湖南大学离散数学教案--代数系统

•伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命 运动，曾两次被捕入狱， •1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去， 年仅21岁。 •伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以 曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得 扼要写出，并附以论文手稿 •伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表 在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维 尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章 •发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一 个崭新的天地，代数学不再以方程理论为中心内容，而 转向对代数结构性质的研究 •对物理、化学等科学有直接的实践意义，成为众多学 科的基础
4.3、运算性质 6、单位元 设是集合S上的二元运算，如果集合S中的某元 素eL，对xS都有 eLx=x 则称之为左单位元。 设是集合S上的二元运算，如果集合S中的某 元素eR，对xS都有 xeR=x 则称之为右单位 元。 如果S中某个元素既是左单位元，又是右单位元， 则为单位元。 如：A= A=A 0+x=x+0=x 1*x=x*1=x
发展历史 •在1830年，19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问 题的系统理论和方法，从而创立了群论。 •群论是近世抽象代数的基础，它是许多实际问 题的数学模型，应用极其广泛， •可以推出五次以上一般代数方程根式不可解 •用圆规、直尺（无刻度的尺）不可能解决：三 等分角问题(将任一个给定的角三等分)、 •立方倍积问题(求作一个正方体的棱长，使这个 正方体的体积是已知正方体体积的二倍)、 •化圆为方问题(求作一个正方形，使它的面积和 已知圆的面积相等)这个问题。
4.3、运算的性质 4、分配律 设与*是集合S上的二种运算，若x,y,zS都有 x*(yz)=(x*y)(x*z)， (yz)*x=(y*x)(z*x) 则称*对是可分配的。 如： x,y,zP(A), 对可分配， x(yz)=(xy)(xz) 对也可分配， x (yz)=(xy)(x z)
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4.3、运算的性质 1、交换律 设是集合S上的二元运算，若x,yS都有 xy=y x， 则称在S上是可交换的， 或者说运算在S上满足交换律。 如： xP(A), yP(A) x+y =xy, xy=xy xBoolean, yBoolean x+y =xy, xy=xy x+y =(x(i,j)+y(i,j)), x-y =(x(i,j)-y(i,j)), xy=(x(i,j) y(i,j)) 整数上的加、减、乘满足交换律！ 若运算表是对称的，则满足交换律。
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4.3、运算的性质 2、结合律 设是集合S上的二元运算，若x,y,zS都有 (xy)z=x(yz)， 则称在S上是可结合的,或者说 运算在S上满足结合律。 如：x,y,zP(A) (x+y)+z=(xy)z=x(yz)=x+(y+z) (xy)z=(xy)z=x(yz)=x(yz) 当运算满足结合律时，常将决定运算次序的园 括号去掉，如(x+y)+z=x+y+z。 普通的加、乘、集合的并、交、逻辑的与、逻 辑或、矩阵的加、乘满足结合律。
三、运算的性质 2、结合律 设是集合S上的二元运算，若x,y,zS都有 (xy)z=x(yz)， 则称在S上是可结合的,或者说 运算在S上满足结合律。 如：x,y,zP(A) (x+y)+z=(xy)z=x(yz)=x+(y+z) (xy)z=(xy)z=x(yz)=x(yz) 当运算满足结合律时，常将决定运算次序的园 括号去掉，如(x+y)+z=x+y+z。 普通的加、乘、集合的并、交、逻辑的与、逻 辑或、矩阵的加、乘满足结合律。
4.1、什么是代数运算 我们很小就学习的“+÷×－”四则运算，知道两个整 数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。 今天我们将学习与“+－×÷”类似的运算，姑且称为 “广义的加减乘除”。 从以上实例可知，尽管参与运算的对象不尽一致，有 集合、布尔变量、矩阵、整数，它们都有相同的性质： (1)参与运算的对象同一个集合的2个对象，如2个整数、 2个子集、2个布尔变量、2个矩阵。 这种运算符称为双目运算符。 还有单目运算符，p (2)运算后的结果仍属于同一个集合，仍为整数、子集、 布尔量、矩阵，这称为该运算是封闭的。 并不是所有的运算都封闭。如2÷3不是整数
{1,ห้องสมุดไป่ตู้} {1} {2} {2} {1} {1,2}
4.2、代数运算的定义 xP(A), yP(A) x+y =xy, xy=xy xBoolean, yBoolean x+y =xy, xy=xy x+y =(x(i,j)+y(i,j)), x-y =(x(i,j)-y(i,j)), xy=(x(i,j) y(i,j)), 若幸运，有些运算来既可用运算符,又可用运算表 xy=(xy) mod 5 x,y{0,1,2,3,4} 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 2 4 2 4 0 4 3 2 1
4.3、运算的性质 1、交换律 设是集合S上的二元运算，若x,yS都有 xy=y x， 则称在S上是可交换的， 或者说 运算在S上满足交换律。 若运算表是对称的，则满足交换律。xy=(xy)
mod 5 x,y{0,1,2,3,4} 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 2 0 2 4 1 3 3 0 3 2 4 2 4 0 4 3 2 1
发展历史 •伽罗瓦是法国巴黎郊区一个小镇镇长的儿子。 •他的父亲是一个自由主义者，母亲受过良好的教育， 是伽罗华的启蒙老师。 •12岁以前，伽罗华一直是在他母亲的教育下长大的， 在这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。 •1923年伽罗华离开双亲，考入巴黎预科学校路易勒— —格兰学院(皇家中学)，开始接受正规学校的教育。 •在第三年，他报名选学了第一门数学课。 •由于他的老师深刻而生动的讲授，伽罗华对数学产生 了浓厚的兴趣，他很快地学完了通常规定的课程，这些 功课的学习，使他思路开阔，科学创造的思维能力得到 了训练和提高。 •1829年3月他在《纯粹与应用数学年报》上发表了他的 第一篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。这 时的伽罗华还是一位中学生。
4.1、什么是代数运算 我们很小就学习的“+÷×－”四则运算，知道 两个整数相加、相减、相乘仍是整数，相除不一 定是整数。 今天我们将学习与“+－×÷”类似的运算，姑 且称为“广义的加减乘除”。 当将变量的取值范围n阶方阵A(n,n),A中每个元 素的值为实数，则定义广义“加”、“减”、 “乘”。 对应元素加减乘 x+y =(x(i,j)+y(i,j)), x-y =(x(i,j)-y(i,j)), xy=(x(i,j) y(i,j)), 普通矩阵乘 xy =(x(i,j)y(i,j))
逻辑的与、逻辑或满足结合律。 有些运算不满足幂等律，但是集合S中的某些元素满足！ 如普通加法不满足幂等，但0满足0+0=0, 普通乘法不满足幂等，但1满足11=1。 普通矩阵的乘法不幂等，但单位矩阵满足！
4.3、运算的性质 5、吸收律 设与*是集合S上的二种可交换的二元运算，若 x,yS都有 x*(xy)=x ， x(x*y)=x则称*与是 满足吸收律。 如： x,y,zP(A), x(xy)=x， x (xy)=x 又如： x,y,z命题变元 x (xy)=x， x (x y)=x 小结： 交换律、结合律、幂等律、分配律、吸收律是 普通的加与乘、集合的并与交、命题变元的与或 等运算的规律的总结、推广！
4.3、运算的性质 3、幂等律 设是集合S上的二元运算，若xS都有xx=x， 则称在S上是幂等的,或者说运算在S上满足幂 等律。 如：xP(A) x+x=(xx)=x , xx=(xx)=x 逻辑的与、逻辑或满足结合律。 有些运算不满足幂等律，但是集合S中的某些元 素满足！ 如普通加法不满足幂等，但0满足0+0=0, 普通乘法不满足幂等，但1满足11=1。 普通矩阵的乘法不幂等，但单位矩阵满足！
4.1、什么是代数运算 由“+÷×－”四则运算，知道两个整数相加、 相减、相乘仍是整数，相除不一定是整数。 今天我们将学习与“+－×÷”类似的运算，姑 且称为“广义的加减乘除”。 当将变量的取值范围{0,1}，则可定义广义“加” 与“乘”, xBoolean, yBoolean x+y =xy, xy=xy,有如下表达式: 0+0=00=0, 0+1=01=1 1+0=10=1, 1+1=11=1 00=00=0, 01=01=0 10=10=0, 11=11=1
4.3、运算性质 6、单位元 对xS都有 eLx=x 则称之为左单位元。 对xS都有 xeR=x 则称之为右单位元。 定理:设是S上的二元运算,若存在左单位元eL与 右单位元eR,则eL=eR=e且唯一 证明： xS都有eLx=x eLeR=eR xS都有 xeR=x eLeR=eL 由以上二式可知eR=eL，即两个单位元的值相等， 不妨将其值记为e ，则e既是左单位元，又是右 单位元，故由单位元定义可知,e是单位元。 如： A= A=A 0+x=x+0=x 1*x=x*1=x
第4章 代数系统 杨圣洪
发展历史 •代数学或抽象代数是数学的一个古老分支，历史悠久 •近一百年来，随着数学的发展和应用的需要，一系列 新的代数领域被建立起来，大大的扩充了代数学的研究 范围，形成了所谓的近世代数学。 •在19世纪初，数学中一个长达三世纪之久而未能解决 的难题，即五次和五次以上方程的根式解问题 •被挪威青年数学家阿贝尔（N.H.Abel,1802-1829）和 •法国青年数学家伽罗瓦（E.Galois,1811-1832） •所彻底解决，他们在解决这一问题时引入了一种新概 念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展， •特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。因此可 以说，伽罗瓦和阿贝尔是群论和抽象代数的真正创始人。