北京市顺义区2014届高三4月第二次统练(二模)数学理试题

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北京市昌平区2014届高三4月第二次统练(二模)理科数学

昌平区2014年高三年级第二次统一练习（二模）数学试卷（理科） 2014.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知集合{213}=+<A x x ,2{4}=≤B x x , 则A B =U(A) {21}-≤<x x (B) {2}≤x x (C) {21}-<<x x (D) {2}<x x (2) “1,1a b >>”是“1ab >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 (3) 设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）b c a >> (4)62)的展开式中2x 的系数是（A ）120- （B ）120 （C ）60- （D ）60 (5) 在ABC ∆中，2BC AC ==，ABC S ∆=，则C ∠等于（A ）4π （B ）3π（C ）4π或34π （D ）3π或23π(6) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）12 （B ）36 （C ）24 （D ）72(7) 如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是弧AB 的三等分点，,M N 是线段AB 的三等分点，若6OA =，则MD NC ⋅uuu r uuu r的值是（A ）2 （B ）10 （C ）26 （D ）28左视图俯视图左视图俯视图（8）已知11, 1,()ln , 01⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x x x x ，若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（A ）(,1)(1,)-∞-+∞U （B ）(1,1)- （C ）[0,1] （D ）(,1][0,1]-∞-U第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 若数列{}n a 满足：1111,()2n n a a a n +==∈N*，则4a =_______ .(10)圆C ：2sin ρθ=的圆心到直线:sin 2l ρθ=-的距离为_________ . (11)如图，已知e O中，弦=BC BD 为e O 直径. 过点C 作e O 的切线，交BD 的延长线于点A ，30∠=︒ABC .则AD =____ . （12）已知抛物线22(0)=>y px p 的焦点为(2,0)F ，则=p ________，过点(3,2)A 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，则=EF _____. （13）选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种 .(14) 已知正方体1111-ABCD A BC D 的棱长为2，在四边形11ABC D 内随机取一点M ,则90AMB ︒∠≥的概率为_______ ，135AMB ︒∠≥的概率为_______.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数()f x 2cos sin 1,()x x x =+-∈R .（Ⅰ）求7()6f π的值；（Ⅱ）当2[,]63∈-x ππ时，求()f x 的取值范围. (16)(本小题满分13分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响. (Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？(17)(本小题满分14分)已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A AC D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.(18)(本小题满分13分)已知函数()ln f x ax x =,(0)a ≠. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0<a 时，若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，求a 的取值范围.(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F，点(0,B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k . 求证: '⋅k k 为定值.(20)(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式. （Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.昌平区2014年高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）（9）18 （10）3 （11）2 （12）4； 52 （13）240 （14 （第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =+-21sin sin 1x x =-+-……1分 2sin sin x x =-+211(sin )24x =--+， ………3分所以2277111113()(sin )()66242244f ππ=--+=---+=- . ………6分（或2713()(1624f π=--=- ………3分）（Ⅱ）因为2[,]63x ππ∈-所以1sin [,1]2x ∈-. ………8分所以11sin [1,]22x -∈-.所以21(sin )[0,1]2x -∈. ………10分所以21(sin )[1,0]2x --∈-.所以21131(sin )[,]2444x --+∈-. ………12分所以()f x 的取值范围为31[,]44-. ………13分(16)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为ξ, 则ξ的取值分别为1,2,3. ………1分1242361(1)5C C P C ξ===；2142363(2)5C C P C ξ===；3042361(3)5C C P C ξ===； ………3分考生甲正确完成题数ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………………4分设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0,1,2,3. ………………5分(0)P η==03311()327C =；1123216(1)()()3327P C η===, 2232112(2)()()3327P C η===,33328(3)()327P C η===. ………………7分考生乙正确完成题数η的分布列为:161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………8分 (Ⅱ)因为2221312(12)(22)(32)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=, ……………10分2222161282(02)(12)(22)(32)272727273D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. ……12分（或23D npq η==）.所以D D ξη<. (或：因为31(2)0.855P ξ≥=+=,128(2)0.742727P η≥=+≈, 所以(2)(2)P P ξη≥>≥. )综上所述，从做对题数的数学期望考查,两人水平相当；从做对题数的方差考查,甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. ……………13分（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.） (17)(本小题满分14分)证明：(Ⅰ)因为1111ABCD A BC D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形.…1分因为BD ⊂平面ABCD ，所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. ……2分因为1AA AC A =, 所以BD ⊥平面1A AC . ………3分因为1AC ⊂平面1A A C ,所以1B D A C⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B11(0,2,4),(0,0,4)C D ………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-uuuu r uuu r. 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu ruuu r n n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩……6分令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n .由（Ⅰ）可知平面1AAC 的法向量为 (2,2,0)DB =u u u r. ……7分所以cos ,5DB <>==uu u rn . ……8分因为二面角11--A AC D 为钝二面角，所以二面角11--A AC D的余弦值为. ……9分 (Ⅲ)设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r.因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分即22240,2,1x y z λλ===+.所以4(0,2,)1P λλ+.……11分设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+uu u r uu ur ，所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r m m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分令31y =，则3311,2x z λλ+=-=-. 所以1(1,1,)2λλ+=--m . ………13分若平面11ACD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n . 即1202λλ+-=，解得13λ=.所以当113CP PC =时，平面11ACD ⊥平面PBD . ………14分 (18)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞. …………… 1分因为'()ln (ln 1)f x a x a a x =+=+， …………… 2分令'()0f x =，解得1x e=. …………… 3分 ①当0a >时，随着x 变化时，()f x 和'()f x 的变化情况如下：即函数()f x 在(0,)e上单调递减，在(,)e+∞上单调递增. …………… 5分 ②当0a <时，随着x 变化时，()f x 和'()f x 的变化情况如下：即函数()f x 在(0,)e上单调递增，在(,)e+∞上单调递减. …………… 7分（Ⅱ）当0<a 时，对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，即ln 31ax x ax <+. 所以ln 310ax x ax --<.设()ln 31g x ax x ax =--. 因为'()ln 3g x a x a a =+-(ln 2)a x =-, … 8分令'()0g x =，解得2x e =. …………… 9分因为0<a ，所以随着x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：即函数()g x 在2(0,)e 上单调递增，在2(,)e +∞上单调递减. …………… 10分所以22222max ()()ln 311g x g e ae e ae ae ==--=--. …………… 11分所以210ae --<. 所以21a e>-. …………… 12分所以a 的取值范围为21(,0)e -. ………13分法二：当0<a 时，对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，即ln 31ax x ax <+. 所以(ln 3)1a x x x -<.即1ln 3x x x a<-. …………… 8分设()ln 3g x x x x =-. 因为'()ln 2g x x =-, 令'()0g x =，解得2x e =. ……… 9分所以随着x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：即函数()g x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增. …………… 10分所以22222min ()()ln 3g x g e e e e e ==-=-. …………… 11分所以21e a <-. 所以21a e>-. ………… 12分所以a 的取值范围为21(,0)e-. ………13分(19)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由条件可知2,a b =， …………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立.设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x . …………8分因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ， ………9分令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x yN ，所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--. ………10分直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-12121()422yy x x =+--122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++ 1212121223()4142()4kx x k x x kx x x x -++=⋅-++ …………12分 2222222241282341434341284244343k k k k kk k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++34k =- 所以k k '⋅为定值43-. …………13分(20)(本小题满分14分)解: (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分所以数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则 ()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分所以210n n a qa ++-=. 因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分（２）必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有1n n a a q +=. ………10分因为0n a >，所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分 231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………13分综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A nB nC n 组成公比为q 的等比数列. ………14分【各题若有其它解法，请酌情给分】。

2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见

数学 ( 理科 ) 参考答案及评分标准
( 一㊁选择题 : 每小题５分 , 共６０分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １０． C １１． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９分０ ( 二㊁填空题 : 每小题５分 , 共２０分) ２ n １３．㊀㊀１４．３２．８; ㊀㊀１５．４; ㊀㊀１６．．－２; n ＋１ ( 三㊁解答题 : 共７０分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有１７． Ⅰ) E C 中, ．＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝７, ３３ B E ��s i n B ２２１ ʑ s i n øB C E＝．＝＝ C E １４７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２３５７２ ʑc o s øD E A ＝１－s i n øD E A ＝１－＝．２８１４第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６０分) ６． C; １２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２＝ C E２＋D E２－２ C E��D E�� c o s øC E D ＝７＋２８－２ˑ ７ ˑ２７ ˑ ( －
当 x ＝５７０时, ３ˑ５７０＋４３３．２＝６０４．２． y ＝０．
��１０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第㊀共５页) １页(
��１特征量 y 的估计值为６ ʑ 当 x ＝５７０时, ０４．２．２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ．１９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝＝＝． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ��４分 ʑGM ��E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形． ʑG E ʊ MF ．又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ��６分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F．以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１２, ０, ０) , B (３, ０, ４３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝９００ E B ＝ (３, ４３) ．－４, 设平面 E B F 的法向量n１＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１＝０ n ��E F ＝０, ９由１得． ң ３ x１－４ z１＝０ �� y１＋４３ n１ E B ＝０ ��８分取 y１＝３ , 得 n１＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４３) ．－４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２＝ ( x２ , z ． y２２ ң ３ x ４ �� －＝０２２ y n F C ＝０, 由２得． ң x２－４ z２＝０－６ y２＋４３ n２ ��F B ＝０ ��１取 x２＝４, 得 n２＝ (４, ０分３, ３３) ． n１ �� n２０ˑ４＋３ ˑ３＋１ˑ３３６３３３９ ʑ c o s＜ n１ , n２＞＝．＝＝＝ n１ | n２ | ２６ | | ２ˑ １６＋９＋２７２ˑ２１３ ��１１分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,

北京市顺义区2014年中考二模数学试题及答案

CDB A顺义区2014届初三第二次统一练习数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1． 2014年5月4日，在“百度搜索”的“手机型号排行榜” 中显示，排名第一位的是苹果 iphone5S ，关注指数为46 590，将46 590用科学记数法表示为A ．54.65910⨯ B ．44.65910⨯C ．50.465910⨯ D ．346.610⨯ 2．16的平方根是A ．4±B ．4C ．-4D ．8±3．某中学九（1）班6个同学在课间体育活动时进行1分钟跳绳比赛，跳绳个数如下：126，144，134，118，126，152．这组数据中，众数和中位数分别是A ．126，126B ．130，134C ．126，130D ．118，152 4．下图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体.将正方体①移走后，所得几何体A ．主视图改变，左视图改变B ．俯视图不变，左视图不变C ．俯视图改变，左试图改变D ．主视图改变，左视图不变 5．从1，2，3这三个数字中随机抽取两个，抽取的这两个数的和是奇数的概率是A ．13 B ．12C ．23D ．566．如图，BD 平分ABC ∠，CD ⊥BD ，D 为垂足，55C ∠=︒，则ABC ∠的度数是A ．35°B ．55°C ．60°D ． 70° 7．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格（单位：元）为 A ．19 B ．18 C ． 16 D ．158．如图，已知边长为4的正方形ABCD ， E 是BC 边上一动点(与B 、C 不重合)，连结AE ，作EF ⊥AE 交 ∠BCD 的外角平分线于F ，设BE ＝x ，△ECF 的面积为y ，下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．分解因式：29xy x -= ．10．如果关于x 的方程220x mx -+=有两个相等的实数根，那么m的值为． 11．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是圆上一点，70BAC ∠=︒,则OCB ∠= °．12．如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE ＝BF ＝1，小球P从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到B C 边时，小球P 所经过的路程为；当小球P 第一次碰到AD 边时，小球P 所经过的路程为；当小球P 第n （n 为正整数）次碰到点F 时，小球P 所经过的路程为．三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：)1cos60211π--++-°．14．解不等式34(23)x --≥3(32)x -，并把它的解集在数轴上表示出来．15．已知：如图，点E 、F 在线段AD 上，AE=DF ，AB ∥CD ，∠B =∠C ．求证：BF =CE ．FEDCBA FEDCBA-3-2-132116．已知2(20a b +-=，求2(2)(3)(3)a a b a b a b +-+-的值．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax b =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，已知(2,0)A ，(0,1)B ，点C （-2，m ）在直线AB 上，反比例函数y =kx的图象经过点C ．（1）求一次函数及反比例函数的解析式；（2）结合图象直接写出：当0x <时，不等式kax b x+>的解集．18．列方程或方程组解应用题：A 、B 两地相距15千米，甲从A 地出发步行前往B 地，15分钟后，乙从B 地出发骑车前往A 地，且乙骑车的速度是甲步行速度的3倍．乙到达A 地后停留45分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙二人同时到达B 地．求甲步行的速度．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，在ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，BE =2DE ，过点C 作CF ∥BE 交DE 的延长线于F ．（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若4CE =，120BCF ∠=°，求菱形BCFE 的面积．20．保障房建设是民心工程，某市从2009年加快保障房建设工程．现统计了该市从2009年到2013年这5年新建保障房情况，绘制成如图1、2所示的折线统计图和不完整的条形统计图．某市2009-2013年新建保障房套数年增长率折线统计图某市2009-2013年新建保障房套数条形统计图图2年份年份图1（1）小颖看了统计图后说：“该市2012年新建保障房的套数比2011年少了．”你认为小颖的说法正确吗？请说明理由；（2）求2012年新建保障房的套数，并补全条形统计图；（3）求这5年平均每年新建保障房的套数．F E D CB AB Axy O21．如图，O⊙是△ABC的外接圆，AB =AC ，过点A作AD∥BC交BO的延长线于点D．（1）求证：AD是O⊙的切线；（2）若O⊙的半径OB=5，BC=8，求线段AD的长．22．问题：如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80︒，则∠BEC=；若∠A=n︒，则∠BEC=．探究：（1）如图2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n︒，则∠BEC=；（2）如图3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n︒，则∠BEC=；（3）如图4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n︒，则∠BEC=．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．已知关于x的一元二次方程2440mx x m++-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线244y mx x m=++-与x轴交点为A、B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．点O为坐标原点，点P在直线BC上，且OP=12 BC，求点P的坐标．D图4图3图2图1NMECBAECBADECBAECBA24．在△ABC 中， A B = AC ，∠A =30︒，将线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60︒得到线段 B D ，再将线段BD 平移到EF ，使点E 在AB 上，点F 在AC 上．（1）如图 1，直接写出 ∠ABD 和∠CFE 的度数；（2）在图1中证明： A E =CF ；（3）如图2，连接 C E ，判断△CEF 的形状并加以证明．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2)y x bx c =++过点(1,0)A，B ，这条抛物线的对称轴与x 轴交于点C ，点P 为射线CB 上一个动点（不与点C 重合），点D 为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD =60︒．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，△PCD 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式；（3）过点P 作PE ⊥DP ，连接DE ，F 为DE 的中点，试求线段BF 的最小值．图2图1BCB顺义区2014届初三第二次统一练习数学学科参考答案及评分细则二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．(3)(3)x y y +-； 10． ±； 11．20︒； 12， - 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：)1cos60211π--++-°111122π=-++- ……………………………………………………… 4分π= ………………………………………………………………………… 5分 14．解：去括号，得 3812x -+≥96x -． ……………………………………… 1分移项，得 86x x -+≥9312--． ……………………………………… 2分合并同类项，得 2x -≥6-． ……………………………………………… 3分系数化1，得 x ≤3． ………………………………………………………… 4分把它的解集在数轴上表示为…………………………………………… 5分15．证明：∵AB ∥CD ，∴A D ∠=∠． ………………………………………………………… 1分∵AE=DF ，∴AE + EF =DF + EF ．即AF =DE ． ……………………………………………………………… 2分在△ABF 和△DCE 中，,,,B C A D AF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ABF ≌△DCE ．……………………………………………………… 4分 ∴ BF=CE ． ………………………………………………………………5分16．解：2(2)(3)(3)a a b a ba b +-+-222249a a b a b =+-+………………………………………………………… 2分 2249a ab b =++ ……………………………………………………………… 3分 ∵2(20a b +-=，∴ ,2a b ==．……………………………………………………………… 4分 ∴ 原式22429233639=++⨯=+=+ 5分FE ODCBA17．解：（1）依题意，得20,1.a b b +=⎧⎨=⎩ 解得1,21.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ………………………… 2分 ∴一次函数的解析式为112y x =-+． ∵点C （-2，m ）在直线AB 上，∴1(2)122m =-⨯-+=．……………………………………………… 3分把C （-2，2）代入反比例函数y =kx中，得 4k =-．∴反比例函数的解析式为4y x=-．…………… 4分（2）结合图象可知：当0x <时，不等式kax b x+>的解集为2x <-．…………………………………… 5分18．解：设甲步行的速度是x 千米/小时，……………………………………………… 1分由题意，得301513x x+=． ……………………………………………… 2分解得 5x =．………………………………………………………… 3分经检验，5x =是所列方程的解．…………………………………………… 4分答：甲步行的速度是5千米/小时． ……………………………………………… 5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证明：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ∥BC ，BC =2DE ．………………………………………………… 1分 ∵CF ∥BE ，∴四边形BCFE 是平行四边形．……………………………………… 2分 ∵BE =2DE ，BC =2DE ， ∴BE = BC ．∴□BCFE 是菱形． …………………………………………………… 3分（2）解：连结BF ，交CE 于点O ．∵四边形BCFE 是菱形，120BCF ∠=°， ∴60BCE FCE ∠=∠=°，BF CE ⊥．∴△BCE 是等边三角形．……………………… 4分 ∴4BC CE ==．∴22sin 60242BF BO BC ==︒=⨯⨯=．∴11422BCFE S CE BF ==⨯⨯=菱形 5分D 20．解：（1）小颖的说法不正确．………………………………………………………1分理由：虽然2012年新建保障房套数的年增长率为20%，比2011年的年增长率25%低，但是2012年新建保障房套数还是比2011年增长了20%，因此，小颖的说法不正确．……………………………………………………………2分（2）2012年新建保障房套数：15(120%)18⨯+=（万套）．…………… 3分补全统计图如右图：……………………… 4分（3）1012151823.415.685++++=（万套）答：这5年平均每年新建保障房的套数是15.68万套．………………… 5分21．（1）证明：连结AO，并延长交O⊙于E，交BC于F．∵AB =AC ，∴AB AC=．∴AE BC⊥．…………………………1分∴90EFC∠=°．∵AD∥BC，∴90FAD EFC∠=∠=°．∵AO是半径，∴AD是O⊙的切线．………………………2分（2）解：∵AE是直径，AE BC⊥，BC=8，∴142BF CF BC===．……………………………………………3分∵OB=5，∴3OF=．∵AD∥BC，∴△AOD∽△FOB．………………………………………………………4分∴OA ADOF BF=．∴542033OA BFADOF⨯===．…………………………………………5分22．解：问题：如图1，若∠A=80︒，则∠BEC=130°；若∠A=n︒，则∠BEC=1902n︒+︒．探究：（1）如图2，若∠A=n︒，则∠BEC=2603n︒+︒；（2）如图3，若∠A=n︒，则∠BEC=12n︒；（3）如图4，若∠A=n︒，则∠BEC=1902n︒-︒．（……每空1分，共5分）五、解答题（本题共22分，23小题7分，24小题8分，25小题7分） 23．（1）证明：∵22244(4)161644(2)m m m m m =--=-+=-≥0， ……… 1分∴方程总有两个实数根．……………………………………………… 2分（2）解：∵42(2)2m x m-±-==， ∴142(2)42m m x m m -+--==，242(2)12m x m---==-．………… 3分 ∵方程有两个互不相等的负整数根， ∴40m m-<． ∴0,40.m m >⎧⎨-<⎩或0,40.m m <⎧⎨->⎩∴04m <<．∵m 为整数，∴m =1或2或3． ………………………………………… 4分当m =1时，121431x x -==-≠，符合题意；当m =2时，122412x x -==-=，不符合题意；当m =3时，1234133x x -==-≠，但不是整数，不符合题意． ∴m =1． ………………………………………………………………… 5分（3）解：m =1时，抛物线解析式为243y x x =++．令0y =，得121,3x x =-=-；令x =0，得y =3． ∴A （-3-1，0），C （0，3）．∴BC =∴OP =12BC =．设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∴3,0.b k b =⎧⎨-+=⎩∴3,3.b k =⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为33y x =+．设00(,33)P x x +，由勾股定理有：22200(33)x x ++=，整理，得 2002036130x x ++=．解得 00113210x x =-=-或． ∴13(,)22P -或139(,)1010P --．…………………………………… 7分图1B图224．（1）∠ABD= 15 °，∠CFE= 45 °．……………………………………… 2分（2）证明：连结CD 、DF ．∵线段 B C 绕点 B 逆时针旋转 60︒得到线段 B D ， ∴BD = BC ，∠CBD =60︒． ∴△BCD 是等边三角形． ∴CD = BD ． ∵线段BD 平移到EF ， ∴EF ∥BD ，EF = BD ．∴四边形BDFE 是平行四边形，EF = CD ．……… 3分 ∵AB = AC ，∠A =30︒， ∴∠ABC =∠ACB =75︒．∴∠ABD =∠ABC -∠CBD =15︒=∠ACD ． ∴∠DFE =∠ABD =15︒，∠AEF =∠ABD =15︒．∴∠AEF =∠ ACD =15︒．………………………………………………… 4分 ∵∠CFE =∠A+∠AEF =30︒+15︒=45︒， ∴∠CFD =∠CFE -∠DFE =45︒-15︒=30︒．∴∠A =∠CFD =30︒． …………………………………………………… 5分 ∴△AEF ≌△FCD （AAS ）．∴A E =CF ． …………………………………………………………… 6分（3）解：△CEF 是等腰直角三角形．证明：过点E 作EG ⊥CF 于G ，∵∠CFE =45︒，∴∠FEG =45︒． ∴EG =FG ．∵∠A =30︒，∠AGE =90︒，∴12EG AE =．∵A E =CF ，∴12EG CF =．∴12FG CF =．∴G 为CF 的中点．∴EG 为CF 的垂直平分线．∴EF =EC ．∴∠CEF =2∠FEG=90︒．∴△CEF 是等腰直角三角形．………………………………………… 8分25．解：（1）依题意，得)0,5b c ++=⎪⎪= 解得 6,5.b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为265)5y x x =-+．即255y x x =- ………………………………………… 2分（2）抛物线的对称轴为3x =．∴C （3，0）．……………………………………………………………… 3分∵B ，∴3OC =，OB =∴tan OB OCB OC ∠==． ∴∠OCB =30︒．∴∠PCD =60︒．∵∠CPD =60︒，∴∠CDP =60︒．∴△PCD 是等边三角形．………………………………………………… 4分过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，PG ∥x 轴，交CD 于点G ，∵点P 的横坐标为m ，∴OQ=m ，CQ=3-m ．∴CP CD ==，PG=CQ=3-m ．∴211)(3)(3)2233PCDm S CD PGm m -==⨯⨯-=-．即2S =-+m <3）． ……………………………… 5分（3）连结PF 、CF ．∵PE ⊥DP ，F 为DE 的中点，∴PF=12DE =DF ． ∵CP=CD ，CF=CF ，∴ △CPF ≌△CDF ．∴∠PCF=∠DCF ．∴点F 在∠PCD 的平分线所在的直线上．…………………………… 6分∴BF 的最小值为点B 到直线CF 的距离．∵∠OCB =∠BCF =30︒．∴点B 到直线CF 的距离等于OB ．∴BF 7分各题如有其他解法，请老师们参考本细则酌情给分.。

2014北京市海淀区高三二模试卷数学理试题及答

数学（理科）参考答案2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1)}12.213.14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a ===---------------------------5分在锐角ABC ∆中，60B = ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c =-------------------------------11分解得c =-------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-==<可得90A >，不符合题意，所以c =.--------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，1所以1//C F AG . ---------------------------------3分因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=.--------------------------------8分所以1EG CA ⊥，所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分（Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩--------------------------10分令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n .--------------------------11分由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角，所以二面角1A AG E --的余弦值为.--------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ，-------------------------------1分因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯--------------------------4分0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=----------------------------10分--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解：（Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x = --------------------------------------2分(),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分（Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππ2a <<时，(),'()f x f x 的情况如下-------------------------------------------------9分所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2. 19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分所以90MAN ∠≠,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A .------------------------------14分法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分所以//BC AN , -------------------------------------------7分所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++.----------------------------8分所以直线BD 的方程为22211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点.--------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅的取值} 20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d =---------------------------3分（Ⅱ）法一：①当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2.---------------------8分法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+，当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变.所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分（Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数.------------------------------------------------9分法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =，x ∈N ）中，总满足i c 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c b x -<. 所以，当2,3,,13c b i -=-时，111(2)(1)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c b f a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c b i y ---=++，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc b y y +-++<-，解得3b a y -<. 所以，当,1,,1333c b c b c a i ---=+-时，111(1)(2)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b c f a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c a n -=，满足(,,)n f a b c 的极差0nd =.--------------------------------13分法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥，所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则 1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b c a b c +++++=== 所以存在3d n =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。

2014年高三二模数学(理)北京市西城区试卷Word版带解析

北京市西城区2014年高三二模试卷数学（理科） 2014.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（）（A ）(,2]-∞-（B ）[2,)-+∞（C ）(,2]-∞（D ）[2,)+∞解析：{|20}{|2}A x x x x =-<=<，,A B A A B =⊆,所以满足2a ≥，所以答案选择D.知识点;集合与常用逻辑用语--------集合的运算难度系数：22．在复平面内，复数2=(12i)z +对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限解析：22=(12i)14434z i i i +=++=-+，所以复数对应的点（-3,4）点在第二象限。

知识点; 推理与证明、数系的扩充与复数--------复数---复数乘除和乘方难度系数：23．直线2y x =为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的一条渐近线，则双曲线C 的离心率是（）（A （B （C（D解析：双曲线的渐近线方程为b y x a =±，2222222,,5,5,bc a b c a e e a∴==+===，所以答案为C知识点：解析几何---------圆锥曲线--------双曲线难度系数：34．某四棱锥的三视图如图所示，记A 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）（A ） 2A ∈，且4A ∈ （BA ，且4A ∈（C ） 2A ∈，且A （DAA解析：的正方形，高为4的正四棱锥，所以每个D 。

知识点：立体几何-------空间几何体----------空间几何体的三视图和直观图难度系数：25．设平面向量a ，b ，c 均为非零向量，则“()0⋅-=a b c ”是“=b c ”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件解析：平面向量a ，b ，c 均为非零向量，()0⋅-=a b c ，可以得出=b c 或者()⊥-a b c ；所以为必要不充分条件。

2014年北京市高三二模分类汇编03立体几何(理科)

2014年北京市各区高三二模试题分类汇编立体几何1.（2014东城二模）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），1PA PC m +=，①若2m =，则满足条件的点P 的个数为________；6②若满足1PA PC m +=的点P 的个数为6，则m 的取值范围是________． 2.（2014海淀二模）已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则满足与平面ABCD 平行的直线MN 有A.0条B.1条C.2条D.无数条3.（2014东城二模）（本小题共14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,DC // AB ,BC CD ⊥,EA ED ⊥,且4AB =，2BC CD EA ED ====.（I ）求证：BD ⊥平面ADE ；（II ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值；（III ）在线段CE 上是否存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.4.（2014西城二模）（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，H 为PC 的中点， M 为AH 的中点，2PA AC ==，1BC =. （Ⅰ）求证：⊥AH 平面PBC ；（Ⅱ）求PM 与平面AHB 成角的正弦值；（Ⅲ）设点N 在线段PB 上，且PNPBλ=，//MN 平面ABC ，求实数λ的值.ACPHM5.（2014朝阳二模）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为PA ，BD 中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：EF ∥平面PBC ；（Ⅱ）求二面角E DF A --的余弦值；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在一点G ，使GF ⊥平面EDF ？若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由．6.（2014海淀二模）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AC AB AA ==，,E F 分别是棱BC ，1A A 的中点，G 为棱1CC 上的一点，且1C F //平面AEG . （Ⅰ）求1CG CC 的值；（Ⅱ）求证：1EG A C ⊥；（Ⅲ）求二面角1A AG E --的余弦值. 7.（2014丰台二模）（本小题满分14分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB=，∠BAD =90o，∠BCD =45o ，E 为对角线BD 的中点.现将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置，使平面PBD ⊥平面BCD ,如图2. （Ⅰ）求证直线PE ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线BD 和PC 所成角的余弦值；(Ⅲ) 已知空间存在一点Q 到点P ,B ,C ,D 的距离相等，写出这个距离的值（不用说明理由）.8.（2014昌平二模）(本小题满分14分)已知正四棱柱1111-ABCD A BC D 中，12,4==AB AA .FABCDP E 图2图1（Ⅰ）求证：1BD AC ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A AC D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11ACD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.9.（2014顺义二模）（本小题共14分）如图：在四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是正方形，2PA AB ==，PB PD ==E 在PD 上，且13PE PD =.（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC 上存在点F ，使PF ∥平面EAC ，并求BF 的长.答案：1.6， 2.D3. 解：（I ）由BC CD ⊥，2BC CD ==可得BD =由EA ED ⊥，且2EA ED ==可得AD = 又4AB =．所以BD AD ⊥．又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面ADE平面ABCD =BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADE ． ……………５分（II ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，B ，(C ，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =，(DC =．EPADBCx设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ，0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n ．设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，则||sin |cos ,|3||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n ．所以BE 和平面CDE ……………1０分（III ）设CF CE =λ，[0,1]λ∈．(DC =，CE =，DB =.则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ．设(,,)x'y'z'=m 是平面BEF 一个法向量，则0EB ⋅=n ，0EF ⋅=n ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ令1x'=，则21(1,0,)λλ-=-m ．若平面BEF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BEF ⊥平面CDE .……………14分4. （Ⅰ）证明：因为 PA ⊥底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以 PA BC ⊥， ……………… 1分又因为 AC BC ⊥， PAAC A =，所以 ⊥BC 平面PAC ， ……………… 2分又因为 ⊂AH 平面PAC ，所以 BC AH ⊥. ……………… 3分因为，AC PA =H 是PC 中点，所以 AH PC ⊥，又因为 PCBC C =，所以 ⊥AH 平面PBC . ……………… 5分（Ⅱ）解：在平面ABC 中，过点A 作，BC AD // 因为 ⊥BC 平面PAC ，所以 ⊥AD 平面PAC ，由 PA ⊥底面ABC ，得PA ，AC ，AD 两两垂直，所以以A 为原点，AD ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,2)P ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(0,1,1)H ，11(0,,)22M . ……………… 6分设平面AHB 的法向量为(,,)x y z =n ，因为 (0,1,1)AH =，(1,2,0)AB =，由 0,0,AH AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得 0,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩令1=z ，得(2,1,1)=-n . ……………… 8分设PM 与平面AHB 成角为θ，因为 )23,21,0(-=，所以sin cos ,PM PM PM θ⋅=<>==⋅n n n，即 sin 15θ=. ……………… 10分（Ⅲ）解：因为 (1,2,2)PB =-，PN PB λ=，所以 (,2,2)PN λλλ=-，又因为 13(0,,)22PM =-，所以 13(,2,2)22MN PN PM λλλ=-=--. ……………… 12分因为 //MN 平面ABC ，平面ABC 的法向量(0,0,2)AP =，所以 340MN AP λ⋅=-=，解得 43=λ. ……………… 14分5.证明：（Ⅰ）如图，连结AC ．因为底面ABCD 是正方形，所以AC 与BD 互相平分．又因为F 是BD 中点，所以F 是AC 中点．在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点，所以EF ∥PC ．又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ． ……………4分（Ⅱ）取AD 中点O ．在△PAD 中，因为PA PD =，所以PO AD ⊥．因为面PAD ⊥底面ABCD ，且面PAD面=ABCD AD ，所以PO ⊥面ABCD ．因为OF ⊂平面ABCD 所以PO OF ⊥．又因为F 是AC 中点，所以OF AD ⊥．如图，以O 为原点，,,OA OF OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．因为2PA PD AD ===，所以OP =，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(1,0,0)D -，P，1(2E ，(0,1,0)F ．于是(0,2,0)AB =，3(,0,22DE =，(1,1,0)DF =．因为OP ⊥面ABCD，所以OP =是平面FAD 的一个法向量．E P DCBAF设平面EFD 的一个法向量是000=(,,)x y z n ．因为0,0,DF DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以00000,30,2x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩即0000,.y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩ 令01x =则=(1,1,-n ．所以cos ,OP OP OP ⋅<>===⋅n n n由图可知，二面角E-DF-A 为锐角，所以二面角E-DF-A …10分（Ⅲ）假设在棱PC 上存在一点G ，使GF ⊥面EDF ．设111(,,)G x y z ，则111=(,1,)FG x y z -．由（Ⅱ）可知平面EDF 的一个法向量是=(1,1,-n ．因为GF ⊥面EDF ，所以=FG λn ．于是，111,1,xy z λλ=-=-=，即111,1,x y z λλ==-=．又因为点G 在棱PC 上，所以GC 与PC 共线．因为(1,2,PC =-，111(+1,2,)CG x y z =-，所以111212x y +--==．所以1112λλ+---==，无解．故在棱PC 上不存在一点G ，使GF ⊥面EDF 成立． ……………14分6答案：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面AEG AG =，所以1//C F AG . ---------------------------------3分因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形1所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， -----------------5分又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . ---------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥，所以1EG AC ⊥. ------------------------9分（Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角，所以二面角1A AG E --的余弦值为-----14分 7.答案：（Ⅰ）证明：∵ E 为BD 的中点，∴ PE ⊥BD ， ∵ 平面PBD ⊥平面BCD ，且平面PBD ⋂平面BCD =BD ，PE ⊂平面PBD,∵ 直线PE ⊥平面BCD . -----------5分（Ⅱ）解：如图所示，建立空间直角坐标系E-xyz,依题意得E(0,0,0),B(1,0,0),C(-1,2,0),D （-1，0，0），P(0,0,1). 所以(2,0,0)BD =-,(1,2,1)PC =--，设直线BD 和PC 所成角为θ，则||6cos |cos ,|||||BD PC BD PC BD PC =<>==θ. 所以直线BD 和PC ------------11分 (Ⅲ)答：这个距离为 -----------------14分8．答案：(本小题满分14分)证明：(Ⅰ)因为1111ABCD A BC D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形. ………1分因为BD ⊂平面ABCD ，所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. ………2分因为1AA AC A =,所以BD ⊥平面1A AC . ………3分因为1AC ⊂平面1A AC , 所以1BD AC ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B11(0,2,4),(0,0,4)C D ………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-uuuu r uuu r. 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu ruuu r n n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩……6分令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n .由（Ⅰ）可知平面1AAC 的法向量为 (2,2,0)DB =u u u r. ……7分所以cos ,DB <>==uu u rn ……8分因为二面角11--A AC D 为钝二面角，所以二面角11--A AC D的余弦值为. ………9分 (Ⅲ)设222(,,)P x y z 为线段1CC 上一点,且1(01)CP PC λλ=≤≤uu r uuu r. 因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z =-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y z λ-=---. ………10分即22240,2,1x y z λλ===+. 所以4(0,2,)1P λλ+. ………11分设平面PBD 的法向量333(,,)x y z =m .因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DB λλ==+uu u r uu ur ，所以 0,0DP DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r m m .即3333420,1220y z x y λλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分令31y =，则3311,2x z λλ+=-=-. 所以1(1,1,)2λλ+=--m . ………13分若平面11ACD ⊥平面PBD ，则0⋅=m n . 即1202λλ+-=，解得13λ=. 所以当113CP PC =时，平面11ACD ⊥平面PBD . ………14分 9.答案：17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）证明：2PA AB ==，PB =∴222PA AB PB += ∴PA AB ⊥，同理PA AD ⊥————2分又AB AD A =，∴PA ⊥平面ABCD .———4分（Ⅱ）以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则24(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,,)33A B C D P E ———6分平面ACD 的法向量为(0,0,2)AP =，设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z = ———7分24(2,2,0),(0,,)33AC AE ==，由00n A C n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴020x y y z +=⎧⎨+=⎩，取221x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴(2,2,1)n =-，———8分设二面角E AC D --的平面角为θ 1cos 3||||n AP n AP θ⋅==⋅，∴二面角E AC D --的余弦值为13.———10分（Ⅲ）假设存在点F BC ∈，使PF ∥平面EAC ，令(2,,0)F a ，(02)a ≤≤ ———12分 ∴(2,,2)PF a =- 由PF ∥平面EAC ，∴0PF n ⋅=，解得1a = ∴存在点(2,1,0)F 为BC 的中点，即1BF =. ———14分。

2014北京市顺义区高三(一模)数学(理)

2014北京市顺义区高三（一模）数学（理）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|﹣3≤x＜1}，B={x|x≤2}，则集合A∪B=（）A．{x|﹣3≤x＜1} B．{x|﹣3≤x≤2} C．{x|x＜1} D．{x|x≤2}2．（5分）在极坐标系中，过点（2，）且垂直于极轴的直线方程为（）A．ρsinθ=﹣1 B．ρsinθ=1 C．ρcosθ=﹣1 D．ρcosθ=13．（5分）执行下面的程序框图，若p=5，则输出的S等于（）A．B．C．D．4．（5分）已知向量=（2，1），+=（1，k2﹣1），则k=2是⊥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种6．（5分）已知函数f（x）=cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是x=③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）④函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．则正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．（5分）已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，] D．[，2）8．（5分）设非空集合M同时满足下列两个条件：①M⊆{1，2，3，…，n﹣1}；②若a∈M，则n﹣a∈M，（n≥2，n∈N+）．则下列结论正确的是（）A．若n为偶数，则集合M的个数为个B．若n为偶数，则集合M的个数为个C．若n为奇数，则集合M的个数为个D．若n为奇数，则集合M的个数为个二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．（5分）已知i为虚数单位，在复平面内复数对应点的坐标为．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．11．（5分）（）6的展开式中，常数项为．（用数字作答）12．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A．如果△APF 是边长为4的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为，点P的横坐标x P= ．13．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为．14．（5分）设等差数列{a n}满足：公差d∈N*，a n∈N*，且{a n}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a1=35，则d 的所有可能取值之和为．三．解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA（cosA+sinA）=．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a=2，S△ABC=2，求b，c的值．16．（13分）某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响．（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望．17．（14分）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，M是棱PC上一点，且PM=PC．（Ⅰ）求证：PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）证明：PA∥平面BMQ；（Ⅲ）求二面角M﹣BQ﹣C的度数．18．（13分）已知函数f（x）=ax2﹣x+lnx（a∈R，a≠0）（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[1，+∞）上函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆C的离心率e=，长轴的左右端点分别为A1（﹣，0），A2（，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y=kx+b与曲线C有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q．问在x轴上是否存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过定点N，若存在，求出N点坐标；若不存在，说明理由．20．（13分）对任意实数列A={a1，a2，a3…}，定义△A={a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…}，它的第n项为a n+1﹣a n（n∈N+），假设△A是首项是a公比为q的等比数列．（Ⅰ）求数列△（△A）的前n项和T n；（Ⅱ）若a1=1，a=2，q=2．①求实数列A={a1，a2，a3…}的通项a n；②证明：﹣＜+++…+＜．数学试题答案一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】∵A={x|﹣3≤x＜1}，B={x|x≤2}，∴A∪B={x|x≤2}，故选：D2．【解答】点（2，）的直角坐标为（1，），故过点（2，）且垂直于极轴的直线方程为x=1，化为极坐标方程为ρcosθ=1，故选：D．3．【解答】由程序框图可知S==．故选C．4．【解答】∵向量=（2，1），+=（1，k2﹣1），∴=（﹣1，k2﹣2），当k=2时，∴=（﹣1，2），∴=2×（﹣1）﹣1×2=0，∴⊥，若果⊥，∴∴k=0．∴当k=2是⊥的充分不必要条件．故选A．5．【解答】因为4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生，所以首先把4名学生分为3组，则有一个组有2人，共有C42种分法，再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有A33种分法，所以共有C42A33=36种分法．故选：C．6．【解答】∵f（x）=cos（2x+）﹣cos2x====﹣．∴，即函数f（x）的最小正周期为π，但，函数f（x）不是奇函数．命题①错误；∵，∴函数f（x）图象的一条对称轴是x=．命题②正确；∵，∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）．命题③正确；由，得：．∴函数f（x）的递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．命题④正确．∴正确结论的个数是3个．故选：B．7．【解答】∵对任意实数x1≠x2，都有＞0成立，∴对任意实数x，函数f（x）=是增函数，∵a＞0且a≠1，∴，∴1＜a．∴a的取值范围是（1，]．故选：C．8．【解答】若n为偶数，则集合{1，2，3，…，n﹣1}的元素个数为奇数个，因为a∈M，则n﹣a∈M，所以从集合{1，2，3，…，n﹣1}中取出两数，使得其和为n，这样的数共有对，所以此时集合M的个数为个，若n为奇数，则单独取出中间的那个数，所以此时集合M的个数为个，故选：B．二.填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．【解答】=，则对应的点的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）10．【解答】由三视图知：几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥，且圆锥与圆柱的底面半径为2，高都为3，∴几何体的体积V=π×22×3﹣π×22×3=12π﹣4π=8π．故答案为：8π．11．【解答】∵T r+1=（﹣1）r•，∴由6﹣3r=0得r=2，从而得常数项C6r=15，故答案为：15．12．【解答】∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，垂足为A．根据抛物线的定义P点到准线的距离=|PF|，又PF=PA，所以|PA|就是P点到准线的距离，即PA垂直于l，∵△APF是边长为4的正三角形，∴F到准线l的距离为2，即p=2，A到x轴的距离为2，∴抛物线的焦点坐标为（1，0），则P点的纵坐标y P=2，∴（2）2=2•2•x P，解得x P=3．故答案为：（1，0），3．13．【解答】由z=ax+by（a＞0，b＞0）得，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得，由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，4），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，即2a+4b=8，∴a+2b=4，则4=a+2b，∴ab≤2当且仅当a=2b=2，即a=2，b=1时取等号．故答案为：214．【解答】设等差数列的公差为d，若a1=35，=243，则a n=243+（n﹣1）d．所以数列{a n}中任意两项之和a m+a n=243+（m﹣1）d+243+（n﹣1）d=486+（m+n﹣2）d．设任意一项为a k=243+（k﹣1）d．则由a m+a n=a k可得 243+（m+n﹣k﹣1）d=0，化简可得 d=．再由k，m，n，d∈N*，可得 k+1﹣m﹣n=1，3，9，27，81，243，∴d=243，81，27，9，3，1，则d的所有可能取值之和为 364，故答案为 364．三．解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．【解答】（Ⅰ）由已知sinA（cosA+sinA）=．∴，∴，即，∴﹣﹣﹣﹣（5分）∵0＜A＜π，∴；∴由得，∴﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）由余弦定理以及a=2，，可得：8=b2+c2﹣bc，又，∴，∴bc=8﹣﹣﹣（10分）由解得﹣﹣﹣（13分）．16．【解答】（Ⅰ）设选手甲任答一题，正确的概率为P，则P=，记选手甲进入复赛为事件A，则甲选答3道题目后进入复赛的概率为=，或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，∴，﹣﹣﹣﹣（4分）或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛，∴﹣﹣﹣﹣（6分）∴选手甲进入复赛的概率﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）由题意知，X可取3，4，5，则P（X=3）==；P（X=4）=+=；P（X=5）=+=，X的分布列X 3 4 5P∴﹣﹣﹣﹣（13分）17．【解答】（I）由已知中PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD，∴PQ⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AC交BQ于N，连接MN，∵AQ∥BC，∴△ANQ∽△CNB∴==，∴=，∵PM=PC，∴PA∥MN∵PA⊄平面MQB，MN⊂平面MQB∴PA∥平面MQB（Ⅲ）连结BD，∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴△BAD是等边三角形，∴BQ⊥AD由（Ⅰ）PQ⊥平面ABCD．∴PQ⊥AD．以Q为坐标原点，QA，QB，QP分别为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系则．设平面BMQ的法向量为，∴，注意到MN∥PA∴，解得是平面BMQ的一个法向量又∵平面BCQ的法向量为==（0，0，）故二面角M﹣BQ﹣C的平面角θ满足：cosθ==，故θ=，即二面角M﹣BQ﹣C的平面角为．18．【解答】（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）．当a=2时，f（x）=x2﹣x+lnx，．∴f（1）=0，f′（1）=2．∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）令，定义域为（0，+∞），在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方，等价于g（0）＜0在[1，+∞）上恒成立．∴只要在[1，+∞）上g（x）max＜0恒成立．∵，由g′（x）=0，得．当0＜a≤1时，，g（x）在上单调递增，并且在该区间上g（x）∈（g（x2），+∞），不可能有g（x）max＜0，不合题意．当a＞1时，，g（x）在（1，+∞）上单调递增，并且在该区间上g（x）∈[g（1），+∞），不可能有g（x）max＜0，不合题意．当a＜0时，，g（x）在[1，+∞）上单调递减，，解得﹣2＜a＜0．综上，a∈（﹣2，0）时，函数f（x）的图象恒在直线y=ax下方．19．【解答】（Ⅰ）由已知，﹣﹣﹣﹣（2分）∴c=1，，∴椭圆C的方程为；﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）消去y得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣2=0，∵曲线C与直线l只有一个公共点，∴△=0，可得b2=2k2+1（*）﹣﹣﹣﹣（6分）设P（x P，y P），∴，，∴．﹣﹣﹣（8分）又由，∴Q（2，2k+b）﹣﹣﹣﹣（9分）设在x轴上存在定点N（x1，0），使得以PQ为直径的圆恒过定点N．∴NP⊥NQ，即﹣﹣﹣﹣（10分）∴，∴对满足b2=2k2+1恒成立，∴，∴x1=1故在x轴上存在定点N（1，0），使得以PQ为直径的圆恒过定点N．﹣﹣（14分）20．【解答】（Ⅰ）解：令△A={b1，b2，b3…}，这里，∵△A是公比为q的等比数列．∴，∴，当q=1时，△（△A）={0，0，0…}，∴T n=0．﹣﹣﹣（2分）当q≠1时，△（△A）是公比为q，首项为b1=（q﹣1）的等比数列.．﹣﹣﹣（4分）综上，n∈N+．﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）①解：由题设a=2，q=2，∴，∵，叠加，得（n∈N+）．﹣﹣﹣（8分）②证明：∵∴．﹣﹣﹣（10分）又∵k∈N+，2k≥2，2k﹣2≥0，3•2k+2k﹣2≥3•2k，即4•2k﹣2≥3•2k，∴2•（2K+1﹣1）≥3•2k，∴，∴．﹣﹣﹣（12分）∴即．﹣﹣﹣（13分）。

北京市昌平区2014届高三4月第二次统练(二模)数学理试题-含答案

昌平区2014年高三年级第二次统一练习（二模）数学试卷（理科） 2014.4考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

2221122(()(())(())(()))n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-L第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知集合{213}=+<A x x ,2{4}=≤B x x , 则A B =U(A) {21}-≤<x x (B) {2}≤x x (C) {21}-<<x x (D) {2}<x x (2) “1,1a b >>”是“1ab >”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 设0.10.134,log 0.1,0.5a b c ===，则（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）b c a >>(4) 62)的展开式中2x 的系数是（A ）120- （B ）120 （C ）60- （D ）60(5) 在ABC ∆中，2BC AC ==，ABC S ∆=C ∠等于（A ）4π （B ）3π （C ）4π或34π （D ）3π或23π(6) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）12 （B ）36 （C ）24 （D ）72(7) 如图，AB 是半圆O 的直径，,C D 是弧AB 的三等分点，,M N 是线段AB 的三等分点，若6OA =，则MD NC ⋅uuu r uuu r的值是（A ）2 （B ）10 （C ）26 （D ）28（8）已知11, 1,()ln , 01⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩x f x x x x ，若函数()()g x f x kx k =-+只有一个零点，则k 的取值范围是（A ）(,1)(1,)-∞-+∞U （B ）(1,1)- （C ）[0,1] （D ）(,1][0,1]-∞-U第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）(9) 若数列{}n a 满足：1111,()2n n a a a n +==∈N*，则4a =_______ .(10)圆C ：2sin ρθ=的圆心到直线:sin 2l ρθ=-的距离为_________ . (11)如图，已知e O中，弦=BC BD 为e O 直径.过点C 作则e O 的切线，交BD 的延长线于点A ，30∠=︒ABC .AD =____ .（12）已知抛物线22(0)=>y px p 的焦点为(2,0)F ，则=p ________，过点(3,2)A 向其准线作垂线，记与抛物线的交点为E ，则=EF _____.左视图俯视图左视图俯视图（13）选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种 . (14) 已知正方体1111-ABCD A B C D 的棱长为2，在四边形11ABC D 内随机取一点M ,则90AMB ︒∠≥的概率为_______ ，135AMB ︒∠≥的概率为_______.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)已知函数()f x 2cos sin 1,()x x x =+-∈R .（Ⅰ）求7()6f π的值；（Ⅱ）当2[,]63∈-x ππ时，求()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成.规定:至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成,2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是23,且每题正确完成与否互不影响. (Ⅰ) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列,并计算其数学期望； (Ⅱ)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？(17)(本小题满分14分)已知正四棱柱1111-ABCD A B C D 中，12,4==AB AA . （Ⅰ）求证：1BD A C ⊥；（Ⅱ）求二面角11--A A C D 的余弦值；（Ⅲ）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11A CD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由.(18)(本小题满分13分)已知函数()ln f x ax x =,(0)a ≠. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0<a 时，若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，求a 的取值范围.(19)(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(0)B 为短轴的一个端点，260OF B ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，过右焦点2F ，且斜率为(0)≠k k 的直线l 与椭圆C 相交于,E F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线,AE AF 分别交直线3=x 于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k .求证: '⋅k k 为定值.(20)(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项均为正数，记12()n A n a a a =+++L ,231()n B n a a a +=+++L ,342(),1,2,n C n a a a n +=+++=L L .（Ⅰ）若121,5a a ==，且对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成等差数列，求数列{}n a 的通项公式.（Ⅱ）证明：数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈*N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列.昌平区2014年高三年级第二次统一练习数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2014.4一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）（9）18（10）3 （11）2 （12）4；52（13）240 （14）16；16-（第一空2分，第二空3分）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）(15)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为2()cos sin 1f x x x =+-21sin sin 1x x =-+- ………1分 2sin sin x x =-+ 211(sin )24x =--+， ………3分所以2277111113()(sin )()66242244f ππ=--+=---+=- . ………6分（或2713()(16224f π=---=- ………3分）（Ⅱ）因为2[,]63x ππ∈-所以1sin [,1]2x ∈-. ………8分所以11sin [1,]22x -∈-.所以21(sin )[0,1]2x -∈. ………10分所以21(sin )[1,0]2x --∈-.所以21131(sin )[,]2444x --+∈-. ………12分所以()f x 的取值范围为31[,]44-. ………13分(16)(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设甲正确完成面试的题数为ξ, 则ξ的取值分别为1,2,3. ………1分1242361(1)5C C P C ξ===；2142363(2)5C C P C ξ===；3042361(3)5C C P C ξ===； ………3分考生甲正确完成题数ξ的分布列为1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. ………………4分设乙正确完成面试的题数为η，则η取值分别为0,1,2,3. ………………5分(0)P η==03311()327C =； 1123216(1)()()3327P C η===, 2232112(2)()()3327P C η===, 33328(3)()327P C η===. ………………7分考生乙正确完成题数η的分布列为:161280123227272727E η=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………8分 (Ⅱ)因为2221312(12)(22)(32)5555D ξ=-⨯+-⨯+-⨯=, ……………10分2222161282(02)(12)(22)(32)272727273D η=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=. ……12分（或23D npq η==）.所以D D ξη<. (或：因为31(2)0.855P ξ≥=+=,128(2)0.742727P η≥=+≈, 所以(2)(2)P P ξη≥>≥. )综上所述，从做对题数的数学期望考查,两人水平相当；从做对题数的方差考查,甲较稳定；从至少完成2道题的概率考查,甲获得面试通过的可能性大. ……………13分（说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.）(17)(本小题满分14分)证明：(Ⅰ)因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形. ………1分因为BD ⊂平面ABCD ，所以1,BD AA BD AC ⊥⊥. ………2分因为1AA AC A =,所以BD ⊥平面1A AC . ………3分因为1AC ⊂平面1A AC , 所以1BD A C ⊥. ………4分 (Ⅱ) 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系-D xyz .则11(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,4),(2,2,4),D A B C A B11(0,2,4),(0,0,4)C D ………5分所以111(2,0,0),(0,2,4)D A DC ==-u u u u r u u u r. 设平面11A D C 的法向量111(,,)x y z =n .所以 1110,D A D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuuu ruuu r n n .即1110,240x y z =⎧⎨-=⎩……6分令11z =，则12y =. 所以(0,2,1)=n .由（Ⅰ）可知平面1AA C 的法向量为(2,2,0)DB =uu u r. ……7分所以cos,5DB<>==uu u rn. ……8分因为二面角11--A A C D为钝二面角，所以二面角11--A A C D的余弦值为5-. ………9分(Ⅲ)设222(,,)P x y z为线段1CC上一点,且1(01)CP PCλλ=≤≤uu r uuu r.因为2221222(,2,),(,2,4)CP x y z PC x y z=-=---uu r uuu r.所以222222(,2,)(,2,4)x y z x y zλ-=---.………10分即22240,2,1x y zλλ===+.所以4(0,2,)1Pλλ+.………11分设平面PBD的法向量333(,,)x y z=m.因为4(0,2,),(2,2,0)1DP DBλλ==+uu u r uu u r，所以0,DPDB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u ruu u rmm.即3333420,1220y zx yλλ⎧+=⎪+⎨⎪+=⎩. ………12分令31y=，则3311,2x zλλ+=-=-.所以1(1,1,)2λλ+=--m. ………13分若平面11A CD⊥平面PBD，则0⋅=m n.即1202λλ+-=，解得13λ=.所以当113CPPC=时，平面11A CD⊥平面PBD.………14分(18)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）函数()f x的定义域为(0,)+∞. …………… 1分因为'()ln(ln1)f x a x a a x=+=+，…………… 2分令'()0f x =，解得1x e=. …………… 3分 ①当0a >时，随着x 变化时，()f x 和'()f x 的变化情况如下：即函数()f x 在(0,)e 上单调递减，在(,)e+∞上单调递增. …………… 5分 ②当0a <时，随着x 变化时，()f x 和'()f x 的变化情况如下：即函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e+∞上单调递减. …………… 7分（Ⅱ）当0<a 时，对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，即ln 31ax x ax <+.所以ln 310ax x ax --<.设()ln 31g x ax x ax =--.因为'()ln 3g x a x a a =+-(ln 2)a x =-, …………… 8分令'()0g x =，解得2x e =. …………… 9分因为0<a ，所以随着x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：即函数()g x 在2(0,)e 上单调递增，在2(,)e +∞上单调递减. …………… 10分所以22222max ()()ln 311g x g e ae e ae ae ==--=--. …………… 11分所以210ae --<.所以21a e >-. …………… 12分所以a 的取值范围为21(,0)e-. ………13分法二：当0<a 时，对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()31f x ax <+成立，即ln 31ax x ax <+. 所以(ln 3)1a x x x -<. 即1ln 3x x x a<-. …………… 8分设()ln 3g x x x x =-. 因为'()ln 2g x x =-,令'()0g x =，解得2x e =. …………… 9分所以随着x 变化时，()g x 和'()g x 的变化情况如下：即函数()g x 在2(0,)e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增. …………… 10分所以22222min ()()ln 3g x g e e e e e ==-=-. …………… 11分所以21e a<-. 所以21a e>-. …………… 12分所以a 的取值范围为21(,0)e-. ………13分(19)(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由条件可知2,a b ==， …………2分故所求椭圆方程为13422=+y x . …………4分（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的直线l 方程为：)1(-=x k y . …………5分由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：01248)34(2222=-+-+k x k x k …………6分因为点2(1,0)F 在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即0>∆恒成立.设点1122(,),(,)E x y F x y ，则34124,34822212221+-=+=+k k x x k k x x .…………8分因为直线AE 的方程为：)2(211--=x x y y ，直线AF 的方程为：)2(222--=x x y y ，………9分令3x =，可得)2,3(11-x y M ，)2,3(22-x y N ，所以点P 的坐标12121(3,())222y y x x +--.………10分直线2PF 的斜率为12121()0222'31y y x x k +---=-12121()422y y x x =+--122112121212()42()4x y x y y y x x x x +-+=⋅-++1212121223()4142()4kx x k x x kx x x x -++=⋅-++…………12分 2222222241282341434341284244343k k k k kk k k k k k -⋅-⋅+++=⋅--⋅+++34k =-所以k k '⋅为定值43-. …………13分(20)(本小题满分14分)解: (Ⅰ) 因为对任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 是等差数列，所以()()()()B n A n C n B n -=-. ………1分所以1122n n a a a a ++-=-, ………2分即21214n n a a a a ++-=-=. ………3分所以数列{}n a 是首项为１，公差为４的等差数列. ………4分所以1(1)443n a n n =+-⨯=-. ………5分（Ⅱ）（１）充分性：若对于任意n *∈N ，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列，则 ()(),()()B n qA n C n qB n ==. ………6分所以[]()()()(),C n B n q B n A n -=-得2211(),n n a a q a a ++-=-即2121n n a qa a qa ++-=-. ………7分因为当1n =时，由(1)(1),B qA =可得21a qa =， ………8分所以210n n a qa ++-=.因为0n a >，所以2211n n a a q a a ++==. 即数列{}n a 是首项为1a ，公比为q 的等比数列， ………9分（２）必要性：若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则对任意n *∈N ，有 1n n a a q +=. ………10分因为0n a >，所以(),(),()A n B n C n 均大于0.于是12)2311212(......(),()......n n n nq a a a a a a B n q A n a a a a a a +++++++===++++++ ………11分231)342231231(......(),()......n n n n q a a a a a a C n q B n a a a a a a ++++++++++===++++++ ………12分即()()B n A n ＝()()C n B n ＝q ，所以三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………13分综上所述，数列{}n a 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N ﹡，三个数(),(),()A n B n C n 组成公比为q 的等比数列. ………14分【各题若有其它解法，请酌情给分】。

北京市顺义区2014届高三4月第二次统练(二模)数学文试题

北京市顺义区2014届高三4月第二次统练（二模）数学文试题一、选择题（共8小题；共40分）1. 函数的定义域为A. B.C. 或D.2. 已知直线与直线平行，则实数的值为______A. B. C. D.3. 是的______A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为的正方形，俯视图是一个直径为的圆，那么这个几何体的体积为______A. B. C. D.5. 已知向量，，若与垂直，则实数 ______A. B. C. D.6. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值是______A. B. C. D.7. 已知函数若关于的方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是______A. B. C. D.8. 已知点在抛物线上，且点到直线的距离为，则点的个数为______A. B. C.D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 某学校有初中生人，高中生人，教师人，现采用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本进行调查．如果从高中生中抽取人，则样本容量 ______． 10.______．11. 双曲线的渐近线方程是______．12. 已知，满足约束条件则的最小值为______13. 在中，角，，所对的边分别为，，．若，，则______； ______14. 数列的前项和为．若数列的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，，，，，，，，则 ______；若存在正整数，使，则 ______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数的图象过点．（1）求实数的值；（2）求函数的最小正周期及最大值．16. 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人次测试的成绩（单位：分）记录如下：甲乙（1）用茎叶图表示这两组数据；（2）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好?说明理由（不用计算）；（3）若从甲、乙两人的次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率．17. 如图所示：已知长方体的底面是边长为的正方形，高，为的中点，与交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积．18. 已知数列是公差为的等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为．证明：．19. 已知椭圆的两个焦点分别为和，离心率．（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．20. 已知函数的图象在点处的切线方程为．（1）求实数，的值；（2）设．（i）若是上的增函数，求实数的最大值；（ii）是否存在点，使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．答案第一部分1. D2. A3. B4. B5. A6. D7. D8. C第二部分9.10.11.12.13. ；14. ；第三部分15. （1）由已知函数．的图像过点，，解得．（2）由（1）得函数，最小正周期，最大值为．甲乙16. （1）茎叶图如下：（2）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好．（3）记事件：甲的成绩比乙高．从甲、乙两人次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：共个；事件包含的基本事件有共个；即．17. （1）底面是边长为正方形，．，平面．（2）．为的中点，为的中点，．又平面，平面，平面．（3），，，同样可计算得，为等腰三角形．，，等腰三角形的高为，．18. （1）由已知是公差为的等差数列，，又，，．（2），即，随的增大而增大，．又，．19. （1）由已知椭圆的焦点在轴上，，，，，椭圆的方程为．（2），消去得，直线与椭圆有两个交点，，可得，设，，，中点的横坐标，中点的纵坐标，的中点．设中垂线的方程为：．在上，点坐标代入的方程可得，将代入解得，或，即．20. （1）时，．，，．在直线上，，即，，，，（2）（i）是上的增函数，，在上恒成立，令，则，设．在上恒成立，恒成立．，实数最大值为．（ii）由，，表明：若点图象上任意一点，则点也在图象上，而线段的中点恒为；由此可知图象关于点对称．这也表明存在点，使得过的直线若能与图象相交围成封闭图形，则这两个封闭图形面积相等．。