2014-2015学年高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.2.2 绝对值不等式的解法(一)

合集下载

高中数学·选修4-5(人教版)第一讲几何平均不等式及绝对值三角不等式PPT课件

9
3 .
归纳升华
1．利用三个正数的算术—几何平均不等式常处理下
面两个类型的最值： (1)求函数 y＝ax2＋bx的最小值，其中 ax2＞0，bx＞0.
则
y
＝
ax2
＋
b x
＝
ax2
＋
b 2x
＋
b 2x
≥
3
3
ax2·2bx·2bx
＝
3 2
3 2ab2.当且仅当 ax2＝2bx，即 x＝ 3 2ba时，等号成立．
(1)如果 a，b，c∈R，那么a＋3b＋c≥3 abc.(
)
(2)如果 a，b，c∈R＋，那么a＋3b＋c≥3 abc，当且仅
当 a＝b 或 b＝c 时，等号成立．( )
(3)如果 a，b，c∈R＋，那么 abc≤a＋3b＋c3，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．( )
(4)如果 a1，a2，a3，…，an 都是实数．那么 a1＋a2
n
＋…＋an≥n· a1a2…an.( )
解析：(1)根据定理 3，只有在 a，b，c 都是正数才成
立．其他情况不一定成立，如 a＝1，b＝－1，c＝－3，
a＋b＋c
3
3
3 ＝－1， abc＝ 3，故(1)不正确．
(2)由定理 3，知等号成立的条件是 a＝b＝c.故(2)不正
确．
(3)由定理 3 知(3)正确． (4)必须 a1，a2，…，an 都是正数，命题才成立．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
第一讲不等式和绝对值不等式
1.1 不等式 1．1.3 三个正数的算术—
几何平均不等式
[知识提炼·梳理] 1．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1，a2，a3∈R＋，则a1＋a32＋a3叫做这 3 个正数的算术平均数，3 a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数．

高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.2 基本不等式

第一讲
不等式和绝对值不等式 1．1 不等式
1.1.2 基本不等式
栏目链接
1．会用基本不等式证明一些简单问题．
2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数
的最值，从而学会解决简单的应用问题．
栏目链接
栏目链接
1．定理 1. 如果 a， b∈R，那么 a2＋b2≥2ab(当且仅当 a＝b 时取“＝”)．思考 1
2 2
栏目链接
3 2 也即 x＝，y＝时， 2 2 x 答案： 1＋y2取得最大值 3 2 4 3 2 . 4
题型二
利用基本不等式证明不等式
2 2
1 例2 已知 a，b∈(0，＋∞)且 a＋b＝1，求证：(1)a ＋b ≥ ； 2 1 1 (2) 2＋ 2≥8.
a
b
≥ ab， 2 证明：由 a＋b＝1， a，b ，＋
栏目链接
∴x 1＋y2＝ x21＋y2＝
变式训练
2 2 1 ＋ y y 1 x2＋ x2＋＋ 2 2 2 3 2 2 ＝ 2 ＝， 2 2 4
1＋y2 3 2 当且仅当 x ＝，即 x＝，y＝时， 2 2 2
2
3 2 x 1＋y 取得最大值 . 4
2
栏目链接
方法二则x
6x 利用定理 1 有：x2＋32≥________，其中等号成立的
栏目链接
3 条件是：x＝________.
2．定理 2. 如果 a ， b 是正数，那么 “＝”)．思考 2 如果 x，y 是正数，那么
a＋b
2
≥ ab ( 当且仅当 a ＝ b 时取
x2＋ y2
2
≥ ________ xy(当且

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.1.1 不等式的基本性质

证明：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，
即4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a ＋(n－m)b.
4＝m＋n，比较系数得 2＝m－n，
m＝3，解得 n＝1.
栏目链接
所以 f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又因为－1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以－1≤f(－2)≤10.
栏目链接
题型二
用不等式性质证明或判断不等式
例2
已知a>b，c<d，求证，a－c>b－d
栏目链接
证明：∵c<d，∴－c>－d.
又∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)．即a－c>b－d.
例3 设f(x)＝ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.
求证：－1≤f(－2)≤10.
(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.(对称性) (2)如果a＞b，且b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c⇒a ＞c.(传递性) (3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，即a＞b⇒a＋c＞b＋
栏目链接
c.
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.即a＞b，
c＞d⇒a＋c＞b＋d.
从实数的减法和在数轴上的表示可知：
栏目链接
a＞b⇔a－________ b＞0 ；
a＝b⇔a－________ b＝0 ；
b＜0 a＜b⇔a－________.
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 ＞比较大小：x2＋3________ x2＋1.
2.不等式的基本性质．
(4)如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，且c ＜0，那么ac＜bc. (5)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，且n＞1)． (6)如果a＞b＞0，那么思考2 思考3

高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.2.3 绝对值不等式的解法(二)

第一讲 1.2
不法(二)
栏目链接
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.
栏目链接
栏目链接
1．求解不等式|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－
b|≤c的第一种方法：_______________ 去绝对值．分类讨论
分析：换元求解，令 logax＝t. 解析：原不等式化为|1＋2logax|＜|logax|＋2，令 t＝logax，所以|2t＋1|＜|t|＋2，两边平方得： 4t2＋4t＋1＜t2＋4|t|＋4⇒ 3t2＋4t－4|t|－3＜0. 当 t≥0 时，3t2－3＜0⇒ t2＜1⇒ －1＜t＜1，所以 0≤t＜1； 1 当 t＜0 时，3t ＋8t－3＜0⇒ －3＜t＜，
由于A、B两点的距离1，线段AB上的点不符合要求，
利用图形(如上图)，可知符合条件的点应该是在A点的左侧离A最近距离是2，在B点的右侧离B最近距离为2的点处，即 x>4或x<－1，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
栏目链接
题型二
函数图象相关的应用题
例2 解关于x的不等式|logaax2|＜|logax|＋2.
栏目链接
别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1] 上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.
3 ∴－1－x＋1－x＝3，得 x＝－， 2 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A，B 两点距离和为 3，B1 对应数轴上的 x， 3 ∴x－1＋x－(－1)＝3.∴x＝ . 2 从数轴上可看到，点 A1，B1 之间的点到 A，B 的距离之和都小于 3；点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A，B 的距离之和都大于 3. 3 3 ∴原不等式的解集是－∞，－ ∪ ，＋∞. 2 2

高中数学选修4-5全册配套ppt课件.2

由柯西不等式得 (1 a2 1 b2 c2 ) (4+9+1)
49

≥ (a 2 b 3 c1)2 =(a+b+c)2=16,
23
即 1 a2+ 1 b2+c2≥ 8 ,
4
9
7
当且仅当
1a 2

1b 3

c
,
2 31
即 a 8，b 18，c 2 时等号成立,
7
7
【证明】左边=
a12

a22

a2 n1
an2

a1 a2 a2 a3
an1 an an a1
=[(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an-1+an)+(an+a1)]×
【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2≥ ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数) 【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2) ≥(ab+bc+cd+da)2, 所以a2+b2+c2+d2≥ab+bc+cd+da.
当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b= 1 ,c= 1 时等号
2
4
成立,
所以 a 1 2b 1 4c 1 的最大值为3 2 .
【方法技巧】利用柯西不等式求最值的方法技巧利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题,其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果,同时要注意等号成立的条件.

人教版A版高中数学选修4-5配套全册完整课件

C．ab＞a＞ab2
D．ab＞ab2＞a
解析：由－1＜b＜0，可得 b＜b2＜1，
又 a＜0，所以有 ab＞ab2＞a.
答案：D
3．若 a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( ) A.ac＞bd B.ac＜bd C.ad＞bc D.ad＜bc 解析：因为 c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以 0＜ 1 ＜ 1 ，即 1 ＞ 1 ＞0.
若若abr且且ab0则baab??????????????????ba??????????????????ab2????????????ba????????????ab2
人教版A版高中数学选修4-5配套全册完整课件
第一讲不等式和绝对值不等式
1．1 不等式 1．1.1 不等式的基本性质
[学习目标] 1.理解实数大小与实数运算性质间的关系． 2.理解不等式的性质，能用不等式的性质比较大小和证明简单的不等式(重点、难点)．
5．比较大小：(x＋5)(x＋7)________(x＋6)2. 解析：因为(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－x2 －12x－36＝－1＜0，所以(x＋5)(x＋7)＜(x＋6)2. 答案：＜
类型 1 用比较法比较大小(自主研析) [典例 1] 已知 x＞1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小．解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－ (x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－ 1)x－122＋34.
3．用作差法比较两式的大小时，常采用因式分解、配方、通分、分母有理化等技巧，通过彻底的变形，从而判断差式的值的正负，进而判断出两式的大小．
[变式训练] 比较 x2－x 与 x－2 的大小．解：(x2－x)－(x－2)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，因为(x－1)2≥0，所以(x－1)2＋1＞0，即(x2－x)－(x－2)＞0. 所以 x2－x＞x－2.

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第一讲 1.2 极坐标系

ρsin θ
或
x2＋y2 ，
y x
栏目链接
x≠0.
预习思考
1.写出下图中各点的极坐标：
栏目链接
π π 3， 2， 4 A________，B________ ，C________. 2
(4,0)
预习思考
2．回答下列问题： (1)平面上一点的极坐标是否唯一？ (2)若不唯一，那有多少种表示方法？ (3)坐标不唯一是由谁引起的？
第一讲
坐标系
1.2 极坐标系
栏目链接
1.理解极坐标的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐
栏目链接
标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
3.能进行极坐标与平面直角坐标的互化.
栏目链接
1．极坐标系的建立．在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确
栏目链接
栏目链接
题型1
极坐标的概念
例1 写出下图中各点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．
栏目链接
分析：根据极坐标定义，若 M 是平面上任一点， ρ 表示 OM 的长度，θ 表示以射线 Ox 为始边，射线 OM 为终边所成的角，则 M 的极坐标为(ρ，θ)．
π π 3π 解析： A(5,0)， B2，6， C4，2， D5， 4 ， E(2， 4π 5π π)，F5， 3 ，G3.5， 3 .
栏目链接
为直角坐标为( 3，－1)． ∴A、B 两点间的距离 d＝
(
3－ 3)2＋[1－－1]2＝2.
变式训练
π π 2．已知两点的极坐标 A3，2，B3，6 ，求：

人教A版高中数学选修4-5 不等式选讲1.2.2绝对值不等式的解法教案设计

绝对值不等式的解法2教案时间：1课时课型：讲授为主、辅以讨论、探究.学习目标：1. 学习第一类绝对值不等c b x a <+||及c b x a >+||的解法；2. 学习第二类绝对值不等c b x a x <+++||||的解法.重难点：1.重点：利用等价性解第一类不等式，利用分区间讨论的方法解第二类不等式. 再研究数形结合、函数、等价转化等方法.2.难点：绝对值从运算到几何解释再到绝对值不等式性质运用都有难点，运用上就有障碍. 准备从分类、数形结合、函数、等价转化等方面突破难点.（下面填空及练习，可事前在导学案上做，然后讲评.）教学过程：一、复习绝对值不等式的性质、运算与几何解释（一）复习绝对值不等式的性质：1.|x |≤a ⇔-a ≤|x |≤a2.|x |≥a ⇔x ≥a 或x ≤-a3.|a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |（二）复习绝对值不等式的运算：1.⎩⎨⎧<≥==)0____()0____(|||-|x x x x ； 2.______||2=x ； 3.________||=ab ；4..____0}(||=≠b ba 等等. （三）复习几何解释1.|x |表示：在数轴上x 对应的点与原点的距离；2.||a x -表示：_________________________________________；3.)0(||≠-a b x a 表示：_________________________________________. 讨论去绝对值的方法与解上面不等式的关系(讨论后要有中心发言人)二、去不等式里的绝对值，通常有1._______________；2._________________________________________________________.利用上面思考，填空回答：解c b ax <+||与c b ax >+||通常采用_____________的方法；解c b x a x <+++||||通常采用________________的方法.三、利用绝对值不等式的性质及运算求解问题1.|x +2|>3; 问题2.|2x -1|<5.四、利用数形结合、函数法等求解问题3.|x +1|+|x -3|<6（根据导学案做的情况，多人展示）五、讨论下面等价关系的真实性，并证明. 如何利用它求解第二类不等式. 对于⎩⎨⎧≤≤⇔≤++c b c a c b a b a |||||2-||2|. 的真实性进行讨论直至证明. (讨论后要有中心发言人)问题4.求解：|2x -1|+|x +3|<5.（根据导学案做的情况，多人展示）六、练习：求解：1.|3x +5|<7；2.|x -1|+|x +3|<6；3.|x -1|+|x +3|≥6；4.|x -3+|x -2|>3x -15.|x +3|-|x -2|>2（导学案中这个内容可适度少一些，以备做当堂训练后展示）七、归结出上不等式的解法：1.|ax +b |<c ⇔-c <ax +b <c ；2.|ax +b |>c ⇔ax +b <-c 或ax +b >c ；3.|x +a |+|x +b |<c 主要解法有：（1）__________________；（2）___________________；（3）__________________；(4)_____________________. 等等.八、拓展训练：已知函数.|1|2|1|)(a x x x f --++=（I ）若1=a ，求不等式2)(+>x x f 的解集；（II ）若不等式)2()(+≤x a x f 的解集为非空集合，求a 的取值范围.九、课堂小结：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ （小结可以指定中心发言人）十、作业布置：1. 求解：（1）7|32|<-x ；（2）3|12|≥+x ；（3）5|13||12|<-++x x .2. 设函数.|2||1|)(-+-=x x x f（I ）求证：1)(≥x f ；（II ）12)(22++=a a x f 成立，求x 的取值范围.。

【名师一号】2014-2015学年高中数学选修4-5课件：1-2-2

①形如 |f(x)|≤g(x)或|f(x)|>g(x)的求解方法： (ⅰ)根据实数的绝对值的意义分类讨论，
a 即|a|＝－a≥a 0 )；
a<0 (ⅲ)根据公式：|x|<a⇔－a<x<a(a∈R 且 a>0)； |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)； |x|>a⇔x>a 或 x<－a(a∈R 且 a≥0)； |f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或 f(x)<－g(x)．
所以原不等式的解集为(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
规律技巧本例三种解法中，第一种方法最重要，可作为含两个及两个以上绝对值符号的不等式解法的通法．但在分段讨论时要做到“不重不漏”；第二种解法中关键是找到特殊点，如 A1，B1；第三种方法的关键是构造函数，利用图象作答．
【变式训练 2】解不等式|3x－2|＋|x－1|>3.
【解】 (1)∵|x－1|≤2⇔－2≤x－1≤2⇔－1≤x≤3， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)原不等式可转化为
2x－1<2－3x， 2x－1>3x－2
⇔ x<35， x<1
⇒x<35.
∴原不等式的解集为x|x<35.
(3)3≤|x－2|<4⇔3≤x－2<4 或－4<x－2≤－3. 即 5≤x<6 或－2<x≤－1. ∴原不等式的解集为 {x|－2<x≤－1 或 5≤x<6}． (4)|x＋2|>|x－1|⇔(x＋2)2>(x－1)2⇔x2＋4x＋4>x2－2x＋1⇔ 6x>－3，即 x>－12. ∴原不等式的解集为x|x>－12.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

7 9 所以原不等式的解集为 x－4≤x≤4.
题型二
绝对值不等式的综合性问题
例 2 已知不等式|x＋3|＞2|x|，① x＋2 ≥1，② x2－3x＋2 2x2＋mx－1＜0，③ 若同时满足①②的 x 值也满足③，求 m 的取值范围．
解析：由|x＋3|＞2|x|解得－1＜x＜3， x＋2 由 2 ≥1 解得 0≤x＜1 或 2＜x≤4， x －3x＋2 ∴0≤x＜1 或 2＜x＜3. 由 2x2＋mx－1＜0 －m－ m2＋8 －m＋ m2＋8 解得＜x＜， 4 4
5 3 xx＜－或x＞ 2 2 .
1 1 1 3 5 方法二因为x＋＞2⇔x＋＞2 或 x＋＜－2⇔x＞或 x＜－， 2 2 2 2 2 3 5 . 所以原不等式的解集是xx＞或x＜－ 2 2
(2)由于|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6，即－5≤3x≤7， 5 7 ∴－ ≤x≤ ， 3 3
5 7 所以原不等式的解集是x－ ≤x≤ 3 3 .
变式训练1．解下列不等式．源自(1)|1－2x|>5；
(2)|4x－1|＋2≤10.
解析：(1)|1－2x|>5⇔|2x－1|>5⇔2x－1>5 或 2x－1<－5⇔2x>6 或 2x<－4⇔x>3 或 x>－2. 所以原不等式的解集为{x|x>3 或 x<－2} (2)|4x－1|＋2≤10⇔|4x－1|≤10－2⇔|4x－1|≤8⇔－8≤4x－1≤8 7 9 ⇔－7≤4x≤9⇔－ ≤x≤ . 4 4
满足①②的 x 值也满足③，
则有－m＋ m ＋8 4 ≥3.
2
－m－ m2＋8 ＜0， 4
17 17 ∴m≤－，即 m 的取值范围是－∞，－ . 3 3
变式训练
2．x2－2|x|－15>0的解集是________．
解析：∵|x|2－2|x|－15>0， ∴|x|>5或|x|<－3(舍去)． ∴x<－5或x>5.
的集合，是两个开区间(－∞，－a)，(a，＋∞)的并集，
如下图所示．
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直
接利用它的结果来解．思考2
{x|x＜－1 或x＞1} |x|＞1的解集为________ ．
栏目链接
题型一 |ax＋b|≤e（或|ax＋b|≥e）（e>0）型,不等式的解法
例 1 解下列不等式． 1 (1)x＋＞2； 2 (2)|3x－1|≤6.
分析：解两个不等式的关键是去掉绝对值符号． 1 解析：(1)方法一原不等式即x－－＞2，它表示与点 2 1 －的距离大于 2 的点的集合，如下图所示，所以符合条件的 x 2 1 1 的范围是 x＞2＋－或 x＜－2＋－，即原不等式的解集是 2 2
上到原点的距离小于a的点的集合，是开区间(－a，a)，如
下图所示．
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解．
思考1
|x|＜1的解集为________ ． {x|－1＜x ＜1}
第二种类型：设a为正数．根据绝对值的意义，不
等式|x|＞a的解集是{x|x＞a或x＜－a}．
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点
第一讲 1.2
不等式和绝对值不等式绝对值不等式
1.2.2 绝对值不等式的解法(一)
栏目链接
会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ①|ax＋b|≤c； ②|ax＋b|≥c.
栏目链接
含有绝对值的不等式的两种基本的类型
第一种类型：设a为正数．根据绝对值的意义，不等
式|x|＜a的解集是{x|－a＜x＜a}，它的几何意义就是数轴
故不等式的解集为{x|x<－5或x>5}．
答案：{x|x<－5或x>5}