两类：①含有甲的选法有C21C42种，②不含有甲的选法有C43种，共有C21C42+C43=16（种），故选B．【点评】本题考查分类计数问题，在排列的过程中出现有特殊情况的元素，需要分类来解，不然不能保证发言的3人来自3家不同企业．6．（5分）（2009•湖南）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】根据平行六面体的结构特征和公理2的推论进行判断，即找出与AB和CC1平行或相交的棱．【解答】解：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1符合条件．故选C．【点评】本题考查了平行六面体的结构特征和公理2的推论的应用，找出与AB和CC1平行或相交的棱即可，考查了空间想象能力．7．（5分）（2009•湖南）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合法．【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，用排除法进行判断．【解答】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，B 存在f′（x′）＞f′（x″），C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D 对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选A．【点评】掌握函数的单调性与导函数的关系，并会观察图形．8．（5分）（2009•湖南）设函数=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的正数K，定义函数f K（x）=取函数f（x）=2﹣|x|．当K=时，函数f K（x）的单调递增区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据题中所给的函数定义求出函数函数f K（x）的解析式，是一个分段函数，再利用指数函数的性质即可选出答案．【解答】解：由f（x）≤得：，即，解得：x≤﹣1或x≥1．∴函数f K（x）=由此可见，函数f K（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，故选C．【点评】本题主要考查了分段函数的性质、函数单调性的判断，属于基础题．二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）9．（5分）（2009•湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】应用题；集合．【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，所以15﹣x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．10．（5分）（2009•湖南）若x＞0，则x+的最小值为．．【考点】基本不等式．【专题】计算题．【分析】由于x和都是正数，x与的积是常数，所以使用基本不等式求式子的最小值，注意检验等号成立条件．【解答】解：∵x＞0，∴＞0，由基本不等式得：x+≥2，当且仅当x=，即x=时取等号，∴当x=时，x+有最小值为2，故答案为2．【点评】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式使用条件：一正、二定、三相等，即不等式的各项都是正数，和或积中出现定值、等号成立条件具备．11．（5分）（2009•湖南）在的展开式中，x的系数为6．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意，的展开式为T r+1=C4r（）r；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案．【解答】解：根据题意，的展开式为T r+1=C4r（）r；当r=2时，有T3=C42（）2=6x；故答案为：6．【点评】本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．12．（5分）（2009•湖南）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120．【考点】分层抽样方法；等可能事件的概率．【专题】计算题．【分析】本题考查分层抽样，抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．【解答】解：∵B层中每个个体被抽到的概率都为，∴总体中每个个体被抽到的概率是，∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10÷=120故答案为：120．【点评】抽样选用哪一种抽样形式，要根据题目所给的总体情况来决定，若总体个数较少，可采用抽签法，若总体个数较多且个体各部分差异不大，可采用系统抽样，若总体的个体差异较大，可采用分层抽样．13．（5分）（2009•湖南）过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B．若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可先求得∠AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率．【解答】解：如图，由题知OA⊥AF，OB⊥BF且∠AOB=120°，∴∠AOF=60°，又OA=a，OF=c，∴==cos60°=，∴=2．故答案为2【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的过程中采用了数形结合的思想，使问题的解决更直观．14．（5分）（2009•湖南）在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于2，AC的取值范围为（）．【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据正弦定理和B=2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC=2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角△ABC 和B=2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可．【解答】解：（1）根据正弦定理得：=，因为B=2A，化简得=即=2；（2）因为△ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B=2A得到A+2A＞且2A=，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosA=AC，故．故答案为：2，（，）【点评】考查学生灵活运用正弦定理及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2A变换角得到角的范围．15．（5分）（2009•湖南）如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若=x+y，则x=，y=．【考点】相等向量与相反向量．【专题】压轴题；待定系数法；数形结合法．【分析】设，求出题中有关线段的长度及有关角的大小，利用2个向量的数量积公式，待定系数法求出x、y的值．【解答】解∵，又，∴，∴．又∵，∴．设，则由题意知：．又∵∠BED=60°，∴，显然与的夹角为45°．∴由得×1×cos45°=（x﹣1）×1，∴x=+1．同理，在中，两边同时乘以，由数量积公式可得：y=，故答案为：1+，．【点评】本题考查2个向量的混合运算，两个向量的数量积定义式、公式的应用，待定系数法求参数值，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2009•湖南）已知向量=（sinθ，cosθ﹣2sinθ），=（1，2）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求θ的值．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题．（2）由||=||化简得sin2θ+cos2θ=﹣1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．【解答】解：（1）∵∥∴2sinθ=cosθ﹣2sinθ即4sinθ=cosθ∴tanθ=（2）由||=||∴sin2θ+（cosθ﹣2sinθ）2=5即1﹣2sin2θ+4sin2θ=5化简得sin2θ+cos2θ=﹣1故有sin（2θ+）=﹣又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π）∴2θ+=π或2θ+=π∴θ=或θ=π【点评】本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．17．（12分）（2009•湖南）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（II）记X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（I）由题意知3名工人独立地从中任选一个项目参与建设，根据三类工程的概率和相互独立事件同时发生的概率，写出他们选择的项目所属类别互不相同的概率．（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．结合变量对应的事件，写出事件的概率，写出分布列和期望．【解答】解：（I）3名工人独立地从中任选一个项目参与建设设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次为事件A、B、C．则，他们选择的项目所属类别互不相同的概率是：（II）由题意知X为3人中选择的项目属于基础设施工程的人数，X的取值为：0，1，2，3．P（X=0）=；；；．∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，是一个综合题，注意规范答题，这是一个送分的题目．18．（12分）（2009•湖南）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AA1=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E．（1）证明：平面A1DE⊥平面ACC1A1；（2）求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证平面A1DE⊥平面ACC1A1，根据面面垂直的判定定理可知在平面ADE 内一直线与平面ACC1A1垂直，而根据DE⊥AA1而DE⊥AE．AA1∩AE=A满足线面垂直的判定定理可知DE⊥平面ACC1A1；（2）过点A做AF垂直A1E于F，连接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角，在三角形ADF中求出此角即可．【解答】解：（1）如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质知AA1⊥平面A1B1C1又DE⊂平面A1B1C1，所以DE⊥AA1．而DE⊥AE．AA1∩AE=A，所以DE⊥平面ACC1A1，又DE⊂平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1．（2）过点A做AF垂直A1E于F，连接DF，由（1）知：平面A1DE⊥平面ACC1A1．所以AF⊥平面A1DE，则∠ADF即为直线AD和平面A1DE所成角，因为DE⊥平面ACC1A1．所以DE⊥AC，而△ABC是边长为4的正三角形，所以AD=2，AE=4﹣CE=4﹣CD=3，又因为AA1=，所以A1E===4，AF==，所以sin∠ADF==，故直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为【点评】本小题主要考查空间中的线面关系，考查面面垂直的判定及线面所成角的计算，考查逻辑思维能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．19．（13分）（2009•湖南）已知函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称．（1）求b的值；（2）若f（x）在x=t处取得极小值，记此极小值为g（t），求g（t）的定义域和值域．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】计算题．【分析】（1）函数f（x）=x3+bx2+cx的导函数的图象关于直线x=2对称，则求出f′（x）得到一个二次函数，利用x==2求出b即可；（2）求出f′（x），由（1）得函数的对称轴为x=2，讨论c的取值范围求出g（t）的定义域和值域即可．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2bx+c因为函数f′（x）的图象关于直线x=2对称，所以，于是b=﹣6（2）由（Ⅰ）知，f（x）=x3﹣6x2+cxf′（x）=3x2﹣12x+c=3（x﹣2）2+c﹣12（ⅰ）当c≥12时，f′（x）≥0，此时f（x）无极值．（ii）当c＜12时，f′（x）=0有两个互异实根x1，x2．不妨设x1＜x2，则x1＜2＜x2．当x＜x1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x1）内为增函数；当x1＜x＜x2时，f′（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）内为减函数；当x＞x2时，f′（x）＞0，f（x）在区间（x2，+∞）内为增函数．所以f（x）在x=x1处取极大值，在x=x2处取极小值．因此，当且仅当c＜12时，函数f（x）在x=x2处存在唯一极小值，所以t=x2＞2．于是g（t）的定义域为（2，+∞）．由f′（t）=3t2﹣12t+c=0得c=﹣3t2+12t．于是g（t）=f（t）=t3﹣6t2+ct=﹣2t3+6t2，t∈（2，+∞）．当t＞2时，g′（t）=﹣6t2+12t=6t（2﹣t）＜0所以函数g（t）在区间（2，+∞）内是减函数，故g（t）的值域为（﹣∞，8）【点评】考查学生利用导数求函数函数的单调性及确定函数极值存在位置的能力，以及利用导数求函数最值的能力．利用导数研究函数的单调性是函数的一个极其重要的应用，它大大简化了证明单调性的方法．20．（13分）（2009•湖南）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）（1）求椭圆C的方程；（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设椭圆C的方程为．由于以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，可得b=c，=8，a2=b2+c2即可得出．（2）椭圆C的左准线方程为：x=﹣4．设直线l的方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0）．与椭圆的方程联立化为（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0，由△＞0，解得．利用根与系数的关系与中点坐标公式可得y0，x0≤0，可得点G不可能在y轴的右边．直线F1B2，F1B1的方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2，点G落在正方形Q内（包括边界）的充要条件是，解出即可．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．∵以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，∴b=c，=8，∴b=c=2，a2=b2+c2=8．∴．（2）椭圆C的左准线方程为：x=﹣4．∴P（﹣4，0），设直线l的方程为y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点G（x0，y0）．由化为（1+2k2）x2+16k2x+32k2﹣8=0，①由△=256k4﹣4（1+32k2）（32k2﹣8）＞0，解得．②．∴．∴x0==﹣，y0=k（x0+4）=．∵x0≤0，∴点G不可能在y轴的右边．又直线F1B2，F1B1的方程分别为y=x+2，y=﹣x﹣2，∴点G落在正方形Q内（包括边界）的充要条件是，即化为，解得，满足②．因此直线l的斜率的取值范围是．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、正方形的性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于难题．21．（13分）（2009•湖南）对于数列{u n}若存在常数M＞0，对任意的n∈N+，恒有|u n+1﹣u n|+|u n ﹣u n1|+…+|u2﹣u1|≤M则称数列u n为B﹣数列（1）首项为1，公比为的等比数列是否为B﹣数列？请说明理由；（2）设s n是数列{x n}的前n项和，给出下列两组判断：A组：①数列{x n}是B﹣数列．②数列{x n}不是B﹣数列．B组③数列{s n}是B﹣数列．④数列{s n}不是B﹣数列请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；（3）若数列{a n}是B﹣数列，证明：数列{a n2}也是B﹣数列．【考点】数列的应用．【专题】综合题；压轴题；新定义；探究型．【分析】（1）根据B﹣数列的定义，首项为1，公比为q=的等比数列，验证|u n+1﹣u n|+|u n﹣u n﹣1|+…+|u2﹣u1|≤M即可；（2）首项写出两个命题，根据B﹣数列的定义加以证明，如果要说明一个命题不正确，则只需举一反例即可；（3）数列{a n}都是B﹣数列，则有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M1下面只需验证|a n+12﹣a n2|+|a n2﹣a n﹣12|+…+|a22﹣a12|≤M．【解答】解：（1）设满足题设的等比数列为a n，则．于是n≥2|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|==，所以首项为1，公比为﹣的等比数列是B﹣数列．（2）命题1：若数列x n是B﹣数列，则数列S n是B﹣数列．此命题为假命题．事实上设x n=1（n∈N*），易知数列x n是B﹣数列，但S n=n，|S n+1﹣S n|+|S n﹣S n﹣1|+…+|S2﹣S1|=n．由n的任意性知，数列S n不是B﹣数列．命题2：若数列S n是B﹣数列，则数列x n不是B﹣数列．此命题为真命题．事实上，因为数列S n是B﹣数列，所以存在正数M，对任意的n∈N*，有|S n+1﹣S n|+|S n﹣S n﹣1|+…+|S2﹣S1|≤M，即|x n+1|+|x n|+…+|x2|≤M．于是|x n+1﹣x n|+|x n﹣x n﹣1|+…+|x2﹣x1|≤|x n+1|+2|x n|+2|x n﹣1|+…+2|x2|+|x1|≤2M+|x1|，所以数列x n是B﹣数列．（3）若数列是{a n}B﹣数列，则存在正数M，对任意的n∈N*有|a n+1﹣a n|+|a n﹣a n﹣1|+…+|a2﹣a1|≤M因为|a n|=|a n﹣a n﹣1+a n﹣1+a n﹣2+…+a2﹣a1+a1|≤|a n﹣a n﹣1|+|a n﹣1﹣a n﹣2|+…+|a2﹣a1|+|a1|≤M+|a1| 记K=M+|a1|，则有|a n+12﹣a n2|=|（a n+1+a n）（a n+1﹣a n）≤（|a n+1|+|a n|）|a n+1﹣a n|≤2K|a n+1﹣a n|因此|a n+12﹣a n2|+|a n2﹣a n﹣12|+…+|a22﹣a12|≤2KM故数列{a n2}是B﹣数列．【点评】考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）（3）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题．。
2009年全国高考数学陕西卷理科18题的另解与解析
别解·解析·启示——谈2009年全国高考数学陕西卷理科18题、文科19题(陕西省西安市田家炳中学 710500)内容提要：本文通过对2009年全国高考数学(陕西卷)理科18题、文科19题的研究，既有通性通法，又有优美解法，揭示了证明线线垂直、求二面角的各种方法，均适用此题；明确了新课改高考学习、复习的方向。
关键词：2009 高考陕西理科 18题文科19题别解解析启示2009年全国高考数学陕西卷理科18题、文科19题为同一题；如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=1，AC= AA1= 3，∠ABC=600。
(Ⅰ)证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）求二面角A-A1C-B的大小。
解答为评析方便，先引述陕西省招生委员会办公室提供的参考答案：解答一：（I）证：∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱∴AB⊥AA1在△ABC中，AB=1，AC = 3,∠ABC = 60°由正弦定理得∠ACB = 30°∴∠BAC = 90°即 AB⊥AC∴AB⊥平面ACC1A1又A1C 平面AC C1A1∴AB⊥A1C(II) 解：如图，作AD⊥A1C 交A1C 于点D，连结BD由三垂线定理BD ⊥A 1C ∴∠ ADB 为二面角A-A 1C-B 的平面角 在Rt △A 1AC 中AD=C A AC AA 11∙= 633⨯= 26 在Rt △BAD 中，tanADB=AD AB = 36∴∠ADB =arc tan36 即二面角A-A 1C-B 的大小为arc tan36 解答二（I ）证 ∵ 三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱 ∴AA 1⊥AB AA 1⊥AC在△ABC 中，AB=1，AC = 3,∠ABC = 60°由正弦定理得∠ACB = 30°∴∠BAC = 90° , 即 AB ⊥AC 如图，建立空间直角坐标系， 则 A （0，0，0）， B （1，0，0），C （0，3，0），A 1（0，0，3）， ∴=（1，0，0），C A 1=（0，3，-3）， ∵C A AB 1∙=1×0+0×3+0×（-3）=0，∴ AB ⊥A 1CABCA 1B 1C 1D（II ）解 如图，可取==（1，0，0）为平面AA 1C 的法向量，设平面A 1BC 的法向量为n =( l ,m,n),则∙ =0，∙A 1 =0，又 =（-1，3，0），∴{03033=+-=-m l n m , ∴l = 3m,n = m.不妨取m =1，则 =（3，1，1）Cos<m , n >=→→→→∙∙nm nm =()222222001113010113++∙++⨯+⨯+⨯=515∴二面角A-A 1C-B 的大小为arc COS515另解再给出其它证法（I ）另证：∵三棱柱ABC-A 1B 1C 1为直三棱柱∴AA 1⊥平面ABC ∴AC 是A 1C 在平面ABC 内的射影在△ABC 中，AB=1，AC = 3,∠ABC = 60°由正弦定理得∠ACB = 30° ∴∠BAC = 90° 即 AB ⊥AC 由三垂线定理知 AB ⊥A 1C（II ）另解1（定义法） 在Rt △A 1AC 中，∵AC =AA 1=3∴取A 1C 的中点D ，连结AD ,则AD ⊥A 1C 且 AD =26在Rt △ABC 中AB = 1 ， AC=3 ， ∠BAC = 90°∴BC = 2同理， 在Rt △A 1AB 中 A 1B = 2 ∴△A 1BC 为等腰三角形∴BD ⊥A 1C 且BD = 22262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- = 210 ∴∠ ADB 为二面角A-A 1C-B 的平面角 在△ABD 中 AD =26, BD=210, AB =1 由余弦定理COS ADB= BD AD AB BD AD ∙∙-+2222 = 210262121026222∙∙-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =515∴二面角A-A 1C-B 的大小为arc COS515另解2（射影法） 由（I ）知AB ⊥平面ACA 1 ∴△A 1 AC 是△A 1BC 在平面A 1 AC 上的射影 在△A 1BC 中∵A 1 C = 6 A 1 B = BC =2ABCA 1B 1C 1D∴S △A1BC =216 ×22262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- = 215又△A 1AC =213×3 = 23设二面角A-A 1C-B 为θ ，则S △A1AC = S △A1BC COS θ∴23 = 215cos θ 即cos θ=515 ∴二面角A-A 1C-B 的大小为arc cos515另解3（垂面法） 由（I ）知AB ⊥A 1C 设过AB 垂直于A 1C 的平面交A 1C 于D ，则平面A 1AC ∩平面ABD=AD, 平面A 1BC ∩平面ABD=BD AD ⊥A 1C BD ⊥A 1C ∴∠ADB 为二面角A-A 1C-B 的平面角 在Rt △A 1AC 中 ∵AA 1= AC= 3 AD ⊥A 1C ∴D 为A 1C 的中点 且AD=26（下同另解1） 评析粗看此题似曾相识。