等腰三角形复习-0
中考数学复习高频考点知识讲解与练习18---等腰三角形
中考数学复习高频考点知识讲解与练习第18讲等腰三角形【考点知识总汇】一、等腰三角形的判定与性质1.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也（简写“”）。
2.性质（1）等腰三角形的两个底角（简写为“”）。
（2）等腰三角形顶角的、底边上的高和底边上的互相重合（简写成“三线合一”）。
（3）等腰三角形是图形，底边上的中线（或底边上的高或顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴。
知识点总结：二、等边三角形的判定与性质1.判定（1）三个角的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于60 的三角形是等边三角形。
2.性质（1）等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于。
（2）等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴。
21AB知识点总结： 1.由于等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具有等腰三角形的所有性质，但等边三角形具有的性质等腰三角形不一定具有。
2.等边三角形的性质和判定的题设和结论也正好相反，要注意区别。
三、线段的垂直平分线1.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离。
2.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上。
知识点总结：1.线段的垂直平分线的性质是证明线段相等或垂直的重要方法。
2.垂直平分线的性质与判定的题设和结论也正好相反，注意区别。
高频考点1、等腰三角形的性质与判定【范例】如图， 90=∠ABC ，E D ,分别在AC BC ,上，DE AD ⊥，且DE AD =，点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M 。
（1）求证：FCM FMC ∠=∠。
（2）AD 与MC 垂直吗？并说明理由。
得分要领：等腰三角形的“三线合一”，包括以下三个结论：如图，在△ABC 中，AC AB =。
1.若BC AD ⊥，则DC BD =，21∠=∠。
2.若DC BD =，则BC AD ⊥，21∠=∠。
3.若21∠=∠，则BC AD ⊥，DC BD =。
【考题回放】1.若等腰三角形的顶角为40 ，则它的底角数为（ ）A.40B.50C.60D.702.如图，在△ABC 中，AC AB =，且D 为BC 上一点，AD CD =，BD AB =，则B ∠的度数为（ ）A.30B.36C.40D.45第2题 第3题3.如图，在△ABC 中，AC AB =， 40=∠A ，点D 在AC 上，DC BD =，则ABD ∠的度数是。
人教版2020中考数学第一轮复习--第十五讲 等腰三角形(无答案)
第十五讲等腰三角形【知识框架】【知识梳理】知识点1等腰三角形的概念与性质1.定义：有____相等的三角形是等腰三角形．相等的两边叫腰，第三边为底．2.性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，有____条对称轴．（2）等腰三角形的两个底角相等(简称为：__________)．（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的________和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．知识点2 等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成：___________)．针对练习1．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )A．30°，60° B．45°，45° C．45°，90° D．20°，70°2．如图所示，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )A．40°B．35° C．25° D．20°第2题图第3题图第4题图第5题图3．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( )A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠ADB＝______，∠BAC＝_______，∠C＝______．5．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，若DE＝7，AE＝5，则AC的长为_____．6．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝______．第6题图知识点3 等边三角形1.定义：三边相等的三角形是等边三角形．2.性质：（1）等边三角形的各角都______，并且每一个角都等于______．（2）等边三角形是轴对称图形，有______条对称轴．（3）等边三角形每边上的______ 、______ 和该边所对内角的 ______互相重合．3.判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．针对练习1．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为( )A．9 B．8 C．6 D．122．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足|a－b|＋c－b＝0，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定3．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝______．4．如图，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶80海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶80海里到达C地，则A，C两地相距海里 ______．第1题图第3题图第4题图知识点4 线段的垂直平分线1.定义：经过线段的中点与这条线段垂直的直线叫做这条线段的垂直平分线．2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________．3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________ 上．归纳：线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点________的所有点的集合．针对练习1.如图，△ABC 的周长为30 cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边于点E ，连接AD ，若AE ＝4 cm ，则△ABD 的周长是( A ．22 cm B ．20 cm C ．18 cm D ．15 cm2．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于点D ，AC 的中垂线交BC 于点E ，则△ADE 的周长等于__________．第2题图 第3题图3.如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB•的垂直平分线MN•分别交BC 、AB 于点M 、N ， 求证：CM=2BM ．4．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的垂直平分线，交BC 的延长线于点F ，连结AF ．求证：∠BAF=∠ACF ．【巩固练习】一．选择题1．一个等腰三角形一边长为4 cm ，另一边长为5 cm ，那么这个等腰三角形的周长是( ) A ．13 cmB ．14 cmC ．13 cm 或14 cmD ．以上都不对2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，若AB ＝13，AD ＝12，则BC 的长为( ) A ．5B ．10C ．20D ．24第2题图 第3题图 第5题图 第6题图NM CBAA FE DC3．某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( ) A ．48°B ．40°C ．30°D ．24°4．在△ABC 中，其两个内角如下，则能判定△ABC 为等腰三角形的是( ) A ．∠A ＝40°，∠B ＝50° B ．∠A ＝40°，∠B ＝60° C ．∠A ＝20°，∠B＝80° D ．∠A ＝40°，∠B ＝80°5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为( ) A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( ) A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°7．如图，在等边三角形ABC 中，AB ＝2，点D 为BC 的中点，DE ∥AB 交AC 于点E,过点E 作EF⊥DE，交BC 的延长线于点F ，则图中长度为1的线段有( ) A ．3条B ．4条C ．5条D ．6条第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 二．填空题8．如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD ＝CE ，若∠B＝36°，则∠D 的大小为______． 9．等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是______．10．如图，已知直线l 1∥l 2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于______． 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，DE 是线段AC 的垂直平分线，若BE ＝a ，AE ＝b ，则用含a ，b 的代数式表示△ABC 的周长为______．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为______．13．一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm 和18cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是 ______．14.如图， ∠DEF =36°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠A=______． 三．解答题15．如图，已知：在△ABC 中，∠C ＝∠ABC，BE ⊥AC ，△BDE 是正三角形．求∠C 的度数．FE D CBA16．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD。
等腰三角形复习
等腰三角形的性质知识点一，等边对等角1、如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为（ ）A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40，BD 为∠ABC 的平分线，则∠BDC 的度数是（ ）A 、60°B 、70°C 、75°D 、80°3、如图，AB ＝AC ，AD//BC ，∠BAC ＝100°，则∠CAD 的度数是（ ）4、如图，在△ABC 中，∠C ＝40，点D 在BC 上，且AB ＝AD ＝DC ，则∠B ＝ 。
5如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 垂足分别为E 、F 。
求证：△BDE ≌△CFD 。
知识二，等腰三角形“三线合一”6、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，若AB ＝6，CD ＝4，则△ABC 的周长是 。
7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 垂足为D ，E 是AD 上任意一点， 则图中共有全等三角形（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对8、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 是△ABC 内一点，且OB ＝OC ，求证：AO ⊥BC 。
巩固提升一、选择题1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，以B 为圆心，BC 的长为半径圆弧，交AC 于点D ，连接，则∠ABC 等于（ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90°2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、AE ，如果只添加一个条件使∠DAB ＝∠EAC ，则添加的条件不能为（ ）B A DC 第4题 B AF E D 第5题 A B D C 第2题 B A D C 第3题 D B E A C 第7题 O C B A 第8题 B A C 第6题A 、BD=CEB 、AD=AEC 、DA=DED 、BE=CD3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，且D 为BC 上一点，CD ＝AD ，AB ＝BD ，则∠B 的度数为（ ）A 、30°B 、36°C 、40°D 、45°二、填空题4、在等腰三角形ABC 中，AC 为腰，O 为的中点，OD 平行于AC ，∠C=30°，则 ∠AOD ＝ 度。
考点12 等腰三角形-备战2023年中考数学一轮复习考点帮(浙江专用)(解析版)
考点12 等腰三角形【命题趋势】等腰三角形的性质及判定是初中数学最为重要的知识点之一，也是重要几何模型的“发源地”，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的。
在浙江中考中，等腰三角形可以以选择题、填空题出现，来考察其性质；也可以以解答题出题，来考察其性质和判定的综合(此时多为压轴题)。
所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点。
【中考考查重点】一、等腰三角形的性质和判定二、角平分线的性质与判定三、线段垂直平分线的性质与判定考向一：等腰三角形的性质和判定【方法提炼】1．在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，∠BAD＝35°，则∠B的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．60°【分析】由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC＝70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，∵∠BAD＝35°，∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，∴∠B＝（180°﹣70°）＝55°．故选：C．2．等腰三角形的一边等于5，一边等于11，则此三角形的周长为（）A．10B．21C．27D．21或27【分析】因为等腰三角形的两边分别为11和5，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：当5为底时，其它两边都为11，11、11、5可以构成三角形，周长为27；当5为腰时，其它两边为11和5，因为5+5＝10＜11，所以不能构成三角形，故舍去．所以答案只有27．故选：C．3．在直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），在y轴负半轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，1）D．（0，﹣）【分析】由勾股定理得OA＝，当OA为腰时，以O为圆心，OA为半径画弧交y轴负半轴上一点：（0，﹣）．【解答】解：∵点A（﹣1，1），∴OA＝，当OA为腰时，以O为圆心，OA为半径画弧交y轴负半轴上一点，此点P的坐标为（0，﹣）．故选：D．4．已知a，b是△ABC的两条边长，且a2+b2﹣2ab＝0，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．锐角三角形D．不确定【分析】由a2+b2﹣2ab＝0，可得出a＝b，结合a，b是△ABC的两条边长，即可得出△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵a2+b2﹣2ab＝0，即（a﹣b）2＝0，∴a﹣b＝0，∴a＝b．又∵a，b是△ABC的两条边长，∴△ABC为等腰三角形．故选：A．5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长（）A．大于9B．等于9C．小于9D．不能确定【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN ＝MN即可解答．【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE，∴MB＝ME，NE＝NC，∵BM+CN＝9，∴ME+NE＝9，∴MN＝9，故选：B．6．如图，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG ＝NQ，若△MNP的周长为12，MQ＝m，则△MGQ周长是（）A．8+2m B．8+m C．6+2m D．6+m【分析】根据等边三角形的判定得出△PMN是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠PMN＝∠PNM＝60°，PN＝MN＝PM＝4，PQ＝NQ＝PN＝2，∠QMN＝PMN ＝30°，求出∠G＝∠GQN＝30°，根据等腰三角形的性质得出GQ＝MQ＝m，再求出答案即可．【解答】解：∵∠P＝60°，MN＝NP，∴△PMN是等边三角形，∵△MNP的周长是12，∴∠PMN＝∠PNM＝60°，PN＝MN＝PM＝4，∵MQ⊥PN，∴PQ＝NQ＝PN＝2，∠QMN＝PMN＝30°，∵NG＝NQ，∴∠G＝∠GQN，NG＝2，∵∠G+∠∠GQN＝∠PNM＝60°，∴∠G＝∠GQN＝30°，即∠QMN＝∠G＝30°，∴GQ＝MQ＝m，∴△MGQ是周长＝MQ+GQ+MG＝m+m+4+2＝6+2m，故选：C．7．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案；【解答】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．8．一个等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为50°，则顶角的度数为．【分析】分别从此等腰三角形是锐角三角形与钝角三角形去分析求解即可求得答案．【解答】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠A＝90°﹣50°＝40°，∴三角形的顶角为40°；②当为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD＝50°，BD⊥AC，∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝140°，∴三角形的顶角为140°，故答案为：40°或140°．9．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点；已知A，B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有个．【分析】分三种情况，CA＝CB，AB＝AC，BA＝BC．【解答】解：如图：当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，符合条件的点有6个，当AB＝AC时，以A为圆心，AB长为半径作圆，符合条件的点有2个，当BA＝BC时，以B为圆心，BA长为半径作圆，符合条件的点有2个，综上所述，△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有10个，故答案为：10．10．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则△AOC的形状为．【分析】根据已知条件得出OA＝OC＝AC，根据等边三角形的判定得出即可．【解答】解：∵以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交直角两边于A，B两点，∴OA＝OC，∵以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，∴AC＝AO，∴OC＝AC＝OA，∴△AOC的形状是等边三角形，故答案为：等边三角形．11．“中国海监50”在南海海域B处巡逻，观测到灯塔A在其北偏东80°的方向上，现该船以每小时10海里的速度沿南偏东40°的方向航行2小时后到达C处，此时测得灯塔A 在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离AC．【分析】利用平行线性质得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°，进而得出∠BAC＝∠BCA＝60°，得出△ABC是等边三角形，进而得出答案．【解答】解：由题意得：∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，BC＝10×2＝20（海里），∵CD∥BE，∴∠1＝∠CBE＝40°，∵∠ACD＝20°，∴∠ACB＝∠1+∠ACD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝20海里，答：货轮到达C处时与灯塔A的距离AC为20海里．12．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数；（3）若AE＝8，△CBD的周长为24，求△ABC的周长．【分析】（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得．【解答】解：（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴DB＝DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A＝36°，∴∠ABD＝∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）÷2＝72°∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝72°﹣36°＝36°；（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE＝8，∴AB＝2AE＝16，∵△CBD的周长为24，∴AC+BC＝24，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝16+24＝40．13．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE ＝∠ACD，BE与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．【分析】先证△BDF≌△CEF（AAS），得出BF＝CF，则∠FBC＝∠FCB，得出∠ABC＝∠ACB，则AB＝AC．【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，∴∠DBF＝∠ECF，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF＝CF，DF＝EF，∴∠FBC＝∠FCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．考向二：角平分线的性质与判定一．角平分线的性质定理与判定定理性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
专题08 等腰三角形(考点串讲)(解析版)
专题08 等腰三角形【考点剖析】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） （2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一） 图形：如下所示；21DCBA符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则2.等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2） 等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)3.等边三角形的性质（1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2） 等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于60︒； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.4.等边三角形的判定（1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于60︒的等腰三角形是等边三角形. 【典例分析】例1 （杨浦2019期末14）在ABC ∆中，AB=AC ，把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N. 如果CAN ∆是等腰三角形，则B ∠的度数为 . 【答案】4536︒︒或；【解析】因为把ABC ∆折叠，使点B 与点A 重合，折痕交AB 于点M ，交BC 于点N.所以MN 是AB 的中垂线，∴NB=BA ，B BAN ∴∠=∠，AB AC B C =∴∠=∠Q ，设B x ∠=，则C BAN x ∠=∠=. （1）当AN=NC 时，CAN C x ∠=∠=，在ABC ∆中，根据三角形内角和定理得4180x =︒，得45x =︒，故45B ∠=︒；（2）当AN=AC 时，ANC C x ∠=∠=，而ANC B BAN ∠=∠+∠，故此时不成立；（3）当CA=CN 时，1802x NAC ANC ︒-∠=∠=，于是得1801802xx x x ︒-+++=︒，解得36x =︒. 综上所述：4536B ∠=︒︒或.NM CBA例2 （浦东2018期末18）如图，在ABC ∆中，A=120,=40B ∠︒∠︒，如果过点A 的一条直线把ABC ∆分割成两个等腰三角形，直线l 与BC 交于点D ，那么ADC ∠的度数是 .CBA【答案】14080︒︒或；【解析】如图所示，把BAC ∠分为1000︒︒和2或者4080︒︒和，可得ADC=14080∠︒︒或.ABCDC BA20°80°80°40°40°20°20°40°40°100°例3 （闵行2018期末17）有下列三个等式①AB ＝DC ；②BE ＝CE ；②∠B ＝∠C ．如果从这三个等式中选出两个作为条件，能推出Rt △AED 是等腰三角形，你认为这两个条件可以是 （写出一种即可）EDCBA【答案】①②或①③或②③．（答案不唯一）【解析】解：当AB ＝DC ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠DEC 时，Rt △ABE ≌Rt △DCE （HL ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （AAS ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形；当BE ＝CE ，∠B ＝∠C ，∠AEB ＝∠DEC 时，△ABE ≌△DCE （ASA ），故AE ＝DE ，即Rt △AED 是等腰三角形．故答案为：①②或①③或②③．（答案不唯一）例4 （黄浦2018期末27）如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,垂足为点D ，AD 平分BAC ∠，点O 是线段AD 上一点，线段的延长线交边AC 于点F ，线段CO 的延长线交边AB 于点E ． （1）说明ABC ∆是等腰三角形的理由； （2）说明BF=CE 的理由.O FE DC BA【答案与解析】（1）AD BC ADB=ADC ⊥∴∠∠Q ，Q AD 平分BAC ∠，BAD=CAD ∴∠∠.ADB=DAC+ACD ADC=BAD+ABD ∠∠∠∠∠∠Q ，，ABD=ACD ∴∠∠，AB=AC ∴即ABC ∆是等腰三角形；（2）ABC ∆Q 是等腰三角形，AD BC ⊥,BD=CD ∴.在BDO CDO ∆∆与中，DO DO ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BDO CDO ∴∆∆≌OBD OCD ∴∠=∠.在BEC CFB ∆∆与中ECB FBCBC CBABC ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BEC CFB ∴∆∆≌，BF CE ∴=. 【真题训练】 一、选择题1.（宝山2018期末18）如图7，在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，以B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，联结BD ，则ABD ∠等于（ ）A. 45︒；B. 50︒；C. 60︒；D. 75︒.DABC【答案】A ；【解析】因为在ABC ∆中，AB=AC ，30A ∠=︒，所以18030752ABC ACB ︒-︒∠=∠==︒，又因为以B为圆心，BC 的长为半径作弧，交AC 于点D ，所以,75BD BC BCA BDC =∴∠=∠=︒，30CBD ∴∠=︒，故753045ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒. 故答案选A.2．（长宁2019期末20）在平面直角坐标系，O 为坐标原点，点A的坐标为，M 为坐标轴上一点，且使得MOA ∆为等腰三角形，那么满足条件的点M 的个数为（ ） A. 4； B.5； C.6； D.8 【答案】C ；【解析】分三种情况：（1）当OA=OM 时，可得M 点坐标可以为：（0，2）、（0，-2）、（2，0）、（-2，0）；当AO=AM 时，M 点坐标可以为（2，0）、(0,；当MO=MA 时，（2，0）、(0,3；故一共有6个不同的点. 故选C. 二、填空题3.（浦东2018期末13）已知一个等腰三角形两边长分别为2和4，那么这个等腰三角形的周长是 . 【答案】10；【解析】依题，（1）若腰长为2、底为4，不可能构成等腰三角形，舍去；（2）若腰长为4、底为2，符合题意，周长为4+4+2=10；由上可知，这个等腰三角形的周长为10. 4.（宝山2018期末7）已知实数x 、y满足|3|0x -=，那么以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是 . 【答案】15；【解析】因为实数x 、y满足|3|0x -=，所以x=3，y=6，故符合题意的等腰三角形三边长分别为6、6、3，故此等腰三角形的周长为6+6+3=15.5．（闵行2018期末15）如图，直线l 1∥l 2∥l 3，等边△ABC 的顶点B 、C 分别在直线l 2、l 3上，若边BC 与直线l 3的夹角∠1＝25°，则边AB 与直线l 1的夹角∠2＝ ．l 3l 2l 1【答案】35°．【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，∠1＝25°，∴∠1＝∠3＝25°．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝60°，∴∠4＝60°﹣25°＝35°，∴∠2＝∠4＝35°．故答案为：35°．1l 2l 36．（普陀2018期末17）如图，已知△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 交AC 于点E ，DE ∥BC ，如果点D 是边AB 的中点，AB=8，那么DE 的长是 ．E D CBA【答案】4；【解析】解：连接BE ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠ABE ， ∴∠ABE=∠DEB ，∴BD=DE ，∵D 是AB 的中点，∴AB=BD ，∴DE=12AB=4，故答案为：4 AD BCE7.（宝山2018期末13）如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC=AE ，BC=BD ，则ACD BCE ∠+∠= ______-︒.ECBA【答案】45；【解析】过点C 作CH AB ⊥于点H ，因为AC ＝AE ，所以ACE AEC ∠=∠，因为CH AB ⊥，所以90AEC HCE ∠+∠=︒， 又90ACE BCE ∠+∠=︒，所以=BCE HCE ∠∠；同理可得：ACD HCD ∠=∠； 故+=+BCE ACD HCE HCD ∠∠∠∠即+=45BCE ACD ∠∠︒．HED CBA8.（黄浦2018期末19）已知等腰三角形的一个内角为50度，则这个等腰三角形的顶角为 ︒. 【答案】50︒或80︒；【解析】（1）当顶角为50︒时，这个等腰三角形的顶角为50︒；（2）当底角为50︒时，则顶角为180-250=80︒⨯︒︒；综上述，这个等腰三角形的顶角为50︒或80︒.9.（长宁2018期末14）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40︒，那么这个等腰三角形的顶角为____度.【答案】50130︒︒或.【解析】（1）如下图1，4050ABD A ∠=︒∴∠=︒，（2）如图2，40130ABD BAC ∠=︒∴∠=︒，故这个等腰三角形的顶角为50130︒︒或（图2）(图1）10.（黄浦2018期末14）等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且 ，那么AD BC ⊥且 .DCBA【答案】BD=CD ；BAD CAD ∠=∠；【解析】等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角，用符号来表示为：如图，如果在ABC ∆中，AB=AC ，且BD=CD ，那么AD BC ⊥且BAD CAD ∠=∠.故答案为：BD=CD ；BAD CAD ∠=∠. 11.（杨浦2019期末13）如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，点D 在边BC 上，要使BD=CD ，还需添加一个条件，这个条件是 .（只需填上一个正确的条件）D B A【答案】BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥（只填一个）【解析】解：在ABC ∆中，AB=AC ，BAD CAD ∠=∠，BD CD ∴=；或者 在ABC ∆中，AB=AC ，AD BC ⊥，BD CD ∴=；故答案为：BAD CAD ∠=∠或者AD BC ⊥. 考查等腰三角形的三线合一。
2019届中考数学一轮复习讲义第27讲等腰三角形
2019届中考数学一轮复习讲义考点二十七：等腰三角形聚焦考点☆温习理解一、等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 °②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为b,则b<a2④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠ A ,底角为∠ B、/ C，则∠ A=180—2 ∠ B，/ B= ∠180 AC=—22、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
学！科网推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形推论2 :有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二•等边三角形1•定义三条边都相等的三角形是等边三角形• 2.性质:3•判定三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.三.线段垂直平分线1•定义垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线2•性质线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等3•判定到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上名师点睛☆典例分类考点典例一、等腰三角形的性质【例1】（2018黑龙江齐齐哈尔中考模拟）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的和谐分割线”.如图，线段CD是ABC的和谐分割线”，ACD为等腰三角形，CBD和ABC相【解析】试题分析：T △比CDS AEA∙G∕∙Z⅛CD=Z44h ,'∕Δ⅛CD是等腰三角形，,∕Z ADC>Z BCD J.'.Z AD OZA J即AC≠CD,①⅛AC?=AJ）时’ ZACD=ZADC=^ =67, .∖ZACE=670+4S C=113° *■②当DADC 时，ZCD=ZjL= 46 Q R √.ZACB=46" +46' =93Q J 故答案为M时或财-考点：1∙相似三角形的性质；2.等腰三角形的性质.【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键.【举一反三】如图，AD , CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC , ∠ CAD=20 ,则∠ ACE的度数是( )A. 20 °B. 35 °C. 40 °D. 70 °【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【答案】B【解析】分析；先⅛据等腰三角形的⅛m及三角形内角和定S⅛⅛ZCAfr=2ZCADM0% ZB=ZACH £( IS^ZCAB) =70°.再禾U用角平分线定义即可得出ZX*E W√ACB=3實.徉解::AD 是∆ABC 的中线』AB-AC J. ZaAD=20%/.ZCAB=2ZQAD=40S ZB=ZACB=I (IS^-ZCAB) =70t.ICE是AABC的甬平分线，∕÷ ZACE=i ZACB=JS ci.Z故选:B.点睛：本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70是解题的关键.考点典例二、等腰三角形的多解问题1【例2】(2018黑龙江绥化中考模拟)在等腰ABC中，AD BC交直线BC于点D ,若AD -BC ,2则ABC的顶角的度数为 ____________ .【答案】30°或150°或90°. 【解析】 试题分析：①BC 为腰,1∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= BC ,/∙∠2②BC 为底，如图3,CAD= - ×80 °90 °2腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论. 【举一反三】（湖南省衡阳市船山实验中学 2017-2018学年八年级上期末模拟）等腰三角形的一个内角为 70°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是（）ACD=30° ,如图1 , AD 在△ABC 内部时, 顶角∠ C=30 ,如图2，AD 在△ABC 外部时,顶角∠ ACB=180 - 30o=150°,∙∙∙ AD 丄 BC 于点 D , AD= I BC,∙∙∙ AD=BD=CD , ∙∙∙ ∠ B= ∠ BAD , ∠ C= ∠ CAD , /. ∠ BAD+ ∠【点睛】题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边∙顶角∠ BAC=90 ,来源学科网ZXXMA. 35 °B. 20 °C. 35 °或20 °D. 无法确定【答案】C【解析】70°是顶角，它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是35° 70°是底角，顶角是40°它的一腰上的高与底边所夹的角的度数是20°.故选C.考点典例三、等边三角形的性质与判定【例3】已知:在附鳥中,悴F T&I,为的中点V-銅，：■,垂足分别为点,且册•罔•求证:1是等边三角形.【来源】浙江省嘉兴市2018年中考数学试题【答案】证明见解析MMfi】分析；由等腥三角形的性质得SUZR=NG再用HL证明I∆CTF,得到厶IYG从而得到ZAQNG即可得到结论，徉解:「密FU /.Z5=ZC.∖'DElAB f DFLBC J ,\ZD£^=ZDFO90&.丁D为的卫匚中⅛jλΣfA=DC.又YDE=D F, -IR L AAE实RlACDF (HL),--ZJi=N方-ΞZ^C?：-AA^C是等边三角形- 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质•解题的关键是证明∠ A=∠ C.【举一反三】(重庆市江津区2017-2018学年八年级上学期期末模拟 )如图所示，AABC为等边三角形，P为BC上一点，Q为AC上一点，AQ=PQ , PR=PS, PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S, ?则对下面四个结论判断正确的是()①点P在∠ BAC的平分线上，②AS=AR , ③QP// AR , ④厶BRP^Δ QSP.A.全部正确；B.仅①和②正确；C.仅②③正确；D.仅①和③正确【答案】A【解析】试题解析：∙∙∙PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S.∙∙∙∠ARP= ∠ ASP=90 .∙∙∙ PR=PS, AP=AP..∙. Rt △A RP也Rt AASP.∙∙∙ AR=AS ,故（2）正确，∠ BAP= ∠ CAP..AP是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确.∙AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点.∙∙∙ AQ=PQ.∙点Q是AC的中点.∙PQ是边AB对的中位线.∙PQ // AB ,故（3）正确.∙.∙∠ B= ∠ C=60 ,∠ BRP= ∠ CSP=90 , BP=CP.•••△ BRPQSP,故（4）正确.•全部正确.•故选A.考点典例四、线段垂直平分线的性质运用【例3】.如图，MM中，川,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作的平分线交•于点；②作边的垂直平分线，'与！相交于点；③连接•，'.请你观察图形解答下列问题：（1） __________________________________________ 线段PA^B^C之间的数量关系是（2）若曲吭-潜，求的度数.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题【答案】（1）•：'「二-b 二V; （2）80°【解析】分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质可得：PA=PB=PC;（2）根据等腰三角形的性质得：∠ ABC= ∠ ACB=70 ,由三角形的内角和得：∠BAC=180 -2 ×0°=40°，由角平分线定义得：∠ BAD= ∠ CAD=20 ,最后利用三角形外角的性质可得结论.详解：（1）如图，PA=PB=PC ,理由是：∙∙∙ AB=AC , AM 平分∠ BAC ,∙∙∙ AD是BC的垂直平分线，∙∙∙ PB=PC ,∙∙∙ EP是AB的垂直平分线，∙PA=PB,∙PA=PB=PC ;故答案为：PA=PB=PC ;⑵ 丁AE=AG/.Z ABC-Z ACE-VO O J.∖ ZBAC=I 80o-2^70c=40e,TANl 平分ZBAC,.,.ZBAD=ZCAD=2fl D,TPA=PB=PG・∖ ZABP= Z BAP=ZACP»20C,/. ZBPc=ZABP-Z BAC+Z ACP=20 i→0fr-2 =So S.点睛：本题考查了角平分线和线段垂直平分线的基本作图、等腰三角形的三线合一的性质、三角形的外角性质、线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是关键.【举一反三】（2018广西钦州市中考模拟）如图，在△ABC中，∠ ACB=90 ,分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB ）为半径作弧，两弧相交于点M和点N ,作直线MN 交AB于点D ,交BC于点巳若AC=3 , AB=5 ,则DE等于（）A. B. C.D.【答案】C【解析】根据勾股定理求出BC ,根据线段垂直平分线性质求出AE=BE ,根据勾股定理求出AE ,再根据勾股定理求出DE 即可.解：在RtABC 中，由勾股定理得：BC==4,连接AE，从作法可知：DE 是AB 的垂直评分线，根据性质AE=BE ，在Rt △ACE 中，由勾股定理得AC +CE =AE+ （4-AE ）即3=AE解得：AE=在Rt △ADEAD= AB=勾股定理得) DE +(=(解得：DE=故选C.课时作业☆能力提升一、选择题1. （2018年湖北省松滋市初级中学数学中考模拟试题（一））如图，在△ABC中，AB=AC , AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若ΔABC与ΔEBC的周长分别是40，24,则AB为（）S CA. 8B. 12C. 16D. 20【答案】C【解析】试题解析：∙∙∙DE是AB的垂直平分线，ME = RE :的周长任「Δ EHC的周长I = EE + EC + IiC =AE^ Ec [ IiC = AC + 甘：.∙. I总盒强:的周长—M 泪的周长=AB ,∣ΛZP=40-24=16.故选C.点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.2. （2017黑龙江大庆）如图，ΔABD是以BD3. 已知 汀 口耽：，用尺规作图的方法在 冋上确定一点冈，使Un ,则符合要求的作图痕迹是ΔBCD 中，∠ DBC=90° ∠ BCD=60° DC 中点为E , AD 与BE 的延长线交于点 F ,则∠ AF B 的度数为（）A. 30 °B.15 °C.45 °D.25 °【答案】B【解析】解：τ∠ DBC=90° E 为 DC 中点，∙∙∙ BE=CE=CD ,τ∠ BCD=60° Λ∠ CBE=60° ∕∙∠ DBF=30°∙∠ ABF=75° ∙∠ AFB=180° - 90° - 75°=15° 故选B .为斜边的等腰直角三角形, •••△ ABD 是等腰直角三角形，∙∠ ABD=45° , A.【答案】D【解折】分析：夷使PZPC=BC,必有PA=PB,所以选项中只有作AB 的中垂线才能满足遗个条件，故D 正确. 详解：D 选项中作的是AB 的中垂线，.∖PA=PB.'.PB-PC-BC J∕r PA+PC=BC故选D*点睛：本题主要考查了作图知识，解题的关键是根据中垂线的性质得出 PA=PB .4.（河北省故城县运河中学 2017-2018学年八年级（上）期末）等边三角形的边长为 2,则该三角形的面积为（）A. D. 3 【答案】CB.C.【解析】如图，作CD丄AB ,贝U CD是等边△ABC底边AB上的高,根据等腰三角形的三线合一，可得AD=I ,所以，在直角ΔADC中，利用勾股定理，可求出CD= =面积计算公式，解答，代入出S AABC = ×2×故选：C．5. （2017-2018 学年苏州市工业园区金鸡湖学校期末复习）如图，在于占4八、、于占4八、、边的中点，连接则下列结论①②为等边三角形.下面判断正确是( )A. ①正确B. ②正确C. ①②都正确D. ①②都不正确【答案】C【解析】试题解析：①∙∙∙BM丄AC于点M, CN丄AB于点N , P为BC边的中点,PN= ∙∙∙ PM=PN ,正确；②∙∙∙∠ A=60 , BM 丄AC 于点M , CN 丄AB 于点N ,∙∠ ABM= ∠ ACN=30 ,在 AABC 中，∠ BCN+ ∠ CBlvF 180° -60 °-30 °×2=60° , •••点P 是BC 的中点，BM 丄AC , CN 丄AB , ∙ PM=PN=PB=PC ,∙∠ BPN=2 ∠ BCN , ∠ CPM=2 ∠ CBM ,∙∠ BPN+ ∠ CPM=2 (∠ BCN+ ∠ CBM ) =2×60°=120° , ∙∠ MPN=60 ,•••△ PMN 是等边三角形，正确； 所以①②都正确.PM= BCBC ,故选C .6.在平面直角坐标系中，点 A （ J2 ,迈）,B （ 3J2 , 3丿2 ）,动点C 在X 轴上，若以A 、B 、C 三点为 顶点的三角形是等腰三 角形，则点C 的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 5【答案】B . 【解析】试爾分析:SC≡√∕AB 所在的M ⅛⅛Sy = X ,Λ⅛ AB 的中垂线所在的直线野二 V 丁点BZCgZ 的中点坐 ⅛⅛（2∙d, 2 如 把 x=2√∑,产 2√Σ 代AF = -K+占，解得 b=4√2, …朋的中垂线所在的S÷⅞≡y = -χ+4√2 , .'.C 1 ¢4^, O ）J決点启为圆^以期的长为半^画弧P 与-轴的交点为点55 ^B √（3√2 -√2）z + （3√2 -√2）z =4, V3√2>4,圆心，以朋的长九半径画弧 与耳轴沒有交点.综上，可得若以久趴€三点为顶点的三角形是等腰三角形P 则点f 的个数为取故选亠考点：1.等腰三角形的判定；2•坐标与图形性质；3•分类讨论；4 •综合题；5•压轴题.7（浙江省上杭县西南片区 2017-2018学年八年级上册期末模拟 ）如图，在 MBC 中，∠ B= ∠ C, AD 为AABC 的中线，那么下列结论错误的是（）A. AABD ACDB. AD为ΔABC的高线C. ADD. ΔABC是等边三角形为ΔABC的角平分线【答案】D【解析】试题解析：τ∠ B= ∠ C, ∙∙∙ AB=AC ,∙∙∙ AD是△ABC的中线，∙AD丄BC ,∠ BAD= ∠ CAD ,即AD是ΔABC的高，AD为△ABC的角平分线,∙∠ADB= ∠ ADC=9°0 ，在ΔABD和ΔACD中•••△ ABD BΔ ACD ,即选项A、B、C 都正确，根据已知只能推出AC=AB ，不能推出AC、AB 和BC 的关系，即不能得出△ABC 是等边三角形，选项D 错误，故选D ．二、填空题8. （2018广州市黄埔区中考数学一模）如图，已知ΔABC和ΔAED均为等边三角形，点D在BC边上，DE 与AB相交于点F,如果AC=12 , CD=4 ,那么BF的长度为__.答案】解析】试题分析：△ABC 和△AED 均为等边三角形，~ ?ACD, 又2017-2018 学年八年级上期末模拟 ）已知：点 P 、Q 是 △ABC 的边 BC 上的两个 ,∠BAC 的度数是（ ） 9. （ 山西省汾西县双语学校点，且 BP=PQ=QC=AP=AQA. 100 °B. 120 °C.130 °D. 150【答案】B【解析】VPctAP=AQ l l.∖ ZAP Q= ZPAQ= ZAQP=605,ZAP=BP,.∖Z B-Z TAB J Z,∖PQ-Z B÷ZPAB-SO C）,∖ZB=ZTAB=SO fi,同理ZQAC=ZC=30%.∖ZBAoZPAQ十ZPAB十ZQAOl2'O HS.故选B. I10.（浙江省宁波市东方中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰△ABC ,其中AB=AC=17cm , BC=16cm ,则三角形的面积为___________ cm2.【答案】120 【解析】利用等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高的重合的性质，勾股定理求出三角形的高AD= =15cm ，再利用三角形面积公式求S AABC = BC?AD=×16×15=120cm2故答案为：120.11.（浙江省宁波市李兴贵中学2017-2018学年八年级上册期末模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°则等腰三角形顶角的度数是________[来]【答案】50或130【解析】首先根据题意画出图形,一种情况等腰三角形为锐角三角形，①如图 1 ,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ ABD=40 ,∙∙∙∠A=50 ,即顶角的度数为50°.另一种情况等腰三角形为钝角三角形，②如图2,∙∙∙ BD 丄AC , ∠ DBA=40∙∙∙∠ BAD=50 ,∙∙∙∠ BAC=130 .故答案为：50或130.12.（浙师大附属秀洲实验学校 2017-2018学年九年级下学期第三次模拟 ）已知□ ABCD 中，AB=4, ABC 与 EDC 的角平分线交AD 边于点E , F ，且EF=3,则边AD 的长为 ___________________ .【答案】5或11;【解析】∙∙∙ BE 平分∠ ABC,∙∠ ABE= ∠ CBE ,•••四边形ABCD 是平行四边形，∙ AD // CB , CD=AB=4 ,∙∠ AEB= ∠ CBE∙∠ ABE= ∠ AEB ,∙ AE=AB=4 ,同理：DF=CD=4 ,分两种情况：∙ AD=AE+EF+DF=4+3+4=11∙ AF=1 , ∙ AD=AF+DF=1+4=5; ①如图1所示：∙∙∙ EF=3②如图2所示:■/ EF=4 ,AE=DF=4综上所述: AD的长为11或5;故答案为：5或11.13. （2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD , CB=CD ,对角线AC , BD 相交于 点0,下列结论中：① ∠ ABC= ∠ ADC ；② AC 与BD 相互平分；③ AC ，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角；1④ 四边形ABCD 的面积S= AC?BD .2试题解析：①在 △ABC 和ΔADC 中,AB AD∙∙∙ BC CD ,AC AC•••△ ABC ADC ( SSS),∙∙∙∠ ABC= ∠ ADC ,故①结论正确；②•••△ ABC BΔ ADC ,∙∠ BAC= ∠ DAC ,∙∙∙ AB=AD ,• OB=OD , AC 丄 BD ,而AB 与BC 不一定相等，所以 AO 与OC 不一定相等,故②结论不正确； ③由②可知：AC 平分四边形 ABCD 的∠ BAD 、/ BCD,1 而AB 与BC 不一定相等，所以 BD 不一定平分四边形 ABCD 的对角; 故③结论不正确；④∙∙∙ AC 丄 BD ，［来源学科网］•••四边形ABCD 1 1 1的面积 S=SSS 3 2 BD ?A O + 2 BD ?CO = 2 BD ?（AO+CO ）=AC?BD . 2故④结论正确；所以正确的有：①④考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质.14.等腰三角形 中，顶角为 ，点在以为圆心，'长为半径的圆上，且为 _________ .【来源】2018年浙江省绍兴市中考数学试卷解析【答案】 或【解析】【分析】画出示意图，分两种情况进行讨论即【解答】如图：分两种情况进行讨论■■■ ^PBC = ^ABP + ^ABC= Ilo Dl 同理：^AffP r ^^BAC ）J-ABP a■ 2.BAC = 40\ LABC = tβo"-+t>*1 Λ ^P I ffC = ^AeC-= 30°.故答案为：3^或】1孑【点评】考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在数学中的应用15. （2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边 ABC 的内部，且PC 6,PA 8,PB 10 ,将线段PC绕点C 顺时针旋转60o得到P'C ,连接AP',则Sin PAP'的值为 ___________________ . 【答案】35∙∙∙ CP=CP =6,∠ PCP =60°•••△ CPP 为等边三角形，• PP =PC=6•••△ ABC 为等边三角形，• CB=CA , ∠ ACB=60 ,∙∠ PCB= ∠ P' CA在△PCB 和 ΔP ,CA 中 PC PCPCB PCACB CAτ 62+82=102,• PP 2+AP 2=P'A,∙ PB=P A=10,［来源学。
2021暑假复习七年级下册--等腰三角形的性质
2021暑假复习七年级下册--等腰三角形的性质【典例解析】1．（2021春•七星关区期末）已知等腰三角形中有两边长分别为4cm和8cm，那么此三角形的周长为（）A．16cm B．20cm C．16cm或20cm D．以上都不正确2．（2021春•盐湖区校级期末）若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．40°3．（2021春•漳州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠B＝70°，则∠BAD等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°4．（2020秋•长垣市月考）如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠BAD的度数为（）3题图4题图6题图A．10°B．15°C．18°D．20°5．（2021春•顺德区期末）一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的大小是．6．（2020秋•姜堰区期末）如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．7．（2021春•延庆区期末）完成下面的证明．已知：如图，三角形ABC中，∠B＝∠C，点N在BA的延长线上，且AM∥BC．求证：AM是∠CAN的角平分线．证明：∵AM∥BC，∴∠B＝∠1（），∠C＝∠2（）．∵∠B＝∠C，∴∠1＝．∴AM是∠CAN的角平分线（）．8．（2021•门头沟区一模）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．9．（2021春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的大小．【跟踪练习】一．选择题（共10小题）1．（2021春•铁西区期末）AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．32．（2021春•皇姑区期末）如图，△ABC中，点D为BC边上的一点，且BD＝BA，连结AD，BP平分∠ABC交AD 于点P，连结PC，若△ABC面积为2cm2，则△BPC的面积为（）．A．0.5cm2B．1cm2C．0.5cm2D．2cm23．（2021春•长丰县期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝CD，∠C＝38.5°，则∠BAD＝（）A．26°B．28°C．36°D．38.5°2题图3题图5题图6题图4．（2021春•碑林区校级期末）若（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．7B．12C．9D．9或125．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（）A．40°B．30°C．20°D．15°6．（2021•前郭县二模）如图，直线L1∥L2，△ABC是等边三角形．若∠1＝40°，则∠2的大小为（）A．60°B．80°C．90°D．100°二．填空题（共8小题）7．（2021春•泗县期末）已知等腰三角形腰长为3，底为4，则这个等腰三角形周长为．8．（2021春•槐荫区期末）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠BAC＝100°，∠C＝50°，则∠BAD的大小为度．9．（2021春•福田区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其顶角的度数为度．10．（2021春•城阳区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACB＝46°，则∠A＝．8题图10题图11题图11．（2021春•侯马市期末）如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAD＝36°，并且∠ADE＝∠AED，则∠CDE 的度数是．12．（2021春•章丘区期末）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则它的腰长、底边长分别为．三．解答题（共7小题）13．（2021春•济南期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，求∠AED的度数．14．（2021春•砀山县期末）三角形ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于多少？15．（2021春•闵行区期末）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．16．（2019秋•大名县期中）已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD．（1）求证：AD＝BE；（2）求：∠BFD的度数．2021暑假复习七年级下册--等腰三角形的性质参考答案与试题解析【典例解析】1．（2021春•七星关区期末）已知等腰三角形中有两边长分别为4cm和8cm，那么此三角形的周长为（）A．16cm B．20cmC．16cm或20cm D．以上都不正确【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．故选：B．12．（2021春•盐湖区校级期末）若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．40°【解答】解：当80°角为顶角时，则等腰三角形的顶角为80°；当80°角为底角时，等腰三角形的顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°，即此等腰三角形的顶角为80°或20°．故选：C．3．（2021春•漳州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，若∠B＝70°，则∠BAD等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，故选：A．4．（2020秋•长垣市月考）如图，△ABC是等边三角形，CB＝CD，∠ABD＝12°，则∠BAD的度数为（）A．10°B．15°C．18°D．20°【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∠ABC＝60°，而∠ABD＝12°，∴∠DBC＝60°+12°＝72°．∵CB＝CD，∴∠BCD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠DCA＝60°﹣36°＝24°，∵CD＝CB＝CA，∴∠DAC＝×（180°﹣24°）＝78°，∴∠BAD＝78°﹣60°＝18°．故选：C．5．（2021春•顺德区期末）一个等腰三角形的底角是顶角的2倍，则顶角的大小是36°．【解答】解：设等腰三角形的顶角度数为x，∵等腰三角形的底角是顶角的2倍，∴底角度数为2x，根据三角形内角和定理得：x+2x+2x＝180°，解得x＝36°，则顶角的度数为36°．故答案为：36°．6．（2020秋•姜堰区期末）如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝120°．【解答】解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．7．（2021春•延庆区期末）完成下面的证明．已知：如图，三角形ABC中，∠B＝∠C，点N在BA的延长线上，且AM∥BC．求证：AM是∠CAN的角平分线．证明：∵AM∥BC，∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），∠C＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2．∴AM是∠CAN的角平分线（角平分线定义）．【解答】证明：∵AM∥BC，∴∠B＝∠1（两直线平行，同位角相等），∠C＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2．∴AM是∠CAN的角平分线（角平分线定义）．故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；∠2；角平分线定义．8．（2021•门头沟区一模）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°．9．（2021春•莲湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AB上，BE＝BD，∠BAC＝76°，求∠ADE的大小．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝76°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝52°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣∠B）＝64°，∵点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝26°．【跟踪练习】一．选择题（共10小题）1．（2021春•铁西区期末）AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（）A．10B．5C．4D．3【解答】解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，∴CD＝5．故选：B．2．（2021春•皇姑区期末）如图，△ABC中，点D为BC边上的一点，且BD＝BA，连结AD，BP平分∠ABC交AD 于点P，连结PC，若△ABC面积为2cm2，则△BPC的面积为（）．A．0.5cm2B．1cm2C．0.5cm2D．2cm2【解答】解：∵BD＝BA，BP平分∠ABC，∴AP＝PD，∴△APB的面积＝△DPB的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，∴△BPC的面积＝×△ABC的面积＝1（cm2），故选：B．3．（2021春•长丰县期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝CD，∠C＝38.5°，则∠BAD＝（）A．26°B．28°C．36°D．38.5°【解答】解：∵AD＝DC∴∠DAC＝∠C，∵∠C＝38.5°，∴∠DAC＝38.5°，∴∠BDA＝∠C+∠DAC═77°，∵AB＝AD∴∠BDA＝∠B＝77°，∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝26°．故选：A．4．（2021春•碑林区校级期末）若（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．7B．12C．9D．9或12【解答】解：∵（a﹣2）2+|b﹣5|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，解得a＝2，b＝5，∴等腰三角形的三边长分别为2，2，5或2，5，5，∵2+2＜5，2+5＞5，∴边长分别为2，2，5的等腰三角形不存在，∴以a、b为边长的等腰三角形的周长为2+5+5＝12，故选：B．5．（2021•益阳）如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于（）A．40°B．30°C．20°D．15°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DCA+∠CAB＝180°，即∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB＝180°，∵△ACE为等边三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，∴∠EAB＝180°﹣40°﹣60°﹣60°＝20°．故选：C．6．（2021•前郭县二模）如图，直线L1∥L2，△ABC是等边三角形．若∠1＝40°，则∠2的大小为（）A．60°B．80°C．90°D．100°【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠1＝40°，∴∠3＝∠1+∠A＝40°+60°＝100°，∵直线l1∥l2，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝80°，故选：B．二．填空题（共8小题）7．（2021春•泗县期末）已知等腰三角形腰长为3，底为4，则这个等腰三角形周长为10．【解答】解：根据题意画出图形，∵等腰△ABC，AB＝3，∴AC＝3，∵BC＝4，∴△ABC的周长为：3+3+4＝10．故答案为：10．8．（2021春•槐荫区期末）如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠BAC＝100°，∠C＝50°，则∠BAD的大小为75度．【解答】解：∵∠BAC＝100°，∠C＝50°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝30°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝（180°﹣∠B）÷2＝75°，故答案为：75．9．（2021春•福田区期末）等腰三角形中有一个角为100°，则其顶角的度数为100度．【解答】解：（1）当100°角为顶角时，其顶角为100°；（2）当100°为底角时，100°×2＞180°，不能构成三角形．故它的顶角是100°．故答案为：100．10．（2021春•城阳区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD，∠ACB＝46°，则∠A＝67°．【解答】解：∵AC＝BC，D是AB的中点，∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∵∠ACB＝46°，∴∠ACD＝∠BCD＝23°，∴∠A＝90°﹣23°＝67°．故答案为67°．11．（2021春•侯马市期末）如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAD＝36°，并且∠ADE＝∠AED，则∠CDE 的度数是18°．【解答】解：∵∠EDC+∠C＝∠AED，∠ADE＝∠AED，∴∠C+∠EDC＝∠ADE，又∵∠B+∠BAD＝∠ADC，∴∠B+36°＝∠C+∠EDC+∠EDC，∵∠B＝∠C．∴2∠EDC＝36°，∴∠EDC＝18°．故答案为：18°．12．（2021春•章丘区期末）等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则它的腰长、底边长分别为6，9或8，5．【解答】解：设等腰三角形的腰长为2x，由题意得2x+x＝9或2x+x＝12，解得x＝3或4，∴等腰三角形的腰长为6或8，∵等腰三角形的周长为9+12＝21，∴该等腰三角形的底边长为：21﹣2×6＝9或21﹣2×8＝5，∵6+6＝12＞9，5+8＞8，∴等腰三角形的腰长，底边长分别为：6，9或8，5．故答案为6，9或8，5．三．解答题（共7小题）13．（2021春•济南期末）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，求∠AED的度数．【解答】解：∵AD是等边△ABC的中线，∴∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣30°）＝75°．14．（2021春•砀山县期末）三角形ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于多少？【解答】解：设∠A＝x°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x°，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，解得：x＝36，∴∠A＝36°．15．（2021春•闵行区期末）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．【解答】解：∵等腰△ABC中AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＝2∠A，∴∠B＝∠C＝2∠A，设∠A＝x°，则∠B＝∠C＝2x°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+x＝180，解得：x＝36，∴∠B＝2x＝2×36°＝72°．16．（2019秋•大名县期中）已知：如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD．（1）求证：AD＝BE；（2）求：∠BFD的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝CA，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴AD＝BE（全等三角形对应边相等）；（2）解：∵△ABE≌△CAD（已证），∴∠ABE＝∠CAD（全等三角形对应角相等），又∵∠BFD＝∠BAD+∠ABE，∴∠BFD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC，又∠BAC＝60°，∴∠BFD＝60°．。
等腰三角形复习
P2
O
P4 P1
P3 l
{腰
一边
3个
底边 1个
从“边”看
3.如图，在4×4正方形网格中，以AB为边，在格点上找一点C， 使△ABC为等腰三角形，这样的点C有几
{腰 A为圆心 3个
B
B为圆心 2个
从“边”看
变式：如图，在5×5正方形网格中，以AB为边，在格点上找一 点C，使△ABC为等腰三角形，这样的点C有几个?
等腰三角形复习
浙教版 八年级上册
从“整体”看
A
B
C
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线.
从“边”看
1.已知线段AB，以AB为一边用直尺和圆规画一个等腰三角形.
A
B
{腰 无数个
一边 底边 无数个
从“边”看
2.如图，点O是直线 l 上一点，点A是直线 l 外一点，在直线 l 上 找一点P，使△AOP成为等腰三角形，这样的P点共有几个?
课堂小结
经验 方法 知识
A B
从“角”看
1.已知∠A，以∠A为一角用直尺和圆规画一个等腰三角形.
A
{顶角 无数个
一角 底角 无数个
从“角”看
2.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角的 度数为_5_0_°_或___1_3_0_°.
A
{锐角 1个
顶角 钝角 1个
D
D
A
B
C
B
C
综合运用
若经过等腰三角形某一个顶点的一条直线可把它分成两个小 等腰三角形，那么我们称原等腰三角形为“和合三角形”． （1）已知：如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°.
求证：等腰直角三角形ABC是“和合三角形”.
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2006 5 19
判断对错
（1）等腰三角形高、中线、角平分线重合;( × ) （2）等腰三角形两底角的外角相等；( √ ) （3）等腰三角形有且只有一条对称轴；( × ) （4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角 形;( √ ) （5）若一个等腰三角形有两条边的长分别为4 cm， 7 cm，则它的周长为15cm；( × ) （6）等腰三角形的一个内角等于70°，则它的底角 等于55°（ × ）
∠B= ∠C
B
C
性质3： 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和 底边上的高互相重合，简称“三线合一” 。
A 顶角平分线 底边的高
B 底边的中线
D是中点 C
等腰三角形的识别：
在同一个三角形中，有两条边相等。 （利用定义）
如果一个三角形中有两个角相等，那么 这两个角所对的边也相等。（简写成 “等角对等边”）
复 习 概 念
两条边相等的三角形叫做等腰
三角形
腰
A
顶 角
一 起 回 忆
腰
B
底角
底角
Hale Waihona Puke C底边等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质：
性质1: 等腰三角形是轴对称图形
性质2:
等腰三角形的两个底角相等 (简写成“等边对等角”)
A
AB=AC
A
B
C
D
2 、如图：△ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＣ上的一点， 且ＡＤ＝ＤＢ＝ＢＣ，∠ＤＢＣ＝２０°，试求 ∠A的度数。
A
A
ＡＢ＝ＡＣ
B D C
B
D
C
如果ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＤＢ＝ＢＣ，求∠Ａ的度 数。
石器时代9.5 / 石器时代9.5
容凌娢一副视死如归的样子，“士可杀，不可辱！要杀要刮随你便，总比在这里干活还被人欺负要好。”“干嘛这么激动，我没有生气 啊。”“没有生气还把我搞到这里来刷碗……”慕容凌娢的肚子不争气的叫了起来……(古风一言)点朱砂，笔书华，戎马难忘镜中花。第026章 风俗习惯不同而已“咕噜噜……”“还没吃东西吗？”“这不是废话嘛！”慕容凌娢没好气的说。“给，专门给你留的。”百蝶从袖子中拿出 了一个小布袋，递给了慕容凌娢，“应该还是热着的。”慕容凌娢打开袋子，里面是两个还冒着淡淡热气的馒头。“就只有这个吗？”慕容凌 娢看百蝶的眼神完全变了，她已经被百蝶的食物“驯化”了。“人不要太贪得无厌了，你还想要什么？”“有木有老干妈？辣条也行啊。”慕 容凌娢狼吞虎咽地吃着馒头，还在死皮赖脸的讨价还价。“干吃馒头很不好吃啊。”“那你怎么还吃？”“因为饿。”“你慢慢吃吧，我先回 去了。”百蝶看了看放在慕容凌娢身旁的盘子，“那些被打碎的盘子我就不在追究了，至于其它的盘子和碗……今晚必须刷完。”“嗯……纳 尼？”慕容凌娢赶忙将嘴里的馒头咽了下去，差点没有噎出眼泪来。“百蝶姐姐你……这真的不是我打碎的……”百蝶丝毫不理会慕容凌娢的 解释，头也不回的走了，独自留慕容凌娢在风中凌乱。“笨蛋，白痴，心机girl……”慕容凌娢不停地小声嘀咕，“居然还分楼主，层主，不 就是变向的中二病吗……如果你是楼主，我还是吧主呢！”说归说，慕容凌娢还是得老老实实的刷碗。……(第二天)“天哪，那个小女孩居然 真的把碗给刷完了。”“估计是在这里待了一晚上吧。”“真是太不可思议了！”“……”慕容凌娢依在墙边已经睡着了，根本就没有听见这 些人的议论。“白绫，白绫，醒醒啊！”若曦走过去晃了晃慕容凌娢。“唔……让我再睡一会……”慕容凌娢小声哼唧，以为自己还在家里， 想要再赖会儿床。“白绫，赶快起来吧！”若曦也没有什么办法，只好推了慕容凌娢一下。慕容凌娢刚想要再次入睡，结果身子一歪，倒了下 来。“啊！”慕容凌娢被突然惊醒了，“是谁推我的！”“白绫，对不起呀。”若曦抱歉的说道，“我看你怎么叫也叫不醒，所以就推了你一 下。没摔疼吧？”“没……没事。”慕容凌娢不好意思的笑了笑，“我还以为今天是星期天呢……”“星期天？什么意思？”“这个……这个 是我们那里计算天数的方法。”“原来白绫你不是这里的人啊！”若曦说道，“怪不到感觉你说的话会有些奇怪呢。”“呵呵，是呀，毕竟风 俗习惯都不太一样呢。”慕容凌娢随即编了一个谎。(古风一言)绾青丝，颜影依，绣针可绘情相思。第027章 不敢再想下去“白绫，对不起 呀。”若曦抱歉的
（1）请问图中有多少个等腰三角形?说明理由。 （2）线段EF和线段EB、FC之间有没有关系? 若有是什么关系?
A
A
若 AB AC
E F
0
B
E 0
F
C
B
C
小结：
一、在等腰三角形中求角 在具体计算时利用：① 等边对等角 ② 三角形的内角和 ③ 三角形的外角的性质
二、等腰三角形的识别 方法： ①两边相等（定义） ②在同一个三角形中，有两个角相等 注：说明两角相等的途径： ①等边对等角
例１：如图，在△ABC中，∠DAC是△ABC的一个外角。 问题1：若AB=AC，AE平分∠DAC，则AE与BC是否 互相平行？ 问题2：若AE∥BC， AE平分∠DAC，则AB与AC是 什么关系？ 问题3：若AB=AC，AE∥BC，则AE会平分∠DAC？
思考： AB≠AC,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB. 在△ABC中,已知 AB=AC 过点O作直线EF//BC 交 AB 于 E,交 AC 于 F。
②在两条平行线中的同位角，内错角。
③角平分线的定义 。 ④利用等量代换。 三、数学思想： ①分类讨论的思想 ② 转化的思想
1、已知在△ABC中, AB=AC,
问题１：∠B=800 ，求∠C和∠A的度数.
问题２：有一个内角为800 ，求∠C和∠A的度数. 问题3:有一个内角为100°，求∠C和∠A的度数. 问题4:∠A=200 且AC//BD,求∠CBD的度数