能量法求质量矩阵
有限元刚度矩阵和质量矩阵提取
有限元刚度矩阵和质量矩阵提取一、概述有限元方法是一种常用的数值计算方法，它将复杂的物理问题离散化为简单的几何体元素，并在每个元素内部进行近似计算。
在有限元分析中，刚度矩阵和质量矩阵是两个重要的矩阵，它们提供了系统的结构信息和物理特性。
本文将介绍有限元刚度矩阵和质量矩阵提取的方法。
二、有限元刚度矩阵提取1. 刚度矩阵定义刚度矩阵是描述结构物体在受到外力作用下所产生的应变能与外力之间关系的一个重要参数。
对于一个n自由度系统，其刚度矩阵K为n*n的实对称正定矩阵。
2. 刚度矩阵推导假设一个二维平面三角形单元，其节点数为3个，分别为1、2、3号节点，其自由度数为6个（每个节点有2个自由度）。
则该单元刚度矩阵K可以表示为：K = [k11 k12 k13 k14 k15 k16;k21 k22 k23 k24 k25 k26;k31 k32 k33 k34 k35 k36;k41 k42 k43 k44 k45 k46;k51 k52 k53 k54 k55 k56;k61 k62 k63 k64 k65 k66]其中，kij表示单元局部坐标系中第i个自由度受到第j个自由度作用时的刚度系数。
对于三角形单元，其刚度矩阵可以通过以下公式推导得到：kij = ∫∫B^TDBdΩ其中，B为单元形函数的梯度矩阵，D为材料弹性模量与泊松比的组合参数，Ω为单元面积。
3. 刚度矩阵组装在有限元分析中，通常需要将多个单元组装成一个整体系统。
这时需要将各个单元的局部刚度矩阵按照节点编号和自由度顺序组装成全局刚度矩阵。
三、有限元质量矩阵提取1. 质量矩阵定义质量矩阵是描述结构物体在振动或运动过程中所具有的惯性特性的一个重要参数。
对于一个n自由度系统，其质量矩阵M为n*n的实对称正定矩阵。
2. 质量矩阵推导假设一个二维平面三角形单元，其节点数为3个，分别为1、2、3号节点，其自由度数为6个（每个节点有2个自由度）。
则该单元质量矩阵M可以表示为：M = [m11 m12 m13 m14 m15 m16;m21 m22 m23 m24 m25 m26;m31 m32 m33 m34 m35 m36;m41 m42 m43 m44 m45 m46;m51 m52 m53 m54 m55 m56;62 63 64 65 66]其中，mij表示单元局部坐标系中第i个自由度的质量。
质量矩阵和刚度矩阵
质量矩阵和刚度矩阵1什么是质量矩阵和刚度矩阵质量矩阵和刚度矩阵是力学分析中常用的数学工具，它们对研究物体在外力及载荷作用下运动的作用有着重要的作用。
在很多类型的力学分析中，我们需要使用质量矩阵和刚度矩阵，例如在结构动力学，结构振动和形变分析中。
2质量矩阵质量矩阵（mass matrix）是描述N个节点构成有限元体积单元物体在空间中质量分布的N×N对称矩阵形式表达，一般用大写字母M表示。
在很多诸如有限元分析等历程中，质量矩阵考虑了节点位置，体积等事项，用数学模型来表达出来，有助于精确描述物体的动力特性。
质量矩阵的主要特征是每个元素的值均为非负的，它们是物理上重要的参数，可用于计算物体质量和惯量等物理特性。
3刚度矩阵刚度矩阵（stiffness matrix）是指描述N个节点构成体积单元分析的N×N非对称矩阵，一般用大写字母K表示，它反映了物体的刚度特性，是在求解有限元结构的动力学和热学的运动方程所必须的参数。
使用刚度矩阵计算物体在各种外力及载荷作用下的变形分析，可以在考虑到有限元体积单元的特性的情况下的进行准确的结构动力分析。
例如根据刚度体积单元使用刚度矩阵可以计算出体积单元系统中物体受外力及载荷作用后的应力分布情况、物体自重及载荷荷载后的形变解等。
4质量矩阵和刚度矩阵的应用质量矩阵和刚度矩阵在很多力学分析及结构分析中发挥着重要作用，诸如机械流体动力结构分析中要求输入物体的质量、模量和材料等实际参数，可以通过质量矩阵和刚度矩阵来计算物体的动力特性和热学特性。
另外，在搜寻有限元体积单元受力优化分析中，用质量矩阵表示体积单元的质量，用刚度矩阵表示体积单元的材料特性，可以帮助准确地预测物体受力后的变形及应力分布情况，从而可以用于加固物体结构，提高物体的力学性能和耐久性，另外用质量矩阵和刚度矩阵可以进行有限元体积单元的灵敏度分析及其他类型的动力分析工作。
《机械振动基础》期末复习试题5套含答案.doc
中南大学考试试卷2005 - 2006学年上学期时间门o分钟《机械振动基础》课程32学时1.5学分考试形式：闭卷专业年级：机械03级总分100分，占总评成绩70 %注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、填空题（本题15分，每空1分）1＞不同情况进行分类，振动（系统）大致可分成，（）和非线性振动；确定振动和（）；（）和强迫振动；周期振动和（）；（）和离散系统。
2、在离散系统屮，弹性元件储存（）,惯性元件储存（），（）元件耗散能量。
3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。
4、叠加原理是分析（）的振动性质的基础。
5、系统的固有频率是系统（）的频率，它只与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。
二、简答题（本题40分，每小题10分）1、简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。
（10分）2、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。
（10分）3、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（20分）4、多自由系统振动的振型指的是什么？（10分）三、计算题（本题30分）图1 2、图2所示为3自由度无阻尼振动系统。
（1）列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）；（2）设k t[=k t2=k t3=k t4=k9 /, =/2/5 = /3 = 7,求系统固有频率（10 分）。
13 Kt3四、证明题（本题15分）对振动系统的任一位移{兀},证明Rayleigh商R（x）=⑷严⑷满足材 < 尺⑴ < 忒。
{x}\M\{x}这里，［K］和［M］分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，®和①，分别是系统的最低和最高固有频率。
（提示：用展开定理{x} = y{M} + y2{u2}+……+ y n{u n}）3 •简述无阻尼单自由度系统共振的能量集聚过程。
（10 分） 4.简述线性多自由度系统动力响应分析方法。
（10 分）中南大学考试试卷2006 - 2007学年 上 学期 时间120分钟机械振动 课程 32 学时 2 学分 考试形式：闭卷专业年级： 机械04级 总分100分，占总评成绩 70%注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上一、填空（15分，每空1分）1. 叠加原理在（A ）中成立；在一定的条件下，可以用线性关系近似（B ） o2. 在振动系统中，弹性元件储存（C ）,惯性元件储存（D ） , （E ）元件耗散 能量。
基于力的梁柱单元一致质量矩阵和集中质量矩阵.docx
摘要对于传统的基于位移的有限元梁-柱单元，其位移插值函数不能有效描述单元内部的位移变化，在处理变截面梁时有着本质的缺陷，一般的解决方法是加密网格，但这样会导致计算量迅速增大。
基于力的梁-柱单元由于使用的力插值函数不受截面形状变化的影响，在处理变截面梁时有很大优势，但是基于力的梁-柱单元没有使用位移插值函数，因此不能直接得到单元一致质量矩阵; 另外，在使用显式积分方法时，需要使用集中质量矩阵，对于梁-柱单元集中质量矩阵通常情况是忽略转角项，有时会造成较大误差，所以有必要对梁-柱单元一致质量矩阵和集中质量矩阵的建立方法进行研究。
主要内容包括以下几个方面：1.基于虚功原理，推导了考虑剪切变形的基于力的梁-柱单元刚度矩阵，利用算例验证了该单元刚度矩阵的正确性。
2.考虑转动惯量的影响，建立了基于力的梁-柱单元的一致质量矩阵，并进行了算例分析，结果表明本文建立的一致质量矩阵具有较高的准确性。
3.考虑不同的边界条件，给出了欧拉梁单元集中质量矩阵转角项的最优值，算例结果表明利用本文给出的建议值可以得到较为准确的自振频率。
关键词：基于力的有限元；梁单元；单元刚度矩阵；一致质量矩阵；集中质量矩阵AbstractThe traditional displacement-based beam-column finite element , whose interpolation functions can not effectively represent the interior displacement of element, has essential drawback for variable cross-section beam. One general method to solve this problem is to use more elements but the computational cost will become high rapidly. The force-based beam-column finite element, which uses force interpolation functions that do not depend on cross-section, has many merits. This element can not get the consistent mass matrix directly because no explicit displacement interpolation functions are adopted. The lumped mass matrix is needed for the explicit finite element integration method. The rotational component of the lumped mass matrix is usually neglected, which can cause great error sometimes. So it is necessary to study the methods of formulation of consistent mass matrix and lumped mass matrix for beam-column element. The main contents of this study consist of the following:1.Based on the principle of virtual work, the element stiffness matrix consisdering shear deformation is derived. Several examples are used to validate the accuracy of the stiffness matrix.2.The consistent mass matrix of force-based beam-column finite element consisdering moment of inertia is formulated. The accuracy and efficiency of the mass matrix is verified by examples.3.The optimal rotational component is presented for element lumped mass matrix of Euler beam element corresponding to different boundary conditions. More accurate natural frequency of vibration can be obtained through the presented lumped mass matrix.Keywords force-based finite method; beam element; element stifiness matrix;consistent mass matrix; lumped mass matrix目录摘要 (I)Abstract ................................................................................................................................................ I I第1章绪论 (1)1.1课题背景和意义 (1)1.2基于力的梁-柱单元国内外研究现状 (3)1.2.1基于力的梁-柱单元国外研究 (3)1.2.2基于力的梁-柱单元国内研究 (4)1.3梁-柱单元集中质量矩阵的国内外研究现状 (5)1.4课题来源 (6)1.5本文研究的主要内容 (7)第2章梁-柱单元刚度矩阵的建立 (8)2.1引言 (8)2.2基础知识介绍 (8)2.2.1梁单元理论 (8)2.2.2 Ansys中的梁单元简介 (9)2.3刚度矩阵的建立 (10)2.3.1坐标系统的介绍 (11)2.3.2力的插值函数 (13)2.3.3截面柔度矩阵和截面刚度矩阵 (14)2.3.4无刚体位移的刚度矩阵的推导 (15)2.3.5局部坐标系和整体坐标系下的单元刚度矩阵 (16)2.4算例验证 (17)2.5本章小结 (21)第3章一致质量矩阵的建立 (22)3.1引言 (22)3.2位移插值函数的推导 (22)3.2.1变形体的虚功原理 (22)3.2.2梁的横向位移和轴向位移 (23)3.2.3位移插值函数 (26)3.3 一致质量矩阵的建立 (28)3.4算例验证 (29)3.5本章小结 (32)第4章集中质量矩阵的建立 (34)4.1引言 (34)4.2质量离散产生的误差 (34)4.3最优转角项系数 (37)4.3.1悬臂梁最优转角项系数 (38)4.3.2简支梁最优转角项系数 (41)4.3.3振型对最优转角系数取值的影响 (43)4.4本章小结 (45)结论与展望 (46)参考文献 (48)哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明 (53)哈尔滨工业大学硕士学位论文使用授权书 (53)致谢 (54)第1章绪论1.1课题背景和意义梁和柱是建筑中最常用的构件形式，广泛应用于框架结构中。
质量管理工具--矩阵图法[策划]
![质量管理工具--矩阵图法[策划]](https://img.taocdn.com/s3/m/c030672e11661ed9ad51f01dc281e53a58025167.png)
质量管理工具--矩阵图法矩阵图法就是从多维问题的事件中，找出成对的因素，排列成矩阵图，然后根据矩阵图来分析问题，确定关键点的方法，它是一种通过多因素综合思考，探索问题的好方法。
在复杂的质量问题中，往往存在许多成对的质量因素，将这些成对因素找出来，分别排列成行和列，其交点就是其相互关联的程度，在此基础上再找出存在的问题及问题的形态，从而找到解决问题的思路。
矩阵图的形式如下图所示，A为某一个因素群，a1、a2、a3、a4、…是属于A这个因素群的具体因素，将它们排列成行；B为另一个因素群，b1、 b2、b3、b4、…为属于B这个因素群的具体因素，将它们排列成列；行和列的交点表示A和B各因素之间的关系，按照交点上行和列因素是否相关联及其关联程度的大小，可以探索问题的所在和问题的形态，也可以从中得到解决问题的启示等。
质量管理中所使用的矩阵图，其成对因素往往是要着重分析的质量问题的两个侧面，如生产过程中出现了不合格时，着重需要分析不合格的现象和不合格的原因之间的关系，为此，需要把所有缺陷形式和造成这些缺陷的原因都罗列出来，逐一分析具体现象与具体原因之间的关系，这些具体现象和具体原因分别构成矩阵图中的行元素和列元素。
矩阵图的最大优点在于，寻找对应元素的交点很方便，而且不会遗漏，显示对应元素的关系也很清楚。
矩阵图法还具有以下几个特点：①可用于分析成对的影响因素；②因素之间的关系清晰朋了，便于确定重点；③便于与系统图结合使用。
矩阵图法的用途十分广泛，在质量管理中，常用矩阵图法解决以下问题：①把系列产品的硬件功能和软件功能相对应，并要从中找出研制新产品或改进老产品的切入点；②明确应保证的产品质量特性及其与管理机构或保证部门的关系，使质量保证体制更可靠；③明确产品的质量特性与试验测定项目、试验测定仪器之间的关系，力求强化质量评价体制或使之提高效率；④当生产工序中存在多种不良现象，且它们具有若干个共同的原因时，希望搞清这些不良现象及其产生原因的相互关系，进而把这些不良现象一举消除；⑤在进行多变量分析、研究从何处入手以及以什么方式收集数据。
云质QMS说质量 - 质量工具之矩阵解析法
1.什么是矩阵解析法前面我们有一篇文章专门写矩阵图的文章，对矩阵解析法（Matrix Data Analysis Chart）也进行了简单介绍。
矩阵图上各元素间的关系，如果能用数据定量化表示，就能更准确地整理和分析结果。
这种可以用数据表示的矩阵图法，叫做矩阵数据解析法或矩阵数据分析法，简称矩阵解析法。
矩阵解析法用于确定各对策措施的优先顺序时，也叫优先顺序矩阵法（Prioritization Matrices）。
矩阵解析法是从矩阵图法演化而来，它区别于矩阵图法的是：不是在矩阵图上填符号，而是填数据，形成一个分析数据的矩阵，从而量化各要素间的相关性，进一步了解问题与手段或方法与对策间的相互关系。
矩阵解析法是一种定量及半定量的分析问题的方法，是一种多变量的统计方法，计算较复杂，一般用计算机进行计算。
常见的统计分析软件及电子办公软件中的表格软件都可以支持矩阵数据分析法的数据分析计算。
在QC新七种工具中，矩阵解析法是唯一一种利用数据分析问题的方法，其结果仍要以图形表示，适用于复杂多变且需要解析的案例，是一种在质量管理专业领域中较复杂的方法。
可以预见，随着计算机技术的进步，在质量管理软件中将会获得越来越广泛的应用。
2.矩阵解析法的原理要想阐述清楚矩阵解析法的原理，首先要详细说一下”主成分分析法“。
矩阵解析法的主要方法为主成分分析法（Principal component analysis，PCA），又称主分量分析法或主成分回归分析法，是一种统计方法，其通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。
2.1什么是主成分分析法主成分分析首先是由K.皮尔森（Karl Pearson）对非随机变量引入的，后来H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形，信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。
在实证问题研究过程中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。
这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。
多自由度转动系统的质量矩阵
有关“多自由度转动系统”的质量矩阵
有关“多自由度转动系统”的质量矩阵如下：
在多自由度转动系统中，质量矩阵是一个关键概念，它描述了系统中各质点质量对运动的影响。
质量矩阵通常用符号M表示，是一个方阵，其阶数等于系统的自由度数。
质量矩阵中的每个元素都有特定的物理意义。
对角线上的元素代表了各质点的质量，而非对角线上的元素则反映了不同质点间由于转动而产生的惯性耦合。
这种惯性耦合是由于系统中质点间的相对位置和转动而引起的，它会影响系统的动态响应和稳定性。
在多自由度转动系统中，质量矩阵与系统的动能直接相关。
系统的动能可以表示为质量矩阵与速度向量的乘积的二分之一。
因此，质量矩阵在计算系统的动态响应和稳定性时起着至关重要的作用。
需要注意的是，质量矩阵是一个对称矩阵，这意味着它的转置等于它本身。
这一性质在计算和分析多自由度转动系统的动态特性时非常有用，可以简化计算过程并提高计算效率。
总之，多自由度转动系统的质量矩阵是一个描述系统中各质点质量对运动影响的方阵，它与系统的动能直接相关，并在计算系统的动态响应和稳定性时起着至关重要的作用。
机器人动力学质量矩阵
机器人动力学质量矩阵
机器人动力学质量矩阵（M(q)）描述了机器人的惯性特性，是机器人动力学方程的重要组成部分。
它是一个nxn的矩阵，其中n表示机器人的自由度数量。
机器人的质量矩阵可以通过多种方法计算得到，其中常见的方法包括牛顿-欧拉方法、拉格朗日方法、凯恩方法和算子代数方法等。
对于同一个机器人，无论采用何种方法，最终得到的质量矩阵都是等价的。
在机器人动力学方程中，质量矩阵与广义坐标向量q、广义坐标向量对时间的一阶导数q'和二阶导数q''、科里奥利力矩阵C(q,q')、重力矩阵G(q)和关节力矩向量τ等一起，描述了机器人的运动和受力情况。
在机器人控制中，质量矩阵是实现精确轨迹跟踪的关键因素之一。
因此，在进行机器人设计和控制时，需要仔细考虑质量矩阵的影响。
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能量法求质量矩阵
能量法是一种求解结构动力学问题的常用方法。
在使用能量法求解质量矩阵时，我们可以将结构系统的动能表达式与势能表达式相等，从而建立动能和势能的平衡方程。
首先，考虑一个连续体结构系统中的一个小元素，其质量可以表示为 dm。
当结构系统发生振动时，每个质量元素都会有动能和势能的变化。
根据连续体动力学理论，可以得到动能和势能的表达式如下：动能表达式（T）：
T = 1/2 ∫ V ρ u^2 dV
势能表达式（U）：
U = 1/2 ∫ V (ω^2 ρ u^2) dV
其中，ρ表示材料的密度，u表示位移场，V表示结构系统的体积，ω表示固有频率。
将动能和势能相等，即 T = U，可以得到以下平衡方程：
1/2 ∫ V ρ u^2 dV = 1/2 ∫ V (ω^2 ρ u^2) dV
化简后得：
∫ V (ρ - ω^2 ρ) u^2 dV = 0
由于上式对任意的位移场 u 都成立，因此括号内的表达式必须等于零。
这样，我们就可以得到质量矩阵的表达式：
M = ∫ V (ω^2 ρ) u^2 dV
其中，M表示质量矩阵。
需要注意的是，具体求解质量矩阵时，需要根据结构系统的几何
形状和材料特性来确定密度ρ和固有频率ω。
通过将结构系统离散化为有限个节点，并使用数值积分方法对上述积分式进行近似求解，就可以得到质量矩阵的数值结果。