§抛物线及其性质
抛物线的概念性质几何意义
抛物线的概念性质几何意义抛物线是数学中重要的曲线之一，具有许多独特的概念性质和几何意义。
在本文中，我们将探讨抛物线的这些性质，并详细解释其几何意义。
首先，抛物线可以通过以下的数学定义来描述：抛物线是一个平面曲线，其点到焦点的距离等于点到准线的距离。
这个定义可以形式化为抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，并且a不等于0。
几何意义上，抛物线具有以下性质：1.对称性：抛物线是关于焦点所在的直线（称为对称轴）对称的。
这意味着，如果我们选择抛物线上的一个点P，并且通过对称轴绘制一条垂直于对称轴的线，那么这条线将穿过抛物线的两个点，其中一个是P的镜像。
这种对称性使得抛物线在几何和物理问题中具有重要的应用。
2.焦点和准线：抛物线的焦点是其特殊的点，它位于对称轴上。
焦点的几何意义是，对于通过焦点的任意直线，该直线与抛物线的两个切点之间距离相等。
这个性质被广泛应用于抛物物镜、卫星天线和汽车大灯等设计中。
3.方程的系数：抛物线方程的系数a、b和c对其形状产生影响。
如果a的值大于0，抛物线将开口向上；如果a的值小于0，抛物线将开口向下。
同时，a的绝对值决定了抛物线的曲率程度，绝对值越大，曲线越陡峭。
通过调整这些系数，我们可以调整抛物线的形状和位置。
4.最值点：抛物线的最值点是其曲线上的最高点（顶点）和最低点（谷底）。
顶点的x坐标可以通过抛物线方程的关键点公式计算，即x=-b/(2a)。
这个点对应于抛物线的对称轴上的点，同时也是其焦点的位置。
5.切线和法线：抛物线上的任意一点P处的切线是通过该点的抛物线曲线的切线，其斜率等于该点处的导数。
法线则是与切线垂直的线。
抛物线具有特殊的性质，即通过顶点的切线和准线平行，通过焦点的切线和准线垂直。
这些性质在物理学中的运动学问题中非常有用。
6.面积和弧长：抛物线上的面积可以通过定积分计算，其具体形式可以根据抛物线方程来确定。
同样，抛物线的弧长也可以通过定积分来计算，其结果是一个复杂的参数方程。
抛物线及其性质知识点大全新
抛物线及其性质2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p(,0)2p-(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p >0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||．弦长|A B |=x 1+x 2+p ,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
初三数学抛物线的性质知识点归纳
初三数学抛物线的性质知识点归纳
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-
b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。
|a|越大，那么抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-
bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)。
§10.3 抛物线及其性质
.焦点弦的性质:斜率存在时,过点F 的直线方程为y=k ;斜率 2 2
不存在时为通径,一般焦点弦长通过焦半径公式来计算. 例2 (2017浙江金华十校调研,15)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点 的直线与抛物线交于A,B两点,则直线的斜率为
1 ×4 ×5=10 . 5 5 2
答案 y2=4x;10 5
评析 本题考查抛物线的定义和标准方程,抛物线的对称性,三角形垂 心的性质,面积的计算等基础知识,考查推理运算能力.
方法 2 抛物线的几何性质的解题策略
p 1.焦半径:抛物线y =2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F 2 ,0 的距离|PF|=x0 p +2. p 2.通径:过焦点F 2 ,0 且与x轴垂直的弦PQ叫通径,|PQ|=2p,是所有焦点
要根据一次项来判断焦点的位置,若x为一次项,则焦点在x轴上,若y为一 次项,则焦点在y轴上.一次项系数大于0时,焦点在正半轴上,系数小于0 时,焦点在负半轴上.
考点二
1.双基表
抛物线的几何性质
2.点P(x0,y0)和抛物线y2=2px(p>0)的关系 (1)P在抛物线内(含焦点)⇔ y02 <2px0; (2)P在抛物线上⇔ y02 =2px0; (3)P在抛物线外⇔ y02 >2px0.
(4)弦长l=
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切; (7)焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°. 4.AB为抛物线y2=2px(p>0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点M(x0,y0),设弦所在 直线斜率存在,为k(k≠0).
1 1 |y1-y2| k2 ·
(1)弦长l= 1 k |x1-x2|=⑧
抛物线及其性质知识点大全教学内容
抛物线及其性质1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：图形参数p 几何意义 参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.开口方向 右左上下 标 准方 程 22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p =>22(0)x py p =->焦 点位 置 X 正X 负Y 正Y 负焦 点坐 标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准 线方 程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范 围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈0,y x R ≥∈0,y x R ≤∈对 称轴 X 轴X 轴Y 轴Y 轴顶 点坐 标 （0,0）离心率 1e =通 径 2p焦半径11(,)A x y 12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦长AB 的补充11(,)A x y22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 3．抛物线)0(22>=p px y 的几何性质：(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：1=e ，焦点(,0)2p F ，准线2px -=，焦准距p ． (4) 焦点弦：抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB ，),(11y x A ,),(22y x B ,则p x x AB ++=21||． 弦长|AB|=x 1+x 2+p,当x 1=x 2时，通径最短为2p 。
抛物线的简单几何性质
x
直线与抛物线的关系
例3.已知抛物线y2=4x,过定点A(-2, 1)的
直线l的斜率为k,下列情况下分别求k的
取值范围：
1. l与抛物线有且仅有一个公共点；
2. l与抛物线恰有两个公共点；
3. l与抛物线没有公共点.
例 1 已知抛物线的方程为 y 4 x ,直线 l 过定点 P ( 2 , 1 ) ,斜率为 k , k 为何值时,直线 l 与抛物线 2 y 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
l
y
（4） 离心率：
O
F
x
e =1
方程 图
y2 = 2px
（p＞0）
y
l O F x
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
（p＞0）
y
x
l l F x
（p＞0）
y
F
O l
（p＞0）
y
x
O F
形 范围
对称 性
O
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于x轴对称 （0,0） e=1
2
分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形：一种是直线 平行于抛物线的 对称轴； 另一种是直线与 抛物线相切．
归纳方法：
1.联立方程组，并化为关于x或y的一元方程；
2.考察二次项的系数是否为0，
①若为0，则直线与抛物线的对称轴平行， 直线与抛物线有且仅有一个交点； ②若不为0，则进入下一步. 3.考察判别式 ⊿<0 直线与抛物线相离. ⊿=0 直线与抛物线相切； ⊿>0 直线与抛物线相交；
抛物线及其性质--学生版
专题03 抛物线及其性质知识要点一、抛物线的定义和标准方程1．抛物线定义平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)__距离相等__的点的轨迹叫作抛物线，__定点F__叫作抛物线的焦点，__定直线l__叫作抛物线的准线．对抛物线定义的理解(1)定义条件：直线l不经过定点F.(2)一动三定：①“一动”，即动点P；②“三定”，即定点F，定直线l和定值，也就是P到定点F与到定直线的距离的比值是定值1. 2．抛物线的标准方程的几种形式同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式．请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程二、抛物线的几何性质1．抛物线的几何性质2.焦半径抛物线上一点与焦点F 连线的线段叫作焦半径，设抛物线上任一点A (x 0，y 0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为3．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则抛物线方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =->焦点弦公式12||()AB p x x =++ 12||()AB p x x =-+ 12||()AB p y y =++ 12||()AB p y y =-+其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径．对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ．4．必记结论直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24. （2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥122x x ＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p . （3）1|AF |＋1|BF |为定值2p.（4）弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．（5）以AB 为直径的圆与准线相切．（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.技巧点拨技巧1 求抛物线的标准方程例1、求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．【归纳总结】求抛物线标准方程的方法：①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p.②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my.已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图像及开口方向确定．技巧2 抛物线的定义及其应用例2、若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是() A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝4x D．y2＝－4x技巧3 抛物线焦点弦性质例3、直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．，y1y2＝－p2.求证：x1x2＝p24【归纳总结】证法一分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；证法二对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会．技巧4 抛物线定义的应用例4、O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4例题精讲1．y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(14，0) C ．(0，14) D ．(0，18)2．已知抛物线y 2＝mx 的焦点坐标为(2,0)，则m 的值为( )A ．12 B ．2 C ．4 D ．83．准线为y ＝－34的抛物线标准方程是( )A ．x 2＝3yB ．y ＝－32x 2C ．x ＝3y 2D ．x ＝－32y 24．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－35．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A ，B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( C )A ．2或－1B ．－1C ．2D ．36．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 等于( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或27．过抛物线y 2＝8x 的焦点作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |的值为____.8．抛物线x 2＝y 上到直线2x －y －4＝0的距离最小时的点P 的坐标．真题链接1．已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．92．在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p => 交于,A B 两点，若AF +BF =4OF ，则该双曲线的渐近线方程为_________.3．已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________________．4．已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |. （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.5．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =，求|AB |．。
抛物线的几何性质
一、抛物线的范围: y2=2px y
P(x,y)
•X 0
o
p F ( ,0 ) 2
x
•y取全体实数
二、抛物线的对称性 y2=2px
y
M(x,y)
以-y代y方程不变，所以抛物线 关于x轴对称．我们把抛物线的 对称轴叫做抛物线的轴．
o
F(
p ,0 ) 2
x
M1(x,-y)
三、抛物线的顶点 y2=2px
24cm
o
F
P
x
B
10cm
例3已知点A在平行于y轴的直线L上，且L与x轴的 交点为（4，0）。动点p满足 OA OP y 求P点的轨迹方程，并说明轨迹的形状。 分析：设P（ x，y）则A（4，y） OA OP ∴ OA.OP 0
（ 。 ∴ x，y） （4，y）=0 L P A
（4，0） x
请具体说出开口方向，焦点坐标，准线方程。
四种抛物线的标准方程的几何性质的对比
好好学习
Y
X
定义 ：抛物线 与对称轴的交点， 叫做抛物线的顶 点,只有一个顶 点.
四、抛物线的离心率 y2=2px
Y
X
所有的抛物 线的离心率 都是 1
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的 比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义可知
e 1
五、焦半径
|PF|=x0+p/2
y
P
O
பைடு நூலகம்
F
x
例1：已知抛物线以x轴为轴，顶点式坐标原点且开口 向右，又抛物线经过点M 4,2 3 ，求它的标准方程。
分析：根据已知条件，可以设抛 物线的方程为
Y
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当k≠0时,依题意得Δ=(-4)2-4k·4k<0,
化简得k2-1>0,解得k>1或k<-1,因此k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
评析 本题考查抛物线的定义及标准方程,直3,5分)抛物线y=1 x2的准线方程是 ( )
4
A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2
15
所以,△ABP面积的最大值为 256 5 .
135
评析 本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平
面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.
C组 教师专用题组
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2013江西,9,5分)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其 准线相交于点N,则|FM|∶|MN|= ( ) A.2∶ 5 B.1∶2 C.1∶ 5 D.1∶3
方法总结 求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D, E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把 圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.
5.(2014陕西,11,5分)抛物线y2=4x的准线方程为
.
2.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且 M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是 ( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
答案 D 显然0<r<5.当直线l的斜率不存在时,存在两条满足题意的直线,所以当直线l的斜率 存在时,存在两条满足题意的直线,设直线l的斜率为k,由抛物线和圆的对称性知,k>0、k<0时各 有一条满足题意的直线.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
95
2
7.(2015浙江,19,15分)如图,已知抛物线C1:y=
1 4
x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O
的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求△PAB的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相
A.2 B.3 C.17 2
8
D. 10
答案 B 如图,可设A(m2,m),B(n2,n),其中m>0,n<0,则OA =(m2,m),OB =(n2,n),OA ·OB =m2n2+mn=2, 解得mn=1(舍)或mn=-2.∵lAB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2),即(m+n)(y-n)=x-n2,令y=0,解得x=-mn=2,∴C
切,称该公共点为切点.
解析 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t),
y k(x t),
由
y
1 4
x2
消去y,整理得:
x2-4kx+4kt=0,
由于直线PA与抛物线相切,得k=t.
因此,点A的坐标为(2t,t2).
设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故
a ),故|AB|=4 a =4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).
2.(2013北京,9,5分)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=
;准线方程为
.
答案 2;x=-1
解析 p =1,即p=2;准线方程为x=- p =-1.
2
2
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
.
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
解析 设机器人为A(x,y),依题意得点A在以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线上,该抛物线的 标准方程为y2=4x. 过点P(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1).
由
y
2
4x,
得ky2-4y+4k=0.
y kx k,
当k=0时,显然不符合题意;
2
2
评析 本题主要考查抛物线的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系等基
础知识.考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
8.(2014浙江,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为
AB的中点, PF =3 FM .
(1)若|
PF
|=3,求点M的坐标;
1 3
m
4 3
.
令f '(m)=9m2-10m+1=0,解得m1=19 ,m2=1.
可得f(m)在
1 3
,
1 9
上是增函数,在
1 9
,1
上是减函数,在
1,
4 3
上是增函数.
又f
1 9
=
256 243
>f
4 3
,
所以,当m=1 时, f(m)取到最大值 256 ,
9
243
此时k=± 55 .
§抛物线及其性质
2020/10/13
五年高考
A组 自主命题·北京卷题组
1.(2018北京,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则
抛物线的焦点坐标为
.
答案 (1,0)
解析 本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算. 由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2 a ),B(1,-2
m
8m
8m
3
评析 本题考查抛物线的方程及其性质,同时考查向量的坐标运算和基本不等式的应用.最值
问题是高考的一个热点,要特别注意.
4.(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的
正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为
.
答案 (x+1)2+(y- 3 )2=1
答案 A 由y= 1 x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=- p =-1.故选A.
4
2
2.(2014辽宁,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率
为( )
A.- 4 B.-1 C.- 3 D.- 1
3
4
(2,0).
S =S +S = △AOB △AOC △BOC 1 ×2×m+ 1 ×2×(-n)=m-n,S△AOF= 1 × 1 ×m=1 m,则S△AOB+S△AOF=m-n+1 m=9 m-n=9
2
2
24 8
88
8
m+ 2 ≥2 9 m 2 =3,当且仅当 9 m= 2 ,即m=4 时等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.
y0 2
x0 2t
1,
x0t y0 0,
解得
x0
y0
2t 1 t2
2t 2 1 t2
, .
因此,点B的坐标为
2t 1 t2
,
2t 1
2
t
2
.
(2)由(1)知|AP|=t·1 t2 ,
和直线PA的方程tx-y-t2=0.
点B到直线PA的距离是d= t2 ,
1 t2
设△PAB的面积为S(t),所以S(t)= 1 |AP|·d= t3 .
答案 x=-1
解析 由抛物线方程知p=2,故该抛物线的准线方程为x=- p =-1.故填x=-1.
2
6.(2014上海,4,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 x2 + y2 =1的右焦点重合,则该抛物线的准线
95
方程为
.
答案 x=-2
解析 ∵c2=9-5=4,∴c=2.∴椭圆 x2 + y2 =1的右焦点为(2,0),∴ p =2,则抛物线的准线方程为x=-2.
x
()
A. 1 B.1 C. 3 D.2
2
2
答案 D 由题意得点P的坐标为(1,2).把点P的坐标代入y= k (k>0)得k=1×2=2,故选D.
x
评析 利用垂直得到点P的坐标是求解的关键.
3.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为 ( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
答案 B 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=- p ,由题设知- p =-1,即 p =1,所以焦点坐标为(1,
2
2
2
0).故选B.
4.(2014湖南,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离
相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2016四川,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是 ( ) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)
答案
D
∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为
p 2
,
0
,
∴抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),故选D.
2.(2016课标Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= k (k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=