中考压轴题专题训练
中考压轴题专题训练：“四点共圆”典型问题50练(含解析)印刷版
中考压轴题专题训练：“四点共圆”典型问题50练一．选择题（共9小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（）A．4B．3C．2D．2．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN3．如图，已知（1）已知△ABC的两条中线BD、CE交于点M，A、D、M、E四点共圆，BC＝8，则AM 的长为（）A．2B．C．D．34．如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD ⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（）A．3﹣3B．C．4﹣6D．25．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．66．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC＝BD时，M、E、N、F四点共圆．②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．③当AC＝BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN ＝a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．58．如图，已知∠A的平分线分别与边BC、△ABC的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、MC交于点P、Q，下列判断错误的是（）A．无论直线l的位置如何，总有直线PM与△ABD的外接圆相切B．无论直线l的位置如何，总有∠PAQ＞∠BACC．直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆D．直线l选取适当的位置，可使S△APQ＜S△ABC9．如图，一副直角三角板满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC，AB＝DF，∠EFD＝30°，将三角板DEF 的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D旋转，并使边DE与边AC交于点M，边DF与边BC于点N．当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：①点C，M，D，N四点共圆；②连接CD，若AD＝DB，则△ADM∽△CDN；③若AD＝DB，则DN•CM＝BN•DM；④若AD＝DB，则CM+CN＝AD；⑤若DB＝2AD，AB＝6，则2≤S△DMN≤4．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共14小题）10．若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是梯形．11．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC⊥AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有．①O，M，B，P四点共圆；②A，M，B，N四点共圆；③A，O，P，N四点共圆．12．已知△ABC中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，且AD、BE交于点H，连接CH，则∠ACH+∠BAE＝．13．已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于．14．已知二次函数y1＝a1（x﹣1）2﹣2012，其图象顶点为M，且与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，又知二次函数y2＝a2（x﹣1）2+1的顶点为N，若A，B，M，N四点共圆，则x1x2﹣x1﹣x2＝．15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝72°，则∠CAD的度数为．16．已知：AB＝2，AC平分∠DAB，∠DAB+∠DCB＝180°，∠DCB＝120°，当∠ABD＝∠CBF时，则AC＝．17．在四边形ABCD中，∠DAC＝98°，∠DBC＝82°，∠BCD＝70°，BC＝AD，则∠ACD＝．18．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC的中点，点E在AC边上，以DE为腰作等腰Rt △DEF，连接CF，BF．若CE＝1，△CDF的面积为7.5，则BF的长为．19．如图，线段AB、CD相交于E，AE＝AC，DE＝DB，点M、F、G分别为线段AD、CE、EB的中点，如果∠MAE＝25°，∠AMF＝40°，那么∠MFG的度数为．20．如图，点O为等边△ABC内一点，OA＝2，OC＝，连接BO并延长交AC于点D，且∠DOC ＝30°，过点B作BF⊥BD交CO延长线于点F，连接AF，过点D作DE⊥AF于点E，则DE＝．21．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD交于点O，E为DC上一点，∠DAE＝30°，过D 作DF⊥AE于F点，连接OF．则线段OF的长度为．22．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，则OH＝，BM＝．23．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝a﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的序号为．三．解答题（共27小题）24．设梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别在腰AD和BC上，若A，B，F，E四点共圆，证明C，D，E，F也必四点共圆．25．已知四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为各边中点，判断E、F、G、H四点是否在同一个圆上，如果在同一圆上，找到圆心，并证明四点共圆；如果不在，说明理由．26．如图，在△ABC中，AB＜AC，AD平分∠BAC，BM＝CM，K为AM上一点，且∠BKC＝180°﹣∠BAC．求证：∠BKD＝∠CKD．27．如图，O为△ABC外心，D为BC上一点，BD中垂线交AB于F，CD中垂线交AC于E，求证：A、F、O、E四点共圆．28．如图，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE＝BF，AC＝BC，O是△ABC 的外心，证明C，E，O，F四点共圆．29．如图，点F是△ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD＝AB，BE＝EC．证明：B、E、D、F四点共圆．30．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点D，点E是AC的中点，连接OD．（1）求证：OD⊥DE；（2）求证：O、A、E、D四点共圆．（3）△ABC满足什么条件时，经过O、A、E、D的圆与BC相切？并说明理由．31．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D．过△ABC的外心O作直线OG⊥CD交AC于点E，交CD于点G，过点E作EF∥AB交CD于F．（1）求证：C，E，O，F四点共圆；（2）求证：A，O，F三点共线；（3）求证：EA＝EF．32．在学习《圆》这一单元时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：已知：△ABC是等边三角形，点D是△ABC内一点，连接CD，将线段CD绕C逆时针旋转60°得到线段CE，连接BE，DE，AD，并延长AD交BE于点F．当点D在如图所示的位置时：（1）观察填空：①与△ACD全等的三角形是；②∠AFB的度数为；（2）利用题干中的结论，证明：C，D，F，E四点共圆；（3）直接写出线段FD，FE，FC之间的数量关系．33．如图，四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，自对角线AC、BD的交点N作NM⊥AB于点M，线段AC、MD交于点E，BD、MC交于点F，P是线段EF上的任意一点．证明：点P到线段CD的距离等于点P到线段MC、MD的距离之和．34．如图，在△ABC中，过A作BC的垂线，垂足为D，O为AD的中点，以AD为直径的⊙O分别与边AB、AC交于点E、F．试求证：（1）BC是⊙O的切线；（2）B、C、F、E四点共圆吗？说明理由．35．如图，圆O内接四边形ABCD的对边AD，BC延长线交于点P，对角线AC，BD交于点Q，设△PDB 的外接圆交直线PQ与P和另一个点K，求证：（1）OK⊥PQ（2）C，D，O，K四点共圆；（3）三条直线AB，OK，DC交于一点．36．如图，已知锐角三角形ABC，过点A作BC的垂线与以BC为直径的⊙O1分别交于点D，E．过点B 作CA的垂线与以CA为直径的⊙O2分别交于点F，G．求证：E，F，D，G四点共圆，并确定圆心的位置．37．已知△ABC中，∠A＝60°，E、F分别为AB、AC延长线上的点，且BE＝CF＝BC，△ACE的外接圆与EF交于不同于E的点K，设BF与CE交于点T．（1）证明：A、B、T、C四点共圆；（2）证明：点K在∠BAC的角平分线上．38．已知半径为r的⊙O1与半径为R的⊙O2外离，直线DE经过O1切⊙O2于点E并交⊙O1于点A和点D，直线CF经过O2切⊙O1于点F并交⊙O2于点B和点C，连接AB、CD，（1）[以下ⅰ、ⅱ两小题任选一题]（ⅰ）求四边形ABCD的面积（ⅱ）求证：A、B、E、F四点在同一个圆上（2）求证：AB∥DC．39．已知：AB是⊙O的直径，C为AB延长线上的一点，过点C作⊙O的割线，与⊙O交于D、E两点，OF是△BOD的外接圆O1的直径，连接CF并延长交⊙O1于点G．求证：O、A、E、G四点共圆．40．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对边BC，AD交于点F，AB、DC交于点E，△ECF的外接圆与⊙O的另一交点为H，AH与EF交于点M，MC与⊙O交于点C．证明：（1）M为EF的中点；（2）A、G、E、F四点共圆．41．已知：AB∥DF，它们之间的距离等于AB；AC∥DE，它们之间的距离等于AC；CB∥EF，它们之间的距离等于BC，求证：A1、B1、C1、A2、B2、C2六点共圆．42．设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD、AE边于点F、G，且AB＝AC，求证：F、D、E、G四点共圆．43．若以圆内接四边形ABCD的各边为弦作任意圆，求证：这些圆相交的四点共圆．44．如图，PQ为两圆的公共弦，M为PQ上一点，AB、CD分别是两圆的弦且它们相交于M，求证：A、C、B、D四点共圆．45．如图，⊙O1与⊙O2相交于P、Q两点，过P点作两圆的割线分别交于⊙O1与⊙O2于A、B，过A、B 分别作两圆的切线相交于T，求证：T、A、Q、B四点共圆．46．如图所示，两圆交于A、B两点，过B的直线交两圆于C、D，两圆外有一点P，连接PC，PD，分别交两圆于E，F．求证：P、E、A、F四点共圆．47．如图，⊙O是以等腰Rt△ABC的斜边AB为直径的圆，点P是BA的延长线上的一点，过点P作⊙O 的一条切线，切点为点Q，∠QPB的平分线交AC、BC于点E、F．（1）求证：P、A、E、Q四点共圆．（2）若AE＝a，BF＝b，求EF的长．48．如图，四边形ABCD内接于⊙O，P、Q、R分别是AB、BC、AD的中点，连接PQ与DA的延长线交于S，连接PR与CB延长线交于T，求证：S、T、Q、R四点共圆．49．如图，两圆T1、T2相交于A、B两点，过点B的一条直线分别交圆T1、T2于点C、D，过点B的另一条直线分别交圆T1、T2于点E、F，直线CF分别交圆T1、T2于点P、Q，设M、N分别是弧PB、弧QB的中点，求证：若CD＝EF，则C、F、M、N四点共圆．50．如图，D是△ABC的BC边上的一点，O1、O2和O3分别为△ABC、△ADB和△ADC外接圆的圆心，求证：A、O2、O1、O3四点共圆．中考压轴题专题训练：“四点共圆”典型问题50练参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，D是BC中点，∠CAD＝∠CBE，则AE＝（）A．4B．3C．2D．【分析】如图，连接DE，由等腰直角三角形的性质可求∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4，由∠CAD＝∠CBE，可证点A，点B，点D，点E四点共圆，可得∠ABD＝∠DEC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求DE＝，即可求解．【解答】解：如图，连接DE，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，∴∠C＝∠BAC＝45°，AC＝AB＝4，∵D是BC中点，∴CD＝BC＝2，∵∠CAD＝∠CBE，∴点A，点B，点D，点E四点共圆，∴∠ABD＝∠DEC＝90°，∴∠C＝∠EDC＝45°，∴DE＝CE＝CD＝，∴AE＝AC﹣CE＝3，故选：B．2．在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN【分析】在NM上截取NF＝ND，连结DF，AF，由A，B，C，D四点共圆，得出∠MND+∠MAD＝180°，由MN∥BC，得出∠AMN+∠ADN＝180°，可得到A，D，N，M四点共圆，再由AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，A，F，E，D四点共圆，由∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND ＝∠EDN＝∠ADE＝∠AFM，可得出MA＝MF，即得出MN＝MF+NF＝MA+ND．【解答】解：如图，在NM上截取NF＝ND，连结DF，AF∴∠NFD＝∠NDF，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ADC+∠B＝180°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B，∴∠AMN+∠ADN＝180°，∴A，D，N，M四点共圆，∴∠MND+∠MAD＝180°，∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠END+2∠DFN＝∠END+2∠DAE＝180°，∴∠DFN＝∠DAE，∴A，F，E，D四点共圆，∴∠DEN＝∠DAF，∠AFM＝∠ADE，∴∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND＝∠EDN＝∠ADE＝∠AFM，∴MA＝MF，∴MN＝MF+NF＝MA+ND．故选：D．3．如图，已知（1）已知△ABC的两条中线BD、CE交于点M，A、D、M、E四点共圆，BC＝8，则AM 的长为（）A．2B．C．D．3【分析】延长AM交BC于F，连接ED，根据三角形中位线定理得出ED∥BC，即可求得∠DBC＝∠MDE，根据四点共圆，可得∠MDE＝∠BAF，由题意可得M是三角形的重心，则F是BC的中点，AM＝2FM，证得△ABF∽△MBF，可得＝，得出AF•FM＝BF2＝16，根据条件化成AM2＝16，即可求得结论．【解答】解：延长AM交BC于F，连接ED，∵BD、CE是△ABC的两条中线，∴ED∥BC，∴∠DBC＝∠MDE，∵A、D、M、E四点共圆，∴∠MDE＝∠BAF，∵△ABC的两条中线BD、CE交于点M，∴BF＝FC＝BC＝4，∴M为三角形的重心，∴AM＝2FM，∵∠BAF＝∠MBF，∠AFB＝∠BFM，∴△ABF∽△MBF，∴＝，∴AF•FM＝BF2＝16，（AM+AM）•AM＝16，∴AM2＝16，∴AM＝．故选：C．4．如图，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2，点P是BC上一动点，PE⊥AB于E，PD ⊥AC于D．无论P的位置如何变化，线段DE的最小值为（）A．3﹣3B．C．4﹣6D．2【分析】下面介绍两种解法：解法一：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，得出∠AED＝∠C＝45°，有一公共角，根据两角对应相等两三角形相似得△AED∽△ACB，则，设AD＝2x，表示出AE和AC的长，求出AE与AC的比，代入比例式中，可求出DE的值．解法二：先通过四点共圆同理得到：△EFD为顶角为120°的等腰三角形，所以当AP⊥BC时，线段DE的值最小，再作辅助线，求AP的长，从而得EF的长，由等腰三角形三线合一及勾股定理得DE的值．【解答】解：解法一：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，如图1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，∴∠AEP＝∠ADP＝90°，∴∠AEP+∠ADP＝180°，∴A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，在Rt△PDC中，∠C＝45°，∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD＝45°，∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠PAD＝45°，∴∠PED＝∠PAD＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AED＝∠C＝45°，∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，∴，设AD＝2x，则PD＝DC＝2x，AP＝2x，如图2，取AP的中点O，连接EO，则AO＝OE＝OP＝x，∵∠EAP＝∠BAC﹣∠PAD＝60°﹣45°＝15°，∴∠EOP＝2∠EAO＝30°，过E作EM⊥AP于M，则EM＝x，cos30°＝，∴OM＝x•＝x，∴AM＝x+x＝x，由勾股定理得：AE＝，＝，＝（+1）x，∴＝，∴ED＝．则线段DE的最小值为；解法二：如图3，取AP的中点F，连接EF、DF，有EF＝DF＝AP，∠EFD＝120°，∴△EFD为顶角为120°的等腰三角形，∴当AP⊥BC时，线段DE的值最小，如图4，作AB的中垂线，交AP于一点O，交AB于G，连接OB，设OA＝OB＝2x，∵∠BOP＝2∠BAO＝30°，∴BP＝x，OP＝x，∴AP＝PC＝（2+）x，∵BC＝6﹣2，∴x+2x+x＝6﹣2，x＝4﹣2，∴AP＝（2+）x＝（2+）（4﹣2）＝2，∴EF＝FD＝1，如图5，过F作FH⊥ED于H，∴EH＝DH，∵∠FED＝30°，∴FH＝，∴EH＝DH＝，∴DE＝；故选：B．5．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．6．如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：①当AC＝BD时，M、E、N、F四点共圆．②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．③当AC＝BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，利用三角形中位线定理可证到四边形ENFM 是平行四边形；然后根据条件判定四边形ENFM的形状，就可知道M、E、N、F四点是否共圆．【解答】解：连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示．∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM＝NF＝BD，EN＝MF＝AC．∴四边形ENFM是平行四边形．①当AC＝BD时，则有EM＝EN，所以平行四边形ENFM是菱形．而菱形的四个顶点不一定共圆，故①不一定正确．②当AC⊥BD时，由EM∥BD，EN∥AC可得：EM⊥EN，即∠MEN＝90°．所以平行四边形ENFM是矩形．则有OE＝ON＝OF＝OM．所以M、E、N、F四点共圆，故②正确．③当AC＝BD且AC⊥BD时，同理可得：四边形ENFM是正方形．则有OE＝ON＝OF＝OM．所以M、E、N、F四点共圆，故③正确．故选：C．7．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN ＝a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】①根据正方形的性质得到∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，根据旋转的性质得到∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，根据余角的性质得到∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，等量代换得到∠DAM＝∠AND，故①正确；②根据正方形的性质得到PC∥EF，根据相似三角形的性质得到CP＝b﹣；故②正确；③根据旋转的性质得到GN＝ME，等量代换得到AB＝ME＝NG，根据全等三角形的判定定理得到△ABM ≌△NGF；故③正确；④由旋转的性质得到AM＝AN，NF＝MF，根据全等三角形的性质得到AM＝NF，推出四边形AMFN＝AM2是矩形，根据余角的想知道的∠NAM＝90°，推出四边形AMFN是正方形，于是得到S四边形AMFN＝a2+b2；故④正确；⑤根据正方形的性质得到∠AMP＝90°，∠ADP＝90°，得到∠ABP+∠ADP＝180°，于是推出A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠DAM＝90°，∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，∴∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，∴∠DAM＝∠AND，故①正确；②∵四边形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△EMF，∴，∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM＝b，∴EF＝b，CM＝a﹣b，ME＝（a﹣b）+b＝a，∴，∴CP＝b﹣；故②正确；③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴GN＝ME，∵AB＝a，ME＝a，∴AB＝ME＝NG，在△ABM与△NGF中，，∴△ABM≌△NGF；故③正确；④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴AM＝AN，∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴NF＝MF，∵△ABM≌△NGF，∴AM＝NF，∴四边形AMFN是矩形，∵∠BAM＝∠NAD，∴∠BAM+DAM＝∠NAD+∠DAN＝90°，∴∠NAM＝90°，∴四边形AMFN是正方形，∵在Rt△ABM中，a2+b2＝AM2，＝AM2＝a2+b2；故④正确；∴S四边形AMFN⑤∵四边形AMFN是正方形，∴∠AMP＝90°，∵∠ADP＝90°，∴∠AMP+∠ADP＝180°，∴A，M，P，D四点共圆，故⑤正确．故选：D．8．如图，已知∠A的平分线分别与边BC、△ABC的外接圆交于点D、M，过D任作一条与直线BC不重合的直线l，直线l分别与直线MB、MC交于点P、Q，下列判断错误的是（）A．无论直线l的位置如何，总有直线PM与△ABD的外接圆相切B．无论直线l的位置如何，总有∠PAQ＞∠BACC．直线l选取适当的位置，可使A、P、M、Q四点共圆D．直线l选取适当的位置，可使S△APQ＜S△ABC【分析】本题要求选出错误的命题，只需找到一个命题，说明该命题是假命题即可．可采用反证法判断C是错误的，运用相交弦定理可得DA•DM＝DP•DQ，DA•DM＝DB•DC，可得DP•DQ＝DB•DC，即＝，从而可得△DBP∽△DQC，则有∠BPD＝∠QCD．由AM平分∠BAC可得∠BAM＝∠MAC，根据圆周角定理可得∠MBC＝∠MAC，∠MCB＝∠BAM，即可得到∠MBC＝∠MCB，从而有∠BPD＝∠MBC，与三角形外角的性质∠MBC＝∠BPD+∠BDP矛盾，故假设不成立，即选择C错误．【解答】解：假设A、P、M、Q四点共圆，根据相交弦定理可得：DA•DM＝DP•DQ，∵A、B、M、C四点共圆，∴根据相交弦定理可得：DA•DM＝DB•DC，∴DP•DQ＝DB•DC，即＝，∵∠BDP＝∠QDC，∴△DBP∽△DQC，∴∠BPD＝∠QCD，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠MAC，∵∠MBC＝∠MAC，∠MCB＝∠BAM，∴∠MBC＝∠MCB，∴∠BPD＝∠MBC．与∠MBC＝∠BPD+∠BDP矛盾，故假设不成立，因而命题C错误，故选：C．9．如图，一副直角三角板满足∠ACB＝∠EDF＝90°，AC＝BC，AB＝DF，∠EFD＝30°，将三角板DEF 的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D旋转，并使边DE与边AC交于点M，边DF与边BC于点N．当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：①点C，M，D，N四点共圆；②连接CD，若AD＝DB，则△ADM∽△CDN；③若AD＝DB，则DN•CM＝BN•DM；④若AD＝DB，则CM+CN＝AD；⑤若DB＝2AD，AB＝6，则2≤S△DMN≤4．其中正确结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5【分析】①正确，如图1中，只要证明∠MCN+∠MDN＝180°．②正确，可以证明△ADM与△DCN全等．③正确，如图3中，只要证明△ADM≌△CDN，推出AM＝CN，DM＝DN，因为AC＝BC，推出CM＝BN，即可证明．④正确，如图4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．只要证明四边形CHDG是正方形，△DHM≌△DGN，推出MH＝NG，推出CM+CN＝CH+MH+CG﹣NG＝2CH，又因为AD＝CD＝CH，由此即可证明．⑤正确，如图5中，由△DHM∽△DGN，推出＝＝，设DM＝x，则DG＝2x，推出S△DMN＝•2x•x＝x2，当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝DH＝，△DMN的面积最小值为2，当DM ⊥AB时，DM的值最大，此时DM＝AD＝2，△DMN的面积的最大值为4，由此即可判断．【解答】解：①正确．理由如下：如图1中，∵∠ACB＝90°，∠EDF＝90°，∴∠MCN+∠MDN＝180°，∴点C，M，D，N四点共圆．②正确．理由如下：如图2中，连接CD．∵AC＝BC．AD＝DB．∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∴∠ADC＝∠MDN＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN．故②正确．③正确．理由如下：如图3中∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，CD⊥AB，∠A＝∠ACD＝∠DCN＝45°，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADM＝∠CDN，在△ADM和△CDN中，，∴△ADM≌△CDN，∴AM＝CN，DM＝DN，∵AC＝BC，∴CM＝BN，∴DN•CM＝BN•DM④正确．理由如下：如图4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．∵∠ACD＝∠BCD＝45°，∴DH＝DG，∵∠DHC＝∠HCG＝∠CGD＝90°，∴四边形CHDG是矩形，∵DH＝DG，∴四边形CHDG是正方形，∴∠HDG＝∠MDN＝90°，CH＝CG，∴∠MDH＝∠GDN，在△DHM和△DGN中，，∴△DHM≌△DGN，∴MH＝NG∴CM+CN＝CH+MH+CG﹣NG＝2CH，∵AD＝CD＝CH，∴CM+CN＝AD．如图5中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．∵AB＝6，BD＝2AD，∴AD＝2，BD＝4，∴AH＝DH＝，DG＝GB＝2，∵∠DHC＝∠HCG＝∠CGD＝90°，∴四边形CHDG是矩形，∴∠HDG＝∠MDN，∴∠MDH＝∠NDG，∵∠DHM＝∠DGN＝90°，∴△DHM∽△DGN，∴＝＝，设DM＝x，则DG＝2x，＝•2x•x＝x2，∴S△DMN当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM＝DH＝，△DMN的面积最小值为2，当DM⊥AB时，DM的值最大，此时DM＝AD＝2，△DMN的面积的最大值为4，≤4．∴2≤S△DMN故选：D．二．填空题（共14小题）10．若一个圆经过梯形ABCD的四个顶点，则这个梯形是等腰梯形．【分析】由四点共圆和平行线的性质证出∠B＝∠C，根据在同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形就能求出答案．【解答】解：∵圆经过梯形ABCD的四个顶点，∴∠A+∠C＝180°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠B＝∠C，∴梯形ABCD是等腰梯形．故答案为：等腰．11．已知AB为圆O的一条弦（非直径），OC⊥AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有①③．①O，M，B，P四点共圆；②A，M，B，N四点共圆；③A，O，P，N四点共圆．【分析】首先按照题意画出示意图，然后根据四点共圆的判定定理进行判断．①验证∠BPM＝∠BOC 即可；②由图形可知明显错误；③推导∠AOP+∠ANP＝180°即可．【解答】解：如图，∵OC⊥AB于C，∴∠BOC＝∠AOC＝∠AOB，NA＝NB，∵∠BPM＝∠AOB，∴∠BPM＝∠BOC，∴O、M、B、P四点共圆，∴①正确．∵四边形AMBN为凹四边形．∴A、M、B、N不共圆，∴②错误．∵NA＝NB，∴∠NAB＝∠NBA，∵∠NAB+∠NBA+∠ANP＝180°，∴∠ANP+2∠NBA＝180°∵∠AOP＝2∠NBA，∴∠AOP+∠ANP＝180°，∴A、O、P、N四点共圆，∴③正确．故答案为：①③12．已知△ABC中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，且AD、BE交于点H，连接CH，则∠ACH+∠BAE＝90°．【分析】根据题意可知，点A、B、D、E共圆，点H是△ABC的垂心．过点A作⊙O的切线AF交BC 的延长线BC于点F．根据切线的性质可知△ABF是直角三角形、由平行线的判定与性质可知∠HCA＝∠CAF；最后由图形可知∠BAF＝∠FAC+∠CAB＝90°，即∠BAC+∠HCA＝90°．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC≠90°，AD⊥BC，BE⊥AC，∴点A、B、D、E在以AB为直径的⊙O上；过点A作⊙O的切线AF交BC的延长线BC于点F，则AF⊥AB．∵点H是三角形ABC的垂心，∴CH⊥AB，∴CH∥AF，∴∠HCA＝∠CAF（两直线平行，内错角相等）；又∵∠BAF＝∠FAC+∠CAB＝90°，∴∠BAC+∠HCA＝90°．故答案是：90°．13．已知△ABC为等腰直角三角形，∠C为直角，延长CA至D，以AD为直径作圆，连BD与圆O交于点E，连CE，CE的延长线交圆O于另一点F，那么的值等于．【分析】连接AE，AF，DF，根据AD为直径，可证A、C、B、E四点共圆，则∠ACF＝∠ABD，又∠AFC＝∠ADB，可证△AFC∽△ADB，则＝，而∠FAD＝∠FED＝∠BEC＝∠BAC＝45°，根据＝求解．【解答】解：如图，连接AE，AF，DF，∵AD为直径，∴∠AED＝∠AEB＝∠ACB＝90°，∴A、C、B、E四点共圆，∴∠ACF＝∠ABD，又∵∠AFC＝∠ADB，∴△AFC∽△ADB，∴＝，∵∠FAD＝∠FED＝∠BEC＝∠BAC＝45°，在Rt△ADF中，＝＝＝．故答案为：．14．已知二次函数y1＝a1（x﹣1）2﹣2012，其图象顶点为M，且与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，又知二次函数y2＝a2（x﹣1）2+1的顶点为N，若A，B，M，N四点共圆，则x1x2﹣x1﹣x2＝﹣2013．【分析】不妨设A在B的左边，设MN与AB的交点为H，易证△AHM∽△NHA，从而可求出AH，进而得到x1，同理可求出x2，然后代入所求代数式就可解决问题．【解答】解：不妨设A在B的左边，设MN与AB的交点为H，由题可知：M（1，﹣2012），N（1，1），则MH＝2012，NH＝1．根据抛物线的对称性可得MN垂直平分AB，故MN为四边形AMBN外接圆的直径，根据圆周角定理可得∠NAM＝∠NBM＝90°，∴∠NAH+∠MAH＝90°，∠HMA+∠MAH＝90°，∴∠NAH＝∠HMA．∵∠AHN＝∠MHA＝90°，∴△AHM∽△NHA，∴＝，∴AH2＝MH•NH＝2012，∴AH＝＝2，∴1﹣x1＝2，∴x1＝1﹣2．同理x2＝1+2，∴x1x2﹣x1﹣x2＝（1﹣2（1+2）﹣（1﹣2）﹣（1+2）＝1﹣2012﹣1+2﹣1﹣2＝﹣2013．故答案为﹣2013．15．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝72°，则∠CAD的度数为18°．【分析】通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠ABD＝∠ACD＝72°，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠ABD＝∠ACD＝72°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝18°，故答案为：18°．16．已知：AB＝2，AC平分∠DAB，∠DAB+∠DCB＝180°，∠DCB＝120°，当∠ABD＝∠CBF时，则AC＝+1．【分析】先证明A、B、C、D四点共圆，由圆周角定理得出∠ABD＝∠ACD，再由已知条件和圆内接四边形的性质得出∠ACD＝∠ADC，由三角形内角和定理求出∠ACD＝∠ADC＝75°，得出∠ACB＝45°，作BM⊥AC于M，则∠AMB＝∠CMB＝90°，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得出BM＝AB＝1，AM＝，得出△CBM是等腰直角三角形，因此CM＝BM＝1，即可得出AC的长．【解答】解：∵∠DAB+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四点共圆，∠DAB＝180°﹣∠DCB＝60°，∴∠ABD＝∠ACD，∵∠ABD＝∠CBF，∴∠ACD＝∠CBF，∵∠CBF＝∠ADC，∴∠ACD＝∠ADC，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠ACB＝120°﹣75°＝45°，作BM⊥AC于M，如图所示：则∠AMB＝∠CMB＝90°，∴BM＝AB＝1，△CBM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝，CM＝BM＝1，∴AC＝AM+CM＝+1；故答案为：+1．17．在四边形ABCD中，∠DAC＝98°，∠DBC＝82°，∠BCD＝70°，BC＝AD，则∠ACD＝28°．【分析】以CD为对称轴作△CDE与△CBD对称，可得∠DEC＝∠DBC＝82°，CE＝CB，然后由∠DAC＝98°可得∠DEC+∠DAC＝180°，得出A、D、E、C四点共圆，然后可得CE＝AD，继而得出∠DCA＝∠CDE＝∠CDB，由∠BCD和∠DBC的度数可求出∠BCD的度数，即可求出∠ACD的度数．【解答】解：以CD为对称轴作△CDE与△CBD对称，则∠DEC＝∠DBC，CE＝CB，∵∠DAC＝98°，∠DBC＝82°，∴∠DEC＝82°，∴∠DEC+∠DAC＝180°，∴A、D、E、C四点共圆，∵BC＝AD，CE＝CB，∴CE＝AD，∴∠DCA＝∠CDE＝∠CDB，∵∠BCD＝70°，∠DBC＝82°，∴∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠DBC＝28°，∴∠ACD＝∠BDC＝28°．故答案为：28°．18．如图，在等腰△ABC中，∠ABC＝90°，点D为BC的中点，点E在AC边上，以DE为腰作等腰Rt△DEF，连接CF，BF．若CE＝1，△CDF的面积为7.5，则BF的长为．【分析】作DN⊥AC，DM⊥FC，FK⊥BC，垂足分别为N，M，K，如图所示．易证∠DFE＝∠ACB═45°，可得D、E、C、F四点共圆，从而可证到∠DEN＝∠DFM，进而可得△DNE≌△DMF，则有DN ＝DM，NE＝MF．易证四边形DNCM是正方形，设正方形DNCM的边长为x，根据△CDF的面积为7.5建立关于x的方程，求出x，从而可求出FC、KC、BK，然后根据勾股定理就可求出BF的长．【解答】证明：作DN⊥AC，DM⊥FC，FK⊥BC，垂足分别为N，M，K，如图所示．∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠ACB＝45°，∴D、E、C、F四点共圆，∴∠EDF+∠ECF＝180°，∠DEC+∠DFC＝180°，∠DCF＝∠DEF＝45°．∵∠DEN+∠DEC＝180°，∴∠DEN＝∠DFM．在△DNE和△DMF中，．∴△DNE≌△DMF，∴DN＝DM，NE＝MF．∵∠DNC＝∠NCM＝∠DMC＝90°，∴四边形DNCM是矩形．∵DN＝DM，∴矩形DNCM是正方形．设正方形DNCM的边长为x，则NC＝MC＝DM＝DN＝x，∴MF＝NE＝NC﹣EC＝x﹣1，∴FC＝MC+FM＝x+（x﹣1）＝2x﹣1．∵△CDF的面积为7.5，∴x（2x﹣1）＝7.5．解得：x1＝﹣2.5（舍去），x2＝3．∴BD＝DC＝＝3，FC＝5，∴KF＝FC•sin45°＝．同理：KC＝，∴BK＝BC﹣KC＝6﹣＝，∴BF＝＝．故答案为：．19．如图，线段AB、CD相交于E，AE＝AC，DE＝DB，点M、F、G分别为线段AD、CE、EB的中点，如果∠MAE＝25°，∠AMF＝40°，那么∠MFG的度数为45°．【分析】如图，连接AF，DG，由等腰三角形的性质可得∠AFD＝∠AGD＝90°，可得点A，点F，点G，点D四点共圆，可得∠DFG＝∠GAD＝25°，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可求∠DFM ＝20°，即可求解．【解答】解：如图，连接AF，DG，∵AE＝AC，DE＝DB，点F，点G是CE，BE的中点，∴AF⊥CE，DG⊥BE，∴∠AFD＝∠AGD＝90°，∴点A，点F，点G，点D四点共圆，∴∠DFG＝∠GAD＝25°，∵∠AFD＝90°，点M是AD中点，∴AM＝FM＝DM，∴∠DFM＝∠FDM，且∠AMF＝∠FDM+∠DFM＝40°，∴∠DFM＝20°，∴∠MFG＝∠MFD+∠DFG＝45°，故答案为45°．20．如图，点O为等边△ABC内一点，OA＝2，OC＝，连接BO并延长交AC于点D，且∠DOC＝30°，过点B作BF⊥BD交CO延长线于点F，连接AF，过点D作DE⊥AF于点E，则DE＝．【分析】过点C作CM⊥CF交BD延长线于点M，连接AM，由∠BMC＝∠BAC＝∠BFC＝60°知A、F、B、C、M五点共圆，证∠AMB＝60°、OM＝OA＝2得△AOM是等边三角形，由∠AOM＝60°＝∠OMC知MC∥AO，得＝＝＝，从而有OD＝OM＝、DM＝OM＝，由A、F、B、M四点共圆证△ODG是等边三角形，得AG＝OA﹣OG＝OM﹣OD＝DM＝、EG＝AG＝，根据DE＝DG+EG＝OD+EG得出答案．【解答】解：过点C作CM⊥CF交BD延长线于点M，连接AM，∵∠DOC＝30°，∴∠BMC＝∠BAC＝∠BFC＝60°，∴A、F、B、C、M五点共圆，∴∠AMB＝∠ACB＝60°，∵OC＝、∠COD＝30°，∴OM＝＝2＝OA，∴△AOM是等边三角形，∴∠AOM＝60°，∵∠AOM＝60°＝∠OMC，∴MC∥AO，∴＝＝＝，∴OD＝OM＝，DM＝OM＝，∵A、F、B、M四点共圆，∴∠FAM＝180°﹣∠FBM＝90°，∴∠EAG＝∠FAM﹣∠OAM＝30°，∴∠OGD＝∠AGE＝60°，∴△ODG是等边三角形，∴AG＝OA﹣OG＝OM﹣OD＝DM＝，∴EG＝AG＝，∴DE＝DG+EG＝OD+EG＝，故答案为：．21．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD交于点O，E为DC上一点，∠DAE＝30°，过D作DF⊥AE于F点，连接OF．则线段OF的长度为﹣．【分析】作OG⊥DF于G，连接OG．易证A、O、F、D四点共圆，从而有∠OFG＝∠DAO＝45°，则有OG＝FG．设GF＝GO＝x，则有DG＝1+x，OF＝x．然后先求出OD，再在Rt△OGD中运用勾股定理求出x，就可得到OF的长．【解答】解：作OG⊥DF于G，连接OG，如图所示．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAC＝45°，∠AOD＝90°．∵DF⊥AE，即∠AFD＝90°，∴∠AOD＝∠AFD．∴A、O、F、D四点共圆．∴∠OFG＝∠DAO＝45°．∵OG⊥DF，即∠OGF＝90°，∴∠FOG＝45°＝∠OFG．∴OG＝FG．∵∠AFD＝90°，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DF＝1．设GF＝GO＝x，则有DG＝DF+FG＝1+x，OF＝＝x．在Rt△AOD中，OD＝AD•sin∠DAO＝2×＝．在Rt△OGD中，∵∠OGD＝90°，∴OG2+DG2＝OD2．∴x2+（1+x）2＝（）2．解得：x1＝﹣+，x2＝﹣﹣（舍去）．所以OF＝x＝﹣．故答案为：﹣．22．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，且BE平分∠DBC，O是BD中点，直线BE、DG交于H．BD，AH交于M，连接OH，则OH＝AB，BM＝AB．【分析】易得△BCE≌△DCG，得到∠1＝∠2，B，C，H，D四点共圆，得出OH＝BD＝AB，由E关于BD的对称E′，得到△BEE′是等腰三角形，BM⊥E′E于M，由角平分线到角两边的距离相等得出BM＝AB．【解答】解：如图，设EE′与BD交于点M′，∵AD＝CD∴AE′＝CE＝EF，∵∠E′AM′＝∠EFM′，∠AM′E′＝∠FM′F，∴△AM′E′≌△FM′E（AAS），∴EM′＝E′M′，∵ME′＝ME∴M与M′重合，∵BC＝DC，EC＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠1＝∠2，∴B，C，H，D四点共圆，∴OH＝BD＝AB，∵E关于BD的对称E′，∵∠3＝∠4，BE＝BE′，∴△BEE′是等腰三角形，∴BM⊥E′E于M，∴BM＝AB．故答案为：AB，AB．23．如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM＝b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD＝∠AND；②CP＝a﹣；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN＝a2+b2；⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的序号为①③④⑤．【分析】①由正方形的性质得∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，由旋转的性质得∠NAD＝∠BAM，∠AND ＝∠AMB，由余角的性质进而得∠DAM＝∠AND，①正确；②由正方形的性质得PC∥EF，由相似三角形的性质得到CP＝b﹣，②错误；③由旋转的性质得GN＝ME，则AB＝ME＝NG，证出△ABM≌△NGF（SAS）；③正确；＝AM2＝a2+b2；④正确；得到S四边形AMFN⑤由正方形的性质得∠AMP＝90°，∠ADP＝90°，得∠ABP+∠ADP＝180°，推出A，M，P，D四点共圆，⑤正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠BAM+∠DAM＝90°，∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴∠NAD＝∠BAM，∠AND＝∠AMB，∴∠DAM+∠NAD＝∠NAD+∠AND＝∠AND+∠NAD＝90°，∴∠DAM＝∠AND，故①正确；②∵四边形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△MFE，∴＝，∵大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），BM＝b，∴EF＝b，CM＝a﹣b，ME＝（a﹣b）+b＝a，∴＝，∴CP＝b﹣；故②错误；③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴GN＝ME，∵AB＝a，ME＝a，∴AB＝ME＝NG，在△ABM与△NGF中，，∴△ABM≌△NGF（SAS）；故③正确；④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN，∴AM＝AN，∵将△MEF绕点F旋转至△NGF，∴NF＝MF，∵△ABM≌△NGF，。
中考数学压轴题十大题型(含详细答案)
一、中考数学压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ，交x 轴的正半轴于点B ，过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ，∠AFO=45°． （1）求∠FAB 的度数；（2）点 P 是线段OB 上一点，过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ，连接 BQ ，取 BQ 的中点C ，连接AP 、AC 、CP ，过点C 作 CR ⊥AP 于点R ，设 BQ 的长为d ，CR 的长为h ，求d 与 h 的函数关系式（不要求写出自变量h 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ，CE 交 AB 于点D ，连接 AE ，∠AEC=2∠DAP ，EP=2，作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ，求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标．2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式；（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．3．如图1，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，其中点B 的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点E 是BD 上方抛物线上的一点，连接AE 交DB 于点F ，若AF=2EF ，求出点E 的坐标．（3）如图3，点M 的坐标为（32，0），点P 是对称轴左侧抛物线上的一点，连接MP ，将MP 沿MD 折叠，若点P 恰好落在抛物线的对称轴CE 上，请求出点P 的横坐标．4．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 45B =，点O 是边BC 上的动点，以OB 为半径的O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长；（3）将O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求O 的半径长．5．如图，在平面直角坐标系中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 在x 轴正半轴上，2ABC ACB ∠=∠．（1）求直线BC 的解析式；（2）点D 是射线BC 上一点，连接AD ，设点D 的横坐标为t ，ACD ∆的面积为S ()0S ≠，求S 与t 的函数解析式，并直接写出自变量t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，AD 与y 轴交于点E ，连接CE ，过点B 作AD 的垂线，垂足为点H ，直线BH 交x 轴于点F ，交线段CE 于点M ，直线DM 交x 轴于点N ，当:7:12NF FC =时，求直线DM 的解析式．6．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．7．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．8．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．9．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．10．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．11．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式； （3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）12．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线239334y x x =--x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）过点C 的直线5334y x =-x 轴于点H ，若点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，且在对称轴的右侧，过点P 作//PQ y 轴交直线CH 于点Q ，作//PN x 轴交对称轴于点N ，以PQ PN 、为邻边作矩形PQMN ，当矩形PQMN 的周长最大时，在y 轴上有一动点K ，x 轴上有一动点T ，一动点G 从线段CP 的中点R 出发以每秒1个单位的速度沿R K T →→的路径运动到点T ，再沿线段TB 以每秒2个单位的速度运动到B 点处停止运动，求动点G 运动时间的最小值：（2）如图2， 将ABC ∆绕点B 顺时针旋转至A BC ''∆的位置， 点A C 、的对应点分别为A C ''、，且点C '恰好落在抛物线的对称轴上，连接AC '．点E 是y 轴上的一个动点，连接AE C E '、， 将AC E ∆'沿直线C E '翻折为A C E ∆''， 是否存在点E ， 使得BAA ∆'为等腰三角形?若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．13．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．14．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，108BAC ∠=︒，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=︒==，，，求AC 的长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题：（1）ACE ∠=___________度；（2）求AC 的长．（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=︒∠=︒，，对角线AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．15． 在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y ＝﹣x+4与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线y ＝ax 2+bx 与直线y ＝﹣x+4交于另一点B ，且点B 的横坐标为1．（1）该抛物线的解析式为；（2）如图1，Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点（不与B 、A 重合），过Q 作QP ⊥x 轴，交x 轴于P ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过M 作MN ⊥PM 交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN 并延长，交y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，MN ∥AE ．（3）如图3，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ，点T 为线段OA 上的一动点（不与O 、A 重合），以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ，以点A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ，连接DF ．在点T 运动的过程中，四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．16．如图，抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点C ，且OB OC =，()2,0A -．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=︒，连接OF 、CP 、PB ，FOB ∆的面积为3600169，求PBC ∆的面积．17．如图①，△ABC是等腰直角三角形，在两腰AB、AC外侧作两个等边三角形ABD和ACE，AM和AN分别是等边三角形ABD和ACE的角平分线，连接CM、BN，CM与AB交于点P．（1）求证：CM＝BN；（2）如图②，点F为角平分线AN上一点，且∠CPF＝30°，求证：△APF∽△AMC；（3）在（2）的条件下，求PFBN的值．18．如图，在⊙O中，直径AB＝10，tanA＝3．（1）求弦AC的长；（2）D是AB延长线上一点，且AB＝kBD，连接CD，若CD与⊙O相切，求k的值；（3）若动点P以3cm/s的速度从A点出发，沿AB方向运动，同时动点Q以32cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t （0＜t＜103），连结PQ．当t为何值时，△BPQ为Rt△？19．如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，连接AE，过点D作DF AE⊥于点F，过点C作CN DF⊥于点N，延长CN交AD于点M．（1）求证：AM MD=（2）连接CF，并延长CF交AB于G①若2AB=，求CF的长度；②探究当ABAD为何值时，点G恰好为AB的中点．20．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF＝（）A．180° B．270° C．360° D．540°（1）请写出这道题的正确选项；（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB∥EF，请直接写出∠BAD，∠ADE，∠DEF之间的数量关系．（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD，ED分别平分∠BAC，∠CEF时，∠ACE与∠ADE之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB∥EF，当∠ACD=90°时，∠BAC、∠CDE 和∠DEF之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．21．如图1，以AB为直径作⊙O，点C是直径AB上方半圆上的一点，连结AC，BC，过点C作∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作AB的平行线交CB的延长线于点E．（1）如图1，连结AD，求证：∠ADC＝∠DEC．（2）若⊙O的半径为5，求CA•CE的最大值．（3）如图2，连结AE，设tan∠ABC＝x，tan∠AEC＝y，①求y关于x的函数解析式；②若CBBE＝45，求y的值．22．发现来源于探究．小亮进行数学探究活动，作边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形AEFG（a>b），开始时，点E在AB上，如图1．将正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转．（1）如图2，小亮将正方形AEFG 绕点A 逆时针方向旋转，连接BE 、DG ，当点G 恰好落在线段BE 上时，小亮发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．当a=3，b=2时，请你帮他求此时DG 的长．（2）如图3，小亮旋转正方形AEFG ，点E 在DA 的延长线上，连接BF 、DF ．当FG 平分∠BFD 时，请你帮他求a ：b 及∠FBG 的度数．（3）如图4，BE 的延长线与直线DG 相交于点P ，a=2b ．当正方形AEFG 绕点A 从图1开始，逆时针方向旋转一周时，请你帮小亮求点P 运动的路线长（用含b 的代数式表示）．23．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．24．问题一：如图①，已知AC ＝160km ，甲，乙两人分别从相距30km 的A ，B 两地同时出发到C 地．若甲的速度为80km /h ，乙的速度为60km /h ，设乙行驶时间为x （h ），两车之间距离为y （km ）．（1）当甲追上乙时，x ＝ ．（2）请用x 的代数式表示y ．问题二：如图②，若将上述线段AC 弯曲后视作钟表外围的一部分，线段AB 正好对应钟表上的弧AB （1小时的间隔），易知∠AOB ＝30°．（3）分针OD 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 km ，时针OE 指向圆周上的点的速度为每分钟转动 °；（4）若从2：00起计时，求几分钟后分针与时针第一次重合？25．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．F解析：（1）∠FAB=90°；（2）22d h =；（3）直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【解析】【分析】（1）通过直线AB 的解析式可求出点A 、B 的坐标，可知AOB 是等腰直角三角形，再结合已知条件即可确定90FAB ∠=︒；（2）根据已知条件证明CP=AC=QC=BC 从而得出△ACP 是等腰直角三角形，在Rt △CRP 中，利用sin ∠CPR 22CR CP ==，推出2CP CR =，继而得出22BQ CR =，得出答案； （3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ，证明△AHC ≌△CEP ，设AH CE n ==，得出EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4，再通过角的等量代换，得出∠EAG=∠G ，从而有EG=EA=n+4，在Rt △AHE 中，通过勾股定理AE²=HE²+AH²可求出n 的值为6，从而得出直线AF 的解析式y = x + 8 ，再求出直线PS 的解析式为 y=-x+4，求交点即可．【详解】解：（1）如下图，y = -x + m ，当x=0时，y=m∴A （0，m ），OA=m当y=0时，0=-x+m ，x=m ，∴B （m ，0），OB=m∴OA=OB∴∠OAB=∠OBA=45°∵∠AFO=45°，∠FAB+∠FBA+∠AFB=180°∴∠FAB=90°（2）如下图 ，∵CP 、AC 分别是 Rt △QPB 和 Rt △QAB 的斜边上的中线∴CP= 12QB ，12AC QB =， ∴CP=AC=QC=BC∴∠CAB=∠CBA设∠CAB=∠CBA=α，∴∠CBP=45°+α∴∠CPB=∠CBP=45°+α∴∠PCB=180°-（∠CPB+∠CBP ）=90°-2α∵∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-2α∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=180°-2α-（90°-2α）=90°∵AC=CP∴△ACP 是等腰直角三角形∴∠CPA=∠CAP=45°∵CR ⊥AP ，∴∠CRP=90°，在Rt △CRP 中sin ∠CPR 22CR CP == ∴2CP CR =∵12CP BQ =， ∴22BQ CR =即22d h =（3）过点 A 作AH ⊥CE 交 EC 的延长线于点 H ，延长 CH 到点 G ，使 HG=CH ，连接AG ∴∠AHC=∠CEP=90°∴∠HAC+∠HCA=∠PCE+∠HCA∴∠HAC=∠PCE ，∵AC=CP∴△AHC ≌△CEP∴CH=PE=2，AH=CE ，∴GH=CH=2，AH CE n ==∴EG=CE+CH+GH=n+2+2=n+4设∠DAP=β，则∠AEG=2β∴α+β=45°∵∠EBD=∠EDB=∠HDA=∠HAD=45°∴∠CAH=∠HAD-α=45°-α=β∵AH 垂直平分 GC∴AG=AC∴∠GAH=∠CAH=β∴∠G=90°-β 在△EAG 中∠EAG=180°-∠G-∠AEG=180°-（90°-β）-2β =90°-β∴∠EAG=∠G∴EG=EA=n+4在 Rt △AHE 中，AE²=HE²+AH²222(4)(2)n n n +=++126,2n n ==-（舍）∴AH=OE=6，EP=EB=2∴OB=OE+BE=8∴m=8，∴A （0，8）∴OA=OF=8 ， ∴F （-8，0）∴直线 AF 的解析式为 y = x + 8∵CD=CE-DE=CE-BE=6-2=4∵线段 CD 关于直线 AB 的对称线段 DS∴SD=CD=4，∠CDA=∠SDA=45°∴∠CDS=90°，∴SD ∥x 轴过点 S 分别作 SM ⊥x 轴于点 M ，SN ⊥y 轴于点 N∴四边形 OMSN 、SMED 都是矩形∴OM=SN=OE-ME=2，ON=SM=DE=BE=2∴S(2，2)∵OP=OE-EP=6-2=4，∴P(4，0)设直线 PS 的解析式为 y=ax+b∴4022a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩∴直线 PS 的解析式为 y=-x+4设直线PS 与直线AF 的交点K(x ，y)∴48y x y x =-+⎧⎨=+⎩解得26x y =-⎧⎨=⎩∴直线PS 与直线AF 的交点K(-2，6)．【点睛】本题考查的知识点是一次函数与几何图形，将一次函数的图象与几何图形综合在一起的问题，是考查学生综合素质和能力的热点题型，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想．本题考查的知识点有一次函数图象与坐标轴的交点问题、等腰直角三角形的判定及性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定及性质、矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、线段垂直平分线等．2．C解析：（1）112y x =-+；（2）1d t =-+；（3）6215t -= 【解析】【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE 的解析式，再将点C 坐标代入即可求解；（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，通过解直角三角形可证EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，得到AN =DM ，HN =GM ，进而得到AH DG =，再根据CE 解析式求出D 点坐标，即可找出d 与t 之间的函数关系式；（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，得MN MT =，再进一步证明ENH ≌EMG ，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML 为等腰三角形且BM BL =，再用含有t 的代数式表示BM ，最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式，求出t 的值．【详解】解：（1）∵CE ⊥AB ，∴设直线CE 的解析式为：12y x c =-+， 把点C （2，0）代入上述解析式，得1c =，∴直线CD 的解析式为：112y x =-+； （2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，令26 112y xy x=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22xy=-⎧⎨=⎩，∴()2,2E-，易证EDM≌EAN，ENH≌EMG，∴AN=DM ，HN=GM，∴AH DG=，由直线CE的解析式112y x=-+，可求点D（0，1）∴DG=1—t，∴1d t=-+；（3）过点B作BT CM⊥于点T，在直线BT上截取TL NK=，易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形，由（2）问可知1tAH GD==-，则6tHC=-∴6tBG MT==-，∴MN MT=，∵90KNM LTM∠=∠=︒，∴ENH≌EMG，∴LNKM∠=∠，设KMNα∠=，则KMB KMNα∠=∠=，∴90NKM α∠=︒-，∴90NKM L α∠=∠=︒-，∵//BL MN ，∴2MBL BMN α∠=∠=，∴18090BML MBL L α∠=︒-∠-∠=︒-，∴BM BL =， ∵1tan 2KCH ∠=， ∴11322KH CH t ==-， ∴133322KN KH HN t t t TL =+=--=-=， ∴352BL BT TL t BM =+=-=， 在Rt BMG △中， 222BM BG GM =+，解得t =（不合题意舍去）或t =故，65t -=． 【点睛】本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．3．E解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）E （2，3）或（1，4）；（3）P 点横坐标为118【解析】【分析】(1) 抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为C （1，4），设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，由抛物线过点B,（3，0），即可求出a 的值，即可求得解析式； （2）过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x xx -++，求出A 、D 点的坐标，得到OM=x ，则AM=x+1，由AF=2EF 得到22(1)33x AN AM +==，从而推出点F 的坐标21210(,)3333x x --+，由23FN EM =，列出关于x 的方程求解即可；（3）先根据待定系数法求出直线DM 的解析式为y=-2x+3，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.证明△FGP ≌△FHQ ，得到FG=FH ，PT=45GH.设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），则PT=m²-4m ，GH=1-m ， 可得m²-4m=45（1-m ），解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线的顶点为C （1，4），∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =-+，∵抛物线过点B,（3，0），∴20(31)4a =-+，解得a=-1，∴设抛物线的解析式为2(1)4y x =--+，即2y x 2x 3=-++；（2）如图，过点E 、F 分别作x 轴的垂线，交x 轴于点M 、N ，设点E 的坐标为()2,23x x x -++，∵抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++，当y=0时，2023x x =-++，解得x=-1或x=3，∴A （-1.0），∴点D （0,3），∴过点BD 的直线解析式为3y x =-+，点F 在直线BD 上，则OM=x ，AM=x+1，∴22(1)33x AN AM +==， ∴2(1)2111333x x ON AN +=-=-=-， ∴21210(,)3333x x F --+，∴2210332233FN EM x x x +--++==， 解得x=1或x=2， ∴点E 的坐标为（2，3）或（1，4）；（3）设直线DM 的解析式为y=kx+b ，过点D （0,3），M （32，0）， 可得，3023k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得k=-2，b=3，∴直线DM 的解析式为y=-2x+3，∴32OM =，3OD =， ∴tan ∠DMO=2， 如图，过点P 作PT ∥y 轴交直线DM 于点T ，过点F 作直线GH ⊥y 轴交PT 于点G ，交直线CE 于点H.∵PQ ⊥MT ，∴∠TFG=∠TPF ，∴TG=2GF ，GF=2PG ，∴PT=25GF ， ∵PF=QF ，∴△FGP ≌△FHQ ，∴FG=FH ，∴PT=45GH. 设点P （m ，-m²+2m+3），则T （m ，-2m+3），∴PT=m²-4m ，GH=1-m ，∴m²-4m=45（1-m ）， 解得：1112018m -=，或2112018m +=（不合题意，舍去）， ∴点P 的横坐标为11201-. 【点睛】 本题考查二次函数综合题、平行线分线段成比例定理、轴对称性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会用数形结合的思想解决问题，有一定难度.4．D解析：（1）DF 的长为158；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258． 【解析】【分析】（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用cos 45B =解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ∆~∆，得到AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=，再通过平行证明AFN DFM ∆~∆，从而得到AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=︒，再利用cos 45B =解三角函数即可得出答案． 【详解】（1）如图，作EH BM ⊥于H ：∵E 为AB 中点，45,cos 5AB AD DC B ====∴52AE BE ==∴cos 45BH B BE == ∴2BH = ∴2253222EH ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭设半径为r ，在Rt OEH ∆中：()222322r r ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 解得：2516r =∵,E O 分别为,BA BM 中点 ∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠又∵CMN BAM ∠=∠∴CMN OBE ∠=∠∴//MF AB∴四边形BMFA 是平行四边形∴2528AF BM r ===∴2515588FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠∴AMB CNM ∠=∠又∵AMB MAD ∠=∠∴MAD CNM ∠=∠又∵AFM NFD ∠=∠∴AFM NFD ∆~∆∴AF MF AF DF NF MF NF DF=⇒=① 又∵//MD AN ∴AFN DFM ∆~∆∴AF NF AF MF NF DF DF MF=⇒=② 由①⨯②得; 22AF NF AF NF =⇒=∴NF DF =∴5MN AD ==故MN 的长为5；（3）作如图：∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切设圆N 半径为R ，圆O 半径为r∴'=NO R r NO -=∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO∴90NMC ∠=︒∵90BAM CMN ∠=∠=︒∴A 点在圆上∴54cos 5AB B BM BM === 解得：254BM = O 的半径长为258【点睛】 本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．5．A解析：（1）6y x =-+；（2）636S t =-，()6t >；（3）5599y x =+ 【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，从而得出△ABO 是等腰直角三角形，再根据2ABC ACB ∠=∠可得△OCB 也是等腰直角三角形，从而可求得点C 的坐标，将点B 、C 代入可求得解析式；（2）存在2种情况，一种是点D 在线段BC 上，另一种是点D 在线段BC 的延长线上，分别利用三角形的面积公式可求得；（3）如下图，先证ACR CAD ∆≅∆，从而推导出//RD AC ，进而得到CF RG =，同理还可得NF DG =，RD CN =，然后利用:7:12NF FC =可得到N 、D 的坐标，代入即可求得．【详解】解：（1）直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，(6,0)A ∴-，(0,6)B ．6OA OB ∴==．45BAO ∴∠=︒，180BAO ABC BCO ∠+∠+∠=︒，2ABC ACB ∠=∠，45BCO ∴∠=︒6OC OB ∴==，()6,0C ∴．设直线BC 的解析式为y kx b =+，将B 、C 两点坐标代得606k b b +=⎧⎨=⎩ 解得16k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为6y x =-+．（2）点D 是射线BC 上一点，点D 的横坐标为t ，(,6)D t t ∴-+，6(6)12AC =--=．如下图，过点D 作DK AC ⊥于点K ，当点D 在线段BC 上时，6DK t =-+，16362S AC DK t ∴=⋅=-+()06t ≤<； 如下图，当点D 在线段BC 的延长线上时，6DK t =-，636S t ∴=-()6t >．（3）如图，延长CE 交AB 于点R ，连接DR 交BF 于点G ，交y 轴于点P ．45BAO BCO ∠=∠=︒，BA BC ∴=．AO CO =，BO AC ⊥EA EC ∴=，EAC ECA ∴∠=∠．ACR CAD ∴∆≅∆．BAD BCR ∴∠=∠．AR CD ∴=．BR BD ∴=．//RD AC ∴．BH AD ⊥，HBD BAD BCR ∴∠=∠=∠．MB MC ∴=，∠MRB MRB MBR ∠=∠MR MB ∴=．CM MR ∴=．//RD AC ，::1:1CF RG CM RM ∴==．CF RG ∴=．同理NF DG =．RD CN =．∵:7:12NF FC =．:7:12DG RG ∴=．RP PD BP ==，5tan 19PG OF OBF BP OB∴==∠= 6OB ∴=，3019OF ∴=，6OC =，8419CF ∴=． 7RD GN ∴==．1ON ∴=，72PD =．52OP OB BP ∴=-=． (1,0)N ∴-，75,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设直线 DN 的解析式为y ax c =+，将N 、D 两点代入，07522a c a c -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得5959 ac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线DM的解析式为5599y x=+．【点睛】本题考查了一次函数与图形的综合，需要用到全等、三角函数和平面直角坐标系的知识，解题关键是想办法确定函数图像上点的坐标．6．D解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x＜103)；（2）1769或32【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC可得到HC的长度，从而得出HB的长，进而得出AD的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ、PR的长，然后利用EB=PQ+PR得去x、y的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P在梯形内，一种是在梯形外，分别根y的值求出x的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D作BC的垂线，交BC于点H∵∠C=45°，DH⊥BC∴△DHC是等腰直角三角形∵四边形ABCD是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC－HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P作EF的垂线，交EF于点Q，反向延长交BC于点R，DH与EF交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103 当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE ∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4 ∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力． 7．A解析：（1）详见解析；（2）2448x x y -+=（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】【分析】 （1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====， 根据勾股定理得到()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠，即HOD EOA ∠=∠，HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x，∴AF=4-x ，∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+∴248EF y x x =-+ ∵AM⊥AC，∴AE∥OB，∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴)24804x x y x x-+≤＝＜； （3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ，∵∠EAO=90°，∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴2421482x xxPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴224242()xAE E Q-===∴43x =， ∴BF=2或43． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．8．B解析：（1）12；（2）3）【解析】【分析】（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长.【详解】（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，135BAC ∠=，180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，BD AD ∴=，在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，4AB =222232BD AB ∴===，解得：4BD =，6AC =，11641222ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ， D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，PD PQ ∴=，PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，点P 为AB 上的动点，PC PD CQ ∴+≥，∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度， 点C 为半圆AB 的中点，90COB ∴∠=，90BOD COD COB ∠+∠=∠=，11903033BOD COB ∴∠=∠=⨯=， 10AB =，1110522OD AB ∴==⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=， 155,222DH OD QH DH ∴==∴==， 222255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，553,2OM QH MQ OH ∴==== 515522CM OM OC ∴=+=+=， 222215535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PC PD ∴+的最小值为53．（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠，E 为OA 上的点，F 为OB 上的点PE EF FP SN ∴++≥，∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，45POA POB AOB ∠+∠=∠=，45SOA NOB ∴∠+∠=，454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．扇形AOB 的半径为20，20OS ON OP ∴===，在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=PE EF FP ∴++的长度的最小值为202【点睛】本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.9．A解析：（1）145；（2）2274,0314971421,2235t tSt t t⎧⎛⎫<≤⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<<⎪⎪⎝⎭⎩；（3）t的值为477或727．【解析】【分析】（1）如下图，根据4tan3A=，可得出PN与AP的关系，从而求出t的值；（2）如下图，存在2种情况，一种是点M在△ABC内，另一种是点M在△ABC外部，分别根据正方形和三角形求面积的公式可求解；（3）如下图，存在2种情况，一种是PM所在的直线将△ABC的面积平分，另一种是QN 所在的直线将△ABC的面积平分．【详解】（1）如图1，点N在AC上图1由题意可知：PD=DQ=t ，AP=7－t∴PN=PQ=2t ∵4tan 3A = ∴43NP AP =，即2473t t =- 解得：t=145 （2）①如图2，图2四边形PQMN 是正方形，90BQM ∴∠=︒，45B ∠=︒，BQ MQ ∴=，即72t t -=解得73t =， 故当0t <≤73时，22(2)4S t t ==； ②如图3， 图390BQF ∠=︒，45B ∠=︒，7BQ FQ t ∴==-，45BFQ MFE ∠=∠=︒，则37MF MQ QF t =-=-，90M ∠=︒，37ME MF t ∴==-， 则2221149(2)(37)21222S t t t t =--=-+-71435t ⎛⎫<< ⎪⎝⎭； 综上，2274,0314971421,2235t t S t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+-<< ⎪⎪⎝⎭⎩． （3）如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 于点G图4∵4tan 3A = ∴设CG=4x ，则AG=3x∵∠B=45°∴△CBG 是等腰直角三角形∴GB=GC=4x∵AB=14∴3x+4x=14，解得：x=2∴1148562ABC S== ∴1282ABCS = 情况一：PM 所在的直线平分△ABC 的面积，如下图，PM 与BC 交于点E图5则28PBES=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EPB=45°∵∠B=45°∴△PBE是等腰直角三角形∵1282PBES PE PB==∴PE=PB=214∴PB=47∵PB=AB－PA=14－(7－t)=7+t∴7+t=47t=477-情况二：如下图，QN所在线段平分△ABC的面积，QF交AC于点F，过点F作AB的垂线，交AB于点H图6同理，28AFQS=∵四边形PQMN是正方形，∴∠EQH=45°∴△FHQ是等腰直角三角形∵4 tan3A=∴设FH=4y，则AH=3y，HQ=FH=4y，∴AQ=7y∴174282AFQS y y==，解得：2∵AQ=AB－QB=14－(7－t)=7+t∴2解得：27∴综上得：t的值为477或727．【点睛】本题考查动点问题，解题关键是根据动点的变化情况，适当划分为几种不同的形式分别分析求解．10．A。
中考数学综合压轴题100题(附答案)
中考数学综合压轴题100题（附答案）一、中考压轴题1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A1B1C1，使点C1落在直线BC上（点C1与点C不重合），（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB1与边CB的位置关系，并加以证明；（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系（不要求证明）；（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB1C1（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．【分析】（1）AB1∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．（2）当∠C＝60°时，写出边AB1与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．【解答】解：（1）AB1∥BC．证明：由已知得△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（5分）（2）如图1，∠C＝60°时，AB1∥BC．（7分）（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．证明：显然△ABC≌△AB1C1，∴∠BAC＝∠B1AC1，∴∠B1AB＝∠C1AC，∵AC1＝AC，∴∠AC1C＝∠ACC1，∵∠C1AC+∠AC1C+∠ACC1＝180°，∴∠C1AC＝180°﹣2∠ACC1，同理，在△ABC中，∵BA＝BC，∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC1，∴∠ABC＝∠C1AC＝∠B1AB，∴AB1∥BC．（13分）【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．2．已知：y关于x的函数y＝（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．【分析】（1）分两种情况讨论，当k＝1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0．（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k 的值；②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值．【解答】解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点．当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y＝0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2＝0．△＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1．综上所述，k的取值范围是k≤2．（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1，函数图象与x轴两个交点，∴k＜2，且k≠1．由题意得（k﹣1）x12+（k+2）＝2kx1①，将①代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2＝4x1x2中得：2k（x1+x2）＝4x1x2．又∵x1+x2＝，x1x2＝，∴2k•＝4•．解得：k1＝﹣1，k2＝2（不合题意，舍去）．∴所求k值为﹣1．②如图，∵k1＝﹣1，y＝﹣2x2+2x+1＝﹣2（x﹣）2+．且﹣1≤x≤1．由图象知：当x＝﹣1时，y最小＝﹣3；当x＝时，y最大＝．∴y的最大值为，最小值为﹣3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、一次函数的定义、二次函数的最值，充分利用图象是解题的关键．3．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率．（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，则6000（1﹣x）2＝4860，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去），故平均每次下调的百分率为10%；（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；方案②可优惠：80×100＝8000（元）．故选择方案①更优惠．【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．4．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y ＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x2﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）【分析】根据题意可知，方程x2﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x2﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．【解答】解：∵x≠0，∴将x2﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得x﹣1﹣＝0，即＝x﹣1，把x2﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．如图：∴正数解约为1.1．【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．（1）当PQ∥AD时，求x的值；（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ 求x即可；（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2然后根据函数的性质来求x的取值范围；（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，又∵AB∥CD，∴四边形APQD是矩形，∴AP＝QD，∵AP＝CQ，AP＝CD＝，∴x＝4．（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．∴（8﹣x）2+y2＝（6﹣y）2+x2，∴y＝．∵0≤y≤6，∴0≤≤6，∴≤x≤．（3）S△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，S△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，∵AP＝CQ，∴S BPQC＝，∴S＝S BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ＝24﹣﹣，整理得：S＝＝（x﹣4）2+12（），∴当x＝4时，S有最小值12，当x＝或x＝时，S有最大值．∴12≤S≤．【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．6．九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，求旗杆AB的高度．【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.6m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH＝11.9，所以AB＝AH+HB＝AH+EF＝13.5m．【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴CD∥AB∴△CGE∽△AHE∴即：∴∴AH＝11.9∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝11.9+1.6＝13.5（m）．【点评】主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度．7．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，∵△BEC是等边三角形，∴CE＝BE，又AE＝DE，∴△AEC≌△DEB．（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∴AB∥DC，AB＝＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，又∵BE＝CE，∴OE所在直线垂直平分线段BC，∴BF＝FC，∠EFB＝90°．∴OF＝AB＝×2＝1，∵△BEC是等边三角形，∴∠EBC＝60°．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝AB•cos30°＝，在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，∴BF＝BE•cos60°＝，EF＝BE•sin60°＝，∴OE＝EF﹣OF＝＝，∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，∴△AOE≌△DOE．∴S△AOE＝S△DOE∴S阴影＝2S△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm2）．【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．8．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，AB＝2，M、N分别是边AB、AC的中点，直线MN交⊙O于E、F两点，BD∥AC交直线MN于点D．求出图中线段DM上已有的一条线段的长．【分析】连接OA交MN于点G，则OA⊥BC，由三角形的中位线的性质可得MN的长，易证得△BMD≌△AMN，有DM＝MN，由相交弦定理得ME•MF＝MA•MB，就可求得EM，DE的值．【解答】解：∵M，N分别是边AB，AC的中点∴MN∥BC，MN＝BC＝1又∵BD∥AC∴∠DBA＝∠A＝60°∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMN∴△BMD≌△AMN∴DM＝MN＝1连接OA交MN于点G，则OA⊥BC∴OA⊥EF∴EG＝FG，MG＝FN由相交弦定理得：ME•MF＝MA•MB∴EM（EM+1）＝1解得EM＝（EM＝不合题意，舍去）∴DE＝DM﹣EM＝∴DE（3﹣DE）＝1解得DE＝（DE＝不合题意，舍去）．【点评】本题利用了三角形的中位线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解法求解．9．如图，有一直径MN＝4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．解答下列问题：（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；（4）求OA的长．[（2），（3），（4）中的结果保留π]．【分析】（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH＝＝即可∠NPH、∠MP A的度数，进而可得出的长，【解答】解：（1）∵⊙P的直径＝4，∴⊙P的半径＝2，∵⊙P与直线有一个交点，∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；故答案为：2，相切；（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，∵的长为＝π，NP＝2，∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（3）点N所经过路径长为＝2π，S半圆＝＝2π，S扇形＝＝4π，半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π＝6π．（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接P A，则四边形PHCA为矩形．在Rt△NPH中，PN＝2，NH＝NC﹣HC＝NC﹣P A＝1，于是sin∠NPH＝＝，∴∠NPH＝30°．∴∠MP A＝60°．从而的长为＝，于是OA的长为π+4+π＝π+4．【点评】本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等的数量关系．10．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．（1）如图（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：AC＝CD；（2）如图（2），若C是⊙O1外一点，求证：O1C丄AD；（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断（2）中的结论是否成立？【分析】（1）连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；（3）根据已知得出∠B＝∠EO1C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO1C＝∠E，得出CO1∥ED，即可求出．【解答】（1）证明：连接C01∵AC为⊙O2直径∴∠AO1C＝90°即CO1⊥AD，∵AO1＝DO1∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；（2）证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵四边形AEDB内接于⊙O1，∴∠E+∠ABD＝180°，∵∠ABC+∠ABD＝180°，∴∠ABC＝∠E，又∵＝，∴∠ABC＝∠AO1C，∴∠E＝∠AO1C，∴CO1∥ED，又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，∴O1C⊥AD，（3）（2）中的结论仍然成立．证明：连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，∵∠B+∠AO1C＝180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，∴∠B＝∠EO1C，又∵∠E＝∠B，∴∠EO1C＝∠E，∴CO1∥ED，又ED⊥AD，∴CO1⊥AD．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．11．如图①，有四张编号为1、2、3、4的卡片，卡片的背面完全相同．现将它们搅匀并正面朝下放置在桌面上．（1）从中随机抽取一张，抽到的卡片是眼睛的概率是多少？（2）从四张卡片中随机抽取一张贴在如图②所示的大头娃娃的左眼处，然后再随机抽取一张贴在大头娃娃的右眼处，用树状图或列表法求贴法正确的概率．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）所求概率为；（2）方法①（树状图法）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为，方法②（列表法）1 2 3 4第一次抽取第二次抽取1（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）共有12种可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），∵其中有两种结果（1，2），（2，1）是符合条件的，∴贴法正确的概率为．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．12．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于40；②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；（2）不合理，举例进行说明．【解答】解：（1）①∵内角为70°，∴与它相邻内角的度数为110°．∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．（2）不合理．例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．合理定义方法不唯一．如定义为，越接近1，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．13．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2；③△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A1B1C1与△A2B2C2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A2B2C2；（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．【解答】解：如下图所示：（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，或连接A1C1，A2C2的中点的连线为对称轴．（4）成中心对称，对称中心为线段BB2的中点P，坐标是（，）．【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．14．图（1）是一个10×10格点正方形组成的网格．△ABC是格点三角形（顶点在网格交点处），请你完成下面的两个问题：（1）在图（1）中画出与△ABC相似的格点△A1B1C1和△A2B2C2，且△A1B1C1与△ABC的相似比是2，△A2B2C2与△ABC的相似比是；（2）在图（2）中用与△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2全等的格点三角形（每个三角形至少使用一次），拼出一个你熟悉的图案，并为你设计的图案配一句贴切的解说词．【分析】（1）△A1B1C1与△ABC的相似比是2，则让△ABC的各边都扩大2倍就可．△A2B2C2与△ABC的相似比是；△ABC的直角边是2，所以△A2B2C2与的直角边是即一个对角线的长度．斜边为2．依此画图即可；（2）拼图有审美意义即可，答案不唯一．【解答】解：【点评】本题主要考查了相似图形的画法，做这类题时根据的是相似图形的性质，即相似比相等．对应角相等．15．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长．【分析】（1）可通过连接AD，AD就是等腰三角形ABC底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出∠CAD＝∠BAD，根据圆周角定理即可得出∠DEB＝∠DBE，便可证得DE＝DB．（2）本题中由于BE⊥AC，那么BE就是三角形ABC中AC边上的高，可用面积的不同表示方法得出AC•BE＝CB•AD．进而求出BE的长．【解答】解：（1）DE＝BD证明：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴＝，∴DE＝BD；（2）∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，∴S△ABC＝•AC•BE＝•CB•AD，∴BE＝4.8．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的运用，用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等是解题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．（1）求证：AP＝AO；（2）求证：PE⊥AO；（3）当AE＝AC，AB＝10时，求线段BO的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO＝DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP＝∠ADO＝90°，从而得证；（3）设C0＝3k，AC＝8k，表示出AE＝CO＝3k，AO＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出PE＝4k，BC＝BD＝10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k＝1然后在Rt △BDO中，利用勾股定理列式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，又∵∠CBO＝∠ABP，∴∠BOC＝∠APB，∵∠BOC＝∠AOP，∴∠AOP＝∠APB，∴AP＝AO；（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，∵∠CBO＝∠ABP，∴CO＝DO，∵AE＝OC，∴AE＝OD，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠P AE+∠OAD＝90°，∴∠AOD＝∠P AE，在△AOD和△P AE中，，∴△AOD≌△P AE（SAS），∴∠AEP＝∠ADO＝90°∴PE⊥AO；（3）解：设AE＝OC＝3k，∵AE＝AC，∴AC＝8k，∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，∴OA＝OE+AE＝5k．由（1）可知，AP＝AO＝5k．如图，过点O作OD⊥AB于点D，∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．在Rt△AOD中，AD＝＝＝4k．∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k＝1，∵AB＝10，PE＝AD，∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO＝＝＝3．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k＝1是解题的关键．17．如图，AD是⊙O的直径．（1）如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是22.5°，∠B2的度数是67.5°；（2）如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；（3）如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，B n∁n把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠B n的度数（只需直接写出答案）．【分析】根据条件可以先求出圆的各段弧的度数，根据圆周角等于所对弧的度数的一半，就可以求出圆周角的度数．【解答】解：（1）垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则是圆的，因而度数是45°，因而∠B1的度数是22.5°，同理的度数是135度，因而，∠B2的度数是67.5°；（2）∵圆周被6等分∴＝＝＝360°÷6＝60°∵直径AD⊥B1C1∴＝＝30°，∴∠B1＝＝15°∠B2＝＝×（30°+60°）＝45°∠B3＝＝×（30°+60°+60°）＝75°；（3）B n∁n把圆周2n等分，则弧BnD的度数是：，则∠B n AD＝，在直角△AB n D中，．【点评】本题是把求圆周角的度数的问题转化为求弧的度数的问题，依据是圆周角等于所对弧的度数的一半．18．下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x＝288．解这个方程，得x1＝﹣12（不合题意，舍去），x2＝12所以温室的长为2×12+3+1＝28（m），宽为12+1+1＝14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程：变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB＝2：1，设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d应满足什么条件？请说明理由．【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，然后由题意得，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，利用相似多边形的性质，可得，即，然后利用比例的性质，即可求得答案．【解答】解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由．在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm．”前补充以下过程：设温室的宽为xm，则长为2xm．则矩形蔬菜种植区域的宽为（x﹣1﹣1）m，长为（2x﹣3﹣1）m．∵，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，就要，即，即，即2AB﹣2（b+d）＝2AB﹣（a+c），∴a+c＝2（b+d），即．【点评】此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．19．二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分如图所示，则a的取值范围是﹣1＜a＜0．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而推出所得结论．【解答】解：抛物线开口向下，a＜0，图象过点（0，1），c＝1，图象过点（1，0），a+b+c＝0，∴b＝﹣（a+c）＝﹣（a+1）．由题意知，当x＝﹣1时，应有y＞0，∴a﹣b+c＞0，∴a+（a+1）+1＞0，∴a＞﹣1，∴实数a的取值范围是﹣1＜a＜0．【点评】根据开口判断a的符号，根据与x轴，y轴的交点判断c的值以及b用a表示出的代数式．难点是推断出当x＝﹣1时，应有y＞0．20．今年，我国政府为减轻农民负担，决定在5年内免去农业税．某乡今年人均上缴农业税25元，若两年后人均上缴农业税为16元，假设这两年降低的百分率相同．（1）求降低的百分率；（2）若小红家有4人，明年小红家减少多少农业税？（3）小红所在的乡约有16000农民，问该乡农民明年减少多少农业税？【分析】（1）设降低的百分率为x，则降低一次后的数额是25（1﹣x），再在这个数的基础上降低x，则变成25（1﹣x）（1﹣x）即25（1﹣x）2，据此即可列方程求解；（2）每人减少的税额是25x，则4个人的就是4×25x，代入（1）中求得的x的值，即可求解；（3）每个人减少的税额是25x，乘以总人数16000即可求解．【解答】解：（1）设降低的百分率为x，依题意有，25（1﹣x）2＝16，解得，x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（舍去）；（2）小红全家少上缴税25×20%×4＝20（元）；（3）全乡少上缴税16000×25×20%＝80 000（元）．答：降低的增长率是20%，明年小红家减少的农业税是20元，该乡农民明年减少的农业税是80 000元．【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．21．如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y＝，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【分析】（1）利用互余关系找角相等，证明△BEF∽△CDE，根据对应边的比相等求函数关系式；（2）把m的值代入函数关系式，再求二次函数的最大值；（3）∵∠DEF＝90°，只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，把条件代入即可．【解答】解：（1）∵EF⊥DE，∴∠BEF＝90°﹣∠CED＝∠CDE，又∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CDE，∴＝，即＝，解得y＝；（2）由（1）得y＝，将m＝8代入，得y＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+2，所以当x＝4时，y取得最大值为2；（3）∵∠DEF＝90°，∴只有当DE＝EF时，△DEF为等腰三角形，∴△BEF≌△CDE，∴BE＝CD＝m，此时m＝8﹣x，解方程＝，得x＝6，或x＝2，当x＝2时，m＝6，当x＝6时，m＝2．【点评】本题把相似三角形与求二次函数解析式联系起来，在解题过程中，充分运用相似三角形对应边的比相等，建立函数关系式．22．在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE＝a，DF＝b，且实数a，b满足9a2﹣24ab+16b2＝0，并有＝2566，∠A使得方程x2﹣x•sin A+sin A﹣＝0有两个相等的实数根．（1）试求实数a，b的值；（2）试求线段BC的长．【分析】（1）由题意可知：2a2b＝2566，则2a2b＝248，则a2b＝48．化简9a2﹣24ab+16b2＝0得：（3a﹣4b）2＝0，则3a﹣4b＝0，即3a＝4b，则根据，可求得a与b的值；（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．又知在△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．【解答】解：（1）由条件有，解得；（2）又由关于x的方程的判别式△＝sin2A﹣sin A+＝（sin A﹣）2＝0，则sin A＝，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A1＝60°或∠A2＝120° 2分当∠A＝60°时，△ABC为正三角形，∠B＝∠C＝60°于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中有BD＝，CD＝所以BC＝BD+DC＝．当∠A＝120°时，△ABC为等腰三角形，∠B＝∠C＝30°同上方法可得BC＝14． 3分所以线段BC的长应为或14．【点评】考查了解直角三角形以及判别式的应用．23．某市城建部门经过长期市场调查发现，该市年新建商品房面积P（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）存在函数关系P＝25x；年新房销售面积Q（万平方米）与市场新房均价x（千元/平方米）的函数关系为Q＝﹣10；（1）如果年新建商品房的面积与年新房销售面积相等，求市场新房均价和年新房销售总额；（2）在（1）的基础上，如果市场新房均价上涨1千元，那么该市年新房销售总额是增加还是减少？变化了多少？结合年新房销售总额和积压面积的变化情况，请你提出一条合理化的建议．（字数不超过50）【分析】（1）根据“新建商品房的面积与年新房销售面积相等”作为相等关系求x的值即可；（2）分别求算出市场新房均价上涨1千元后的新建商品房面积P，年新房销售面积Q再来求算其变化的量和积压的情况．【解答】解：（1）根据题意得：25x＝﹣10，解得x1＝2，x2＝﹣（舍去），则Q＝﹣10＝50万平方米，所以市场新房均价为2千元．则年新房销售总额为2000×500000＝10亿元．。
中考数学《压轴题》专题训练含答案解析
压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。
解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。
2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。
2023年中考压轴题专题训练-旋转中的相似三角形
2023中考压轴题专题训练-旋转中的相似三角问题姓名： 成绩：模型证明：（1）全等旋转中的相似已知△ABC 顺时针旋转一定角度，得到△DBE ，且k BCAB=，求证：△ABD ∽△CBE ，求它们相似比； 证明：∵∠ABD=∠ABC -∠CBD ∠CBE=∠DBE -∠CBD又∵∠ABC=∠DBE ∴∠ABD=∠CBE ∵AB=DB,BC=BE∴k BEBDBC AB == ∴△ABD ∽△CBE ∴k BEBDBC AB CE AD ===（2）相似旋转中的相似已知△ABC ∽△ADE ， 求证：△ABD ∽△ACE 证明：∵△ABC ∽△ADE∴AC AEAB AD= ∴ACABAEAD = ∴∠DAE=∠BAC∴∠DAE -∠BAE=∠BAC -∠BAE ∴∠BAD=∠CAE ∴△ABD ∽△ACE ∴CEBDAC AB AE AD == 1、（4分）如图，在矩形ABCD 中，将∠ABC 绕点A 按逆时针方向旋转一定角度后，BC 的对应边''C B 交CD 边于点G ．连接B 'B 、'CC ．若AB =3，AD =4，则''BB CC =2、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且点D到BC的距离等于点D到AC的距离．将△ABC绕点D旋转得到△A′B′C′，连接BB′，CC′．若＝，则的值为．3、（10分）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=k BD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=4，BD=8，连接DD1，设AC1=kBD1．请求出（AC1）2+（kDD1）2的值。
2024中考物理压轴大题专练-专题06压轴之作图题(含解析)
【中考二轮专题训练系列】2024中考物理压轴题型训练专题06 作图题专练训练题01【2022·四川成都·中考真题】知识点（光学-直线传播）“圭表”是我国古代先进的天文观测仪器，根据“表”在“圭”面上形长的变化就能知道时节的更替。
元代天文学家郭守敬改进和创新了“圭表”（如图甲），国乙是其示意图。
他在“表”上方加一根架空的横梁，在“圭”面上放置一个可移动的景符（有小孔的铜片）。
他利用改进后的“圭表”，精确推算出了二十四节气和一回归年天数。
请根据以上资料在图乙中画出横梁通过景符的小孔在“圭”面上所成的影像，并标明两条光线的传播方向。
训练题02【2023·山东日照·中考真题】知识点（光学-光的反射/折射）一个底面镀银的球冠形玻璃球放置在水平桌面上，其横截面如图所示。
一条光线从玻璃球冠上表面的M点通过球心O射到球冠的底面N点。
虚线PN为底面AB的法线。
画出该光线经底面AB反射后在球冠形玻璃球内外的光路图。
训练题03【2023·江苏泰州·中考真题】知识点（光学-平面镜成像）如图所示，请作出物体AB在平面镜MN中所成的像A B''。
训练题04【2023·湖北恩施·中考真题】知识点（光学-凸透镜/凹透镜）如图，一束光经平面镜反射后，平行凹透镜的主光轴射向透镜，请画出平面镜和经过凹透镜后的折射光线。
训练题05【2023·广东深圳·中考真题】知识点（力学-力的示意图）小白同学用斜向右上的拉力拉动物体向右做匀速运动，请在图中：①画出绳子对手的拉力F，②物块受到的摩擦力f。
训练题06【2023·辽宁锦州·中考真题】知识点（力学-杠杆/力臂）如图所示是中医用切刀切药材的示意图，请你在图中画出施加在手柄上A点的最小力F及其力臂L。
训练题07【2023·黑龙江哈尔滨·中考真题】知识点（力学-滑轮）小丽学习了滑轮的知识后，想利用滑轮组设计一个升降装置，自己把物体吊上楼来，请你画出最省力的绕线方式和物体所受重力的示意图。
长沙市近5年数学中考压轴题专题训练
长沙市近5年数学中考压轴题专题训练1.设a,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为{a,b},对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n,我们就称此函数是闭区间{m,n}上的“闭函数”.（2013·长沙）（1）反比列函数2013y x=是闭区间{1,2013}上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数y=kx+b(k ≠0)是闭区间{m,n}上的“闭函数”，求此函数的解析式：（3）若二次函数2147555y x x =--是闭区间{a,b}上的“闭函数”，求实数a,b 的值.2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+2与x 轴，y 轴分别交于点A,点B,动点P(a,b)在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM,PN （垂足为M,N ）分别于直线AB 相交于点E,点F ，当点P(A,B)运动时，矩形PMON 的面积为定值2.（2013·长沙）（1）求∠OAB 的度数； （2）求证△AOF ∽△BEO ；（3）当点E,F 都在线段AB 上时，由三条线段AE,EF,BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为1S △OEF 的面积为2S 试探究： 12S S +是否存在最小值？ 若存在，请求出该最小值：若不存在，请说明理由.3.在平面直角坐标系中，我们把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（2014·长沙）（1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围．4.（2014•长沙）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．5.在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
中考数学压轴题20题(含答案_)
中考数学压轴题复习20题1．在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝－41 m x2＋45mx ＋m2－3m ＋2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．2．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E ．（Ⅰ）若b ＝2，c ＝3，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝S △ABC，求此时直线BC的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝2S △AOC，且顶点E 恰好落在直线y ＝－4x ＋3上，求此时抛物线的解析式．4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ． （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE ＝2，BD ＝BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若tan ∠BPD ＝31，设CE ＝x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．5．已知：如图①，在平面直角坐标系xO y 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围； （2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图②，现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB ，AB 交于点M ，N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．6．已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12，0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式：（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；AE C B P D 图2（备用） B PE C D A 图3（备用） A B C P E D 图1图②图①（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋1与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．9．如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1． （1）若c ＝a 1，求证：a ＝kc ；（2）若c ＝a 1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数，并加以说明；（3）若b ＝a 1，c ＝b 1，是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2？请说明理由．10．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． （1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE ＝BF ； （3）若OG ·DE ＝3(2－2)，求⊙O 的面积．11．已知：抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （－3，0）、C （0，－2）． （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．12．（本小题满分12分）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB ，M 是劣弧上一点，过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点． （1）求证：PM ＝PN ； （2）若BD ＝4，P A ＝23AO ，过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长． B C AA 1 a b cB 1C 1 a 1b 1c 1 A C B F D EO G13．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－334，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．（1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．14．已知：甲、乙两车分别从相距300（km ）的M 、N回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象． （1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了29h ，求乙车的速度； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．y h图1y h图215．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，且BC ≠AC ，在△ABC 上画一条直线，若这条直线．．既平分△ABC 的面积，又平分△ABC 的周长，我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”． （1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”；（2）在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由； （3）如图2，若AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）． （1）若点P 以43cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时，求t 的值；②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请求出运动时间t ；若不能，请说明理由．17．青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。
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中考压轴题专题训练21．（本题满分12分） 如图，二次函数m x mx y +++=)14(412（m <4）的图象与x 轴相交于点A 、B 两点． （1）求点A 、B 的坐标（可用含字母m 的代数式表示）；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数xy 9=的图象相交于点C ，且 ∠BAC 的余弦值为54解：（1）当时0=y ，0)14(412=+++m x mx04)4(2=+++m x m x ，m x x -=-=21,4．∵4<m ，∴A （–4，0），B （m -，0） （2） 过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，cos ∠BAC 54==AC AD ,设AD =4k ,AC =5k , 则CD =3k . ∵OA =4,∴OD =4k –4, 点C (4k –4,3k ) .∵点C 在反比例函数x y 9=的图象上，∴4493-=k k . ,03442=--k k 23),(2121=-=k k 舍去. ……………………………（8分）∴C (2，29).……………………（1分） ∵点C 在二次函数的图象上， ∴m m+++⨯=)14(2241292，………（1分） ∴,1=m ………………(10分) ∴二次函数的解析式为145412++=x x y . ……………………………（12分）2．（本题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90o，∠C ＝60°，AD ＝3cm ，BC ＝9cm ．⊙O 1的圆心O 1从点A 开始沿折线A —D —C 以1cm/s 的速度向点C 运动，⊙O 2的圆心O 2从点B 开始沿BA 边以3cm/s 的速度向点A 运动，⊙O 1半径为2cm ，⊙O 2的半径为4cm ，若O 1、O 2分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为t s（1）请求出⊙O 2与腰CD 相切时t 的值；（2）在0s ＜t ≤3s 范围内，当t 为何值时，⊙O 1与⊙O 2外切？（第26题）解：（1）如图所示，设点O 2运动到点E 处时，⊙O 2与腰CD 相切． 过点E 作EF ⊥DC ，垂足为F ，则EF ＝4cm ．………………1分 方法一，作EG ∥BC ，交DC 于G ，作GH ⊥BC ，垂足为H ． 通过解直角三角形，求得EB ＝GH ＝3)3389(⨯-cm ．………………4分 所以t ＝（3389-）秒．………………6分 方法二，延长EA 、FD 交于点P ．通过相似三角形，也可求出EB 长． 方法三，连结ED 、EC ，根据面积关系，列出含有t 的方程，直接求t ． （2）由于0s<t ≤3s ，所以，点O 1在边AD 上．………………7分 如图所示，连结O 1O 2，则O 1O 2＝6cm ．………………8分由勾股定理得，2226)336(=-+t t ，即01892=+-t t ．………………10分解得t 1＝3，t 2＝6（不合题意，舍去）．………………12分 所以，经过3秒，⊙O 1与⊙O 2外切．………………14分3．（本题满分12分）正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上一动点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，设PB =x ,△ADQ 的面积为y . （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.（3）画出这个函数的图象.（4）点P 是否存在这样的位置，使△APB 的面积是△ADQ 的面积的32，若存在，求出BP 的长，若不存在，说明理由.解:（1）画出图形，设QC =z ，由Rt △ABP ~Rt △PCQ ，x -44=zx ， HB B26z =4)4(x x -，① y =21×4×（4-z ）,② 第25题图（1） 把①代入② y=21x 2-2x +8（0＜x ＜4）.（2）y=21x 2-2x +8=21(x -2)2+6.∴对称轴为x =2,顶点坐标为（2，6）.(3)如图所示 第25题图（2）(4)存在，由S △APB ＝32S △ADQ ，可得y ＝3x ， ∴21x 2—2x +8＝3x ， ∴x ＝2，x ＝8(舍去)，∴当P 为BC 的中点时，△PAB 的面积等于△ADQ 的面积的32.4．（14分）函数y =-43x -12的图象分别交x 轴，y 轴于A ,C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标.（2）在x 轴上找出点B ，使△ACB~△AOC ，若抛物线经过A 、B 、C 三点，求出抛物线的解析式. （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同的速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，设AP=m ，是否存在m 值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出所有的m 值；若不存在，请说明理由.答案：（1）A （-16，0） C （0，-12）（2）过C 作CB ⊥AC ，交x 轴于点B ，显然，点B 为所求， 则OC2=OA ×OB 此时OB=9，可求得B （9，0） 此时经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为：y=121x2+127x-12（3）当PQ ∥BC 时，△APQ ~△ACB得AC AP =AB AQ ∴20m =2525m -解得m=9100当PQ ⊥AB 时，△APQ ~△ACB得：AC AQ =AB AP ∴2025m -=25m 解得m=91255．（本题满分10分）如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标．（2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2上，求这个抛物线的解析式． （3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30º，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由． 解：（1）连结AD ，得OA=3，AD=23 ∴OD =3， D(0，-3) （2）由B(-3，0)，C(33，0)，D(0，-3)三点在抛物线c bx ax y ++=2上，……3分得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-=c c b a c b a 333270330 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==333231c b a∴3332312--=x x y （3）连结AP ，在Rt△APM 中，∠PMA==30º，AP=23 ∴AM =43， M (53，0)5333530tan =⋅=︒⋅=MO ON ∴N (0，-5) 直线MN 解析式为：533-=x y 抛物线顶点坐标为(3，-4)∵45333533-=-⨯=-x ∴抛物线顶点在直线MN 上．6（12分）如图3.以A(0，3)为圆心的圆与x 轴相切于坐标点O,与y 轴相交于点B,弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E, 且∠BEO = 600 , AD 的延长线交x 轴于点C. （1)分别求点E, C 的坐标．(2)求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式．xx(3)设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心, ME 为半径的圆与☉A 的位置关系，并说明理由．7、一个圆柱的一条母线为AB,BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的表面爬行到点C ．⑴如图①，如果底面周长为24cm,高为4cm,那么蚂蚁的最短行程是多少cm?⑵如图②，如果底面半径为rcm,高为hcm,那么你认为蚂蚁可能有哪几种行程较短的路径?试画出平面展开图说明路径(至少画两种不同的路径),不必说明理由．⑶通过计算比较②中各种路径的长度，你能得到什么一般性的结论？或者说，蚂蚁选择哪条路径可使行程最短？8、（12分）某企业有员工300人，生产A 种产品，平均每人每年可创造利润m 万元（m 为大于零的常数）。
为减员增效，决定从中调配x 人去生产新开发的B 种产品，根据评估，调配后，继续生产A 种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B 种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m 万元。
（1）调配后，企业生产A 种产品的年利润为_________万元，企业生产B 种产品的年利润为_________万元（用含x 和m 的代数式表示）。
若设调配后企业全年总利润为y 万元，则y 与x 之间的关系式为y ＝____________。
（2）若要求调配后，企业生产A 种产品的年利润不小于调配前企业年利润的54，生产B 种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案 ？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。
（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设m ＝2）继续投资开发新产品。
现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表： 如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产产 品 C D E F G H 所需资金（万元） 200 348 240 288 240 500 年 利 润（万元）508020604085A图①BA图②B品？请写出两种投资方案。
8、解：（1）m x %)201()300(+⋅-，mx 54.1，mx m x y 54.1%)201)(300(++-=（2）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯>⨯≥+-mmx m m x 3002154.130054%)201(0300(解得773197＜x ≤100。
注：写97.5＜x ≤100或97.4＜x ≤100均视为正确 ∵x 为整数 ∴x 只能取98、99、100。
故共有三种调配方案：①202人继续生产A 种产品，调98人生产B 种产品； ②201人继续生产A 种产品，调99人生产B 种产品；③200人继续生产A 种产品，调100人生产B 种产品；又mx m x y 54.1%)201)(300(++-=＝m mx 36034.0+，由于m 34.0＞0，函数y 随x 的增大而增大。
故当x ＝100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。
（3）当m ＝2时，最大总利润为788万元。
根据题意，可投资开发产品F 、H 或C 、D 、E 或C 、D 、G 或C 、F 、G 。
9、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，以A 点为圆心，AB 为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交y 轴于点E 、F 两点，交直线AB 于C 点，连结BE 、CF ，∠CBD 的平分线交CE 于点H. （1）求证：BE=HE ；（2）若AH ⊥CE ，Q 为 BF⌒ 上一点，连结DQ 交y 轴于T ，连结BQ求AT •AG 的值；（3）如图2, P 为线段AB 上一动点(不与A 、B 两点重合)，连结PD 交y 过P 、M 、B 三点作⊙O 1交y 轴于另一点N ，设⊙O 1的半径为R ，当k=34 列两个结论：①MN 的长度不变；②MNR 的值不变.请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.证明：(1)∵AE ⊥BD ，∴BE⌒ =DE ⌒ ，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH ， ∠BHE=∠ECB+∠CBH ，∠HBE=∠DBH+∠EBD ，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE. 解： (2)连结QC 、TB ，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB ，∴ΔABG ∽ΔATB ， ∴AB 2=AG •AT ，∵AH ⊥CE ，∴H 为CE 的中点，∴BE=12EC ，∴ΔBEO ∽ΔCBE ，∴OE BO =BE EC =12. 设⊙A 的半径为R ，由AB 2－OA 2=BO 2，OE=R －3，得R 2－32=4(R －3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT •AG=AB 2=25.(方法二提示:可连结AD,CD 证ΔBAG ∽ΔTAD) (3)答：②MNR的值不变.证明：作O 1K ⊥MN 于K ，连结O 1N 、PN 、BM ， 则MN=2NK ， 且∠N O 1K=∠NPM ， ∴MN R =2NKO 1N =2sin ∠NO 1K=2sin ∠NPM ， 由直线y=34 x+3 得 OB=OD=4，OM ⊥BD ，∴∠BMO=∠DMO ，又∠BMO=∠ABM+∠BAM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ， ∵∠ABM=∠PNM ，∴∠MPN=∠BAM=∠NO 1K ，MN R =2sin ∠BAM=2×BO AB =85，所以MN R 的值不变，其值为85.10.（15分）已知抛物线ax ax y 22-=与直线l ：)0(>=a ax y 的交点除了原点O 外，还相交于另一点A . （1）分别求出这个抛物线的顶点、点A 的坐标（可用含a 的式子表示）； （2）将抛物线ax ax y 22-=沿着x 轴对折（翻转︒180）后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：①当1=a 时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线l 上；②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离等于线段OA 的241？若存在，请直接写出满足条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由。