高数复习笔记

高数一（微积分）总复习笔录

可能考的知识点:

第一章：函数及其图形

(一)对于定义域的求法：

形如y=1/f(x)，要求f(x)不等于0

对于根号f(x)，要求f(x)大于等于0

对于Y=logf(x)，要求f(x)大于0

对于y=arccosf(x)或y=arcsinf(x)，要求f(x)大于等于负1,小于等于正1.

*值域：以定义域带进去求。

(二)判断函数的奇偶性：

奇函数：f(-x)=-f(x)，关于原点对称；

偶函数：f(-x)=f(x)，关于Y轴对称。

(1)两个偶函数之和或差是偶函数，两个奇函数之和或差是奇函数；

(2)两个偶函数或两个奇函数之积或商是偶函数；

(3)一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数。

(三)复合函数的分解：

(四)反函数的求法：把x 从y=f(x)中反解出来即可。

* (五)经济学中常用的函数：

(1)需求函数：D=(a-P)/b；D=(a-P^2)/b；

(2)供给函数：S=aP-b；S=(aP-b)/(cP+d)。

(3)总收益函数。

(4)总成本函数：总成本＝固定成本+可变成本。

(5)总利润函数：

第二章极限与连续

(一)收敛数项级数的极限计算：

1、当等比级数的公比的绝对值小于1时收敛，其和为a/(1-q)；当大于1时发散；

2、荚逼定理：；

3、单调上升有上界（或单调下降有下界）的数列必有极限。

(二)函数极限：

1、定理：当x->x`时函数f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在x`的左、右极限都存在并均为A。

2、极限的四则运算法则：

(三)利用无穷小量与无穷大量的运算法则求极限：

1、无穷小量：无穷小量的和、差、积也都是无穷小量。有界变量与无穷小量的积为无穷小量。

2、两个无穷小量相除：a/b趋于0，a是比b高阶的无穷小，a趋于0的速度比b 快；

(四)利用无穷小量与无穷大量的关系求极限：

(五)利用两个重要极限求极限：

(六)利用函数的连续性求极限：

函数在一点处连续,要求在这一点有定义,函数的极限存在,并且相等.

(七)利用等价无穷小的代换求极限：

(八)连续函数的运算和初等函数的连续性:

1、连续函数的和、差、积、商仍是连续函数；

2、设函数在区间上是单调的连续函数，则其值域是一个区间，且它的反函数是区间上的单调连续函数；

3、闭区间上的连续函数必有界；

4、最值定理：闭区间上的连续函数必有最大值和最小值；

5、零点定理：设f(x)是[a,b]上的连续函数，且f(a),f(b)异号，则函数f(x)在（a,b）中至少有一个零点；

6、介值定理：闭区间上的连续函数必能取得它在区间上的最大值和最小值之间的任何值。

7、闭区间上的连续函数不一定能取到最大值，最小值。

（九）函数的间断点：

1、函数的左、右极限都存在的间断点为第一类间断点；

2、函数的左、右极限至少有一个极限不存在的点为第二类间断点；

第三章一元函数的导数与微分

(一)基本求导公式：

导数的求法：

1、利用导数的定义求导：

2、导数的四则运算法则：

3、复合求导法则：

4、对数求导法则：

5、隐函数求导法则：

(二)反函数求导法则：

(三)高阶导数：

(四)基本微分公式与微分法则：

(五)切线方程：

(六)弹性函数:

第四章微分中值定理和导数的应用

（一）利用洛必达法则求未定式。

（二）用导数分析函数的单调性:

1、函数单调性判定法：导数>0时单调增加；导数<0时单调减少。

2、求出F（x）的驻点和不可导点，在若干小区间上判定单调性。

（三）曲线的凹凸性判别方法：

f(x)的二阶导数大于0,则曲线是凹的；

f(x)的二阶导数小于0,则曲线是凸。

（四）函数的极值

求函数极值的步骤：

1、求函数f(x)导数；

2、求f(x)的导数＝0的点（驻点）以及不存在的点；

3、考虑每一极值点两侧的符号。

4、极值的第二判别法：二阶导数小于零，是极大值，大于零是极小值。

（五）函数的最值

就是极值中最小的或最大的值。

（六）拐点

凹凸分界点。

（七）曲线的渐近线

y=b是水平渐近线；y=a竖直渐近线

第五章一元函数积分学

（一）基本积分公式：

（二）利用基本积分公式求不定积分：

1、凑微分法（第一积分法）；

2、第二换元法

3、分部积分法：

（三）一阶线性微分议程：

齐次线性方程dy/dx+P(x)y=0的通解为：

(C为任意常数);

非齐次线性方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解为：

(C为任意常数);

解题步骤:

(四)定积分的基本定理、性质及其计算：

A、函数f(x)在区间[a,b]上可积的必要条件是f(x)在[a,b]上有界；

B、如果f(x)是[a,b]上的连续函数，则它在[a,b]上可积；

C、如果f(x)在[a,b]上有界，且在[a,b]上除有限个间断点外连续，则f(x)在[a,b]上可积。

(五)定积分的性质：

(六)牛顿-莱布尼茨公式：

(七）利用定积分计算旋转体体积：

(八)利用定积分计算平面图形的面积：

1、着先把平面图形画出来；求出曲线的交点；

2、然后决定积分上限、下限，同时确定被积函数，列出定积分；

3、最后计算定积分。

4、由边际函数求总函数：

(九)无穷限反常积分：