溧阳市埭头中学2014年高考数学模拟试卷

溧阳市埭头中学2014年高考数学模拟试卷命题人：赵增辉 学校：溧阳市埭头中学一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接写在横线上） 1．设集合{A =，{}B a =，若B A ⊆，则实数a 的值为 ▲ ． 2． 已知复数1i z =-+（为虚数单位），计算：z zz z⋅-= ▲ ． 3． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．4． 根据右图所示的算法，可知输出的结果为 ▲ ．5． 已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是赝品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是赝品的事件的概率为▲ ．6． 函数(1)()cos cos 22x x f x -=p p 的最小正周期为 ▲ ．7． 函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ ．8． 已知点(1,1)A 和点(1,3)B --在曲线C ：32(,,y ax bx d a b d =++为常数上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则32a b d ++= ▲ ．9． 已知向量a ，b 满足()22,4a b +=-，()38,16a b -=-，则向量a ，b 的夹角的大小为 ▲ ． 10．给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； （3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m ，那么另一条直线也与直线m 垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知函数f (x )＝32,2,(1),02x x x x ⎧⎪⎨⎪-<<⎩≥，若关于x 的方程f (x )＝kx 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ▲ ．12．已知数列{}n a 满足143a =，()*11226n n a n N a +-=∈+，则11ni ia =∑= ▲ ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：224x y +=分别交x 轴正半轴及y 轴负半轴于M ，N 两点，点P为圆C 上任意一点，则PM PN ⋅的最大值为 ▲ ． 14．已知实数,x y 同时满足54276x y --+=，2741log log 6y x -≥，2741y x -≤，则x y +的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知,αβ均为锐角，且3sin 5α=，1tan()3αβ-=-． （1）求sin()αβ-的值； （2）求cos β的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，CD ∥AB ， 2AB ==，3CD =，直线P A 与底面ABCD 所成角为60°，点M 、N 分别是P A ，PB 的中点． （1）求证：MN ∥平面PCD ；（2）求证：四边形MNCD 是直角梯形； （3）求证：DN ⊥平面PCB ．102321Pr int n S n While S S S n n End Whilen ++ ≤ ←←0←←4(第题)17．（本小题满分14分）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ． （1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地 块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知12,F F 分别是椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，且2250AF BF +=. （1）求椭圆E 的离心率；（2）已知点()1,0D 为线段2OF 的中点，M 为椭圆E 上的动点（异于点A 、B ），连接1MF 并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ ，设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为1k 、2k ，试问是否存在常数λ，使得120k k λ+=恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，12327b b b =． （1）若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值．20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x x a x =--.（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围．溧阳市埭头中学高三数学第17周测试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系．22． (本小题满分10分)袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用X 表示取球终止时取球的总次数． （1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望()E X ．23．(本小题满分10分)空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分. （1）求1234,,,a a a a ；（2）写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.答案1．0 2．i -3.4. 11 5．8156．27．(,2]-∞ 8．7 9．p 10．()1、()3、()411．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12．2324n n ⋅-- 13．4+ 14．56⎧⎫⎨⎬⎩⎭15．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ22αβ-<-<．又∵1tan()03αβ-=-<，∴π02αβ-<-<． …………………………4分∴sin()αβ-= ………………………………6分（2）由（1）可得，cos()αβ-=∵α为锐角，3sin 5α=，∴4cos 5α=． ……………………………………10分∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分=43(55+⨯． …………………………14分 16．证明：（1）因为点M ，N 分别是P A ，PB 的中点，所以MN ∥AB ．…………………2分因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD ．又CD ⊂平面PCD ， MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD . ……4分 （2）因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD ，又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以CD ⊥PD ，又ADPD D =，所以CD ⊥平面P AD ．……………6分因为MD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥MD ，所以四边形MNCD 是直角梯形．……………………………………8分（3）因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠P AD 就是直线P A 与底面ABCD 所成的角，从而∠P AD =60． …………………………9分在Rt △PDA中，AD =，PD =PA =，MD = 在直角梯形MNCD 中，1MN =，ND =3CD =，CN ==，从而222DN CN CD +=，所以DN ⊥CN ． …………………………11分在Rt △PDB 中，PD = DB， N 是PB 的中点，则DN ⊥PB ．……13分 又因为PB CN N =，所以DN ⊥平面PCB ． …………………14分17．解：（1）设AF y =，则x y l ++=，整理，得222()l lxy l x -=-．………3分 2(2)4(12)l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分（2）()()]22'22242,(0,44l x lx l l S x x x b x l x l ⎛⎫⎛⎫-+=⋅=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∴当b ≤时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=-；当b >时，在x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'0S >，S递增，在,x b ⎫∈⎪⎪⎭上，'0S <，S递减，故当x =时，2max S . 18．解：（1）2250AF BF +=，225AF F B ∴=.()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为23. （2）存在满足条件的常数λ，47=-l .点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，b =，左焦点()12,0F -，椭圆E 的方程为22195x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线MD的方程为1111x x y y -=+，代入椭圆方程22195x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=-，13145y y x ∴=-.从而131595x x x -=-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.三点M 、1F 、N 共线，121222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()121221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x --+-----=====--------.故21407kk -=，从而存在满足条件的常数λ，47=-l .19．解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13b q=，35a d =+，33b q =.因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b ma b n+=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3553d mq d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =（舍去负根）.35a d =+，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈，64mn =，∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =所以，最大的3a =………16分 20．解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．当[1,]x e ∈时, 2()ln f x x x x =--,2'121()210x x f x x x x--=--=>，所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分 （2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．（ⅰ）当0a ≤时，则2()ln f x x ax x =--，2'121()2x ax f x x a x x--=--=，令'()0f x =，得00x =>（负根舍去），且当0(0,)x x ∈时，'()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x在上单调减，在)+∞上单调增.……4分 （ⅱ）当0a >时，①当x a ≥时， 2'121()2x ax f x x a x x--=--=,令'()0f x =，得1x =x a =<舍），a ≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；a >，即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时，'()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在)+∞上单调增. ………………………………………………………6分②当0x a <<时, 2'121()2x ax f x x a x x-+-=-+-=,令'()0f x =，得2210x ax -+-=，记28a ∆=-，若280a ∆=-≤，即0a <≤, 则'()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减； 若280a ∆=->，即a >则由'()0f x =得3x =4x =且340x x a <<<，当3(0,)x x ∈时，'()0f x <；当34(,)x x x ∈时，'()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，'()0f x >，所以()f x 在区间上是单调减，在上单调增；在)+∞上单调减. …………………………………………8分综上所述，当1a <时,()f x单调递减区间是 ，()f x 单调递增区间是)+∞；当1a ≤≤时, ()f x 单调递减区间是(0,)a ，()f x 单调的递增区间是(,)a +∞；当a >, ()f x 单调递减区间是(0, )和)a ， ()f x单调的递增区间是和(,)a +∞. ………………10分 （3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞． 由()0f x >，得ln xx a x->． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时，0x a -≥，ln 0xx<，不等式*恒成立，所以R a ∈； （ⅱ）当1x =时，10a -≥，ln 0xx=，所以1a ≠； ………………12分 （ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-恒成立或ln xa x x>+恒成立． 令ln ()xh x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=．因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >． 因为ln xa x x<-恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤． 令ln ()xg x x x=+，则221ln ()x x g x x +-'=．再令2()1ln e x x x =+-，则1()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()e x 在(1,)x ∈+∞上无最大值．综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分 21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． B ．选修4—2：矩阵与变换解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝6⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，即6=+d c ； 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 33⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23， 即223-=-d c ，解得⎩⎨⎧==,4,2d c 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4233，A 逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2131-21-32. C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x ++=，222:220C x y x y +--=即()()222:112C x y -+-=，圆心到直线的距离d >，∴曲线12C C 与相离．D ．选修4—5：不等式选讲证明：由22|()()||||()(1)|f x f a x a a x x a x a -=-+-=-+-=|||1||1||()21|x a x a x a x a a -+-<+-=-+-|||2|1x a a ≤-++|2|2a <+ =2(||1)a +．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）设袋中原有个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为229n C C ，由题意知229n C C =512，即(1)5298122n n -=⨯，化简得2300n n --=． 解得6n =或5n =-（舍去） 故袋中原有白球的个数为6. （2）由题意，X 的可能取值为1，2，3，4. 62(1)93P X ===； 361(2)984P X ⨯===⨯；3261(3)98714P X ⨯⨯===⨯⨯；32161(4)987684P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯.所以取球次数X 的概率分布列为：所求数学期望为E （X ）=123+214+3114+4184=10.723．解：（1）12342,4,8,15a a a a ====；（2）31(56)6n a n n =++.证明如下： 当1n =时显然成立，设(1,)n k k k N *=≥∈时结论成立，即31(56)6k a k k =++， 则当1n k =+时，再添上第1k +个平面，因为它和前k 个平面都相交，所以可得k 条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k 条交线可以把第1k +个平面划最多分成21[(1)(1)2)]2k k +-++个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.因此，空间区域的总数增加了21[(1)(1)2)]2k k +-++个，2321111[(1)(1)2)](56)[(1)(1)2)]262k k a a k k k k k k +∴=++-++=++++-++ 31[(1)5(1)6)]6k k =++++， 即当1n k =+时，结论也成立. 综上，对n N *∀∈，31(56)6n a n n =++.。