北航12年12月课程考试《概率统计》答案

北航12年12月课程考试《概率统计》考核要求
一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
1.设A 、B 、C 是三个随机事件，则事件“A 、B 、C 不多于一个发生”的对立事件是（ B ）。

A ．A 、B 、C 至少有一个发生 B. A 、B 、C 至少有两个发生 B ．A 、B 、C 都发生 D. A 、B 、C 不都发生
2.设事件A 与B 互不相容，()01B <P <，则一定有（ D ）。

A ．()()
A B A P =P B. ()()A B A P =P
C ．()1A B P = D. ()1A B P =
3.设随机变量X 在[0,2]上服从均匀分布，事件{}01A X =≤≤，{}12B X =≤≤。

则（ D ）。

A ．A 、B 互不相容 B. A 、B 互相对立 C ．A 、B 相互独立 D. A 、B 不独立
4.十个球中有三个红球七个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一个球。

则最后三个分到球的小朋友中只有一个分到红球的概率p 为（ C ）。

A ．13
310C ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.2
371010⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
C ．2
13371010C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
D.1237310C C C 5.设随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，Y ax b =+服从标准正态分布，则（ C ）。

A ．1,a b μ
σσ=
=
B.,a b σσμ==
C. 1,a b μσσ=-=
D. 1,a b μ
σσ
=-=-
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 6.设A 、B 是两个随机事件，()0.4A P =，()0.8B P =，()0.9A B P ⋃=。

则()A B P =___1/2________. 7.将D ，G ，O ，O 四个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词GOOD 的概率为_____1/12______. 8.将一枚硬币重复抛掷五次，则正、反面都至少出现两次的概率是____13/16_______. 9.已知{}{}10,00,14X Y X Y P ===P ===
，{}1
1,12
X Y P ===。

则{}00X Y P =≠=__1/3_________，1,12X Y ⎧⎫
P ≤≤=⎨⎬⎩⎭
_____1/2______.
10.设12,,,n x x x 是取自在[],2a a +上服从均匀分布总体的一组样本观测值，则未知参数a 的矩估计值为___
________.
三、简答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）
11.设某人射击一次中8环、9环、10环的概率分别为0.15、0.25与0.20.该射手连续进行三次射击，求得到不少于28环的概率。

答：表示i 次射击中环术，则
P{
}=P{X 1=9,X 2=9,X 3=10}+ P{X 1=9,X 2=10,X 3=10}+ P{X 1=10,X 2=9,X 3=9}+ P{X 1=9,X 2=10,X 3=9}+ P{X 1=10,X 2=10,X 3=9}+ P{X 1=X 2=X 3=10}+ P{X 1=10,X 2=9,X 3=10}
=3X0.252X0.2+3X0.22X0.25+0.23=0.413
12.设(),X Y 在区域(){},:13,13D x y x y =≤≤≤≤上服从二维均匀分布，令Z X Y =+，求Z 的数学
期望与方差。

答：
E(Z)=E(X)+E(Y)=
=2+2=4
D(Z)=D(x)+D(y)+Cov(x,y),其中D(x)=
D(y)=
Cov(x,y)=E(xy)-E(x)*E(y) =
=4-4=0
所以D(z)=
13.在天平上重复称量一件重为a 的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布
()2,0.2N a ，X 为n 次称量结果的算术平均值，求为使{}
0.10.95X a P -<≥，称量次数n 的最小
值。

答：
要使P{||
只须P{||}
即2Φ（）-1 Φ()=Φ(1.96)
n
n 最小值取16.
14.设某项试验的成功率为0.8，连续进行独立重复试验，求直到第n 次才取得k 次成功()1k n ≤≤的概率。

答：P=
15.设随机变量i X 的数学期望和方差相等，且()()3i i E X D X ==，1,2,3i =。

求出i X 的分布参数并写出其概率密度或概率函数。

（1）1X 服从泊松分布；
（2）连续型随机变量2X 服从均匀分布； （3）3X 服从正态分布。

答：E （X 1）=D （X 1）=λ
P{X
1
=K}=K=0,1,2,3……（λ=3）
E（X
2
）=
a=0,b=6
E(a
3
)-a=3 D(x
3
)-σ=3
X
3
~N（3,3） f(x)= ,x
16.设随机向量()
,
X Y在区域()
{}
,:01,0
D x y x y x
=<<<<上服从二维均匀分布，求随机变量Z XY
=的期望与方差。

答：f(x,y)=
E(x,y)==
D(z
1
=E(x2y2)-E2(xy)=2
= - =
17.设
12
,,,
n
x x x
是取自连续型总体X的样本观察值，X的概率密度为
()
5
4,0
;24
0,0
x
x e x
f x
x
β
β
β
-
⎧
>
⎪
=⎨
⎪≤
⎩
其中参数0
β>未知，求β的最大似然估计值。

答：X i>0 L（β）=
=()x()4
LnL( )=5nlnβnln24+4
令：==0 β==
是的最大似然估计值。