Newmark

本文采用Newmark-β法求解车—桥动力耦合体系的振动微分方程。

Newmark-β法假定：
t u u u u
t t t t t t ∆ββ∆∆]}{}){1[(}{}{+++-+= (2-141)
2]}{}){2
1[(}{}{}{t u u t u u u t t t t t t ∆γγ∆∆∆+++-++= (2-142) 式中，β和γ是按积分的精度和稳定性要求进行调整的参数。

当β=0.5，γ=0.25时，为常平均加速度法，即假定从t 到t +∆t 时刻的速度不变，取为常数)}{}({2
1t t t u u ∆++ 。

研究表明，当β≥0.5， γ≥0.25(0.5+β)2时，Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

由式(2-141)和式(2-142)可得到用t t u ∆+}{及t u }{，t u
}{ ，t u }{ 表示的t t u ∆+}{ ，t t u ∆+}{ 表达式，即有
t t t t t t t u u t u u t u }){121(}{1)}{}({1}{2
----=++γ∆γ∆γ∆∆ (2-143) t t t t t t t u t u u u t u }{)21(}){1()}{}({}{ ∆γ
βγβ∆γβ∆∆-+-+-=++ (2-144) 考虑t +∆t 时刻的振动微分方程为：
t t t t t t t t R u K u C u
M ∆∆∆∆++++=++}{}]{[}]{[}]{[ (2-145) 将式(2-143)、式(2-144) 代入(2-145)，得到关于u t +∆t 的方程
t t t t R u K ∆∆++=}{}]{[ (2-146) 式中
][][1][][2C t M t
K K ∆γβ∆γ++= )}{)12(}){1(}{]([)}){121(}{1}{1](
[}{}{2t t t t t t t t u t u u t C u u t u t M R R ∆γβγβ∆γβγ∆γ∆γ∆-+-++-+++=+
求解式(2-146)可得t t u ∆+}{，然后由式(2-143)和式(2-144)可解出t t u
∆+}{ 和t t u ∆+}{ 。

由此，Newmark-β法的计算步骤如下：
1.初始计算：
（1）形成刚度矩阵[K ]、质量矩阵[M ]和阻尼矩阵[C ]；
（2）给定初始值0}{u ， 0}{u
和0}{u ； （3）选择积分步长∆t 、参数β、γ，并计算积分常数
201t
∆γα=，t ∆γβα=1，t ∆γα12=，1213-=γα， 14-=γβα，)2(25-=γ
β∆αt ，)1(6β∆α-=t ，t ∆βα=7； （4）形成有效刚度矩阵][][][][10C M K K αα++=；
2.对每个时间步的计算：
（1）计算t +∆t 时刻的有效荷载：
)
}{}{}{]([)}{}{}{]([}{}{541320t t t t t t t t t t u u u C u u u M F F αααααα∆∆++++++=++ （2）求解t +∆t 时刻的位移：
[]t t t t F u K ∆+∆+=}{}{
（3）计算t +∆t 时刻的速度和加速度：
t t t t t t t u u u u u
}{}{)}{}({}{320 ααα∆∆---=++ t t t t t t u u u u
∆∆αα++++=}{}{}{}{76 Newmark-β方法是一种无条件稳定的隐式积分格式，时间步长∆t 的大小不影响解的稳定性，∆t 的选择主要根据解的精度确定。