[精品]2019高考数学 优编增分练：10+7分项练4 三角函数与解三角形
2019高考数学优编增分练：解答题突破练一三角函数与解三角形
(一)三角函数与解三角形．(·浙江省教育绿色评价联盟月考)已知函数()＝·( ＋ )．()求()的最小正周期；()若关于的方程()＝在区间内有两个不相等的实数解，求实数的取值范围．解()()＝＋＝＋(－ )＝－＋＝＋.所以()的最小正周期＝＝π.()因为∈，所以－∈.令＝－，因为＝在上是增函数，在上是减函数，令＝－＝，则＝，所以()在上是增函数，在上是减函数．由题意知，关于的方程()＝在区间内有两个不相等的实数解，等价于＝()与＝的图象(图略)在区间内有两个不同的交点，又因为()＝，＝＋，＝，所以≤<＋，即的取值范围是.. (·湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数()＝－ .()求函数()的最小正周期；()当∈时，求函数()的最大值和最小值．解()()＝(π)＋ (π)))－＝＋＝，因此函数()的最小正周期＝π.()因为－≤≤，所以－≤＋≤，所以－≤≤，因此当＝时，()的最大值为，当＝－时，()的最小值为－.．(·浙江省台州中学模拟)在△中，＝－，＝.()求的值；()设△的面积△＝，求的长．解()由＝－，得＝，由＝，得＝，＝(＋)＝＋＝.()由△＝，得·· ＝，∴·＝.又＝)＝，∴＝，＝)＝.．在△中，角，，所对的边分别为，，，且满足＝＋－ . ()求角的大小；()若＝(π＋)(∈)且＝，求△的面积．解()由＝＋－及正弦定理得，＝＋－，∴＝，∴＝，∴ ＝，又<<π，∴＝.()由＝(π＋)(∈)，得＝ .由正弦定理得＝，又≠，∴ ＝，∴＝，根据正弦定理可得＝，解得＝，∴△＝＝××(π－－)＝＝.．在△中，角，，的对边分别为，，，已知＋＝ .()若＝＋＋，求＋的值；()若＝，求△面积的最大值．解()∵＝＋＋，∴－＝＋－＋，∴ ＋－＝－，∴由正弦定理，得＋－＝－，。
2019高考数学优编增分练5套
高考数学优编增分练目录(一)三角函数与解三角形 (2)(二)立体几何 (5)(三)数列 (10)(四)解析几何 (15)(五)函数与导数 (21)(一)三角函数与解三角形1．(2018·浙江省教育绿色评价联盟月考)已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3. 令u ＝2x －π3，因为y ＝sin u 在⎣⎡⎦⎤－π3，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，2π3上是减函数， 令u ＝2x －π3＝π2，则x ＝5π12，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π12上是增函数，在⎣⎡⎦⎤5π12，π2上是减函数． 由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象(图略)在区间⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的交点， 又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫5π12＝1＋32，f ⎝⎛⎭⎫π2＝3， 所以3≤t <1＋32，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫3，1＋32. 2. (2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝3⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－sin 2x ＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 因此函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， 因此当x ＝π12时，f (x )的最大值为1， 当x ＝－π4时，f (x )的最小值为－12. 3．(2018·浙江省台州中学模拟)在△ABC 中，cos B ＝－513，cos C ＝45. (1)求sin A 的值；(2)设△ABC 的面积S △ABC ＝332，求BC 的长． 解 (1)由cos B ＝－513，得sin B ＝1213， 由cos C ＝45，得sin C ＝35， sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝3365. (2)由S △ABC ＝332，得12AB ·AC ·sin A ＝332， ∴AB ·AC ＝65.又AC ＝AB ·sin B sin C ＝2013AB ， ∴AB ＝132，BC ＝AB ·sin A sin C ＝112. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C .(1)求角C 的大小；(2)若a cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C 及正弦定理得，23ab sin C ＝a 2＋b 2－c 2， ∴3sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴3sin C ＝cos C ， ∴tan C ＝33，又0<C <π，∴C ＝π6. (2)由a cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )，得a sin B ＝b cos A .由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos A ，又sin B ≠0，∴sin A ＝cos A ，∴A ＝π4， 根据正弦定理可得2sin π4＝c sin π6，解得c ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×2sin(π－A －C ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝3＋12.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又0<C <π，∴C ＝2π3， ∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin2π3＝32. (2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4ab －12 ＝－⎝⎛⎭⎫4ab 2＋8ab ，∴S ＝12ab sin C ＝12ab －⎝⎛⎭⎫4ab 2＋8ab ＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2， ∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积． 解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －1＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6－1. ∵相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6－1＝0， ∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6， ∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3， 由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ，在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334. (二)立体几何1．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)如图，四棱锥S －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面．(1)求证：平面SBD ⊥平面SAC ；(2)若SA 与平面SCD 所成的角为30°，求SB 的长．(1)证明 连接AC ，BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为SB ⊥底面ABCD ，所以AC ⊥SB ，因为BD ∩SB ＝B ，BD ，SB ⊂平面SBD ，所以AC ⊥平面SBD .又因为AC ⊂平面SAC ，所以平面SAC ⊥平面SBD .(2)解 将四棱锥补形成正四棱柱ABCD －A ′SC ′D ′，连接A ′D ，作AE ⊥A ′D ，垂足为点E ，连接SE .由SA ′∥CD 可知，平面SCD 即为平面SCDA ′.因为CD ⊥侧面ADD ′A ′，AE ⊂侧面ADD ′A ′，所以CD ⊥AE ，又因为AE ⊥A ′D ，A ′D ∩CD ＝D ，A ′D ，CD ⊂平面SCD ，所以AE ⊥平面SCD ，于是∠ASE 即为SA 与平面SCD 所成的角．设SB ＝x ，在Rt △ABS 中，SA ＝1＋x 2，在Rt △DAA ′中，AE ＝x 1＋x 2 . 因为∠ASE ＝30°，所以1＋x 2＝2x 1＋x 2， 解得x ＝1，即SB 的长为1.2．(2018·浙江省金华十校模拟)如图，在几何体ABCDE 中，CD ∥AE ，∠EAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，CD ＝2EA ＝2，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，F 为BD 的中点．(1)证明：EF ∥平面ABC ；(2)求直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值．(1)证明 取BC 的中点G ，连接FG ，AG ，∵F 为BD 的中点，CD ＝2EA ，CD ∥AE ，∴FG ＝12CD ＝EA ，且FG ∥AE ， ∴四边形AGFE 是平行四边形，∴EF ∥AG ，∵EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ，∴EF ∥平面ABC .(2)解 ∵∠EAC ＝90°，平面EACD ⊥平面ABC ，且平面EACD ∩平面ABC ＝AC ，EA ⊂平面EACD ， ∴EA ⊥平面ABC ，由(1)知FG ∥AE ，∴FG ⊥平面ABC ，又∵AB ＝AC ，G 为BC 的中点，∴AG ⊥BC ，如图，以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GF 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，D (0，－3，2)，E (1,0,1)， ∴AB →＝(－1，3，0)，BD →＝(0，－23，2)，BE →＝(1，－3，1)，设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧z －3y ＝0，x －3y ＋z ＝0， 令y ＝1，得n ＝(0,1，3)，∴直线AB 与平面BDE 所成角的正弦值为|AB →·n ||AB →||n |＝34. 3．在三棱锥D —ABC 中，DA ＝DB ＝DC ，D 在底面ABC 上的射影为E ，AB ⊥BC ，DF ⊥AB 于F .(1)求证：平面ABD ⊥平面DEF ；(2)若AD ⊥DC ，AC ＝4，∠BAC ＝60°，求直线BE 与平面DAB 所成角的正弦值．(1)证明 由题意知DE ⊥平面ABC ，所以AB ⊥DE ，又AB ⊥DF ，且DE ∩DF ＝D ，所以AB ⊥平面DEF ，又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面DEF .(2)解 方法一 由DA ＝DB ＝DC ，知EA ＝EB ＝EC ，所以E 是△ABC 的外心．又AB ⊥BC ，所以E 为AC 的中点，如图所示．过E 作EH ⊥DF 于H ，连接BH ，则由(1)知EH ⊥平面DAB ，所以∠EBH 即为BE 与平面DAB 所成的角．由AC ＝4，∠BAC ＝60°，得AB ＝AE ＝BE ＝2，所以EF ＝3，又DE ＝2，所以DF ＝DE 2＋EF 2＝7，EH ＝237，所以sin ∠EBH ＝EH BE ＝217.方法二 如图建系，则A (0，－2，0)，D (0,0,2)，B (3，－1,0)，所以DA →＝(0，－2，－2)，DB →＝(3，－1，－2)．设平面DAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA →＝0，n ·DB →＝0，得⎩⎨⎧ －2y －2z ＝0，3x －y －2z ＝0，取z ＝1，得n ＝⎝⎛⎭⎫33，－1，1.设EB →与n 的夹角为θ，则cos θ＝EB →·n |EB →|·|n |＝2273＝217，所以BE 与平面DAB 所成角的正弦值为217. 4．如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，AD ＝4，点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE ＝1，BF ＝3，将四边形AEFB 沿EF 折起，使点B 在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上．(1)求证：CD ⊥BE ；(2)求线段BH 的长度；(3)求直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值．(1)证明 ∵BH ⊥平面CDEF ，∴BH ⊥CD ，又CD ⊥DE ，BH ∩DE ＝H ，BH ，DE ⊂平面DBE ，∴CD ⊥平面DBE ，∴CD ⊥BE .(2)解 方法一 设BH ＝h ，EH ＝k ，过F 作FG 垂直ED 于点G ，∵线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧ BE 2＝BH 2＋EH 2，BF 2＝BH 2＋FH 2＝BH 2＋FG 2＋GH 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝h 2＋k 2，9＝22＋h 2＋(2－k )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧h ＝2，k ＝1， ∴线段BH 的长度为2.方法二 如图，过点E 作ER ∥DC ，过点E 作ES ⊥平面EFCD ，以点E 为坐标原点，分别以ER ，ED ，ES 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设点B (0，y ，z )(y >0，z >0)，由于F (2,2,0)，BE ＝5，BF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋z 2＝5，4＋(y －2)2＋z 2＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝2，于是B (0,1,2)， ∴线段BH 的长度为2.(3)解 方法一 延长BA 交EF 于点M ，∵AE ∶BF ＝MA ∶MB ＝1∶3，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的13， ∴点A 到平面EFCD 的距离为23，而AF ＝13， 故直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为21339. 方法二 由(2)方法二知FB →＝(－2，－1,2)， 故EA →＝13FB →＝⎝⎛⎭⎫－23，－13，23， F A →＝FE →＋EA →＝⎝⎛⎭⎫－83，－73，23，设平面EFCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则sin θ＝|F A →·n ||F A →||n |＝21339. 5.在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点．(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成的角．方法一 (1)证明 因为AC ＝BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB .又EA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以EA ⊥CM ，因为AB ∩EA ＝A ，AB ，EA ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥平面ABDE ，又因为EM ⊂平面ABDE ，所以CM ⊥EM .(2)解 过点M 作MH ⊥平面CDE ，垂足为H ，连接CH 并延长交ED 于点F ，连接MF ，MD ，∠FCM 是直线CM 和平面CDE 所成的角．因为MH ⊥平面CDE ，ED ⊂平面CDE ，所以MH ⊥ED ，又因为CM ⊥平面EDM ，ED ⊂平面EDM ，所以CM ⊥ED ，因为MH ∩CM ＝M ，MH ，CM ⊂平面CMF ，所以ED ⊥平面CMF ，因为MF ⊂平面CMF ，所以ED ⊥MF .设EA ＝a ，BD ＝BC ＝AC ＝2a ，在直角梯形ABDE 中，AB ＝22a ，M 是AB 的中点，所以DE ＝3a ，EM ＝3a ，MD ＝6a ，所以EM 2＋MD 2＝ED 2，所以△EMD 是直角三角形，其中∠EMD ＝90°，所以MF ＝EM ·MD DE＝2a . 在Rt △CMF 中，tan ∠FCM ＝MF MC＝1， 又因为∠FCM ∈(0°，90°)，所以∠FCM ＝45°，故CM 与平面CDE 所成的角是45°.方法二 如图，以点C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别作为x 轴和y 轴，过点C 作与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立直角坐标系，设EA ＝a ，则A (2a,0,0)，B (0,2a,0)，E (2a,0，a )，D (0,2a,2a )，M (a ，a,0)．(1)证明 因为EM →＝(－a ，a ，－a )，CM →＝(a ，a,0)，所以EM →·CM →＝0，故EM ⊥CM .(2)解 设向量n ＝(1，y 0，z 0)为平面CDE 的一个法向量，则n ⊥CE →，n ⊥CD →，即n ·CE →＝0，n ·CD →＝0.因为CE →＝(2a,0，a )，CD →＝(0,2a,2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋az 0＝0，2ay 0＋2az 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝2，z 0＝－2， 即n ＝(1,2，－2)，cos 〈n ，CM →〉＝CM →·n |CM →|·|n |＝22， 因为〈n ，CM →〉∈[0°，180°]，所以〈n ，CM →〉＝45°.直线CM 与平面CDE 所成的角θ是n 与CM →夹角的余角，所以θ＝45°，因此直线CM 与平面CDE 所成的角是45°.6.如图，在三棱台ABCDEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示，因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCK ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK .所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 因为BF ⊥平面ACK ，所以∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角．在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32， 得cos ∠BDF ＝217. 所以直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. (三)数 列1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n＋2，所以(t ＋1)S 1＝a 21＋3a 1＋2，所以t ＝5.所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.①当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，②①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0，因为a n >0，所以a n －a n －1＝3，又因为a 1＝1，所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，所以a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1，所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)，所以当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2－n 2. 又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n 2(n ∈N *)． 所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝16·⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝16·⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 12(n ＋1)(n ＋2).2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 52，S 4成等差数列，a 5＝3a 2＋2a 1－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3，S 52，S 4成等差数列， 可知S 3＋S 4＝S 5，得2a 1－d ＝0，①由a 5＝3a 2＋2a 1－2，②得4a 1－d －2＝0，由①②，解得a 1＝1，d ＝2，因此，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)令c n ＝a n b n＝(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n －1，则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，∴T n ＝1·1＋3·12＋5·⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，③ 12T n ＝1·12＋3·⎝⎛⎭⎫122＋5·⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ，④ ③－④，得12T n ＝1＋2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －1 －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝ 3－2n ＋32n ， ∴T n ＝6－2n ＋32n －1(n ∈N *)． 3．已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，k ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝4n 2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)方法一 由(n ＋1)a n ＝2n 2＋n ＋k ，令n ＝1,2,3，得到a 1＝3＋k 2，a 2＝10＋k 3，a 3＝21＋k 4， ∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3，即20＋2k 3＝3＋k 2＋21＋k 4， 解得k ＝－1.由于(n ＋1)a n ＝2n 2＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)，又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．方法二 ∵{a n }是等差数列，设公差为d ，则a n ＝a 1＋d (n －1)＝dn ＋(a 1－d )，∴(n ＋1)a n ＝(n ＋1)(dn ＋a 1－d )＝dn 2＋a 1n ＋a 1－d ，∴dn 2＋a 1n ＋a 1－d ＝2n 2＋n ＋k 对于任意n ∈N *均成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a 1＝1，a 1－d ＝k ，解得k ＝－1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝4n 2a n a n ＋1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 24n 2－1＝1＋14n 2－1＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋1， 得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋1＋12⎝⎛⎭⎫13－15＋1＋12⎝⎛⎭⎫15－17＋1＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＋n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＋n ＝n 2n ＋1＋n ＝2n 2＋2n 2n ＋1(n ∈N *)． 4．(2018·绍兴市柯桥区模拟)已知数列{a n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋1en x +－1，证明：当n ∈N *时， (1)0<x n ＋1<x n ；(2)x n x n ＋1>x n －2x n ＋1；(3)⎝⎛⎭⎫12n ≤x n ≤⎝⎛⎭⎫12n －1. 证明 (1)用数学归纳法证明x n >0，当n ＝1时，x 1＝1>0，假设x k >0，k ∈N *，k ≥1，成立，当n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则x k ＝x k ＋1＋1e k x +－1≤0，矛盾，故x k ＋1>0，因此x n >0(n ∈N *)，所以x n ＝x n ＋1＋1e n x +－1>x n ＋1＋e 0－1＝x n ＋1，综上，x n >x n ＋1>0.(2)x n ＋1x n ＋2x n ＋1－x n ＝x n ＋1(x n ＋1＋1en x +－1)＋2x n ＋1－x n ＋1－1e n x +＋1＝x 2n ＋1＋1e n x +(x n ＋1－1)＋1， 设f (x )＝x 2＋e x (x －1)＋1(x ≥0)，则f ′(x )＝2x ＋e x ·x ≥0，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，因此f (x )≥f (0)＝0，因此x 2n ＋1＋1e n x +(x n ＋1－1)＋1＝f (x n ＋1)>f (0)＝0，故x n x n ＋1>x n －2x n ＋1.(3)由(2)得1x n ＋1＋1<2⎝⎛⎭⎫1x n ＋1，所以当n >1时， 1x n ＋1<2⎝⎛⎭⎫1x n －1＋1<…<2n －1⎝⎛⎭⎫1x 1＋1＝2n ， 当n ＝1时，1x n ＋1＝2n ，所以1x n ≤2n ，即x n ≥12n ， 又由于x n ＝x n ＋1＋1e n x +－1≥x n ＋1＋(x n ＋1＋1)－1＝2x n ＋1，x n ＋1≤12x n ，所以易知x n ≤12n －1， 综上，⎝⎛⎭⎫12n ≤x n ≤⎝⎛⎭⎫12n －1.5．(2018·浙江省台州中学模拟)已知数列{a n }的首项a 1＝35，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ＝1,2，…. (1)求{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的x >0，a n ≥11＋x －1(1＋x )2·⎝⎛⎭⎫23n －x ，n ＝1,2，…； (3)证明：a 1＋a 2＋…＋a n >n 2n ＋1. (1)解 ∵a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1－1＝13⎝⎛⎭⎫1a n －1， ∴1a n －1＝23·13n 1＝23，∴a n ＝3n3n ＋2(n ∈N *)． (2)证明 由(1)知a n ＝3n3n ＋2>0， 11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23n －x ＝11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23n ＋1－1－x ＝11＋x －1(1＋x )2⎣⎡⎦⎤1a n －(1＋x ) ＝－1a n ·1(1＋x )2＋21＋x ＝－1a n ⎝⎛⎭⎫11＋x －a n 2＋a n ≤a n ， ∴原不等式成立．(3)证明 由(2)知，对任意的x >0，有a 1＋a 2＋…a n ≥11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＋11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＋…＋11＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23－x ＝n 1＋x －1(1＋x )2⎝⎛⎭⎫23＋232＋…＋23n －nx ， ∴取x ＝1n ⎝⎛⎭⎫23＋23＋…＋23＝1n ⎝⎛⎭⎫1－13， 则a 1＋a 2…＋a n ≥n1＋1n ⎝⎛⎭⎫1－13n ＝n 2n ＋1－13n >n 2n ＋1， ∴原不等式成立．6．已知在数列{a n }中，满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋12，记S n 为a n 的前n 项和． (1)证明：a n ＋1>a n ；(2)证明：a n ＝cos π3·2n －1； (3)证明：S n >n －27＋π254. 证明 (1)由题意知{a n }的各项均为正数，因为2a 2n ＋1－2a 2n ＝a n ＋1－2a 2n ＝(1－a n )(1＋2a n)． 所以，要证a n ＋1>a n ，只需要证明a n <1即可．下面用数学归纳法证明a n <1.①当n ＝1时，a 1＝12<1成立， ②假设当n ＝k 时，a k <1成立，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12<1＋12＝1. 综上所述，a n <1成立，所以a n ＋1>a n .(2)用数学归纳法证明a n ＝cos π3·2n －1. ①当n ＝1时，a 1＝12＝cos π3成立， ②假设当n ＝k 时，a k ＝cos π3·2k －1. 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋12＝cos π3·2k －1＋12＝cos π3·2k ， 综上所述，a n ＝cosπ3·2n －1. (3)由题意及(2)知， 1－a n －12＝1－a n －1＋12＝1－a 2n ＝1－cos 2π3·2n 1＝sin 2π3·2n －1<⎝⎛⎭⎫π3·2n －12(n ≥2)， 得a n －1>1－2π29·4n －1(n ≥2)， 故当n ＝1时，S 1＝12>1－27＋π254； 当n ≥2时，S n >∑n i ＝2 ⎝⎛⎭⎫1－2π29·4i ＋12 ＝n －12－2π29×43×116⎝⎛⎭⎫1－14n －1 >n －27＋π254. 综上所述，S n >n －27＋π254. (四)解析几何1．(2018·浙江省台州中学模拟)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程． (1)证明 由题意知，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， 直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pk 1x －p 2＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝2pk 21＋p ，∴点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM →＝(pk 1，pk 21)． 同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎫pk 2，pk 22＋p 2， FN →＝(pk 2，pk 22)，于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．∵k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，∴0<k 1k 2<1，故FM →·FN →<p 2(1＋1)＝2p 2.(2)解 由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p 2， ∴|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p .故圆M 的方程为x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0， 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0， ∴直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0， 即x ＋2y ＝0.∴点M 到直线l 的距离为d ＝p |2k 21＋k 1＋1|5. 故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 85. 由已知得7p 85＝755，解得p ＝8. 故所求抛物线E 的方程为x 2＝16y .2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别是F 1()－2，0，F 2()2，0，点E ⎝⎛⎭⎫2，322在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N ，使得MP →＝2PN →，求以F 1P 为直径的圆面积的取值范围．解 (1)由已知，得半焦距c ＝2，2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝8＋92＋322＝42， 所以a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝8－2＝6， 所以椭圆C 的方程是x 28＋y 26＝1. (2)设点P 的坐标为(0，t )，当直线MN 斜率不存在时，可得M ，N 分别是短轴的两端点，得到t ＝±63，t 2＝23. 当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由MP →＝2PN →得x 1＝－2x 2，①联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 28＋y 26＝1， 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－24＝0，由题意，得Δ＝64k 2t 2－4(3＋4k 2)(4t 2－24)>0，整理得t 2<8k 2＋6，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2， x 1·x 2＝4t 2－243＋4k 2，② 由①②，消去x 1，x 2得k 2＝－t 2＋612t 2－8， 由⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋612t 2－8≥0，t 2<8·－t 2＋612t 2－8＋6，解得23<t 2<6， 综上23≤t 2<6， 又因为以F 1P 为直径的圆面积S ＝π·2＋t 24，所以S 的取值范围是⎣⎡⎭⎫2π3，2π. 3．(2018·浙江“超级全能生”联考)如图，已知直线y ＝－2mx －2m 2＋m 与抛物线C ：x 2＝y 相交于A ，B 两点，定点M ⎝⎛⎭⎫－12，1. (1)证明：线段AB 被直线y ＝－x 平分；(2)求△MAB 面积取得最大值时m 的值．(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx －2m 2＋m ，y ＝x 2， 得x 2＋2mx ＋2m 2－m ＝0，∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－m ，则x 1＋x 22＝－m ， y 1＋y 22＝x 21＋x 222＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22＝m ， ∴线段AB 的中点坐标为(－m ，m )，∴线段AB 被直线y ＝－x 平分．(2)解 ∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝1＋4m 2－4m 2＋4m (0<m <1)，点M 到直线AB 的距离为d ＝|1＋2m 2－2m |1＋4m 2， ∴△MAB 的面积S ＝12|AB |d ＝－m 2＋m |1－2(－m 2＋m )|(0<m <1)，令－m 2＋m ＝t ，则S ＝t |1－2t 2|，又∵0<t ≤12，∴S ＝t －2t 3⎝⎛⎭⎫0<t ≤12， 令f (t )＝t －2t 3⎝⎛⎭⎫0<t ≤12，则f ′(t )＝1－6t 2， 则f (t )在⎝⎛⎭⎫0，66上单调递增，在⎝⎛⎦⎤66，12上单调递减，故当t ＝66时，f (t )取得最大值，即△MAB 面积取得最大值，此时有－m 2＋m ＝66，解得m ＝3±36. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A ，B 是椭圆与x 轴的两个交点，M 为椭圆C 的上顶点，设直线MA 的斜率为k 1，直线MB 的斜率为k 2，k 1k 2＝－23. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设直线l 与x 轴交于点D (－3，0)，交椭圆于P ，Q 两点，且满足DP →＝3QD →，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程．解 (1)M (0，b )，A (－a,0)，B (a,0)，k 1＝b a ，k 2＝－b a， k 1k 2＝－b a ·b a ＝－b 2a 2＝－23，e ＝c a ＝33. (2)由(1)知e ＝c a ＝33， 得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2，可设椭圆C 的方程为2x 2＋3y 2＝6c 2，设直线l 的方程为x ＝my －3，由⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝6c 2，x ＝my －3，得(2m 2＋3)y 2－43my ＋6－6c 2＝0，因为直线l 与椭圆C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，所以Δ＝48m 2－4(2m 2＋3)(6－6c 2)>0，由根与系数的关系得，y 1＋y 2＝43m 2m 2＋3，y 1y 2＝6－6c 22m 2＋3. 又DP →＝3QD →，所以y 1＝－3y 2，代入上述两式得6－6c 2＝－36m 22m 2＋3， 所以S △OPQ ＝12|OD ||y 1－y 2|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪83m 2m 2＋3 ＝12|m |2|m |2＋3＝122|m |＋3|m |≤6， 当且仅当m 2＝32时，等号成立，此时c 2＝52， 代入Δ，此时Δ>0成立，所以椭圆C 的方程为2x 215＋y 25＝1. 5．已知在平面直角坐标系中，动点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若过点M (2,0)的直线与轨迹C 相交于A ，B 两点，设点Q 在直线x ＋y －1＝0上，且满足OA →＋OB →＝tOQ→(O 为坐标原点)，求实数t 的最小值．解 (1)方法一 因为点P (x ，y )(x ≥0)到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以|PN |－1＝|x |，将点N 的坐标代入，并整理得y 2＝4x .故点P 的轨迹C 的方程是y 2＝4x .方法二 因为平面上动点P 到点N (1,0)的距离比到y 轴的距离大1，所以点P 到点N (1,0)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离相等，即点P 的轨迹是以原点为顶点，焦点到准线的距离为2，并且为开口向右的抛物线，所以点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)由题意知直线AB 的斜率存在且斜率不为0且与抛物线y 2＝4x 有两个交点，设直线AB ：y ＝k (x －2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y 2＝4x ，得k 2x 2－4(k 2＋1)x ＋4k 2＝0(k ≠0)． Δ＝16(2k 2＋1)>0恒成立，所以x 1＋x 2＝4(k 2＋1)k 2，x 1·x 2＝4， 因为OA →＋OB →＝tOQ →，所以(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝t (x ，y )，即x ＝x 1＋x 2t ＝4(k 2＋1)k 2t ，y ＝y 1＋y 2t ＝k (x 1－2)＋k (x 2－2)t ＝k (x 1＋x 2)－4k t ＝4tk， 又点Q 在x ＋y －1＝0上，所以4(k 2＋1)k 2t ＋4tk－1＝0. 所以t ＝4⎝⎛⎭⎫1k 2＋1k ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1k ＋122＋3≥3.故实数t 的最小值为3.6.如图，过椭圆M ：x 22＋y 2＝1的右焦点F 作直线交椭圆于A ，C 两点．(1)当A ，C 变化时，在x 轴上求定点Q ，使得∠AQF ＝∠CQF ；(2)设直线QA 交椭圆M 的另一个交点为B ，连接BF 并延长交椭圆于点D ，当四边形ABCD 的面积取得最大值时，求直线AC 的方程．解 (1)设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Q (q,0)，当A ，C 不在x 轴上时，设直线AC 的方程为x ＝ty ＋1，代入椭圆M 的方程，可得(2＋t 2)y 2＋2ty －1＝0.则y 1＋y 2＝－2t 2＋t 2，y 1y 2＝－12＋t 2， 由意题知k AQ ＋k CQ ＝y 1x 1－q ＋y 2x 2－q＝y 1(x 2－q )＋y 2(x 1－q )(x 1－q )(x 2－q ) ＝y 1(ty 2＋1－q )＋y 2(ty 1＋1－q )(x 1－q )(x 2－q ) ＝2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)(x 1－q )(x 2－q )＝0， 即2ty 1y 2＋(1－q )(y 1＋y 2)＝0，整理得－2t －2t (1－q )＝0，由题知无论t 取何值，上式恒成立，则q ＝2，当A ，C 在x 轴上时，定点Q (2,0)依然可使∠AQF ＝∠CQF 成立，所以点Q 的坐标是(2,0)．(2)由(1)知∠AQF ＝∠CQF ，∠BQF ＝∠DQF .所以B ，C 关于x 轴对称，A ，D 关于x 轴对称，所以四边形ABCD 是一个等腰梯形．则四边形ABCD 的面积S (t )＝|x 1－x 2|·|y 1－y 2|＝|t |·|y 1－y 2|2＝8·(t 2＋1)|t |(t 2＋2)2. 由对称性不妨设t >0，求导可得S ′(t )＝－8·t 4－3t 2－2(t 2＋2)3， 令S ′(t )＝0，可得t 2＝3＋172， 由于S (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3＋172上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋172，＋∞上单调递减，所以当t 2＝3＋172时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值． 此时，直线AC 的方程是x ＝±3＋172y ＋1. (五)函数与导数1．(2018·浙江省台州中学模拟)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，曲线y ＝f (x )过点(0,2a ＋3)，且在点(－1，f (－1))处的切线垂直于y 轴．(1)用a 分别表示b 和c ；(2)当bc 取得最小值时，求函数g (x )＝－f (x )e －x 的单调区间．解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3＝c ，2a ·(－1)＋b ＝0，则b ＝2a ，c ＝2a ＋3. (2)由(1)得bc ＝2a (2a ＋3)＝4⎝⎛⎭⎫a ＋342－94， 故当a ＝－34时，bc 取得最小值－94， 此时有b ＝－32，c ＝32， 从而f (x )＝－34x 2－32x ＋32，f ′(x )＝－32x －32， g (x )＝－f (x )e －x ＝⎝⎛⎭⎫34x 2＋32x －32e －x ，所以g ′(x )＝－34(x 2－4)e －x ， 令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)时，g ′(x )<0，故g (x )在(－∞，－2)上为减函数；当x ∈(－2,2)时，g ′(x )>0，故g (x )在(－2,2)上为增函数；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )<0，故g (x )在(2，＋∞)上为减函数．由此可见，函数g (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调递增区间为(－2,2)．2．(2018·浙江省温州六校协作体联考)已知函数f (x )＝e kx (k －x )(k ≠0)．(1)当k ＝2时，求y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)对任意x ∈R ，f (x )≤1k恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)当k ＝2时，f (x )＝e 2x (2－x )．∵f ′(x )＝2e 2x (2－x )－e 2x ＝e 2x (3－2x )，∴f ′(1)＝e 2，又∵f (1)＝e 2，∴所求的切线方程为y －e 2＝e 2(x －1)．即y ＝e 2x .(2)方法一 ∵e kx (k －x )≤1k， ∴当x ＝k 时，0≤1k，即k >0， ∴对任意x ∈R ，k (k －x )≤e－kx 恒成立， 设g (x )＝e －kx ＋kx －k 2，g ′(x )＝－k e －kx ＋k ＝k (1－e －kx )，当x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (0)＝1－k 2≥0，又k >0，∴0<k ≤1.方法二 对任意x ∈R ，f (x )≤1k 恒成立⇔f (x )max ≤1k，x ∈R . ∵f ′(x )＝k e kx (k －x )－e kx ＝e kx (k 2－kx －1)，当k <0，x ≥k －1k 时，f ′(x )≥0；x <k －1k时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，k －1k 上是减函数，在⎣⎡⎭⎫k －1k ，＋∞上是增函数． 又当x →－∞时，f (x )→＋∞，而1k<0， ∴与f (x )≤1k恒成立矛盾，∴k <0不满足条件； 当k >0，x ≤k －1k 时，f ′(x )≥0；x >k －1k时，f ′(x )<0， ∴f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，k －1k 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫k －1k ，＋∞上是减函数． ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫k －1k ＝21e k －·1k ≤1k，∴k 2－1≤0，即－1≤k ≤1，又k >0，∴0<k ≤1，综上所述，实数k 的取值范围是(0,1]．3．设函数f (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ，g (x )＝e x －e x .(1)当b ＝0时，函数f (x )有两个极值点，求实数a 的取值范围；(2)若y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，且函数h (x )＝f (x )＋g (x )在x ∈(1，＋∞)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求实数a 的取值范围．解 (1)当b ＝0时，f (x )＝x ln x －ax 2－x ，f ′(x )＝ln x －2ax ，∴f (x )＝x ln x －ax 2－x 有2个极值点就是方程ln x －2ax ＝0有2个不同的解，即y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有2个． ∵m ′(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(0，e)时，m ′(x )>0，m (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，m ′(x )<0，m (x )单调递减．∴m (x )有极大值1e， 又∵x ∈(0,1]时，m (x )≤0；当x ∈(1，＋∞)时，0<m (x )<1e. 当a ∈⎝⎛⎭⎫12e ，＋∞时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有0个； 当a ∈(－∞，0]或a ＝12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有1个； 当a ∈⎝⎛⎭⎫0，12e 时，y ＝2a 与m (x )＝ln x x的图象的交点有2个． 综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12e . (2)函数y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，∴f ′(1)＝0且f (1)≠0，∵f ′(x )＝ln x －2ax ＋b ，∴b ＝2a 且a ≠1.h (x )＝x ln x －ax 2＋(b －1)x ＋e x －e x 在x ∈(1，＋∞)时，其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，即当x >1时，h ′(x )＝f ′(x )＋g ′(x )>0恒成立，即ln x ＋e x －2ax ＋2a －e>0恒成立，令t (x )＝ln x ＋e x －2ax ＋2a －e ，∴t ′(x )＝1x＋e x －2a ，设φ(x )＝1x ＋e x －2a ，φ′(x )＝e x －1x 2， ∵x >1，∴e x >e ，1x 2<1， ∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，即t ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，∴t ′(x )>t ′(1)＝1＋e －2a ，当a ≤1＋e 2且a ≠1时，t ′(x )≥0， ∴t (x )＝ln x ＋e x －2ax ＋2a －e 在(1，＋∞)上单调递增，∴t (x )>t (1)＝0成立，当a >1＋e 2时， ∵t ′(1)＝1＋e －2a <0，t ′(ln 2a )＝1ln 2a＋2a －2a >0， ∴存在x 0∈(1，ln 2a )，满足t ′(x 0)＝0.∵t ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，∴当x ∈(1，x 0)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，∴t (x 0)<t (1)＝0，t (x )>0不恒成立．∴实数a 的取值范围为(－∞，1)∪⎝⎛⎦⎤1，1＋e 2. 4．已知函数f (x )＝x －1＋a e x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2>4.(1)解 f ′(x )＝1＋a e x ，当a ≥0时，f ′(x )>0，则f (x )在R 上单调递增．当a <0时，令f ′(x )>0，得x <ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 令f ′(x )<0，得x >ln ⎝⎛⎭⎫－1a ， 则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)证明 由f (x )＝0得a ＝1－x e x ， 设g (x )＝1－x e x ，则g ′(x )＝x －2e x . 由g ′(x )<0，得x <2；由g ′(x )>0，得x >2.故g (x )min ＝g (2)＝－1e 2<0. 当x >1时，g (x )<0，当x <1时，g (x )>0，不妨设x 1<x 2，则x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，x 1＋x 2>4等价于x 2>4－x 1，∵4－x 1>2且g (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴要证x 1＋x 2>4，只需证g (x 2)>g (4－x 1)，∵g (x 1)＝g (x 2)＝a ，∴只需证g (x 1)>g (4－x 1)，即1－x 11e x >x 1－314e x −， 即证124e x −(x 1－3)＋x 1－1<0；设h (x )＝e 2x －4(x －3)＋x －1，x ∈(1,2)，则h ′(x )＝e 2x －4(2x －5)＋1，令m (x )＝h ′(x )，则m ′(x )＝4e 2x －4(x －2)，∵x ∈(1,2)，∴m ′(x )<0，∴m (x )在(1,2)上单调递减，即h ′(x )在(1,2)上单调递减，∴h ′(x )>h ′(2)＝0，∴h (x )在(1,2)上单调递增，∴h (x )<h (2)＝0，∴124e x −()x 1－3＋x 1－1<0，从而x 1＋x 2>4得证．5．已知函数f (x )＝a ＋ln x x，g (x )＝mx . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝0时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当a ＝1时，求证：当x >1时，(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e . (1)解 f (x )＝a ＋ln x x的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝1－(a ＋ln x )x 2＝1－ln x －a x 2. 由f ′(x )>0得1－ln x －a >0，即ln x <1－a ，解得0<x <e 1－a ，∴f (x )在(0，e 1－a )上单调递增，在(e 1－a ，＋∞)上单调递减．(2)解 a ＝0，f (x )＝ln x x，∴f (x )≤g (x )⇔ln x x ≤mx ⇔m ≥ln x x 2， 令u (x )＝ln x x 2，∴u ′(x )＝1－2ln x x 3， 由u ′(x )>0得0<x <e ，∴u (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，∴u (x )max ＝u (e)＝ln e e ＝12e ，∴m ≥12e. (3)证明 (x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e ， 等价于1e ＋1·(x ＋1)(ln x ＋1)x >2e x －1x e x ＋1. 令p (x )＝(x ＋1)(ln x ＋1)x ，则p ′(x )＝x －ln x x 2， 令φ(x )＝x －ln x ，则φ′(x )＝1－1x ＝x －1x， ∵x >1，∴φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增，φ(x )>φ(1)＝1>0，p ′(x )>0，∴p (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴p (x )>p (1)＝2，∴p (x )e ＋1>2e ＋1， 令h (x )＝2e x －1x e x ＋1， 则h ′(x )＝2e x －1(1－e x )(x e x ＋1)2， ∵x >1，∴1－e x <0，∴h ′(x )<0，h (x )在(1，＋∞)上单调递减，∴当x >1时，h (x )<h (1)＝2e ＋1， ∴p (x )e ＋1>2e ＋1>h (x )， 即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋1e x f (x )>2⎝⎛⎭⎫1＋1e ，x >1. 6．已知函数f (x )＝x 3＋|ax －3|－2，a >0.(1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ∈(0,5)时，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，求实数a 的值． 解 (1)f (x )＝x 3＋|ax －3|－2(a >0)＝⎩⎨⎧ x 3＋ax －5，x ≥3a ，x 3－ax ＋1，x <3a .则f ′(x )＝⎩⎨⎧ 3x 2＋a ，x ≥3a ，3x 2－a ，x <3a . 当a 3≥3a，即a ≥3时， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 3，3a ，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎫3a ，＋∞； 当a 3<3a，即0<a <3时， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 3，a 3， 单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞. (2)由题意知，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，等价于当x ∈[0,1]时，f (x )min ＋f (x )max ＝0，由(1)得当3≤a <5时，y ＝f (x )在⎣⎡⎭⎫0，3a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎤3a ，1上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫3a ＝27a 3－2，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1，a －4}＝1，所以27a3－2＋1＝0，解得a ＝3； 当0<a <3时，y ＝f (x )在⎣⎡⎭⎫0，a 3上单调递减， 在⎝⎛⎦⎤a 3，1上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 3＝1－2a 3a 3， f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1,2－a }，当1<a <3时，f (x )max ＝1，则1－2a 3a 3＋1＝0，得a ＝3(舍去)； 当0<a ≤1时，f (x )max ＝2－a ，则1－2a 3a 3＋2－a ＝0， 即3－a ＝2a 3a 3，其中3－a ≥2，而2a 3a 3<2，所以无解，舍去． 综上所述，a ＝3.。
浙江省2019高考数学优编增分练：三角函数与解三角形
(一)三角函数与解三角形1．(2018·浙江省教育绿色评价联盟月考)已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 令u ＝2x －π3，因为y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上是减函数， 令u ＝2x －π3＝π2，则x ＝5π12，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2上是减函数． 由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象(图略)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的交点， 又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝1＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3， 所以3≤t <1＋32，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，1＋32. 2. (2018·湖州、衢州、丽水三地市模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2sin x cos x . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 因此函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， 因此当x ＝π12时，f (x )的最大值为1， 当x ＝－π4时，f (x )的最小值为－12. 3．(2018·浙江省台州中学模拟)在△ABC 中，cos B ＝－513，cos C ＝45. (1)求sin A 的值；(2)设△ABC 的面积S △ABC ＝332，求BC 的长． 解 (1)由cos B ＝－513，得sin B ＝1213， 由cos C ＝45，得sin C ＝35， sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝3365. (2)由S △ABC ＝332，得12AB ·AC ·sin A ＝332， ∴AB ·AC ＝65.又AC ＝AB ·sin B sin C ＝2013AB ， ∴AB ＝132，BC ＝AB ·sin A sin C ＝112. 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C .(1)求角C 的大小；(2)若a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由23a sin C sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C 及正弦定理得，23ab sin C ＝a 2＋b2－c 2， ∴3sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab，∴3sin C ＝cos C ，∴tan C ＝33，又0<C <π，∴C ＝π6. (2)由a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝b cos(2k π＋A )(k ∈Z )， 得a sin B ＝b cos A .由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos A ，又sin B ≠0，∴sin A ＝cos A ，∴A ＝π4， 根据正弦定理可得2sin π4＝c sin π6，解得c ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×2sin(π－A －C ) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝3＋12. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ， ∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 又0<C <π，∴C ＝2π3， ∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32. (2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1， ∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab －12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab －⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2， ∴△ABC 面积的最大值为 2.6．已知m ＝(3sin ωx ，cos ωx )，n ＝(cos ωx ，－cos ωx )(ω>0，x ∈R )，f (x )＝m·n －12且f (x )的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且b ＝7，f (B )＝0，sin A ＝3sin C ，求a ，c 的值及△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝m·n －12＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx －12＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －1 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1. ∵相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 则k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ， ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)由(1)知，f (B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6－1＝0， ∵0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6， ∴2B －π6＝π2，∴B ＝π3，由sin A ＝3sin C 及正弦定理，得a ＝3c ， 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝9c 2＋c 2－76c 2＝10c 2－76c 2＝12， ∴c ＝1，a ＝3，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×1×32＝334.。
2019年高考数学文真题分项解析：专题04 三角函数与解三角形
第四章 三角函数与三角形1.【2019高考新课标Ⅰ，文7】tan255°= A. －2－3 B. －2+3C. 2－3D. 2+3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=00031tan 45tan 3032 3.1tan 45tan 30313++==+--【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2.【2019高考新课标Ⅰ，文11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．3.【2019高考新课标Ⅱ，文8】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A. 2B.32C. 1D.12【答案】A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4.【2019高考新课标Ⅱ，文11】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A. 15B.55 C.33D.255【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．5.【2019高考新课标Ⅲ，文5】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈Q ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.【2019高考北京卷，文6】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【2019高考北京卷，文8】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.8.【2019高考天津卷，文7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-C.2 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
(京津专用)2019高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练(一)三角函数与解三角形文
(一)三角函数与解三角形1．(2018·天津河北区模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2sin x cos x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2sin x cos x＝sin 2x cos π3＋cos 2x sin π3＋cos 2x cos π6－sin 2x sin π6＋sin 2x＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，∵当π3≤2x ＋π3≤π2，即0≤x ≤π12时，函数f (x )单调递增，当π2≤2x ＋π3≤4π3，即π12≤x ≤π2时，函数f (x )单调递减， 且f (0)＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－3，∴f (x )max ＝2，f (x )min ＝－ 3.2．(2018·天津河北区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若B ＝2C,2b ＝3c .(1)求cos C 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π4的值． 解 (1)由2b ＝3c 及正弦定理可得2sin B ＝3sin C ， 又B ＝2C ，∴2sin 2C ＝3sin C ， ∴4sin C cos C ＝3sin C ， ∵0<C <π，∴sin C ≠0. ∴cos C ＝34.(2)由(1)得cos C ＝34，0<C <π，∴sin C ＝1－cos 2C ＝74， ∴sin 2C ＝2sin C cos C ＝378，cos 2C ＝2cos 2C －1＝18.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π4＝22(sin 2C ＋cos 2C ) ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫378＋18＝314＋216. 3．(2018·潍坊模拟)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23·sin x cos x (x ∈R )． (1)求f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝17，求△ABC中线AD 的长．解 (1)f (x )＝－cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴T ＝2π2＝π，∴函数f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵在△ABC 中，f (A )＝2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1，又A ∈(0，π)，∴2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，11π6，∴2A －π6＝π2，∴A ＝π3.又cos B ＝17，∴sin B ＝437，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314， 在△ABC 中，由正弦定理csin C ＝asin A，得55314＝a32，∴a ＝7，∴BD ＝72，在△ABD 中，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫722－2×5×72×17＝1294，∴AD ＝1292. 4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a ＝(2cos x,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，函数f (x )＝cos 〈a ，b 〉． (1)求函数f (x )的零点；(2)若锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (A )＝1，求b ＋ca的取值范围．解 (1)由条件可知，a ·b ＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (x )＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.由2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，即函数f (x )的零点为x ＝k π2＋π12，k ∈Z . (2)由正弦定理得b ＋c a ＝sin B ＋sin Csin A， 由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，又f (A )＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，又A ∈(0，π)，得A ＝π3，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝2π3－B ，代入上式化简得，b ＋c a ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B sin A＝sin A＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.又在锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， 则有32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，即3<b ＋ca≤2. 5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值； (2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ， ∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ， ∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ， ∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，∴C ＝2π3，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32.(2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab ＝4ab－1，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4ab －12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab ＝12－16＋8ab . ∵a ＋b ＝23≥2ab ，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.。
2019高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练三角函数与解三角形理
(一)三角函数与解三角形1．已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3. 令u ＝2x －π3， 因为y ＝sin u 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π2上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3上是减函数， 令u ＝2x －π3＝π2，则x ＝5π12， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12上是增函数， 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，π2上是减函数． 由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不同的交点， 又因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝1＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝3， 所以3≤t <1＋32，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3，1＋32. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝－1010，b ＝2，c ＝ 5. (1)求a ；(2)求cos(B －A )的值．解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝2＋5－2×2×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝9， ∴a ＝3(舍负)．(2)在△ABC 中，由cos A ＝－1010，得A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin A ＝1－cos2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－10102＝31010. 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ， 即331010＝2sin B，∴sin B ＝55， 又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴cos B ＝1－sin2B ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴cos(B －A )＝cos B cos A ＋sin B sin A＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＋55×31010＝210. 3．(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A－3sin A ·sin B .(1)求角C ；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为AB 的中点，求CM 的长． 解 (1)由cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A sinB ， 得sin 2C －sin 2B ＝sin 2A －3sin A sin B .由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2－3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝3ab .又由余弦定理，得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝3ab 2ab ＝32.因为0<C <π，所以C ＝π6. (2)因为A ＝C ＝π6， 所以△ABC 为等腰三角形，且顶角B ＝2π3. 故S △ABC ＝12a 2sin B ＝34a 2＝43，所以a ＝4(舍负)． 在△MBC 中，由余弦定理，得CM 2＝MB 2＋BC 2－2MB ·BC cos B＝4＋16＋2×2×4×12＝28， 解得CM ＝27.4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a ＝(2cos x,2sin x )，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，函数f (x )＝cos 〈a ，b 〉．(1)求函数f (x )的零点；(2)若锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (A )＝1，求b ＋c a的取值范围． 解 (1)由条件可知，a ·b ＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴f (x )＝cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 由2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， 即函数f (x )的零点为x ＝k π2＋π12，k ∈Z . (2)由正弦定理得b ＋c a ＝sin B ＋sin C sin A， 由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 又f (A )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1， ∴2A －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ， 又A ∈(0，π)，得A ＝π3，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝2π3－B ，代入上式化简得， b ＋c a ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B sin A＝32sin B ＋32cos B sin A ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6sin A＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 又在锐角△ABC 中，有0<B <π2， 0<C ＝2π3－B <π2， ∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3， 则有32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1， 即3<b ＋c a≤2. 5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a2＋b2－c22ab ＝－12， 又0<C <π，∴C ＝2π3， ∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32. (2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a2＋b2－c22ab＝错误!＝错误!－1， ∴sin C ＝1－cos2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab －12 ＝ －⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab， ∴S ＝12ab sin C ＝12ab －⎝ ⎛⎭⎪⎫4ab 2＋8ab＝12－16＋8ab. ∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2， ∴△ABC 面积的最大值为 2.。
2019年高考数学真题分类汇编：专题(04)三角函数与三角形(理科)及答案
专题四 三角函数与三角形1.【2018高考新课标1，理2】o o o o sin 20cos10cos160sin10- =( )（A ） （B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin 30=12，故选D. 【考点定位】三角函数求值.【名师点睛】本题解题的关键在于观察到20°与160°之间的联系，会用诱导公式将不同角化为同角，再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数，利用特殊角的三角函数值即可求出值，注意要准确记忆公式和灵活运用公式.2.【2018高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x = 的图象向右平移12π个单位.故选B.【考点定位】三角函数的图象变换.【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.3.【2018高考新课标1，理8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )(A)13(,),44k k k Z ππ-+∈ (B)13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ (C)13(,),44k k k Z -+∈ (D)13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【考点定位】三角函数图像与性质【名师点睛】本题考查函数cos()y A x ωϕ=+的图像与性质，先利用五点作图法列出关于ωϕ，方程，求出ωϕ，，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求ωϕ，使解题的关键.4.【2018高考四川，理4】下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）()cos(2)2A y x π=+ ()sin(2)2B y x π=+ ()sin 2cos 2C y x x =+ ()sin cos D y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，因为2sin 2,2y x T ππ=-==，且图象关于原点对称，故选A. 【考点定位】三角函数的性质.【名师点睛】本题不是直接据条件求结果，而是从4个选项中找出符合条件的一项，故一般是逐项检验，但这类题常常可采用排除法.很明显，C 、D 选项中的函数既不是奇函数也不是偶函数，而B 选项中的函数是偶函数，故均可排除，所以选A.5.【2018高考重庆，理9】若tan 2tan 5πα=，则3cos()10sin()5παπα-=-（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 【答案】C 【解析】由已知，3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos103cos 10ππ==，选C. 【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换.【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用．6.【2018高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ． 【考点定位】三角函数的图象与性质．【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知sin 16x πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，y 取得最小值，进而求出k 的值，当sin 16x πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，y 取得最大值． 7.【2018高考安徽，理10】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出ω，通过最值判断出ϕ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.【2018高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.【2018高考上海，理13】已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【解析】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=的m 最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x x πππππππ========即8.m = 【考点定位】三角函数性质【名师点睛】三角函数最值与绝对值的综合，可结合数形结合解决.极端位置的考虑方法是解决非常规题的一个行之有效的方法.8.【2018高考天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【解析】因为0A π<<，所以sin A ==又1sin 242ABC S bc A bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.【考点定位】同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.【名师点睛】本题主要考查同角三角函数关系、三角形面积公式、余弦定理.解三角形是实际应用问题之一，先根据同角三角关系求角A 的正弦值，再由三角形面积公式求出24bc =，解方程组求出,b c 的值，用余弦定理可求边a 有值.体现了综合运用三角知识、正余弦定理的能力与运算能力，是数学重要思想方法的体现. 【2018高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边C B 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E ⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形【名师点睛】向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos<a ，b>．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b＝x 1x 2＋y 1y 2.向量夹角与三角形内角的关系，可利用三角形解决；向量的模与三角形的边的关系，可利用面积解决.9.【2018高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b = . 【答案】1． 【解析】因为1sin 2B =且()0,B π∈，所以6B π=或56B π=，又6C π=，所以6B π=，23A B C ππ=--=，又a =sin sin a b A B =sin 36bπ=解得1b =，故应填入1． 【考点定位】三角形的内角和定理，正弦定理应用．【名师点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、运用正弦定理解三角形，属于容易题，解答此题要注意由1sin 2B =得出6B π=或56B π=时，结合三角形内角和定理舍去56B π=． 10.【2018高考北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【解析】222sin 22sin cos 2sin sin 2A A A a b c a C C c bc+-==⋅2425361616256⨯+-=⋅=⨯⨯ 考点定位：本题考点为正弦定理、余弦定理的应用及二倍角公式，灵活使用正弦定理、余弦定理进行边化角、角化边.【名师点睛】本题考查二倍角公式及正弦定理和余弦定理，本题属于基础题，题目所求分式的分子为二倍角正弦，应用二倍角的正弦公式进行恒等变形，变形后为角的正弦、余弦式，灵活运用正弦定理和余弦定理进行角化边，再把边长代入求值.11.【2018高考湖北，理12】函数2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+的零点个数为 ．【答案】2【解析】因为2π()4cos cos()2sin |ln(1)|22x f x x x x =---+ |)1ln(|sin 2sin )cos 1(2+--+=x x x x |)1ln(|2sin +-=x x所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象的交点的个数， 函数x y 2sin =与|)1ln(|+=x y 图象如图，由图知，两函数图象有2个交点， 所以函数)(x f 有2个零点.【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点.【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。
浙江省2019高考数学 优编增分练：10 7分项练10 函数的图象与性质
10＋7分项练10 函数的图象与性质1．已知实数x ，y 满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，则下列关系式中恒成立的是( )A ．tan x >tan yB ．ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1C.1x >1yD ．x 3>y 3答案 D解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y⇔x >y ，对于A ，当x ＝3π4，y ＝－3π4时，满足x >y ，但tan x >tan y 不成立．对于B ，若ln ()x 2＋2>ln ()y 2＋1，则等价于x 2＋1>y 2成立，当x ＝1，y ＝－2时，满足x >y ，但x 2＋1>y 2不成立．对于C ，当x ＝3，y ＝2时，满足x >y ，但1x >1y不成立．对于D ，当x >y 时，x 3>y 3恒成立．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，则g (f (－2))的值为( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－4 答案 C解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≥0，g (x )，x <0是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4－2)＝－2，g (f (－2))＝g (－2)＝f (－2)＝－2.3．函数f (x )＝e x＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )答案 A解析 f (－x )＝e －x＋1(－x )(e －x－1) ＝e x＋1(－x )(1－e x )＝e x ＋1x (e x－1)＝f (x )， 所以f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称， 又当x →0时，f (x )→＋∞，故选A.4．已知f (x )为定义在R 上周期为2的奇函数，当－1≤x <0时，f (x )＝x (ax ＋1)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－1，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．－1425 D ．－6答案 A解析 因为f (x )是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋1＝－1， 解得a ＝6.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x <1，x 2－4x ＋2，x ≥1与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，故选B.6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞) D.[)2，＋∞答案 A解析 ∵ f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2－1，x ≤1，ln x ，x >1，若f (x )≥f (1)恒成立， 则f (1)是f (x )的最小值， 由二次函数性质得对称轴a ≥1，由分段函数性质得()1－a 2－1≤ln 1，即得0≤a ≤2，综上，可得1≤a ≤2，故选A.7．已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[]－1，0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.(]－∞，－4∪[)2，＋∞ B.[]－4，2C.(]－∞，－3∪[1，＋∞)D.[]－3，1 答案 D解析 因为f (x ＋1)是偶函数， 所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 由f (m ＋2)≥f (x －1)对任意x ∈[－1,0]恒成立， 得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|对任意x ∈[－1,0]恒成立，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.故选D. 8．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[]0，1时，f (x )＝x ，若在区间(]－1，1上方程f (x )－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 答案 D解析 当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]， f (x )＝1f (x ＋1)－1 ＝1x ＋1－1 ＝－xx ＋1，在同一坐标系内画出y ＝f (x )，y ＝mx ＋m 的图象如图，动直线y ＝mx ＋m 过定点(－1,0)， 当过点(1,1)时，斜率m ＝12，由图象可知，当0<m ≤12时，两图象有两个不同的交点，从而g (x )＝f (x )－mx －m 有两个不同的零点．9．定义：如果函数f (x )的导函数为f ′(x )，在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a <x 1<x 2<b )，使得f ′(x 1)＝f (b )－f (a )b －a ，f ′(x 2)＝f (b )－f (a )b －a，则称f (x )为区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数g (x )＝13x 3－m 2x 2是[0,2]上的“双中值函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，83B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ D ．R答案 B解析 由题意可知，g (x )＝13x 3－m 2x 2，∵g ′(x )＝x 2－mx 在区间[0,2]上存在x 1，x 2(0<x 1<x 2<2)， 满足g ′(x 1)＝g ′(x 2)＝g (2)－g (0)2－0＝43－m ，∴方程x 2－mx ＋m －43＝0在区间(0,2)上有两个不相等的解，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝(－m )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －43>0，0<m 2<2，m －43>0，4－2m ＋m －43>0，解得43<m <83，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫43，83. 10．已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[)0，1时，f (x )＝1－x 2.给出下列四个命题：p 1：f (1)＝0；p 2：2是函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的一个周期；p 3：函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递增；p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z .其中真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 1，p 4 D ．p 2，p 4答案 C解析 f (x ＋2)＝－f (x )中，令x ＝－1可得f (1)＝－f (－1)＝－f (1)，据此可得f (1)＝0，命题p 1正确； 由题意可知f ()x ＋4＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则函数f (x )的周期为T ＝4，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的一个周期为8，命题p 2错误；由f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数f (x )关于点(1,0)中心对称，绘制函数图象如图所示．将函数图象向右平移1个单位长度可得函数y ＝f (x －1)的图象，则函数y ＝f (x －1)在(1,2)上单调递减，命题p 3错误；p 4：函数y ＝f (2x －1)的增区间满足：4k －2≤2x －1≤4k (k ∈Z )，求解不等式组可得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k －12，2k ＋12，k ∈Z ， 命题p 4正确．综上可得真命题为p 1，p 4.11．(2018·台州联考)设实数a 满足2a＝3，则a ＝________，log 312－log 36＝________.(用a 表示)答案 log 23 1a解析 由2a＝3得a ＝log 23，则log 312－log 36＝log 3(2×6)－log 36＝log 32＋log 36－log 36＝1log 23＝1a. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，x 2＋2x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝______，函数y ＝f (x )的零点是________． 答案 －1 －2,0,1解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由f (x )＝0，当x >0时，log 3x ＝0，x ＝1；当x ≤0时，x 2＋2x ＝0，x ＝0或－2，解得x ＝－2,0，1.13．(2018·浙江省金丽衢十二校联考)若f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1－x )，则当x <0时，f (x )＝______；方程(5f (x )－1)(f (x )＋5)＝0的实根个数为________．答案 －x (x ＋1) 6解析 当x <0时，－x >0，则由偶函数的性质得f (x )＝f (－x )＝－x [1－(－x )]＝－x (x ＋1)．由(5f (x )－1)(f (x )＋5)＝0得f (x )＝15或f (x )＝－5，则方程(5f (x )－1)(f (x )＋5)＝0的根为函数f (x )与直线y ＝15，y ＝－5的交点的横坐标，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的图象如图所示，则交点的个数为6，所以方程的实根个数为6.14．已知函数f (x )＝x |x －a |，若a ＝3，则f (x )在[1,2]上的最大值是________；若f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)，则a 的取值范围是________________． 答案 94 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，53∪[4，＋∞)解析 当a ＝3时，在[1,2]上，函数f (x )＝x |x －3|＝－x 2＋3x 的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94.因为x ∈[1,2]，则f (x )＝x |x －a |>0恒成立． 因为f (1)≤f (2)，即|1－a |≤2|2－a |， 则a ≥3或a ≤53，由f (x )＝0得x ＝0或x ＝a ，当3≤a <4时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，2上单调递减，不符合题意； 当a ≥4时，f (x )在(1,2)上单调递增，则f (x )max ＝f (2)； 当a ≤1时，f (x )在(1,2)上单调递增，则f (x )max ＝f (2)；当1<a ≤53时，f (x )在(1，a )上单调递减，在(a,2)上单调递增，且f (1)≤f (2)，则f (x )max ＝f (2)．综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，53∪[4，＋∞)． 15．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a >0)对任意实数t ，在[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________． 答案 8解析 f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10a 2＋14－100a(a >0)，由题设知原问题可以等价于对任意[x 1，x 2]，x 2－x 1＝2，函数f (x )在[x 1，x 2]上的最大值与最小值之差大于等于8，不妨设g (x )＝ax 2＋14－100a，则原问题可转化为对任意t ∈R ，g (x )在[t ，t ＋2]上最大值与最小值之差大于等于8， ①当t ≥0时，g (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，从而g (x )max －g (x )min ＝g (t ＋2)－g (t )＝a [(t ＋2)2－t 2]≥8，即a (4t ＋4)≥8对t ≥0恒成立，从而4a ≥8，a ≥2；②当t ＋2≤0时，g (x )在[t ，t ＋2]上单调递减，从而g (x )max －g (x )min ＝g (t )－g (t ＋2)≥8对任意t ≤－2恒成立，即a (－4t －4)≥8对任意t ≤－2恒成立，从而a (8－4)≥8，a ≥2； ③当0≤t ＋1<1时，g (x )在[t,0]上单调递减，在[0，t ＋2]上单调递增，且g (t ＋2)≥g (t )，从而g (x )max －g (x )min ＝g (t ＋2)－g (0)＝a (t ＋2)2≥8对于任意－1≤t <0恒成立，从而有a ≥8； ④同理当－1<t ＋1≤0时，也有a ≥8. 综上，知a ≥8，即实数a 的最小值为8.16．(2018·浙江省名校新高考研究联盟联考)已知函数f (x )＝|x －a |＋4x＋a ，若当x ∈[1,4]时，f (x )≤5恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1]解析 当a ≤1时，f (x )＝x －a ＋4x ＋a ＝x ＋4x，由x ∈[1,4]，易知4≤f (x )≤5，符合题意； 当1<a <4时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4x ＋a ＝2a －x ＋4x，1≤x <a ，x －a ＋4x ＋a ＝x ＋4x，a ≤x ≤4，则f (1)＝2a －1＋41＝3＋2a >5，此时不符合题意；当a ≥4时，f (x )＝a －x ＋4x ＋a ＝2a －x ＋4x，此时f (1)＝2a －1＋41＝3＋2a ≥11，此时不符合题意．综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，1]．17．(2018·浙江省衢州二中模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，g (x )＝f (x )＋|x ＋a |，若存在x 1≠x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12解析 由存在x 1≠x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)， 得函数g (x )在R 上不是单调函数．由题意得当a ≥0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x ≥0，－x 2＋x ＋a ，－a <x <0，－x 2－x －a ，x ≤－a ，此时易得函数g (x )在(－a ，＋∞)上单调递增，则要使函数g (x )在R 上不是单调函数， 则有－－12×(－1)<－a ，解得a <12，所以0≤a <12；当a <0时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，x ≥－a ，x 2－x －a ，0≤x <－a ，－x 2－x －a ，x <0，此时易得函数g (x )在(－∞，0)上不是单调函数， 所以a <0恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12.。
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10＋7分项练4 三角函数与解三角形1．(2017·山东)已知cos x ＝34，则cos 2x 等于( )A ．－14 B.14 C ．－18 D.18答案 D解析 cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.故选D.2．已知sin α＝1010，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6的值为( )A.43－310 B.43＋310 C.4－3310D.33－410答案 A 解析 ∵sin α＝1010，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝31010，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×1010×31010＝35， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎪⎫10102＝45. ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝32cos 2α－12sin 2α＝32×45－12×35＝43－310.故选A. 3．将最小正周期为π的函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的函数解析式为( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3B ．y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin 2xD ．y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3 答案 A 解析 由题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，因为函数的最小正周期是π，所以2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选A.4．已知sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 C解析 因为sin α＝255，sin(β－α)＝－1010，结合α，β均为锐角，可以求得cos α＝55，cos(β－α)＝31010， 所以sin β＝sin [α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos α·sin(β－α)＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝25250＝22， 所以β＝π4，故选C.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( ) A ．－34 B ．－43 C.34 D.43答案 B解析 ∵2S ＝(a ＋b )2－c 2，∴ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ， ∴sin C ＝2cos C ＋2，∴sin 2C ＝(2cos C ＋2)2＝1－cos 2C ， ∴cos C ＝－35(cos C ＝－1舍去)，∴sin C ＝45，tan C ＝sin C cos C ＝－43，故选B.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，满足 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝2－f (x )，且对任意x ∈R ，都有f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.当ω取最小值时，函数f (x )的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π3，π4＋k π3，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋2k π，π4＋2k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π3，π12＋k π3，k ∈ZD ．[－π12＋2k π，π12＋2k π]，k ∈Z答案 A解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝2－f (x )，化为f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＋f (x )＝2， 可得f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1对称，因为对任意x ∈R ，f (x )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以x ＝π4时，f (x )取得最小值，当ω取最小值时，即周期T 最大，可得14T ＝π3－π4，可得T ＝π3，那么ω＝2ππ3＝6，函数f (x )＝2sin(6x ＋φ)＋1， 当x ＝π4时，f (x )取得最小值，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＋1＝－1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋φ＝－1，3π2＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，φ＝2k π，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝0，即函数f (x )＝2sin 6x ＋1，令2k π＋π2≤6x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π3＋π12≤x ≤k π3＋π4，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π3，π4＋k π3，k ∈Z ，故选A.7．如图所示的是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象，将该函数图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于直线x ＝5π12对称，则m 的最小值为( )A.7π6 B.π6 C.π8 D.7π24答案 C解析 由函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2的图象可得T ＝2πω＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴ω＝2.再由五点法作图可得2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，∴φ＝π3. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.故把f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象各点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，再向右平移m (m >0)个单位长度后，得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －4m ＋π3的图象，∵所得图象关于直线x ＝5π12对称，∴4×5π12－4m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得m ＝3π8－14k π，k ∈Z ，由m >0，可得当k ＝1时，m 的最小值为π8.故选C.8．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝2AC ＝23，点D 在边BC 上，且sin∠BAD ＝277，则CD 等于( )A.433 B.34 C.33 D.233答案 D解析 ∵C ＝60°，BC ＝2AC ＝23，∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝3＋12－2×3×23×12＝3，可得B ＝30°，可得∠BAC ＝90°， ∵sin∠BAD ＝277，∴cos∠BAD ＝1－sin 2∠BAD ＝217， 可得sin∠DAC ＝cos∠BAD ＝217， △ABD 中，由正弦定理可得，AD ＝BD sin Bsin∠BAD ；△ADC 中，由正弦定理可得，AD ＝DC sin Csin∠DAC，∴()23－DC ×12277＝DC ×32217，解得DC ＝233，故选D.9．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f (π)＝0，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上具有单调性，那么ω的取值共有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 答案 D解析 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，f (π)＝0，所以π4ω＋φ＝π2＋2k π，πω＋φ＝m π(k ，m ∈Z )，所以ω＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤(m －2k )－12，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3上具有单调性，所以T 2≥π3－π4，所以T ≥π6，所以2πω≥π6，所以0<ω≤12，因此m －2k ＝1,2,3,4,5,6,7,8,9， 所以ω的取值共有9个，故选D.10．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256C.⎝⎛⎦⎥⎤256，112D.⎝ ⎛⎦⎥⎤112，376 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3，作出f (x )的函数图象如图所示：令2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1得，ωx －π3＝－π6＋2k π，k ∈Z 或ωx －π3＝7π6＋2k π，k ∈Z ，∴x ＝π6ω＋2k πω，k ∈Z 或x ＝3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A ＝3π2ω＋2πω，x B ＝π6ω＋4πω，∵方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根， ∴x A <π≤x B ，即3π2ω＋2πω<π≤π6ω＋4πω，解得72<ω≤256.11．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝1717，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案 －35解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝1717，所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫17172＝41717， 所以tan α＝sin αcos α＝14.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－35. 12．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin B ＝513，cos B ＝12ac，则a ＋c的值为________． 答案 37解析 ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . ∵sin B ＝513，cos B ＝12ac，∴ac ＝13，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴a 2＋c 2＝37，∴(a ＋c )2＝63，∴a ＋c ＝37.13．(2018·浙江省金华十校模拟)已知函数f (x )＝4sin x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期T ＝________，在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域为________．答案 π (0,3]解析 f (x )＝4sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2sin 2x ＋23sin x cos x ＝1－cos 2x ＋3sin 2x ＝1－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 则函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12， 所以f (x )＝1－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈(0,3]．14．(2018·浙江省名校协作体联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin C ＝34，则sin B ＝________，若2a 2＋b 2＋c 2＝4，则△ABC 面积的最大值是________． 答案 38 55解析 因为c ＝2b ，sin C ＝34，则在△ABC 中，由正弦定理得b sin B ＝csin C ，即sin B ＝b sin Cc ＝38. 由2a 2＋b 2＋c 2＝4，得b 2＋c 2＝4－2a 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12bc sin A 2＝b 2c 24(1－cos 2A )＝b 2c 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2－a 22bc 2＝b 2c 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3a 22bc 2＝b 2c 24－(4－3a 2)216≤(b 2＋c 2)216－(4－3a 2)216＝(4－2a 2)216－(4－3a 2)216＝－5a 416＋12a 2(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，则当a 2＝45时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12bc sin A 2取得最大值15，则 △ABC 面积的最大值为55. 15．(2018·浙江省稽阳联谊学校联考)锐角三角形ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，B ＝2A ，则bcos A＝________，b 的取值范围是________． 答案 2 (2，3)解析 在△ABC 中，由正弦定理得asin A ＝bsin B，则b ＝a sin B sin A ，b cos A ＝a sin B sin A cos A ＝a sin 2Asin A cos A＝2a sin A cos Asin A cos A＝2a ＝2，因为△ABC 为锐角三角形，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<A <π2，0<B <π2，0<C <π2，即⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π2，0<2A <π2，0<π－3A <π2，解得π6<A <π4，22<cos A <32，则b ＝2cos A ∈(2，3)．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc ＝1，b ＋2c cos A ＝0，则角B 的最大值为________，此时三角形的内切圆的半径r 为________． 答案π63－32解析 因为b ＋2c cos A ＝0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin B ＋2sin C cos A ＝0，即3sin C cos A ＋cos C sin A ＝0,3tan C ＋tan A ＝0.tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝2tan C 1＋3tan 2C ≤33， 当且仅当tan C ＝33，即C ＝π6时等号成立，故B max ＝π6， 所以此时B ＝C ，即b ＝c ＝1，a ＝3，此时12r ()2＋3＝12×1×1×32，解得r ＝3－32.17．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，以BC 为斜边构造等腰直角△BCD ，则得到的平面四边形ABDC 面积的最大值为________．答案 1＋62解析 设∠BAC ＝θ，在△ABC 中，因为AB ＝3，AC ＝1，其面积为S 1＝12×3×1×sin θ＝32sin θ，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝3＋1－2×3×1×cos θ＝4－23cos θ， 所以等腰直角△BCD 中，其面积为S 2＝12BD ·CD＝12×22BC ×22BC ＝14BC 2＝1－32cos θ， 所以四边形ABDC 的面积为S ＝S 1＋S 2＝32sin θ＋1－32cos θ＝1＋62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1时，S 取得最大值，最大值为S max ＝1＋62.。