垂线段最短、点到直线的距离练习题
垂线--垂线段、垂线段最短、点到直线的距离
5.1.2(2)垂线--垂线段、垂线段最短、点到直线的距离一．【知识要点】1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
直线AB，CD互相垂直，记作"AB⊥CD"（或"CD⊥AB")，读作"AB垂直于CD"（或"CD垂直于AB"）。
垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二．【经典例题】1.如图，能表示点到直线的距离的线段共有（）A．2条B．3条 C．4条 D．5条2.如图，PA＝5 cm，PB＝4 cm，PC＝3 cm，则点P到直线l的距离( )．A．等于3 cm B．大于3 cm，小于4 cmC．不大于3 cm D．小于3 cm3.如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,C，D分别是位于公路AB两侧的村庄.(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近,行驶到D′位置时,距离村庄D最近,请在公路AB上作出C′，D′的位置(保留作图痕迹)；(2)当汽车从A出发向B行驶时,在哪一段路上距离村庄C越来越远,而离村庄D越来越近？(只叙述结论,不必说明理由)三．【题库】【A】1.如图1,AC⊥BC,CD⊥AB, 垂足为D,图中共有___个直角,它们是__________________,图中线段_______的长表示点C到AB的距离，线段________的长表示点A到BC的距离.2.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是．【B】1.直线m外的一点P,它到直线m上三点A,B,C的距离分别是6cm,3cm,5cm,则点P到直线m 的距离为( )A.3cmB. 5cmC. 6cmD. 不大于3cm【C】1.下列说法正确的有（）①相等的角的是对顶角；②两条直线相交所成的4个角中，若有一个角是90度，那么这两条直线互相垂直；③直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．A.1个B.2个C.3个D.4个【D】。
2023年中考数学一轮复习《点到直线的距离》练习题
2023年中考数学一轮复习《点到直线的距离》练习题1．点P为直线l外一点，点A、B、C为直线l上三点，P A＝4cm，PB＝5cm，PC＝3cm，则点P到直线l的距离为（）A．4cm B．5cm C．小于3cm D．不大于3cm 【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线中，垂线段最短”进行解答．解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，∴点P到直线a的距离≤PC，即点P到直线a的距离不大于3cm．故选：D．【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．2．点到直线的距离是指这点到这条直线的（）A．垂线段B．垂线C．垂线的长度D．垂线段的长度【分析】从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．对照定义进行判断．解：根据定义，点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度．故选D．【点评】此题主要考查了点到直线的距离的定义．3．如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C，则图中表示点A到直线BC的距离的线段是（）A．AD B．AB C．AC D．CD【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度，可得答案．解：AC⊥BC，垂足为点C，则点A到BC的距离是线段AC的长度，故选：C．【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到直线的垂线段的长度．4．如图，在长方形ABCD中，点E在边BC上．则点A到直线BC的距离是线段（）A．AD的长度B．AC的长度C．AE的长度D．AB的长度【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．解：∵AB⊥BC于B，∴点A到直线BC的距离是线段AB的长度，故选：D．【点评】本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．。
中考数学专题练习点到直线的距离(含解析)
中考数学专题练习点到直线的距离（含解析）备战2019中考数学专题练习-点到直线的距离（含解析）一、单选题1.如图所示，点P到直线l的距离是（）A. 线段PA的长度 B.线段PB的长度 C.线段PC的长度 D.线段PD的长度2.在同一平面内，已知线段AB的长为10厘米，点A，B到直线l的距离分别为6厘米和4厘米，则符合条件的直线l的条数为（）A. 2条B.3条线段）的距离的线段有（）A. 五条B. 二条C. 三条D. 四条5.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段（）的长．A. POB. ROC. OQD. PQ6.定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A. 2B. 3C. 4D.57.同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（）个．A. 1或3B. 0、1或C. 0、1或2D. 0、1、2或38.如图，点A在直线l1上，点B，C分别在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB=4，AC=5，则下列说法正确的是（）A. 点B到直线l1的距离等于4B. 点A到直线l2的距离等于5C. 点B到直线l1的距离等于5D. 点C到直线l1的距离等于59.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段的长．（）B. ROC. OQD. PQ10.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（）A. 点A到BC的垂线段为ADB.点C到AD的垂线段为CDC. 点B到AC的垂线段为ABD.点D到AB的垂线段为BD11.在下列语句中，正确的是（）A. 在平面上，一条直线只有一条垂线B. 过直线上一点的直线只有一条C. 在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D. 垂线段就是点到直线的距离二、填空题12.如图所示，若∠ACB=90°，BC=8cm，AC=6cm，则B点到AC边的距离为________ cm．13.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________ cm，点A到BC的距离是________ cm，C到AB的距离是________ cm．14.如图，过A点画与直线BC垂直的线段，A点到BC的距离是线段________的长，过B点画直线AC的垂线段，B点到AC的距离是线段________的长．15.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是________，理由________；三、解答题16.如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？四、综合题17.如图所示，在正方形ABCD的对角线AC上有一只蚂蚁P从点A出发，沿AC匀速行走，蚂蚁从A点到C点行进过程中：（1）所经过的点P到AD，BC边的距离是怎么变化的？（2）所经过点P到CD，BC边距离有何数量关系？为什么呢？18.阅读理解：已知点P（x0， y）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离，可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】点到直线的距离【解析】【解答】解：∵PB⊥直线l于点B∴点P到直线l的距离是线段PB的长度故答案为：B【分析】根据点到直线的距离（直线外一点到这条直线的垂线段的长度）的定义，即可求解。
知识点248垂线段最短(填空题)
1．如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．点评：本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．2．如图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短在生活中的应用．3．如图，AB⊥BC，则AB＜AC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是垂线段最短．考点：垂线段最短。
分析：把BC看作直线，点A为直线BC外一点，根据垂线段定理进行判断．解答：解：根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，可知AB＜AC，其理由是垂线段最短．点评：本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短的性质．4．如图，计划把河AB中的水引到水池C中，可以先作CD⊥AB，垂足为D，然后沿CD开渠，则能使所打开的水渠最短，这种方案的设计根据是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
专题：应用题。
分析：过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．解答：解：这种方案的设计根据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．点评：本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．5．如图，现有一条高压线路沿公路l旁边建立，某村庄A需进行农网改造，必须要从这条高压线上架接一条线路去村庄A，为了节省费用，请你帮他们规划一下，并说明理由．理由是从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．考点：垂线段最短。
点到直线的距离150题及解析
【解析】解：∵OQ⊥PR，
∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．
故选：C．
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，结合图形判断即可．
本题考查了点到直线的距离，熟记概念并准确识图是解题的关键．
9.下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
故选：A．
根据点到直线的距离，直线的性质，线段的性质，可得答案．
本题考查了线段的性质，熟记性质并能灵活过应用是解题关键．
10. 如图，点A到线段BC所在直线的距离是线段（ ）
A.AC的长度
B.AD的长度
C.AE的长度
D.AB的长度
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了点到直线的距离有关知识，根据点到直线的距离是垂线段的长度，可得答案.
D、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直符合垂直的性质，故本选项正确．
故选：D．
根据点到直线距离的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是点到直线的距离，熟知从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离是解答此题的关键．
14.下列说法正确的是（ ）
A.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
12.下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，
故选：D．
根据点到直线的距离是指垂线段的长度，即可解答．
2022-2023学年人教版数学四年级上册点到直线的距离练习题含答案
2022-2023学年人教版数学四年级上册点到直线的距离练习题学校:___________姓名：___________班级：_______________一、解答题1．下面图形中哪两条线段互相平行？哪两条线段互相垂直？二、填空题2．在长方形中有( )组对边是平行的，两条邻边互相( )。
3．在下图中，线段AB，AC，AD，AE中最短的一条线段是( )。
4．在一个长方形中，相邻两边互相( )，相对两边互相( )。
5．在连结两点的所有线中，( )最短。
6．在括号里填上相应的序号。
互相垂直的有( )，互相平行的有( )。
三、判断题7．公路上有三条小路通往笑笑家，它们的长度分别是243米、187米、205米，其中有一条小路与公路垂直，这条小路长187米。
( )8．如果两条直线平行，那么这两条直线就相等。
( )9．平面内三条直线相交最多有两个交点。
( )10．同一平面内有三条直线a、b、c，已知a⊥b，b⊥c，那么a⊥c。
( )四、选择题11．下面说法中正确的有（）个。
⊥两条平行线之间的距离处处相等。
⊥两个锐角的和不一定大于直角。
⊥两个数的商是8，如果被除数不变，除数乘4，则商为32。
A．1B．2C．312．下面说法正确的是（）。
A．一个正方形中有4组平行线B．过一点可以做无数条已知直线的垂线C．一组平行线之间的距离都相等D．过一点可以做无数条已知直线的平行线五、作图题13．分别过点A画BC的垂线。
14．在下图中，过P点分别画出已知直线的垂线和平行线。
15．王刚家新建了房子，要把自来水从主管道引到自己家，怎么做最节省？请画图表示。
参考答案：1．见详解【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。
【详解】图一：a与c、d与e互相平行，a与e、a与d、c与d、c与e互相垂直。
图二：l与k互相平行，m与l、m与k互相垂直。
“垂线段最短”日常应用四、五例
“垂线段最短”日常应用四、五例贵州省罗甸县第二中学小武哥通常，我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。
经过探究我们得到一个事实：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
在日常生活中，解决一些实际问题时我们经常遇到它。
这样可使有些复杂问题变的比较简单，因此其应用较为广泛。
接下来我给同学们举几个例子：例1：如图（1），若计划把河中的水引到水池C进行蓄水，应怎样开渠最短？请在图上画出来，并说明理由。
解:过C点画直线AB的垂线,设垂足为O,﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏从点O处开始,沿线段OC挖渠,就能使水渠长﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏最短。
理由是：点到直线的距离中，垂线段最 A D B短.·C例2: （1）如图（2），运动会上，甲、乙两名同学测得黎明的跳远成绩分别为DA = 4.56米，DB = 4.15米，AC = 4.70米,则黎明的跳远成绩应该为_________米。
解：黎明的跳远成绩应为4.15米。
因为实际生活中，测量跳远成绩都是量离踏板最近的落地点，所以AC和DA是明显错误的,线段DB的长度才是黎明跳远的正确成绩。
例3：如图(3)，A、B两厂在公路同侧，拟在公路边建一货场C，若由B厂独家兴建，并考虑B厂的利益，则要求货物离B厂最近，请在图（3）中做出此时货场C的位置，并说出这样做的道理。
解:如图所示，过点B作公路所在直线的垂线B·垂足就是所求货场C的位置；理由是：点A·公路到直线的距离中,垂线段最短。
C例4：（3）如图（4），一两小汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M、N是分别位于AB两侧的村庄，若小汽车行驶到公路AB上的点P的位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近。
请在图中分别画出P、Q的位置。
解:过点M、N分别作直线AB的垂线,垂足分别为P、Q。
垂线段最短问题专项训练
垂线段最短问题专项训练1．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：四个方案中，管道长度最短的是B．故选：B．2．如图，点A为直线BC外一点，且AC⊥BC于点C，AC＝4，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解答】解：∵AC⊥BC，∴AP≥AC，即AP≥4．故选：A．3．体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A．平行线间的距离相等B．两点之间，线段最短C．垂线段最短D．两点确定一条直线【答案】C【解答】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．4．如图，设点P是直线l外一点，PQ⊥l，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【答案】C【解答】解：∵PQ⊥l，点T是直线l上的一个动点，连结PT，∴PT≥PQ，故选：C．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ．则CQ 的最小值是（）A．B．1C．D．【答案】B【解答】解：解法一：如图在CD的下方作等边△CDT，作射线TQ．∵∠CDT＝∠QDP＝60°，DP＝DQ，DC＝DT，∴∠CDP＝∠QDT，在△CDP和△TDQ中，，∴△CDP≌△TDQ（SAS），∴∠DCP＝∠DTQ＝90°，∵∠CTD＝60°，∴∠CTQ＝30°，∴点Q在射线TQ上运动（点T是定点，∠CTQ是定值），当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值＝CT＝CD＝BC＝1，解法二：如图，CD的上方，作等边△CDM，连接PM，过点M作MH⊥CB于H．∵△DPQ，△DCM都是等边三角形，∴∠CDM＝∠PDQ＝60°，∵DP＝DQ，DM＝DC，∴△DPM≌△DQC（SAS），∴PM＝CQ，∴PM的值最小时，CQ的值最小，当PM⊥MH时，PM的最小值＝CH＝CD＝1，∴CQ的最小值为1．故选：B．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（）A．4B．4.5C．4.8D．5【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∵当PC⊥AB时，PC的值最小，此时：AB•PC＝AC•BC，∴PC＝．故选：C．7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B 重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．若AC＝20，BD＝10，则EF的最小值为（）A．B．C．4D．【答案】D【解答】解：如图，连接OP，∵四边形ABCD是菱形，AC＝20，BD＝10，∴AC⊥BD，AO＝AC＝10，BO＝BD＝5，∴∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，∴四边形OEPF是矩形，∴EF＝OP，当OP取最小值时，EF的值最小，∴当OP⊥AB时，OP最小，此时，S△ABO＝OA•OB＝AB•OP，∴OP＝＝2，∴EF的最小值为2，故选：D．8．如图，在矩形ABCD中，为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：如图，连接CM，∵MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，∴∠CPM＝∠CQM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝1，CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，∴四边形PCQM是矩形，∴PQ＝CM，由勾股定理得：BD＝＝＝3，当CM⊥BD时，CM最小，则PQ最小，此时，S△BCD＝BD•CM＝BC•CD，∴CM＝＝＝，∴PQ的最小值为，故选：B．9．已知：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是．【答案】2.4【解答】解：连接CP，如图所示：∵∠C＝90°，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，∴∠C＝∠PFC＝∠PEC＝90°，∴四边形CEPF是矩形，∴EF＝CP，要使EF最小，只要CP最小即可，当CP⊥AB时，CP最小，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，由三角形面积公式得：×4×3＝×5×CP，∴CP＝2.4，即EF＝2.4，故答案为：2.4．10．如图，E，F是菱形ABCD的边AB，AD的中点，P是菱形的对角线BD上的动点，若BD＝8，AC＝10，则PE+PF的最小值是．【答案】【解答】解：作E点关于BD的对称点G，连接FG交BD于点P，连接EP，∴EP＝GP，∴EP+FP＝PG+PF≥FG，当F、P、G三点共线时，EP+FP有最小值，最小值为GF，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是菱形的一条对称轴，∵E是AB的中点，∴G点是BC的中点，∴EG＝AC，∵AC＝10，∴EG＝5，连接EF，∵F是AD的中点，BD＝8，∴EF＝BD＝4，在Rt△EFG中，GF＝，∴PF+PE的最小值为，故答案为：．11．如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最小值为．【答案】【解答】解：作B点关于EC的对称点F，连接AF交EC于点P，连接BP，过F点作FG⊥BC交BC的延长线于点G，BF交EC于点H，∴BP＝FP，∴AP+BP＝AP+PF≥AF，当A、F、P三点共线时，AP+BP有最小值，最小值为AF，∵E点是AD的中点，∴ED＝AD，∵正方形ABCD的边长为5，∴ED＝，∴tan∠ECD＝，∵BH⊥EC，∴∠BHC＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠HBC＝∠ECD，∴tan∠HBC＝，∴2HC＝BH，在Rt△BCH中，BC＝5，∴BH＝2，∴BF＝2BH＝4，在Rt△BGF中，BG＝2FG，∴GF＝4，BG＝8，过点F作FM⊥AB交于M，∴MF＝8，AM＝1，在Rt△AFM中，AF＝，∴AP+BP的最小值为，故答案为：．12．如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝4，则PE+PB的最小值为．【答案】6【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，∴BF＝BC＝2，∠CBF＝60°，∴B′B＝2BF＝4，∵BE＝BF，∠CBF＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴BE＝BF＝B'F，∴△BEB'是直角三角形，∴B′E＝＝＝6，∴PE+PB的最小值为6，故答案为：6．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，E、F分别是AD、BC的中点，点P、Q在EF上．且满足PQ＝2，则四边形APQB周长的最小值为．【答案】12【解答】解：∵AB＝5，PQ＝2，∴四边形APQB的周长为AP+PQ+BQ+AB＝AP+BQ+7，则要使四边形APQB的周长最小，只要AP+BQ最小即可．在AB边上截取AM＝PQ，∵点F是BC的中点，∴点B关于EF的对称点为点C，连接CM，交EF于点Q，则CM即为AP+BQ的最小值．在Rt△BCM中，MB＝AB﹣AM＝5﹣2＝3，BC＝4，∴CM＝＝5，∴四边形APQB的周长最小值为5+7＝12．故答案为：12．14．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，CF＝BE，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则PM+PN的最小值为．【答案】3【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD＝∠ABC，AB＝BC，∵CF＝BE，∴△ABE≌△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，由等腰三角形三线合一的性质，可得BG＝MG，∴点M关于AE的对称点为点B．过点B作BN'⊥AM，交AE于点P'，则PM+PN的最小值即为BN'的长．∵正方形ABCD的对角线相互垂直且平分，∴BN'＝AC，∵AB＝BC＝6，∴AC＝6，∴BN'＝3．故答案为：3．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为矩形内一点，满足∠ABP＝∠BCP．（1）若点E为AD的中点，B，P，E在同一条直线上，则BP的长为；（2）若E为AD上一动点，则BE+PE的最小值为．4【答案】，【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠ABP＝∠BCP，∴∠BCP+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P是在以BC为直径为圆上．∵点B，P，E在同一条直线上，∴△ABE∽△PCB，∴，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD的中点，∴AE＝4，BE＝．∴，∴．（2）作点B关于AD的对称点B'，连接B'E，则BE+PE＝B'E+PE．∴当B'，E，P三点在同一条直线上时，BE+PE取得最小值，即为B'P的长．设BC的中点为O，连接B'O，交以BC为直径的圆于点P，此时即为B'P的最小值．∴B'P＝B'0﹣OP．在Rt△OBB'中，B'O＝＝．∴B'P＝4．∴BE+PE的最小值为4．16．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝60°，P是▱ABCD内一动点，且S△PBC＝S△P AD，则P A+PD的最小值为．【答案】4【解答】解：如图所示，过P作直线l∥AD，作点A关于l的对称点A'，连接AA'，交l 于E，交BC于F，连接A'P，则A'P＝AP，AE＝A'E，AA'⊥BC，∴AP+PD＝A'P+PD，当A'，P，D在同一直线上时，AP+PD的最小值等于A'D的长，∵AB＝6，∠ABC＝60°，∴BF＝AB•cos60°＝3，AF＝3，又∵S△PBC＝S△P AD，∴AE＝AF＝2，∴AA'＝2AE＝4，∵BC＝8，∴AD＝8，Rt△AA'D中，A'D＝＝＝4，∴P A+PD的最小值为4，故答案为：4．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E是AB所在直线的一个动点，点F是对角线AC上的动点，且AE＝CF，则BF+CE的最小值为．【答案】【解答】解：如图所示，延长CD到点G，使CG＝AC，连接FG，∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴∠EAC＝∠FCG，又∵AE＝CF，∴△ACE≌△CGF（SAS），∴CE＝GF．如图，当G，F，B三点共线时，BF+GF的长最小，此时BF+CE的值也最小，最小值等于BG的长．∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝BC＝6，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝，∴CG＝，Rt△BCG中，BG＝＝＝，∴BF+CE的最小值等于，故答案为：．18．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点（点Q在点P的右边）．①若连结AP、PE，则PE+AP的最小值为；②连结QE，若PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：（1）延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，∴AP＝PM，连接EM，交BC于点P，此时AP+PE的值最小，∴AP+PE＝PM+EP＝EM，过点M作MN⊥DC，交DC的延长线于点N，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠MBC＝∠BCN＝90°，∵∠MND＝90°，∴四边形BMNC是矩形，∴BM＝CN＝4，BC＝MN＝8，∵E为CD的中点，∴EC＝CD＝2，∴EN＝EC+CN＝6，∴ME＝＝＝10，∴PE+AP的最小值为10，故答案为：10；（2）点A向右平移3个单位到点G，点E关于BC的对称点为点F，连接GF，交BC于点Q，∴EQ＝FQ，∴GQ+EQ＝GQ+FQ＝FG，此时GQ+QE的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∵AG＝PQ＝3，∴四边形APQG是平行四边形，∴AP＝GQ，∴GQ+EQ＝AP+EQ＝FG，∵AE，PQ的值是定值，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ的值最小即可，设CQ＝x，∵BC∥AD，∴∠BCF＝∠D，∠CQF＝∠DGF，∴△FCQ∽△FDG，∴＝，∴＝，∴x＝，∴当CQ＝时，四边形APQE的周长最小，故答案为：．。
垂线段最短100题
垂线段100题含解析一、选择题（本大题共39小题，共117.0分）1.体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（）A. 垂直的定义B. 两点之间线段最短C. 垂线段最短D. 两点确定一条直线【答案】C【解析】解：体育课上，老师测量跳远成绩的依据是垂线段最短．故选：C．利用点到直线的距离中垂线段最短判断即可．此题考查了垂线段最短，在点与直线的所有连线中垂线段最短．2.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是（）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B【解析】【分析】本题考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题关键．根据垂线段的性质，可得到答案．【解答】解：由题意得，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，故选B．3.下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【解答】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的长度叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C．4.下列说法中正确的个数有（）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；③A、B、C三点在同一直线上且AB=BC，则B是线段AC的中点；④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】本题考查线的性质，直线的位置关系，线段的中点的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据垂线的性质，直线的位置关系，线段的中点的定义一一判断即可.【解答】解：①在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误；②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确；③A、B、C三点在同一直线上且AB=BC，则B是线段AC的中点，正确；④在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行与相交．正确；故选C．5.已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根据题意，当CD⊥AB时CD取得最小值，此时CD===，当点D与点A重合时CD取得最大值，最大值为4，则≤x≤4，故选：C．由CD⊥AB时CD取得最小值、点D与点A重合时CD取得最大值求解可得．本题主要考查垂线段最短，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．6.如图是小亮跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线l于点B处成直角，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A. 垂线段最短B. 过两点有且只有一条直线C. 两点之间线段最短D. 过一点可以做无数条直线【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握性质定理．根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．【解答】解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选A．7.如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是（）A. 两点确定一条直线B. 两点之间直线最短C. 两点之间线段最短D. 垂线段最短【答案】D【解析】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短；故选：D．利用垂线段最短求解．本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．8.如图所示，小明同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭乘公交车，他选择P→C路线，用数学知识解释其道理正确的是（）A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短C. 两点之间线段最短D. 三角形两边之和大于第三边【答案】B【解析】解：某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P→C路线，是因为垂直线段最短，故选：B．根据垂线段的性质解答即可．此题主要考查了垂线段的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两点之间段最短．9.下列四种说法：①线段AB是点A与点B之间的距离；②相等的角是对顶角；③经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，其中正确的是（） .A. ④B. ①④C. ③④D. ①③④【答案】A【解析】解：①线段AB的长是点A与点B之间的距离，错误；②相等的角不一定是对顶角，错误；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，正确；故选：A．根据平行公理及推论，垂线段最短以及平行线的判定与性质解答．本题考查了平行公理及推论，垂线段最短以及平行线的判定与性质，熟记公理、推论是解题关键．10.如图，从A到B有三条路径，最短的路径是②，理由是（）A. 两点确定一条直线B. 两点之间线段最短C. 过一点有无数条直线D. 直线比曲线和折线短【答案】B【解析】解：如图，最短路径是②的理由是两点之间线段最短，故B正确，故选：B．根据线段的性质，可得答案．本题考查了线段的性质，两点之间线段最短．11.如图，把水渠中的水引到水池C，先过C点向渠岸AB画垂线，垂足为D，再沿垂线CD开沟才能使沟最短，其依据是（）A. 垂线最短B. 过一点确定一条直线与已知直线垂直C. 垂线段最短D. 以上说法都不对【答案】C【解析】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．故选：C．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．12.如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A. 两点之间，线段最短B. 过两点有且只有一条直线C. 垂线段最短D. 过一点可以作无数条直线【答案】C【解析】解：这样做的理由是垂线段最短．故选：C．垂线段的性质：垂线段最短．考查了垂线段最短．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．13.如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：B．垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．14.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A. 5B. 6C. 4D. 4.8【答案】D【解析】【分析】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP垂直于AC时，BP的长最小，过A作等腰三角形底边上的高AD，利用三线合一得到D为BC的中点，在直角三角形ADC中，利用勾股定理求出AD的长，进而利用面积法即可求出此时BP的长．【解答】解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt△ADC中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD==4，又∵S△ABC=BC•AD=BP•AC，∴BP===4.8．故选D．15.如图，A是直线l外一点，过点A作AB⊥l于点B，在直线l上取一点C，连结AC，使AC=2AB，P在线段BC上连结AP．若AB=3，则线段AP的长不可能是（）A. 3.5B. 4C. 5.5D. 6.5【答案】D【解析】解：∵过点A作AB⊥l于点B，AC=2AB，P在线段BC上连结AP，AB=3，∴AC=6，∴3≤AP≤6，故AP不可能是6.5，故选：D．直接利用垂线段最短以及结合已知得出AP的取值范围进而得出答案．此题主要考查了垂线段最短，正确得出AP的取值范围是解题关键．16.如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的小路，过点A作AH⊥PQ于点H，则这样做的理由是（）A. 两点之间线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 过一点可以作无数条直线【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．【解答】解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．故选：C．17.给出下列说法：①棱柱的上、下底面的形状相同；②相等的角是对顶角；③若AB=BC，则点B为线段AC的中点；④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．其中正确说法的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】解：棱柱的上、下底面的形状相同，故①正确；相等的角不一定是对顶角，如图：∠1=∠2，但是两角不是对顶角，故②错误；如图：AB=BC，但是点B为线段AC的中点，故③错误；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故④正确；即正确的个数是2个，故选：B．根据棱柱、对顶角、线段的中点的定义、垂线的性质逐个判断即可．本题考查了棱柱、对顶角、线段的中点的定义、垂线的性质等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．18.下列说法中，正确的有（）①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，垂线最短；④若AB=BC，则点B是线段AC的中点．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】解：①过两点有且只有一条直线，正确；②连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故本小题错误；③两点之间，线段最短，故本小题错误；④若AB=BC，点A、B、C不一定在同一直线上，所以点B不一定是线段AC的中点，故本小题错误，综上所述，正确的是①共1个．故选A．根据直线的性质，两点间的距离的定义，垂线段最短对各小题分析判断后即可得解．本题考查了垂线段最短，直线的性质，两点间的距离，是基础概念题，熟记概念是解题的关键．19.马龙同学沿直线将一三角形纸板剪掉一个角，发现啊下纸板的周长比原纸板的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A. 经过一点有无数条直线B. 两点之间，线段最短C. 经过两点，有且仅有一条直线D. 垂线段最短【答案】B【解析】解：某同学用剪刀沿虚线将三角形剪掉一个角，发现四边形的周长比原三角形的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间，线段最短．故选：B．根据两点之间，线段最短进行解答．此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．20.平面直角坐标系中，点A（-3，2），B（1，4），经过点A的直线L∥x轴，点C直线L上的一个动点，则线段BC的长度最小时点C的坐标为（）A. （-1，4）B. （1，0）C. （1，2）D. （4，2）【答案】C【解析】解：如图，根据垂线段最短可知，BC⊥AC时BC最短．∵A（-3，2），B（1，4），AC∥x轴，∴BC=2，∴C（1，2），故选：C．如图，根据垂线段最短可知，BC⊥AC时BC最短；本题考查坐标与图形的性质、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A. 4B. 1C. 3D. 2【答案】D【解析】解：作PH⊥OM于M，如图，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，∴PH=PA=2，∴点P到OM的距离为2，∴Q点运动到H点时，PQ最小，即PQ的最小值为2．故选：D．作PH⊥OM于M，如图，根据角平分线定理得到PH=PA=2，根据垂线段最短，则Q点运动到H点时，PQ最小，于是得到PQ的最小值为2．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．22.如图，在三角形ABC和三角形ABD中，∠ABC=∠ADB=90°，则边AC，AB，CB，AD中最长的是（）A. ACB. ABC. BCD. AD【答案】A【解析】解：∵∠ABC=∠ADB=90°，∴AB⊥BC，AD⊥BD，∴AC＞AB＞AD，AC＞BC，∴边AC，AB，CB，AD中最长的是AC，故选：A．根据垂直的定义得到AB⊥BC，AD⊥BD，根据垂线段最短即可得到结论．本题考查了垂直的定义，垂线段最短，熟练掌握垂线段的性质是解题的关键．23.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（）A. 1.5B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA=3，∴PQ≥PA=3．故选：C．根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短，即可得出PQ≥PA，此题得解．本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线的性质结合垂线段最短，求出PQ的最小值是解题的关键．24.下列说法错误的是（）A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等B. 在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直C. 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】A【解析】解：A、如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等，错误，符合题意；B、在同一平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确，不合题意；C、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不合题意；D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不合题意；故选：A．分别利用平行线的性质以及垂线的性质分别判断得出答案．此题主要考查了平行公理及推论和垂线的性质，正确把握相关定义是解题关键．25.如图，点A为直线BC外一点，AC⊥BC，垂足为C，AC=3，点P是直线BC上的动点，则线段AP长不可能是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】解：∵AC⊥BC，∴AP≥AC，即AP≥3．故选：A．利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断．本题考查了垂线段最短：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．26.如图，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是BC边上一动点，则线段AP的长不可能是（）A. 2.5cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，∴3≤AP≤5，故选：A．利用勾股定理列式求出AB，然后根据AC≤AP≤AB求出AP的范围，再选择答案即可．本题考查了勾股定理，垂线段最短的性质，求出AP的取值范围是解题的关键27.如图，AC⊥BC于C，连接AB，点D是AB上的动点，AC=6，BC=8，AB=10，则点C到点D的最短距离是（）A. 6B. 8C.D.【答案】D【解析】解：当CD⊥AB时，点C到点D的距离最短，∵AC=6，BC=8，AB=10，∴•AC•CB=•CD•AB，=10×CD，解得：CD=4.8，故选：D．当CD⊥AB时，点C到点D的距离最短，再根据直角三角形的面积公式可得=10×CD，再解出CD的值即可．此题主要考查了垂线段最短，以及三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积的两种算法．28.若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA=3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（）A. 0＜d＜3B. 0≤d＜3C. 0＜d≤3D. 0≤d≤3【答案】C【解析】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，当d=3时此时PA⊥l故选：C．根据垂线段最短即可求出答案．本题考查点的直线的距离，解题的关键是熟练运用垂线段最短，本题属于基础题型．29.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是（）A. 2.5B. 3.5C. 4D. 5【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，点P在边BC上运动，∴AB≥AP≥AC，又∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AP的长不可能是2.5，故选：A．从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案．本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键．30.在△ABC中，BC=6，AC=3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】解：根据垂线段最短可知：PC≤3，∴CP长的最大值为3，故选：C．根据垂线段最短得出结论．本题考查了垂线段最短的性质，正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短；本题是指点C到直线AB连接的所有线段中，CP是垂线段，所以最短；在实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．31.如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（）A. 4.5B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：∵在三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，∴AC⊥BC，∴根据垂线段最短，可知AP的长不可小于5，故选：A．利用垂线段最短分析AP最小不能小于5，由此判断即可．本题主要考查了垂线段最短，解答此题的关键是熟练掌握垂线段最短．32.点A为直线l外的一点，点B在直线l上，若AB=5cm，则点A到直线l的距离A. 大于5cmB. 大于等于5cmC. 小于5cmD. 小于等于5cm 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是点到直线的距离.根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短进行作答即可.从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，垂线段最短.根据概念，答案可得．【解答】解：根据同一平面内垂线段最短的性质可知：点A到直线l的距离最多为5cm．故选D．33.下列说法中，正确的个数有：（）①同旁内角互补；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④平行线间的距离处处相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：①两直线平行时，同旁内角互补，故说法①错误；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故说法②正确；③从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法③正确；④平行线间的距离处处相等，故说法④正确．故选：C．依据平行线的判定，垂线段的性质，点到直线的距离的概念进行判断即可．本题主要考查了平行线的判定，垂线段的性质，点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．34.如图，点P在直线l外．点A，B在直线l上，PA＝3，PB＝6，点P到直线l的距离可能是A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】A【解析】【分析】本题考查了点到直线的距离和垂线段最短的应用，此题属于基础题，掌握好点到直线的距离和垂线段最短的应用是解题关键.【解答】解：当时，点P到直线l的距离是PA=3，当PA不垂直于AB时，点P到直线l的距离小于PA.故选A.35.如图是测量嘉琪跳远成绩的示意图，直线l是起跳线，以下线段的长度能作为嘉琪跳远成绩的是（）A. BPB. CPC. APD. AO【答案】D【解析】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短，符合题意的垂线段是AO；故选：D．利用垂线段最短求解．本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短．36.如图点P是直线a外一点，PB⊥a，A、B、C、D都在直线a上，下列线段中最短的是（）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B【解析】解：如图，PB是点P到a的垂线段，∴下列线段中最短的是PB．故选：B．根据垂线段最短进行解答．本题主要考查了垂线段最短的性质，需要熟记．37.下列说法正确的是（）A. 经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 两个相等的角是对顶角C. 互补的两个角一定是邻补角D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短【答案】D【解析】解：A、应为在同一平面内，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；B、对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误；C、邻补角互补，但互补的两个角不一定是邻补角，故本选项错误；D、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故本选项正确．故选：D．根据平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，以及垂线段最短的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．本题考查了平行公理，对顶角的定义，邻补角的定义，垂线段最短，是基础概念题．38.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm则PD的长可以是（）．A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6 cm【答案】D【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键. 过点P作PD⊥OB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=PD，再根据垂线段最短解答即可.【解答】解：作PD⊥OA于D，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，∴PD=PC=6cm，则PD的最小值是6cm，故选D.39.运动会上,一位跳远运动员跳落沙坑时的痕迹如图所示,测量该运动员跳远成绩的依据是( )A. 两点之间,线段最短B. 两点确定一条直线C. 垂线段最短D. 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直【答案】C【解析】【分析】利用垂线段最短求解.本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．垂线段的性质：垂线段最短.【解答】解：该运动员跳远成绩的依据是：垂线段最短,故ABD错误，C正确.故选C.二、填空题（本大题共28小题，共84.0分）40.如图，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．【答案】连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短【解析】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，∴沿AB开渠，能使所开的渠道最短．故答案为：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．本题是垂线段最短在实际生活中的应用，体现了数学的实际运用价值．41.如图，OC平分，点P是OC上一点，于点M，点N是射线OA上的一个动点，若，则PN的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据垂线段最短可得PN⊥OA时，PN最短，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN，从而得解．【解答】解：当PN⊥OA时，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵PM=5，∴PN的最小值为5．故答案为5．42.如图所示，想在河堤两岸塔建一座桥，搭建方式最短的是______，理由______．【答案】PN垂线段最短【解析】解：因为PN⊥MQ，垂足为N，则PN为垂线段，根据垂线段最短，故填空为：PN，垂线段最短．根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短可知搭建方式最短的是PN，理由垂线段最短．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．43.在直角坐标系中，点A（-1，2），点P（0，y）为y轴上的一个动点，当y= ______ 时，线段PA的长得到最小值．【答案】2【解析】【分析】本题考查了垂线段最短的性质，坐标与图形性质，作出图形更形象直观．属于基础题. 作出图形，根据垂线段最短可得PA⊥y轴时，PA最短，然后解答即可．【解答】解：如图，PA⊥y轴时，PA的值最小，所以，y=2．故答案为：2．44.如图，计划把水从河中引到水池A中，先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．【答案】垂线段最短【解析】解：先过点A作AB⊥CD，垂足为点B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是垂线段最短；故答案为：垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案．本题考查了垂线段，利用垂线段的性质是解题关键．45.如图，拟从点A修建一条小径到边BC，若要使修建小径使用的材料最少，则过点A作AD⊥BC于点D，线段AD即为所求小径的位置，这样画的理由是______ ．【答案】垂线段最短【解析】【分析】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．【解答】解：拟从点A修建一条小径到边BC，若要使修建小径使用的材料最少，则过点A作AD⊥BC于点D，线段AD即为所求小径的位置，这样画的理由是垂线段最短.故答案为：垂线段最短．46.如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB=6，AC=8，BC=10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为____________．。
垂线段最短、点到直线的距离练习题新选
垂线段最短、点到直线的距离练习题一．填空题（共11小题）1．如图，AB⊥BC，则ABAC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是．（1）（2）2．如图，为得到小明在体育课上进行立定跳远时的成绩，老师只需要测量线段AB的长度，这样做的数学根据是3．如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M．下列说法：①BM的长是点B到CE的距离；②CE的长是点C到AB的距离；③BD的长是点B到AC的距离；④CM的长是点C到BD的距离．其中正确的是．（3）（4）4．如图，BC⊥AC，CB=4cm，AC=3cm，AB=5cm，则点C到AB 的距离．5．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到BC的距离是线段CA的长度是_________ 点到直线_________ 的距离．（5）6．平面上两点A、B的距离为a+b（a、b＞0，且为定值），又点A、B到某直线的距离分别为a、b，则这样的直线共有 _________ 条．7．已知如图：AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离是线段的长．（7）（8）8．如图，AC是点A到直线BC的垂线段，则点B到AC的距离是线段的长．9．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，点B到CD边的距离是线段_________ 的长．（9）（10）10．如图点B到直线a的距离是线段的长度．11．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段B 到CD边的距离是线段图中的直角有∠A的余角有和∠A相等的角有．（11）（12）12．如图，某人在路的左侧A处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到路对面的B处，怎样走最近？说明理由．13．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．最新文件仅供参考已改成word文本。
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垂线段最短、点到直线的距离练习题
一．填空题（共11小题）
1．如图，AB⊥BC，则ABAC（填“＞”或“=”或“＜”），其理由是．
（1）（2）2．如图，为得到小明在体育课上进行立定跳远时的成绩，老师只需要测量线段AB的长度，这样做的数学根据是
3．如图，点D在AC上，点E在AB上，且BD⊥CE，垂足为点M．下列说法：①BM的长是点B到CE的距离；②CE的长是点C到AB的距离；③BD的长是点B到AC的距离；④CM的长是点C到BD的距离．其中正确的是．
（3）（4）
4．如图，BC⊥AC，CB=4cm，AC=3cm，AB=5cm，则点C到AB 的距离．
5．如图，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则点A到BC的距离是线段CA的长度是_________ 点到直线_________ 的距离．
（5）
6．平面上两点A、B的距离为a+b（a、b＞0，且为定值），又点A、B到某直线的距离分别为a、b，则这样的直线共有 _________ 条．
7．已知如图：AC⊥BC，CD⊥AB，则点B到AC的距离是线段的长．
（7）（8）
8．如图，AC是点A到直线BC的垂线段，则点B到AC的距离是线段的长．
9．如图，AC⊥BC，CD⊥AB，点B到CD边的距离是线段_________ 的长．
（9）（10）
10．如图点B到直线a的距离是线段的长度．
11．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，点A到BC边的距离是线段B 到CD边的距离是线段图中的直角有∠A的余角有和∠A相等的角有．
（11）（12）
12．如图，某人在路的左侧A处，要到路的右侧，怎样走最近？为什么？若他要到路对面的B处，怎样走最近？说明理由．
13．如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．。