掌握简谐运动的基本特征和规律
机械振动(1)
ω
=
∆Φ 2π
T
即得x2的曲线
若
∆φ < o 时
说明振动2比振动1落后，将x1曲线右移 ∆φ T 距离为 ∆ t = 即得x2的曲线 2π
19
四 简谐振动表示法-解析法 由给定振动系统， 可求出ω ； 1 取平衡位置为原点;
2
建立坐标,分析任一位置时物体受力;
d2x 3 写出动力学方程： + ω2x = 0 dt 2
*两个振动同频率、同一时刻间的相位差：
∆Φ = (ϕ 20 − ϕ 10 ) 初相位的差！
17
同一时刻两个同频率 的简谐振动相位差
∆Φ = ϕ 20 − ϕ 10
位 移 x
x2 x1
x 1 = A1 cos( ω t + ϕ 10 )
x 2 = A2 cos( ω t + ϕ 20 )
位 移 x
x1 x2
……
26
由初始条件求初相
初态一
o
ϕ
x
v=0
x = A
⇒ ϕ = 0
初态二
X=o
⇒ ϕ =
π
2
O
X
初态三
V=0
x = −A
⇒ ϕ = π
v
初态四
x=0
π 3π ⇒ ϕ = 或 − 2 2
27
水平谐振子 例1： 由初始条件求初相 ϕ ; k 1 由平衡位置右拉0.1m放手; x o 2 由平衡位置左推0.1m放手; 3 在A/2处给一个向右的速度; − 2 A 4 在 处给一个向左的速度。 2 分别求出初相。 ϕ =0 1 X0=0.1, v0=0 A=0.1 0 x x
ω
由给定初始条件 可求出A、ϕ; 已知 A、ϕ 、ω
振动与波动习题课
(1) B处质元的振动动能减小 处质元的振动动能减小, 则其弹性势能必增大; 则其弹性势能必增大 错 答:质元的振动动能和弹 质元的振动动能和弹 性势能是同相位的 ,同 时增大,同时减少. 时增大,同时减少.
B
o
C
x
(2) A处质元回到平衡位置的过程中 它把自己的能量 处质元回到平衡位置的过程中,它把自己的能量 传给相邻的质元,其能量逐渐减小 其能量逐渐减小; 传给相邻的质元 其能量逐渐减小 错 在平衡位置质元的振动动能和弹性势能是最大, 答:在平衡位置质元的振动动能和弹性势能是最大,所 质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大 能量应该逐渐增大. 以A处质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大.
关于干涉条件的讨论
y1 = A1 cos( ω t + 10
y2 = A2 cos( ω t + 20
P点的合振动为 点的合振动为
2π r1
2π r2
λ
)
注意: 为正值! 注意:r1, r2为正值! P
r1
λ
)
S1 r2 S2
y = y1 + y2 = A cos( ω t + 0 )
2 1 2
波动学基础
教学要求
1 . 掌握平面简谐波波动方程的物理意义 掌握由质点 掌握平面简谐波波动方程的物理意义.掌握由质点 的谐振动方程或某时刻的简谐波波形曲线等已知条件建 立简谐波波动方程的方法. 立简谐波波动方程的方法 2 .理解波长,周期,频率,波速等概念的含意 并掌 理解波长, 理解波长 周期,频率,波速等概念的含意,并掌 握它们之间的关系. 握它们之间的关系 3 .理解波的干涉现象 掌握波的相干条件 能运用相位 理解波的干涉现象.掌握波的相干条件 理解波的干涉现象 掌握波的相干条件.能运用相位 差或波程差来确定相干波叠加后加强或减弱的条件. 差或波程差来确定相干波叠加后加强或减弱的条件 4 .理解驻波的特性及其形成条件 了解驻波与行波的 理解驻波的特性及其形成条件.了解驻波与行波的 理解驻波的特性及其形成条件 区别. 区别 5 .理解波的能量传播特征以及能流,能流密度等概念 理解波的能量传播特征以及能流, 理解波的能量传播特征以及能流 能流密度等概念. 6.掌握多普勒效应 6.掌握多普勒效应
简谐运动规律
简谐运动规律简谐运动是物体在一个固定的参考点附近，做往复运动的一种运动形式。
它是物理学中一个非常重要的概念，广泛应用于力学、波动、电磁学等领域。
简谐运动有三个基本特征：周期性、稳定性和均匀性。
周期性指的是物体的运动是有规律的，经过一定的时间间隔后会重复出现同样的状态。
稳定性表示物体的运动是稳定的，不受外界干扰的影响。
均匀性则表明物体在简谐运动中的速度和加速度是均匀变化的。
简谐运动的规律可以用如下公式来描述：x = A*cos(ωt + φ)其中，x表示物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
这个公式告诉我们物体在简谐运动中的位移是一个余弦函数，其振幅决定了物体的最大位移，角频率决定了物体振动的快慢，初相位决定了物体运动的起始位置。
简谐运动的周期可以用公式T = 2π/ω来计算，其中T表示周期。
角频率与周期的关系可以通过ω = 2π/T来得到。
简谐运动的速度和加速度也可以通过对位移函数求导来得到。
速度的公式为v = -Aω*sin(ωt + φ)，加速度的公式为 a = -Aω²*cos(ωt + φ)。
这两个公式告诉我们物体在简谐运动中的速度和加速度都是正弦函数，并且与位移之间存在一定的相位差。
简谐运动的能量守恒是其重要的特征之一。
在简谐振动中，物体的总机械能保持不变，由势能和动能组成。
势能与位移的平方成正比，动能与速度的平方成正比。
当物体在最大位移处时，动能为零，势能达到最大值；当物体通过平衡位置时，动能达到最大值，势能为零。
简谐运动在生活和科学研究中有着广泛的应用。
例如，钟摆的摆动、弹簧的振动、电磁波的传播等都可以看作是简谐运动。
在工程中，简谐运动的原理被应用于设计和制造各种振动器和传感器。
在医学领域，人体的心脏跳动、呼吸等运动也可以用简谐运动的概念来描述和分析。
简谐运动是物理学中一个重要的概念，它可以描述物体在一个固定点附近做往复运动的规律。
通过对位移、速度和加速度的分析，可以得到简谐运动的各种特征和规律。
大一简谐运动知识点归纳
大一简谐运动知识点归纳简谐运动是物理学中一个重要的概念，它是指物体在受到一个恢复力（即与偏离平衡位置成正比的力）作用下以一定频率做往复振动的运动。
简谐运动具有许多特点和规律，本文将对大一学生需要掌握的简谐运动知识点进行归纳和总结。
一、简谐运动的基本特点简谐运动的基本特点包括：振动物体的周期、频率、振幅和相位。
周期指的是一个完整振动所需要的时间，通常用T表示，单位是秒。
频率指的是单位时间内完成的振动次数，通常用f表示，单位是赫兹（Hz）。
振幅表示振动物体偏离平衡位置的最大距离。
相位表示振动物体当前所处的状态。
二、简谐运动的描述简谐运动可以通过各种方式进行描述。
其中，最常用的是通过位移-时间图、速度-时间图和加速度-时间图。
位移-时间图是一条曲线，横轴表示时间，纵轴表示位移，它能够直观地展示振动物体的运动情况。
速度-时间图和加速度-时间图同样是使用时间作为横轴，但纵轴分别表示速度和加速度。
三、简谐运动的数学表示简谐运动可以通过使用正弦函数或余弦函数进行数学表示。
设物体的位移为x，时间为t，角频率为ω，初相位为φ，则简谐运动的数学表示可以写为：x = A * sin(ωt + φ)或x = A * cos(ωt + φ)其中，A表示振幅，ω表示角频率，φ表示相位。
这两种表示方式是等效的，可以根据需要选择其中一种进行使用。
四、简谐运动的能量简谐运动的能量由势能和动能组成。
势能是指振动物体由于位置发生变化而具有的能量，动能是指振动物体由于速度发生变化而具有的能量。
在简谐运动中，势能和动能之间相互转化，总能量不变。
五、简谐运动的共振共振是指在外力作用下，当物体的振动频率与外力频率接近或相等时，振幅达到最大的现象。
共振可以放大物体的振动，使其接收到更多的能量。
然而，如果超过物体的势能极限，共振可能会导致物体破坏。
六、简谐运动的应用简谐运动在生活和工程中有着广泛的应用。
例如，钟表的摆锤运动、弹簧振子的振动、音叉的振动等都是简谐运动的实例。
简谐运动的特征和规律
加速度-时间关系
描述
简谐运动的加速度随时间呈现周期性 变化，其方向与位移方向相反。
公式
a(t) = - A * ω^2 * sin(ωt + φ)，其 中ω是角频率。
特性
加速度的最大值和最小值分别为-A * ω^2和A * ω^2，且在两个最大值或
最小值之间变化。
04
简谐运动的能量
振幅与能量的关系
02
简谐运动的特征
周期性
总结词
简谐运动是一种周期性运动，即运动过程中任意相同的时间内，通过的位移、速度和加速度等物理量 都会重复变化。
详细描述
简谐运动的周期是描述其重复运动快慢的物理量，表示运动完成一次所需的时间或长度。在简谐运动 中，位移、速度和加速度等物理量均随时间呈现周期性变化，且每个周期内各物理量的变化趋势相同 。
05
简谐运动的实例和应用
弹簧振荡器
弹簧振荡器是简谐运动的典型实例之一，它由弹簧和振荡器组成，通过弹簧的伸缩 实现振荡运动。
弹簧振荡器的振动周期和振幅等参数可以通过调节弹簧的刚度和质量等参数进行控 制。
弹簧振荡器在物理学、工程学和生物学等领域有广泛应用，如测量仪器、减震器和 生物组织振动等。
波动和干涉现象
详细描述
在理想情况下，没有能量损失或外部 力做功的情况下，简谐运动的能量是 守恒的。这意味着在振动过程中，动 能和势能之间可以相互转换，但总量 保持不变。
能量转换与耗散
总结词
在实际情况下，简谐运动过程中存在能量转换和耗散。
详细描述
在现实世界中，由于各种阻尼效应和外部力的作用，简谐运动过程中存在能量转换和耗散。例如，空气阻力、摩 擦力等会消耗振动体的能量，导致振幅逐渐减小，最终使振动停止。这种能量的损失可以通过阻尼系数来描述。
简谐振动的规律和特点
简谐振动的规律和特点
简谐振动是一种特殊的振动，其规律和特点可以总结如下：
恢复力与位移成正比： 简谐振动的主要特点之一是恢复力与振动物体的位移成正比。
即，物体偏离平衡位置越远，恢复力越大。
速度和加速度的正弦关系：在简谐振动中，物体的速度和加速度是正弦函数关系。
速度达到最大值时，加速度为零，反之亦然。
振动周期恒定： 简谐振动的周期是物体完成一次完整振动所需的时间。
在简谐振动中，周期是恒定的，与振幅无关。
频率和周期的关系：频率是振动的周期的倒数，即频率 = 1 / 周期。
频率和周期之间存在反比关系。
能量转换：在简谐振动中，势能和动能之间存在周期性的转换。
当物体经过平衡位置时，动能最大，而势能为零；反之，当物体达到最大位移时，势能最大，动能为零。
振动方向和恢复力方向相反： 当物体偏离平衡位置时，恢复力的方向总是指向平衡位置。
这导致振动物体沿着恢复力的方向振动。
频率不受振幅影响： 简谐振动的频率不受振幅的影响。
无论振幅的大小如何，频率始终保持不变。
这些规律和特点使得简谐振动成为一个数学上非常可控和可预测的振动模型。
简谐振动在物理学、工程学和其他科学领域中都有广泛的应用。
简谐运动知识点总结笔记
简谐运动知识点总结笔记一、简谐运动的基本概念1. 简谐运动的定义简谐运动是指物体沿着直线或者绕着某个固定轴线作往复振动的运动。
简谐运动有其特定的数学描述和物理规律，可以用简单的正弦或余弦函数来描述物体的运动规律。
2. 简谐运动的特点简谐运动具有周期性、相位一致、振幅恒定、运动轨迹为直线或圆周等特点。
对于弹簧振子、单摆等物体的振动运动都可以看作是简谐运动。
3. 简谐运动的数学描述简谐运动可以用如下的数学公式来描述：\[x(t) = A \cdot sin(\omega t + \phi)\]其中，\(x(t)\)表示物体在t时刻的位置，A表示振幅，\(\omega\)表示角频率，\(\phi\)表示初相位。
通过这个公式可以很清晰地描述出物体的振动规律。
二、简谐运动的基本物理规律1. 简谐运动的力学规律根据牛顿第二定律，对于简谐运动的物体，其受力与位移成正比。
设物体的位移函数为x(t)，则其受力与位移的关系可以表示为\[F = -kx(t)\]其中，k为弹簧或摆的劲度系数，代表着弹簧或摆的刚度。
这个公式也被称为胡克定律，描述了弹簧振子的特点。
2. 简谐运动的能量规律对于简谐运动物体，其动能和势能之和保持不变。
设物体的位移函数为x(t)，则其动能和势能可以表示为\[E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2\]其中，m为物体的质量，\(\omega\)为角频率，A为振幅。
这个公式说明了简谐运动物体能量的守恒规律。
三、简谐运动的应用弹簧振子是最常见的简谐运动的例子，它的振动规律可以很好地用简谐运动的公式来描述。
由于弹簧振子的周期性和稳定性，因此在各个领域都有广泛的应用，比如钟表的摆动、汽车的避震器等。
2. 单摆单摆也是一个常见的简谐运动的例子，它的振动规律同样可以用简谐运动的公式来描述。
由于单摆的周期与摆长和重力加速度有关，因此可以通过单摆来测量重力加速度等物理量。
单摆也常用作物理实验中的展示装置。
简谐运动总结知识点
简谐运动总结知识点
简谐运动的基本特点包括周期性、规律性和单一频率。
在简谐运动中，物体在一个固定的
时间内完成一个完整的振动周期，而且每个周期内的振幅和相位都是固定的。
简谐运动的
频率只有一个，并且与物体的质量和弹性系数有关。
简谐运动的一些重要的知识点包括振动的频率和周期、振幅、相位、动能和势能等。
振动
的频率和周期与物体的质量和弹性系数有关，可以通过公式f=1/T来计算。
振幅是指振动
的最大偏离位置，相位则是指振动的运动状态相对于一个参考点的位置。
简谐运动的动能
和势能在振动过程中会不断地转化，它们之间的转化关系可以用能量守恒定律来描述。
简谐运动的力学模型可以用弹簧振子和单摆来描述。
弹簧振子是指通过弹簧连接的质点，
在振动过程中会产生简谐运动。
单摆则是指通过一根绳索连接的质点，在重力的作用下会
产生简谐运动。
这些力学模型可以通过分析振动的力学方程和运动方程，来深入理解简谐
运动的物理规律。
简谐运动在日常生活和工程技术中有着广泛的应用。
比如，振动吸收器可以用于减小机械
设备的震动和噪音，提高设备的稳定性和工作效率。
简谐运动也是光学和电磁波的基本运
动形式，通过掌握简谐运动的理论知识，我们可以更好地理解和应用光学和电磁波的原理。
总的来说，简谐运动是物理学中一个重要的概念，它不仅具有理论意义，还有着广泛的实
际应用价值。
通过深入学习简谐运动的知识点，我们可以更好地理解自然界和工程技术中
的各种振动现象，为科学研究和技术创新提供重要的理论基础。
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k 0 cos t m
3 .如图分别为简谐运动的位移-时间(x-t)曲线和速度-时间 (v-t) 曲线,试分别写出它们的简谐运动方程. x x( m ) A A/2 o 1 t ( s)
课堂讨论题
1 .符合什么规律的运动是简谐运动?判断下列物体(物理量)的 运动是不是简谐运动? 提示：简谐运动不是一般的往复运动,要判断一一个物理量 是否作简谐运动必须严格按照谐运动的运动学或动力学特征 是否得到满足来判定. (1)完全弹性球在钢板上的上下跳动; 否 分析
(2)活塞的往复运动; 一般不是
基本概念和规律
1 . 谐运动的规律和判据
线谐运动(定义兼判据)
d2 x 2 x0 2 dt k 且 m
f =-kx
x A cos( t )
角谐运动
d 2 2 0 2 dt
f=-k'
k 且 J
cos( t )
2 . 谐运动的运动学方程, 速度、加速度表达式
6 .简谐运动的能量
1 1 2 E k mv m 2 A2 sin2 ( t ) 2 2 1 2 1 2 E p kx kA cos2 ( t ) 2 2 1 2 E E k E p kA 2 1 2 E k kA 4 1 2 E p kA 4
2
弹簧振子：
k , 单摆： m
v0 sin A g 2 1 T l
x0 cos A
5 .同方向、同频率简谐运动的合成
x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
仍为简谐运动,其中:
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
x A cos( t ) v A sin( t )
a A 2 cos( t )
3 . 谐运动中的各物理量 振幅A、周期T、频率、角频率、相位(t+ ) 初相位 4 . 谐运动中的三要素的确定
2E A x0 2 k
2
v0
解：设平衡时弹簧伸长x0,
kx0 l l mg 2 3 x0 3mg 2k
O1
O2
B
A
当杆由平衡位置转过小角度,
3 3 2
l 3 l l l M k ( x0 sin) mg cos (很小）
kl 2 1 2 d 2 J ml 3 3 dt 2
k m
否
课堂计算题
1 . 如图,长方形物体B质量m,横截面积S ,放入密度为 的液 体中,同时由劲度系数为k的弹簧吊起,使之部分露出液面.起 始时B静止不动.现将沿竖直方向向下压x后放手,求物体B的 运动方程(忽略摩擦力,分别取向上向下为x轴正方向).
解：设平衡时物体浸入水中为a, 弹簧伸长为x0,
(3) F=-kv;
(5) M=-D ;
否 是
(4) F=k x; (6) x=Asin2Bt; (8) x=5sin(t+ /2);
否
否 是 是
(7) x=A- B x2;
d2 x (10) 2 2 x dt
否
(9) x=e-At 5cost;
否
d 2 (11) J 2 D . dt
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
A A1 A2 同相: 2 1 2k k=0,±1, ±2, ±3…...
A A1 A2 反相: 2 1 (2k 1) k=0,±1, ±2, ±3…...
2 .作简谐运动的单摆在一个周期的几个运动状态如图所 示.若分别以(a)和(b)为计时起点,问单摆的初相和各图所 示状态的相位各为何值?
最大 d 0 dt =0 (a) d 为负最大 dt (b) (b) 最大 d 0 dt
=0
t+=0
m
ห้องสมุดไป่ตู้( a)
t+= /2
m ( c)
( 2)
x x0 cos( tt ?) ) 0 cos(
2 . 如图质量m,长为l的均质细杆A,可绕通过其端点O1的水平 轴在竖直平面内自由转动.在离轴O1为处的正上方有一劲度 系数为k的弹簧B悬挂在O2与A相连.平衡时杆A处于水平位置, 现令杆转过一个小角度 0后,由静止释放,求运动学方程.
( c) =0 d 为正最大 dt (d)
(d)
t+= t+=3 /2
3 .若F代表质点所受合外力,M代表刚体所受合外力矩,x是质点 位移, 是刚体离开平衡位置的角,v是质点运动速度,k、k1、k2 、 A、B、D、J为正常数.在下列各式中,哪种情况质点(或刚体)作 谐运动(或角谐运动)? 否 (1)F=-k- k1 x; 是 (2) F=- k1 x2;
(3)如图所示,一小球在半径很大的 光滑凹球面上滚动(滚动距离很短); 是
(4)长为l,质量为m的均质细杆,顶端悬挂在固定的光滑轴上.今将 其下端稍微偏离平衡位置(角度很小),使其摆动; 是 (5)一质点做匀速圆周运动,它在直径上投影的运动; 是 (6)由交流发电机发出的50Hz的交流电; 是
(7)两个固定在2R距离上的小球各带电量Q,在其中点初放一 电量为q的点电荷A,令A在固定电荷连线上振动(x<<R),是不是 简谐运动?如果A的上下前后左右都对称地放置同样的固定电 荷,A是否简谐运动?从而体会晶体内的离子在它的平衡位置附 近的运动. 分析
k
mg asg kx0 0
(1)
取x轴向上为正, 由平衡位置向下压x
d2 x (a x ) sg k ( x0 x ) mg m 2 dt ( 2)
B
mg asg kx0 0
(1)
d2 x (a x ) sg k ( x0 x ) mg m 2 dt d2 x ( sg k ) m 2 dt s g k 2 m