运筹学实用案例分析过程
《运筹学图解法》课件
提高建模能力
提高模型解释和应用能力
提高求解效率的策略与技巧
选择合适的图解 法：根据问题类 型选择合适的图 解法，如最短路 径问题、最大流 问题等。
优化算法：对图 解法进行优化， 如使用动态规划、 贪心算法等。
并行计算：利用 多核处理器进行 并行计算，提高 求解速度。
利用软件工具： 使用专业的图解 法软件，如 Matlab、 Python等，提 高求解效率。
缺点：需要一定 的数学基础，不 适合初学者使用
运筹学图解法的基本步骤
确定问题目标
明确问题的性质 和类型
确定问题的目标 和约束条件
分析问题的关键 因素和影响因素
确定问题的求解 方法和步骤
建立模型
确定问题：明确需要解决的问题
建立模型：根据数据建立数学模 型
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
收集数据：收集与问题相关的数 据
模型验证与优化的方法与技巧
模型验证：通过实际数据验证模型的准确性和可靠性
模型优化：根据实际需求对模型进行优化，提高模型的效 率和效果
模型选择：根据实际问题选择合适的模型，提高模型的适 用性和准确性
模型调整：根据实际数据对模型进行调整，提高模型的适 应性和准确性
模型评估：对模型进行评估，了解模型的优缺点和改进方 向
软件工具的使用：熟悉软件工具 的界面和功能，掌握基本的操作 方法
软件工具的优化与调整：根据问 题特点和需求，对软件工具进行 优化和调整，提高求解效率和准 确性
软件工具的常见问题与解决方 案：了解软件工具的常见问题， 掌握相应的解决方案，提高求 解效率和准确性
软件工具的学习与提高：不断学 习和实践，提高软件工具的使用 水平和求解能力
管理运筹学-线性规划案例《食用调和油生产计划》
食用调和油生产计划案例1.问题的提出调和油又称高合油，它是根据使用需要，将两种以上经精炼的油脂（香味油除外）按比例调配制成的食用油。
其原料常选用精炼大豆油、菜籽油、花生油、葵花籽油、棉籽油等，还可配有精炼过的米糠油、玉米胚油、油茶籽油、红花籽油、小麦胚油等特种油酯。
调和油是是目前市场上比较常见的食用油类之一，以其油色澄清、透明，味道香醇可口，营养较纯种食用油更加丰富均衡，逐渐成为市场上的主流。
在调和油制作成本上，厂家可根据配方，以一定的加工工艺将几种油脂混合配制，取代了传统的纯种油脂，从而大大降低了成本和市面价格，更加迎合消费者追求“物美价廉”的消费心理，为企业带来了效益。
但在调和油的生产过程中，伴随着原料的采购、贮存、加工，都必然要有一定资金和设备上的投入。
当然，除了这些必须具备的，以为了保证调和油质量的程序外，如何降低相关原料和设备所受社会和市场因素引起的价格升高，原料过长时间保养带来的负经济利润，从而实现企业生产成本降低，成为生产厂家不得不考虑的一个问题。
2.问题分析在上述的问题中，存在着一个不争的事实。
价格会随着社会和市场的因素的影响而产生变化，其关系即为“经济函数”（通过广泛地进行市场调查并且采集足够的统计资料，分析确定各宗经济变量之间的函数关系）。
而大量低价采购原料又会带来贮存和保鲜方面成本的升高。
相应关系式可概括为：生产成本=原料价格*数量+贮存保鲜费用+加工费（加工成本+工人工资）+机器折损费+产品维护费用。
3.题目要求食油厂精炼两种类型的原料油——菜籽油和花生油，并将精制油混合得到一种调和油产品。
生产流程如下图所示：菜籽油原料油来自两个产地，而花生原料油来自另外三个产地。
据预测，这5种原料油菜籽油1採購菜籽油2採購花生油1採購花生油2採購花生油3採購的价格从一至六月分别为：表1 五种原料油的价格（元/吨）成品调和油售价为11000元/吨。
菜籽油和花生油需要由不同的生产线来精炼。
对偶单纯形法的计算步骤_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]
![对偶单纯形法的计算步骤_实用运筹学：案例、方法及应用_[共3页]](https://img.taocdn.com/s3/m/2b3f6b0576a20029bc642d90.png)
41第2章对偶理论与灵敏度分析即y 是对偶问题（D ）的一个可行解。
条件式（2-21）称为对偶可行性条件，即最优性条件式（2-20）与对偶可行性条件式（2-21）是等价的，因此，如果一个原始可行基B 是原问题（P ）的最优基，则1=B y c B -就是对偶问题（D ）的一个可行解，此时对应的目标函数值1B w=yb =c B -，等于原问题（P ）的目标函数值，可知1=B y c B -也是对偶问题（D ）的最优解。
若原问题（P ）的一个基本解1=0B b x ⎛⎞⎜⎟⎝⎠-对应的检验数向量满足条件式（2-20），即 =(,)=0,0B N N B σσσc c B N -1（-）≤则称x 为（P ）的一个正则解。
于是可知，原问题（P ）的正则解x 与对偶问题（D ）的可行解y 是一一对应的，它们由同一个基B 所决定，我们称这一基为正则基。
因此，我们可以设想另一条求解思路，即在迭代过程中，始终保持对偶问题解的可行性，而原问题的解由不可行逐渐向可行性转化，一旦原问题的解也满足了可行性条件，也就达到了最优解。
也即在保持正则解的正则性不变条件下，在迭代过程中，使原问题解的不可行性逐步消失，一旦迭代到可行解时，即达到了最优解。
这正是对偶单纯形法的思路，这个方法并不需要把原问题化为对偶问题，利用原问题与对偶问题的数据相同（只是所处位置不同）这一特点，直接在反映原问题的单纯形表上进行运算。
2.3.2 对偶单纯形法的计算步骤求解如下标准形式线性规划问题：max =z cx s.t.0Ax =bx ⎧⎨⎩≥对偶单纯形法的计算步骤如下：（1）找一个正则基B 和初始正则解(0)x ；将原问题化为关于基B [不妨设12=(,,,)m B P P P ]的典式，列初始对偶单纯形表，如表2-5所示。
表2-5 对偶单纯形表12 1 2 12121c 1x 1'b 1 0 … 0 1+1'm a 1+2'm a … 1'n a 2c 2x 2'b 01 02+1'm a 2+2'm a … 2'n am c m x'm b 0…1 +1'mm a +2'mm a … 'mn a c j -z j0 0 0+1m σ+2m σ…n σ（2）若1=b'B b -≥0，则停止计算，当前的正则解1=x B b -，即为原问题的最优解；否则转下一步。
案例教学在运筹学教学中的运用
析 问题能力 的增强 ， 是很 有益处 的。
２ 案例 分 析
运输 问题是运筹学 问题 中的一个非 常重要的问题 ， 在实
际生活中有着广 泛 的实际应 用。在讲运输 问题 时及产销 平
衡问题 时 ， 出了下列案例。 给 ・ 某公 司现从两个产地将物品运往三个销地 ， 各产地 的产 量， 各销地的销量和各产地运往各销地 的每件物品的运费 如
摘
要： 文章介 绍了案例教 学的定 义和重要性 ， 并通过 具体的例子说 明案 例教 学过程及 效果 ， 而体现案例 从
教 学的优越性。
关键词 ： 运筹 学； 案例教 学； 运用
中图分类号 ：２ ０２ 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ：０ ８— ６５ ２０ ） ３— １３— ２ １０ ６ ２ （０ ８ ０ ０ ５ ０
下：
Ｂ １
Ａｌ Ａ２ ６ ６
Ｂ ２
４ ５
Ｂ ３
６ ５
产量 （ ） 件
２ ００ ３ ００
３ 案 例 教 学 的 几 点 注意 事 项
３ １ 案例的选 取要 有代表性 。即要精选案例或编 写有 ． 代表性的案例。每章或每个知识点要有几个代表性 的案例 ，
个内容相联系 ， 要为某 种教学 内容 服务 。给 出案例 后 ， 先让 学生 分组讨论 ， 小组 间相互进行讲解 ： 本案例涉 及哪些 内容？
销量 １０ ５ １０ ５ ２ｏ ｏ ５ｏ ｏ
如何运用 这些 内容 来处理 解决 本 问题 ？最 终 结果 是 什 么？
还有没有其 它解法？结果 唯一吗 ？还 能优化 吗？教 师 给予
问应如何 调运 ， 使得总运 费最小 ？ 分析 ： 这是一个产销平衡 问题 ， 生活中这种问题很普遍 ， 利用 我们 已经学 习过 的知识如 何解决 此问题？让学 生分组
《实用运筹学》上机实验指导1
《实用运筹学》上机实验指导课程名称：运筹学/Operations Research实验总学时数：60学时一、实验教学目的和要求本实验与运筹学理论教学同步进行。
目的：充分发挥Excel软件这一先进的计算机工具的强大功能，改变传统的教学手段和教学方法，将软件的应用引入到课堂教学，理论与应用相结合。
丰富教学内容，提高学习兴趣。
要求：能用Excel软件中的规划求解功能求解运筹学中常见的数学模型。
二、实验项目名称和学时分配三、单项实验的内容和要求实验一线性规划（－）实验目的：安装Excel软件“规划求解”加载宏，用Excel软件求解线性规划问题。
（二）内容和要求：安装并启动软件，建立新问题，输入模型，求解模型，结果的简单分析。
（三）实例操作：求解习题1.1。
（1）建立电子表格模型：输入数据、给单元格命名、输入公式等；（2）使用Excel软件中的规划求解功能求解模型；（3）结果分析：如五种家具各生产多少？总利润是多少？哪些工序的时间有剩余，并对结果提出你的看法；（4）在Excel或Word文档中写实验报告，包括线性规划模型、电子表格模型和结果分析等。
案例1 生产计划优化研究某柴油机厂年度产品生产计划的优化研究。
某柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一。
主要产品有2105柴油机、x2105柴油机、x4105柴油机、x4110柴油机、x6105柴油机、x6110柴油机，产品市场占有率大，覆盖面广。
柴油机生产过程主要分成三大类：热处理、机加工、总装。
与产品生产有关的主要因素有单位产品的产值、生产能力、原材料供应量与生产需求情况等。
每种产品的单位产值如错误!未找到引用源。
所示。
表 C－1 各种产品的单位产值为简化问题，根据一定时期的产量与所需工时，测算了每件产品所需的热处理、机加工、总装工时，如表 C－2所示。
表 C－2 单位产品所需工时同时，全厂所能提供的总工时如表 C－3所示。
表 C－3 各工序所能提供的总工时产品原材料主要是生铁、焦碳、废钢、钢材四大类资源。
层次分析法案例
层次分析法的应用层次分析法由美国著名运筹学家萨蒂于1982年提出，它综合了人们主观判断，是一种简明、实用的定性分析与定量分析相结合的系统分析与评价的方法。
目前，该方法在国已得到广泛的推广应用，广泛应用于能源问题分析、科技成果评比、地区经济发展方案比较，尤其是投入产出分析、资源分配、方案选择及评比等方面。
它既是一种系统分析的好方法，也是一种新的、简洁的、实用的决策方法。
层次分析法的基本原理人们在日常生活中经常要从一堆同样大小的物品中挑选出最重的物品。
这时，一般是利用两两比较的方法来达到目的。
假设有n个物品，其真实重量用w1，w2，…wn表示。
要想知道w1，w2，…wn的值，最简单的就是用秤称出它们的重量，但如果没有秤，可以将几个物品两两比较，得到它们的重量比矩阵A。
如果用物品重量向量W=[w1，w2，…wn]T右乘矩阵A，则有：由上式可知，n是A的特征值，W是A的特征向量。
根据矩阵理论，n是矩阵A的唯一非零解，也是最大的特征值。
这就提示我们，可以利用求物品重量比判断矩阵的特征向量的方法来求得物品真实的重量向量W。
从而确定最重的物品。
将上述n个物品代表n个指标（要素），物品的重量向量就表示各指标（要素）的相对重要性向量，即权重向量；可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。
依此类推，如果n个物品代表n个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。
应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：（1）将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型（目标层、判断层、方案层）。
（2）标度及描述。
同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的重要性之比做出判断，给予量化。
（3）对同属一层次的各要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评价尺度确定其相对重要度，据此构建判断矩阵A。
（4）计算判断矩阵的特征向量，以此确定各层要素的相对重要度（权重）。
（5）最后通过综合重要度（权重）的计算，按照最大权重原则，确定最优方案。
AHP简介及案例分析
2评价指标权重值的确定
3 结论
首先，旅游资源条件是南岭山地的优势条件，这 是南岭山地旅游资源开发时应当考虑的最重要的因 素；同时要考虑旅游开发条件，这是旅游开发的限 制因素。 其次，南岭山地旅游资源的观赏价值、环境价值、 科学价值、文化价值分别排在第一、第二、第三、 第四位。高质量的生态环境和较强的观赏性是南岭 山地旅游资源的突出优势和魅力所在，而文化价值 权重排在最后一位，表明南岭山地旅游资源的整体 文化品位较低。 第三，分析表明莽山为南岭山地的一级旅游地， 飞天山、苏仙岭、五盖山、天鹅山为二级旅游地， 并且各山地旅游资源主题鲜明，各具特色。
为了检验判断矩阵的一致性，还需计算出 一致性指标CI和随机一致性比例CR＝CI/RI。 其中RI为平均随机一致性指标，查表可得。当 CR＜0.10时，判断矩阵具有满意的一致性，否 则对判断矩阵进行调整，以便得到满意的评价 参数表。最后，在此基础上对旅游各评价要素 进行层次总排序、综合评价及分级研究。
1.1建立评价层次结构模型
1.2构造判断矩阵
AHP的信息基础主要是人们对每一层 次各因素的相对重要性给出的判断，这 些判断用数值表示出来，写成矩阵形式 就是判断矩阵。
1.3层次单排序及其一致性检验
所谓层次单排序是指，根据判断矩阵计 算对于上一层某因素而言，本层次与之有关 系的因素的重要性次序的权值。它是本层次 所有因素相对上一层次而言的重要性进行排 序的基础。
AHP简介及案例分析
AHP简介
AHP(The Analytic Hierarchy Process)分析 法是美国运筹学家T.L Saaty教授于20世纪70 年代初期提出，是对定性问题进行定量分析 的一种简便与实用的多准则决策方法。
运筹学案例——精选推荐
食用油厂合理布局的优化模型食油和大豆蛋白是人民生活中的必需品。
作为全国大豆生产基地的黑龙江省，它的油厂规模及布局规划，对经济基础有效的开发利用我国大豆资源来说，具有举足轻重的意义。
因此对油厂规模和布局问题进行定量优化分析，使生产力布局的一般原则具体化、数量化和精确化，是有着理论价值和现实的意义。
目前，黑龙江省油厂星罗棋布，遍地开花。
仅省粮食局管辖的油厂就有113个，国营农场管辖的也有数百个汕厂，至于队办小型汕厂更是遍及村落。
“繁星满天”。
小型分散带来的因陋就简、设备陈旧、工艺落后，经济效果很差。
比如鸡西滴道油米厂吨油成本是哈尔滨市八区泊厂的10.6倍。
油厂的其余指标也相差悬殊，如吨煤耗从0.47吨到4.14吨不等，吨电耗从63度到1.127度之间的分散。
不少厂出油率低（如桦川新城油米厂只有10.1%），油质差，对贵重的磷脂无法提取，特别是小厂采用的热轧工艺，使大豆蛋白严重变性。
所有这些都造成了资源浪费，效益甚差。
这些现有油厂出现的问题，提出了对油厂进行重新布局的必要性。
由于社队油厂是满足本乡本土的需要，数量很大，考虑大型化和重新布局，一时尚不现实。
因此本文重点讨论省粮食局管辖的113个油厂的合理布局问题。
油厂布局问题和油厂规模问题密切相关，在总产量一定的情况下，规模与油厂数目成反比，油厂规模越大，需要的油厂数量越少，而只有在油厂的数量相对稳定的情况下，才能讨论全省油厂的布局问题，因此首先应当研究油厂的经济规模问题。
一、油厂经济规模的探讨经济规模是指制油系统中生产诸要素的合理集中制度，这种集中制度与自然条件和资源情况有关；与资金、劳动力、能源、市场、运输等条件有关，也与技术工艺生产组织水平等条件有关。
这些都是决定企业经济规模的内外因素。
从黑龙江省的情况看，不同规模的油厂的加工成本是不同的，为了研究方便起见，我们将全省的113个油厂按规模大小划分为9个等级，取相同等级的全部油厂的平均值为样本（表1中的前两栏），描点后作出规模-成本曲线(图1)，在此基础上建立我省油厂的规模-成本模型。
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案例2
解:设工地i在标准施工期需要配备的监理工程师为Xi, 工地j在高峰施工期需要配备的监理工程师为Yi、
7
总成本: minZ=∑ ( 7Xi/3 + 35Yj/12)
i=1
x1≥5
X2≥4
X3≥4
X4≥3
X5≥3
X6≥2
X7≥2
Y1+Y2≥14
Y2+Y3≥13
Y3+Y4≥11
Y4+Y5≥10
Y5+Y6≥9
Y6+Y7≥7
Y7+Y1≥14
Yj≥Xi (i=j i,j=1,2,3,4,5,6,7)
结果如下:
解:穷举两种车可能的所有路线。
i
求min f = 12(x1+...+x12) + 18(x13+ (x21)
因为50个点属于A,36个点属于B,20个点属于C,所以约束条件就是以上所有x i乘上它对应的路线中去各个点的数量的总与分别大于等于实际这些点的数量,因为表达式过于冗长,这里省略。
因为派去的车应该就是整数,所以这就是整数规划问题,运用软件求解。
最后得出结果:
x9=4 x12=3 x19=8 x21=2 其余都等于零。
所以结果就是派7辆2吨车,10辆4吨车。
路线如表格,这里不赘述。
解:设x ij表示在i地销售的j规格的东西。
其中i=1到6对应福建广东广西四川山东与其她省区,j=1与2对应900-1600与350-800。
求max f= 270x11 + 240x21 + 295x31 +300x41 + 242x51 + 260x61 +63x12 +60 x22 + 60x32 + 64x42 +59x52 +57x62– 1450000
在下图软件操作中,用x1到x12代表以上的未知数。
约束条件如上
运用软件求解,结果为:
由于软件中没有添加– 1450000,
所以最大利润为:5731000元。
解:设第i年在第j个项目的投资额就是Xij。
Yj等于1时投资j项目,等于0时不投资。
目标函数与约束条件在软件上操作如下:
因为约束与目标函数中提到的其实只有一部分未知数,为了方便输入以及简化计算,我们在软
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 2
2 2
3
2
4
2
5
1 1 2
1
1
2
2
3
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
3
5
1
6
2
6
3
6
4
6
5
6
1
7
2
7
3
7
4
7
5
7
1 2 3 5 6
以上第一行为软件中所用数字,第二行为实际代表未知数,两位的为X,一位的为Y。
而这超过软件的求解深度了。
所以,得出一个近似的解
以下为第一个就是最佳值后面依次就是Xi
那么近似的整数解应该为,
X5=80 X6=95 X7=110 X8=125 X9=140 X11=70 X12=60 X13=873 X14=1000 X15=1000 X16=200 X17=559 X19=60 X20=285 X25=1
其余都为0
案例11
解:用Xi=1,0表示就是否给项目ABCDE投资,Yi表示1 2 3年的贷款金额,Zi表示公司第i年的剩余资金。
1999年初可用资金:280000+Y1
1999年年底的投资收益:
55000X1+30000X2+70000X4+32500X5+1、1Z1-1、12Y1
2000年初可用资金:55000X1+30000X2+70000X4+32500X5+1、1Z1-1、12Y1+Y2
2000年年底的投资收益:
75000X1+100000X2+120000X3+67000X4+362000X5+1、1Z2-1、12Y2
2001年初可用资金
75000X1+100000X2+120000X3+67000X4+362000X5+1、1Z2-
1、12Y2+y3
2001年年底的投资收益:
95000X1+73000X2+40000X3+84000X4+50000X5+1、1Z3-1、12Y3
求3年年底的投资收益之与得到目标函数
max Z=95000X1+73000X2+40000X3+84000X4+50000X5+1、1Z3-1、12Y3
约束条件:
280000+Y1=106250X1+95000X2+64000X3+50000X4+56000X5+Z1
55000X1+30000X2+70000X4+32500X5+1、1Z1-1、
12Y1+Y2=37500X1+15000X2+24000X3+25000X4+42000X5+Z2
75000X1+100000X2+120000X3+67000X4+362000X5+1、1Z2-
1、12Y2+y3=43750X1+30000X2+12000X3+35000X4+32000X5+Z3
X5=1
X1为0,1变量, Yj ,Zj ≥0 i=1,2,3,4,5 j=1,2,3
由运筹学软件求最优值为500472、6 其中
X1=1 X2=1 X3=1 X4=1 X5=1
Y1=91250 Y2=58200 Y3=0
Z1=0 Z2=0 Z3=144066
、
案例16
解: 属于M/M/3/∞/∞系统
然后c=3 λ=1/3 μ=5/36
软件求解可得:
由此可知,一位顾客在系统中的平均逗留时间为14、9663小时,满足平均维修时间不超过2天的要求,因此不需要增加维修人员。
案例17
解:M/M/c/∞/∞系统
合并前λ=0、5次/小时μ=1次/小时 c=3
合并后λ=4次/小时μ=0、8次/小时 c未确定
要使维修及时率控制为99%,即顾客等待的概率小于1%
由运筹学软件得当c=11时,Pw=1、51%
当c=12时,Pw=0、59%
当c=12时可以保证维修及时率,维修工共2×12=24 < 16×3=48
所以方案可行。