3-1-1 随机事件的概率

降雨量 70 频率 1 20
110 140 160 200 220 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20
(2)P(“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时” )＝ P(Y＜490 或 Y＞ 530)＝P(X＜ 130 或 X＞ 210)＝P(X＝70)＋ 1 3 2 3 P(X＝110)＋P(X＝ 220)＝ ＋ ＋ ＝ . 20 20 20 10 故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或 3 超过 530(万千瓦时)的概率为 . 10
降雨量 频率 70 1 20 110 140 4 20 160 200 220 2 20
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分 布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发 电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的 概率． [思路探索] 第一问中的统计表是降雨量的统计表，只要根 据给出的数据进行统计计算即可；第二问中根据给出的X， Y的函数关系，求出Y＜490或者Y＞530对应的X的范围， 结合第一问的概率分布情况求解，或者求解其对立事件的 概率． 解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160 毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨 量频率分布表为
这事情的发生是必然的
同时也有许多问题是很难给予准确回答的. 例如: 你明天什么时间来到学校？ 明天中午 12 点有多少人在学校食堂用餐？ 你购买的本期福利彩票是否能中奖？
这些问题的结果都具有偶然性和不确定性.
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填一填·知识要点、记下疑难点
1．事件的概念及分类 事件
一定不会发生 不可能事件：在条件 S 下， _______________的事件，叫 做相对于条件S的不可能事件 确定事件 一定会发生的事件，叫做相 必然事件：在条件S下，____________ 对于条件 S 的必然事件 随机事件：在条件S下，可能发生也可能不发生 _______________________的事件， 叫做相对于条件S的随机事件
规律方法 (1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的 比值，利用此公式可求出它们的频率，频率本身是随机变 量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动， 这个稳定值就是概率． (2)解此类题目的步骤是：先利用频率的计算公式依次计 算出各个频率值，然后根据概率的定义确定频率的稳定值 即为概率．
题型一
事件的判断
【例1】在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪 些是随机事件？ ①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a； ②从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签； ③没有水分，种子发芽； ④某电话总机在60秒内接到至少15次传呼； ⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾； ⑥同性电荷，相互排斥． [思路探索] 根据事件的定义去判断．
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投掷一枚硬币出现正、反的概 率都为0.5，那么投掷两次硬币一 定会出现一次正面和一次反面向 上吗？ 提示 随机事件在一次试验中发 生与否是随机的，但随机性中含 有规律性．认识这种随机性的规 律性，就能使我们比较准确地预 测随机事件发生的可能性．
2． 频率与概率之间的区别与联系
(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加， 频率会越来越接近于概率，在实际问题中，通常 事件发生的概率未知，常用频率作为概率的估计 值．例如抛硬币问题。 (2)频率本身是随机的，是一个变量，在试验前 不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件发 生的频率会不同．比如，全班每个人都做了10次 掷硬币的试验，但得到正面朝上的频率可以是不 同的． (3)概率是一个确定的数，是客观存在的，与每 次的试验无关． (4)二者都介于0～1之间，若P(A)＝0，则A是不 可能事件，若P(A)＝1，则A是必然事件．
【变式1】指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件． (1)中国体操运动员将在下次奥运会上获得全能冠军． (2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯． (3)若x∈R，则x2＋1≥1. (4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和大于12. 解 由题意知：(1)(2)中事件可能发生， 也可能不发生，所以 是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子 朝上面的数字最大是6，两次朝上面的数字之和最大是12，不 可能大于12，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．
将“一正，一反”“一反，一正”两种情 形错认为是“一正，一反”一种情形．在题干中 若强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”，就必须 注意顺序问题．
[正解] (1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面， 一枚反面”“一枚反面，一枚正面”，4种不同的结果． (2)出现“一枚正面，另一枚反面”的情况有2种．
题型三
试验与重复试验的结果分析
【例3】指出下列试验的结果： (1)从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取 2个小球； (2)从1,3,6,10四个数中任取两个数(不重复)作差． 审题指导 本题考查试验结果的罗列方法．
[规范解答] (1)结果：红球，白球；红球，黑球；白球，黑 球． (4分) (2)结果： 1－3＝－2,3－1＝2， 1－6＝－5,3－6＝－3， 1－10＝－9,3－10＝－7， 6－1＝5,10－1＝9， 6－3＝3,10－3＝7， 6－10＝－4,10－6＝4. (12分) 即试验的结果为：－2,2，－5，－3，－9，－7,5,9,3,7， －4,4.
【题后反思】 在解答本题的过程中，易出现结果重复或 遗漏的错误，导致该种错误的原因是没有按一定的次序列 出结果．
【变式3】袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写 出以下随机试验的条件和结果． (1)从中任取1球； (2)从中任取2球． 解 (1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、 黑4种． (2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验 中，取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)， (红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．
3.1
随机事件的概率
【课标要求】 1．了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性． 2．正确理解概率的含义，理解频率与概率的区别与联 系． 3．会初步列举出重复试验的结果． 【核心扫描】 1．事件概率的含义．(重点) 2．频率与概率的区别与联系．(易混点)
3.1.1 随机事件的概率
1. 日常生活中，有些问题是能够准确回答 的.例如:明天太阳一定从东概率
【例2】(2011· 湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份 的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨 量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X 每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为： 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,14 0,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近20年六月份降雨量频率分布表
误区警示 忽略试验的顺序而致错
【示例】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，则 (1)一共可能出现多少种不同的结果？ (2)出现“一枚正面，另一枚反面”的情况分几种？ [错解] (1)一共可能出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面， 一枚反面”，3种不同情况． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果只有一种．
(1)含义：概率是度量随机事件发生的
可能性大小 的量． ____________ (2)与频率联系：对于给定的随机事件A，事 频率fn(A) 随着试验次数的增 件A发生 的_____________ 加稳定于 ____________ ，因此可以用 概率P(A) 频率fn(A) ____________ 估计 ___________. 概率P(A)
【变式2】某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10 环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶． (1)求此人中靶的概率； (2)若此人射击1次，则中靶的概率约为多大？击中10环的 概率约为多大？
解 (1)因为中靶的频数为 9，试验次数为 10，所以中靶的 9 频率为 ＝0.9.故此人中靶的概率约为 0.9. 10 (2)若此人射击 1 次，中靶的概率约为 0.9，击中 10 环的概 率约为 0.2.
欲不重不漏地写出试验的全部条件 和结果，需要按照一定的顺序，用有序数组 的形式表达出来．
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解 由实数运算性质知①恒成立是必然事件；⑥由物理知 识知同性电荷相斥是必然事件，①⑥是必然事件．没有水 分，种子不会发芽，标准大气压下，水的温度达到50 ℃ 时不沸腾，③⑤是不可能事件．从1～6中取一张可能取出 4也可能取不到4，电话总机在60秒可传呼15次也可不传呼 15次．②④是随机事件． 规律方法 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因 为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是 一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生 的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的 是不可能事件．
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事件及其表示方法：确定事件和随机事 件，就是事件。 一般用大写字母A、B、C…表示．
连续两周，每周的周五都下雨， 能够断定第三周的周五还要下雨吗？ 提示 不能断定，因为周五下雨是 一种随机事件，而不是必然事件．
1．
例如 (1)a.“导体通电时发热”，b.“抛一石 块下落”，c.“在一定条件下，发芽种 子一定会分糵” 是什么事件？ (2)a.“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”，b.“在常温常压下， 铁熔化”，c.“发芽的种子不分糵” 是 什么事件？ (3)a.“李强射击一次，不中靶”，b.“ 掷一枚硬币，出现反面”，c.“在一定 条件下，一粒发芽种子会分多少糵，1 支、2支，还是3支……” 是什么事件？ （1）必然事件（2）不可能事件 （3）随机事件
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2．频数与频率 在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出 事件A出现的次数nA 为 A 出现的频 现，称 n 次试验中 ______________________