考点二 离散型随机变量的分布列——多维探究
角度1 与互斥事件相关的分布列
例2 (2019·衡水模拟)大型亲子真人秀《爸爸去哪儿》(第五季)暖心回归，节目组要
求五位明星爸爸在72小时的户外体验中，单独照顾子女的饮食起居，共同完成节目组设置的一系列任务．经过一季13期的录制，六位萌娃Neinei 和Max 、嗯哼、Jas －per 、小泡芙、小山竹收获了一大批的粉丝，同时也带动各自星爸的事业发展．在第五季第8期的节目录制中，节目组请来了萌娃的妈妈们，并让萌娃和妈妈们一起玩“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让萌娃们去猜哪一个花轿里是自己的妈妈．假设各位萌娃都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的．
(1)已知嗯哼的妈妈在某个花轿里，如果给嗯哼两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自己妈妈的概率；
(2)如果四位妈妈所对应的四位萌娃一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．
[解析] (1)记“嗯哼选到自己妈妈”为事件A ， 则P (A )＝14＋34×13＝12
.
(2)由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,4，
P (X ＝4)＝1A 44＝124，P (X ＝2)＝C 24
A 44＝14，P (X ＝1)C 14×2A 44＝13，
P (X ＝0)＝1－P (X ＝4)－P (X ＝2)－P (X ＝1)＝3
8.
所以随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 4 P
38
13
14
124
则E (X )＝0×38＋1×13＋2×14＋4×1
24＝1.
角度2 与独立事件相关的分布列
例3 (2020·四川省遂宁诊断)福建电视台少儿频道的少儿竞技类节目——《宝贝向
前冲》于2005年6月创办，节目内容丰富，形式多样，栏目的特色在于开发和推广简单的、有趣的校园或家庭挑战游戏项目，并最大限度地利用电视手段将简单的游戏制作成吸引观众的电视节目．近日《宝贝向前冲》节目组举办了一个共有五关的闯关节目，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会(后两关总共只有一次机会)，已知某人前三关每关通过的概率都是2
3，后两关每关
通过的概率都是1
2
.
(1)求该人获得奖金的概率；
(2)设该人通过的关数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望． [解析] (1)设事件A i 为“第i 关通过”，事件A 为“获得奖金”， ∴该人获得奖金的概率：
P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A －4A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A －
5A 5) ＝(23)3·(12)2＋(23)3·12·12·12＋(23)3·12·12·12＝427. (2)X 的取值为0,1,2,3,4,5， P (X ＝0)＝P (A －
1)＝13，
P (X ＝1)＝P (A 1A －
2)＝23×13＝29，
P (X ＝2)＝P (A 1A 2A －
3)＝23×23×13＝427，
P (X ＝3)＝P (A 1A 2A 3A －4A －
4)＝(23)3×(12)2＝227，
P (X ＝5)＝P (A )＝4
27
，
P (X ＝4)＝1－[P (X ＝0)＋P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)]＝2
27，
∴X 的分布列为：
∴E (X )＝0×13＋1×29＋2×427＋3×227＋4×227＋5×427＝16
9.
名师点拨 ?
求离散型随机变量X 的分布列的步骤
(1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列． 〔变式训练2〕
(2017·天津，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，1
4
.
(1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． [解析] (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝1
4
，
P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝11
24，
P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝1
4，
P (X ＝3)＝12×13×14＝1
24.
所以，随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝13
12
.
(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0) ＝P (Y ＝0)P (Z ＝1)＋P (Y ＝1)P (Z ＝0)
＝14×1124＋1124×14 ＝1148
. 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为11
48
.
考点三 超几何分布——师生共研
例4 (2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗
示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列．
[解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 48
C 510＝518
.
(2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4，则
P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14
C 510＝521，
P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34
C 510＝521，
P (X ＝4)＝C 16C 44
C 510＝142
.
因此X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 P
142
521
1021
521
142
[引申1]用X _________. [解析] 由题意可知X 的取值为1,2,3,4,5，
则P (X ＝1)＝C 16C 44C 510＝142，P (X ＝2)＝C 26C 34
C 510＝521，
P (X ＝3)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝4)＝C 46C 14
C 510＝521
，
P (X ＝5)＝C 56
C 510＝142.
因此X 的分布列为
X
1
2
3
4
5
[引申2]用X 则X 的分布列为_________.
[解析] 由题意知X 可取的值为3,1，－1，－3，－5.
则P (X ＝3)＝C 44C 16C 510＝142，P (X ＝1)＝C 34C 26
C 510＝521，
P (X ＝－1)＝C 24C 36C 510＝1021，P (X ＝－3)＝C 14C 46
C 510＝521
，
P (X ＝－5)＝C 56
C 510＝142，
因此X 的分布列为
名师点拨 ?
1．超几何分布的两个特点： (1)超几何分布是不放回抽样问题； (2)随机变量为抽到的某类个体的个数．
2．超几何分布的应用：超几何分布属于古典概型，主要应用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型．
〔变式训练3〕
(2020·安徽省淮北市模拟)有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标λ＝a ＋b ＋c 的值评定石榴的等级，若λ≥4则为一级；若2≤λ≤3则为二级；若0≤λ≤1则为三级．近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：
(2)在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
[解析] (1)计算12个石榴种植园的综合指标，可得下表
编号 A B C D E F G H I J K L 综合指标
1
5
2
4
3
4
6
1
5
3
3
2
所以等级为一等的频率为5
12
，
所以120个石榴种植园中一级种植园约有50个． (2)由题意ξ可以取0、1、2，
其中P (ξ＝0)＝C 02C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 12C 15C 27＝10
21，
P (ξ＝2)＝C 22C 0
5
C 27＝121
，
∴ξ的分布列为
ξ 0 1 2 P
10
21
1021
121
故E (ξ)＝0×1021＋1×1021＋2×121＝4
7
.
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
名师讲坛·素养提升
离散型随机变量分布列中的停止型问题
例5 (2020·甘肃天水一中阶段测试)甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，
单局比赛甲队胜乙队的概率为2
3.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设
各局比赛相互间没有影响且无平局．求：
(1)前三局比赛甲队领先的概率；
(2)设本场比赛的局数为ξ，求ξ的概率分布和数学期望．(用分数表示)
[解析] (1)设“甲队胜三局\”为事件A ，“甲队胜二局\”为事件B ，则P (A )＝(23)3＝8
27，
P (B )＝(23)2×13＝4
9
，
所以，前三局比赛甲队领先的概率为 P (A )＋P (B )＝2027
(2)甲队胜三局或乙胜三局， P (ξ＝3)＝(23)3＋(13)3＝1
3
.
甲队或乙队前三局胜2局，第4局获胜 P (ξ＝4)＝C 23(23)2×13×23＋C 23(13)2×23×13＝1027. 甲队或乙队前四局胜2局，第5局获胜 P (ξ＝5)＝C 24(23)2×(13)2×23＋C 2
4(13)2×(23)2×13＝827. ∴ξ的分布列为：
∴ξ数学期望为
E (ξ)＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.
名师点拨 ?
解决这类终止型问题，一定要弄清终止的条件，根据终止的条件确定各种可能结果，再计算相应概率
〔变式训练4〕
设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为2
3.若他连续两发命
中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．
(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．
[解析] 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝1
3
，k ＝1,2,3,4,5， (1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为 P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝23×13＋13×23＝49
. 解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23
×13＝49
. (2)X 的所有可能值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1
A 2)
＝23×23＋13×13＝59
，
P (X ＝3)＝P (A 1A
2
A 3)＋P (A 1A 2A 3)
＝23×(13)2＋13×(23)2＝29
， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3
A 4)
＝(23)3×13＋(13)3×23＝1081
， P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4) ＝(23)2×(13)2＋(13)2×(23)2＝881. 故X 的分布列为
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚
的事。每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。加油！！
高中数学第二章概率5第2课时离散型随机变量的方差学案北师大版选修
第2离散型随机变量的方差 学习目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题． 知识点离散型随机变量的方差 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为 X 01 2 P 6 10 1 10 3 10 Y 01 2 P 5 10 3 10 2 10 思考1试求EX，EY. 思考2能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？ 思考3试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？ 梳理(1)离散型随机变量的方差的含义 设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________． (2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系 方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周
围． (3)参数为n，p的二项分布的方差 当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)． 类型一求离散型随机变量的方差 命题角度1已知分布列求方差 例1已知X的分布列如下： X －10 1 P 1 2 1 4 a (1)求X2 (2)计算X的方差； (3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX. 跟踪训练1已知η的分布列为 η010205060 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 (1)求方差； (2)设Y＝2η－Eη，求DY.
高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案
2.32离散型随机变量的方差 学习目标 1、理解各种分布的方差 2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题 自主学习：课本 1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ???321,,这些值对应的概率是n p p p p ???,,,321则________________________________________________________叫做这个 离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差 2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________. 3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =. 4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =. 5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测 1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 2.设掷1颗骰子的点数为X ,则( ) A. 2() 3.5,() 3.5E X D X == B. 35() 3.5,()12 E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X == 3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( ) A. 0.2 B. 0.196 C.0.8 D.0.812 4. 已知随机变量X 的分布列为
2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教A版选修2-3.doc
2019-2020学年高中数学 2.3.1离散型随机变量的期望学案 新人教 A 版选修2-3 【教学目标】 1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望． ⒉理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξ～Β(n ，p)，则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】 教学重点：离散型随机变量的期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】 一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离 散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…， ξ取每一个值xi （i=1，2，…）的概率为 ()i i P x p ξ==，则称表 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi ≥0，i ＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1． 7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是 k n k k n n q p C k P -==)(ξ， （k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）． 于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P n n q p C 00 1 11-n n q p C … k n k k n q p C - … q p C n n n 称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝
52.3.2离散型随机变量的方差导学案(选修2-3)
§2.3.2离散型随机变量的方差导学案 高二数学组 一、教学目标 1、通过实例，理解离散型随机变量的方差； 2、能计算简单离散型随机变量的方差。 重点：离散型随机变量的方差的概念 难点：根据离散型随机变量的分布列求出方差 二、自学引入： 问题1：某射手在10次射击中所得环数为：10，9，8，10，8，10，10，10，8，9. 求这名射手所得环数的方差。 问题2：某射手在一次射击中所得环数 能否根据分布列求出这名射手所得环数的方差？ 引入概念： （1）方差的概念：设一个离散型随机变量X所有可能取得值是x1，x2，…，x n；这些值对应的概率为p1，p2，…，p n，则 D（X）= ， 叫做这个离散型随机变量X的方差。 离散型随机变量的方差反映了离散型随机变量的取值。 （2）D（X）的叫做随机变量X的标准差。 三、问题探究： （1）若随机变量X服从参数为p的二点分布，则D（X）= （）。 （2）若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则D（X）= （）。 四、典例解析： 例1 甲、乙两射手在同样条件下进行射击，成绩的分布列如下： 射手甲： 射手乙： 谁的射击水平比较稳定。 变式训练设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求D（X）
例2 已知某离散型随机变量X 服从下面的二项分布： k k k C k X P -==449.01.0)( (k=0,1,2,3,4). 求E （X ）和D （X ）。 变式训练 一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为 0.02。设发病的牛的头数为X ，求E （X ）和D （X ）。 五、小结： 六、作业：课后练习A 、B 。 §2.3. 2离散型随机变量的方差当堂检测 高二数学组 1、已知()~,,8, 1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是（ ） A ．1000.08和； B ．200.4和； C ．100.2和； D ．100.8和 2、设投掷1颗骰子的点数为ξ，则（ ） A.E ξ=3.5，D ξ=3.52 B.E ξ=3.5，D ξ=12 35 C.E ξ=3.5，D ξ=3.5 D.E ξ=3.5，D ξ= 16 35 3、有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求E （X ），D （X ） 4、A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示： A 机床 B 机床 问哪一台机床加工质量较好
《离散型随机变量的概念》教学设计
离散型随机变量的概念》教学设计 一、教材分析 《离散型随机变量的概念》是人教 A 版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3》第二章随机变量及其分布的第一节离散型随机变量及其分布列的第一课时。本章是在必修三中学习了基本的概率统计知识的基础上，进一步学习随机变量及其分布的知识。本节内容一方面承接了必修三的知识；另一方面，掌握好这一节课将有助于后续的学习，因此它在知识体系上起着承上启下的作用。随机变量是连接随机现象和实数空间的一座桥梁，从而使得更多的数学工具有了用武之地。离散型随机变量是最简单的随机变量。本节课主要通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法。 二、学情分析 学生在必修 3 概率一章中学习过的随机试验、随机事件、简单的概率模型和必修1 中学习过的变量、函数、映射等知识是学习、领悟和“接纳”随机变量概念的重要知识基础，教学时应充分注意这一教学条件；另外，为更好地形成随机变量和离散型随机变量两个概念，教学中可借助媒体列举和展现丰富的实例和问题，以留给学生更多的时间思考和概括。 三、教学策略分析 学生是教学的主体，本节课要给学生提供各种参与机会。本课以情境为载体，以学生为主体，以问题为手段，激发学生观察思考、猜想探究的兴趣。注重引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，培养学生分析问题、 解决问题的能力
四、目标分析 1知识与技能目标：理解随机变量和离散型随机变量的概念，能够运用随机变量表示随机事件，学会恰当的定义随机变量； 2、过程与方法目标：在教学过程中，以不同的实际问题为导向，弓I导学生分析问题的特点，归纳问题的共性，提高理解分析能力和抽象概括能力； 3、情感与态度目标：通过列举生活中的实例，提高学生学习数学的积极性, 使学生进一步感受到数学与生活的零距离，增强数学应用意识。 五、教学重点与难点 教学重点：随机变量、离散型随机变量概念的理解及随机变量的实际应用；教学难点：对随机变量概念的透彻理解及对引入随机变量目的的认识。 六、教学过程设计：
2019-2020学年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案新人教版选修2-3.doc
2019-2020学年高中数学 2.1.2离散型随机变量的分布列导学案新人教版选修 2-3 【学习目标】 1、理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念； 2、会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列。 【重点难点】 重点：求离散型随机变量的分布列 难点：超几何分布。 【预习指导】复习概率相关内容 E x1：下面给出了三个随机变量： 某传呼台1分钟内接到的呼叫次数；(2)某森林树木的高度在（0，50）这一范围内变化，测的某一树木的高度；(3)某人射击一次集中的环数. 其中是随机变量的个数是 ( ) A.0 B.1 C. 2 D . 3 E x2:下列变量中，不是随机变量的是 ( ) A.投掷一次硬币，正面朝上的次数 B.投掷一枚硬币100次，正面朝上的次数的频率 C. 某人某月的电话费 D.投掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的次数 【合作探究】阅读书本p46—48页，回答以下问题： 1、离散型随机变量的分布列： （1）如果随机试验的结果可以用一个 来表示，那么这样的变量叫做 ；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做 。 （2）设离散型随机变量ξ可能取的值为 ξ,,,,21n x x x 取每一个值),,2,1(n i x i = 的概率()i i p x P ==ξ，则称表 为随机变量ξ的概率分布列，具有性质： ①i p 0，n i ,,2,1 =；②n i p p p p +++++ 21= 。 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。 2、如果随机变量X 的分布列为 其中,1,10p q p -=<<则称离散型随机变量X 服从 并称参数p 为 。 3、超几何分布列 在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中含有X 件次品数，则事件{}k X =发生的概 率为：==)(k X P （m k ,,2,1,0 =），其中{}n M m ,min =，且*,,,,N N M n N M N n ∈≤≤，则称分布列
常用离散型和连续型随机变量
常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者 无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概 率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分 布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函 数或者密度函数。
[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间 断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随 机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何 给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间 取值的概率与区间端点无关，即：
江苏省宿迁市高中数学第2章概率第8课时离散型随机变量的均值导学案无答案苏教版选修
离散型随机变量的均值 【教学目标】 理解离散型随机变量的均值公式的意义，熟练进行均值的计算． 【问题情境】 甲乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，已知12,X X 的概率分布如下表所示，那么甲、乙两人谁的次品（不合格品）率高一些？ 【合作探究】 问题1. 如何刻画上述两个离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？ 问题2. 回顾数学3（必修）“统计”中的内容，如何计算样本的平均值？ 1．离散型随机变量的均值 若离散型随机变量X 的概率分布如下表，则称 为离散型随机变量的均值或数学期望，记为()E X 或μ，即()E X μ== ． 问题3中1()E X = 2()E X = 比较后的结论是：
【合作探究】 例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有10个红球、20个白球，这些球除颜色外完全相同，某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望． 例2．从批量较大的成品中随机抽取10件产品进行质量检查，若这批产品不合格率为0.05， E X． 随机变量X表示这10件产品的不合格品数，求随机变量的数学期望() 例3．某保险公司吸收10000人参加人身意外保险，规定：每人每年付给公司120元，若意
外死亡，公司将赔偿10000元．如果已知每人每年意外死亡的概率是0.006，求保险公司的期望收入． 【学以致用】 1．若随机变量X 的分布如右表，则X 的数学期望是 ． 2．一个袋子中装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同 时取出2个球，则其中含有红球个数的数学期望是 ． 3．设随机变量X 的概率分布如下表，则()E X = ． 4．.假定1500件产品中有100 件不合格品，从中抽取15件进行检查，其中不合格品件数为 X ，求X 的数学期望． 5．某商家有一台电话交换机，其中有5个分机专供与顾客通话，每个分机在1小时平均占线20分钟，并且各个分机是否占线是相互独立的，求任一时刻占线的分机数目X 的数学期望．
高中数学选修2-3离散型随机变量导学案
2.1.1离散型随机变量 【学习要求】 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义． 2．了解随机变量与函数的区别与联系． 【学法指导】 引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广. 【知识要点】 1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验． 2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量． 3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量. 【问题探究】 探究点一随机变量的概念 问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 问题2随机变量和函数有类似的地方吗？ 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． （1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量； （2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； （3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数； （4）体积为1 000 cm3的球的半径长． 小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值． 跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． （1）某人射击一次命中的环数； （2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； （3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值； （4）某个人的属相． 探究点二离散型随机变量的判定 问题1什么是离散型随机变量？ 问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？ 例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ； ③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④ 小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出． 跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． （1）白炽灯的寿命ξ； （2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； （3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ； （4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数． 探究点三离散型随机变量的应用 例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． （2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？ 小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． 跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η. （2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ. （3）离开天安门的距离η. （4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ. 【当堂检测】 1．下列变量中，不是随机变量的是() A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是() A．取到产品的件数B．取到正品的概率 C．取到次品的件数D．取到次品的概率 3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________． 【课堂小结】 1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．
高中数学选修2-3 离散型随机变量导学案加课后作业及答案
§2.1.1 离散型随机变量 【学习要求】 1．理解随机变量及离散型随机变量的含义． 2．了解随机变量与函数的区别与联系． 【学法指导】 引进随机变量的概念，就可以用数字描述随机现象，建立连接数和随机现象的桥梁，通过随机变量和函数类比，可以更好地理解随机变量的定义，随机变量是函数概念的推广. 【知识要点】 1．随机试验：一般地，一个试验如果满足下列条件： （1）试验可以在相同的情形下重复进行； （2）试验所有可能的结果是明确的，并且不只一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个．这种试验就是一个随机试验． 2．随机变量：在随机试验中，随着变化而变化的变量称为随机变量． 3．离散型随机变量：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量. 【问题探究】 探究点一随机变量的概念 问题1掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ 问题2随机变量和函数有类似的地方吗？ 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． （1）上海国际机场候机室中2013年10月1日的旅客数量； （2）2013年某天济南至北京的D36次列车到北京站的时间； （3）2013年某天收看齐鲁电视台《拉呱》节目的人数； （4）体积为1 000 cm3的球的半径长． 小结随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能的值，而不知道究竟是哪一个值． 跟踪训练1指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． （1）某人射击一次命中的环数； （2）任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数； （3）投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值； （4）某个人的属相． 探究点二离散型随机变量的判定 问题1什么是离散型随机变量？ 问题2非离散型随机变量和离散型随机变量有什么区别？ 例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ； ③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是() A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④小结该题主要考查离散型随机变量的定义，判断时要紧扣定义，看是否能一一列出． 跟踪训练2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由． （1）白炽灯的寿命ξ； （2）某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ； （3）江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ； （4）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数． 探究点三离散型随机变量的应用 例3（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ.写出随机变量ξ可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． （2）抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ>4”表示的试验结果是什么？ 小结解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． 跟踪训练3下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果． （1）盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ，所含红粉笔的支数η. （2）从4张已编有1～4的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和ξ. （3）离开天安门的距离η. （4）袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数ξ. 【当堂检测】 1．下列变量中，不是随机变量的是() A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度 C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是() A．取到产品的件数B．取到正品的概率 C．取到次品的件数D．取到次品的概率 3．抛掷2枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么“ξ＝4”表示的随机试验的结果是() A．2枚都是4点B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________． 【课堂小结】 1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件． 2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：
2020届二轮复习 离散型随机变量 学案(全国通用)
离散型随机变量 学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系. 知识点一随机变量 思考1抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？ 答案可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上. 思考2在一块地里种10棵树苗，棵数为x，则x可取哪些数字？ 答案x＝0,1,2,3， (10) (1)定义 在随机试验中，可以确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，数字随试验结果的变化而变化，像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. (2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η…表示. 知识点二随机变量与函数的关系 思考随机变量和函数有类似的地方吗？ 答案随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，函数把实数映为实数.试验结果相当于函数的自变量，随机变量相当于函数的函数值，随机变量可以看作函数概念的推广. 知识点三离散型随机变量 1.定义：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. 2.特征： (1)可用数值表示. (2)试验之前可以判断其出现的所有值. (3)在试验之前不能确定取何值.
(4)试验结果能一一列出. 类型一随机变量的概念 例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由. (1)某机场一年中每天运送乘客的数量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数. (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数. (4)明年某天济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间. 解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量. (4)济南一青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量. 反思与感悟随机变量的辨析方法 1.随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同. 2.随机试验的结果的确定性.即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量. 跟踪训练1下列变量中，不是随机变量的是() A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准状态下，水沸腾时的温度 C.抛掷两枚骰子，所得点数之和 D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 答案 B 解析B中求沸腾时的温度是一个确定的值. 类型二离散型随机变量的判定
2[1].1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1
§2.1.2离散型随机变量的分布列 预习案 一、教学目标 1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列； 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题． 3. 理解二点分布的意义. 二、预习自测： 问题一： （1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数有几种情况？ （2）姚明罚球2次有可能得到的分数有几种情况？ （3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？ 思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一种情况吗？随机变量是如何定义的？ 问题二： 按照我们的定义，所谓的随机变量，就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系。那么，随机变量与函数有类似的地方吗？ 问题三： 下列试验的结果能否用离散型随机变量表示？为什么？ （1）已知在从汕头到广州的铁道线上，每隔50米有一个电线铁站，这些电线铁站的编号； （2）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差； （3）某城市1天之内的温度； （4）某车站1小时内旅客流动的人数； （5）连续不断地投篮，第一次投中需要的投篮次数. （6）在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的等级。
导学案 重点：离散型随机变量的分布列的意义及基本性质. 难点：分布列的求法和性质的应用. 1．离散型随机变量 随着试验结果的变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X 、Y 表示。 如果对于随机变量可能取到的值，可以按 一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量。 2．离散型随机变量的分布列 （1）设离散型随机变量X 可能取的值为12,,,,i x x x ，X 取每一个值(1,2,)i x i = 的概率 ()i i P X x p ==，则表 称为随机变量X 的概率分布，简称X 的分布列。 离散型随机变量的概率分布还可以用条形图表示， 如图所示。 离散型随机变量的分布列具有以下两个性质：① ； ② 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的 。 （2）二点分布:像这样的分布列叫做两点分布列。如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称(1)p P X ==为 。 （1）0,(1,2,)i p i ≥= ，概率之和为121i p p p ++++= 。 三、典例解析： 例1在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X ?=??，针尖向上； ，针尖向下. 如果针尖向上的概率为p ， 试写出随机变量X 的概率分布。
离散型随机变量的方差()
离散型随机变量的方差（一） 白河一中 邓启超 教学目标： 1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程与方法：会利用离散型随机变量的均值（期望）和方差对所给信息进行整合和分析，得出相应结论。 3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入： 1..数学期望 则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，也称为随机变量的均值。 3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 4、常见特殊分布的变量的均值（期望） （1）如果随机变量X 服从二项分布（包括两点分布），即X ～ B （n,p ），则 E ξ=np （2）如果随机变量X 服从超几何分布，即X ～H （N ，M ，n ）,则 E ξ= N M n （二）、讲解新课： 1、(探究1):A ，B 两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差”分别为X ，Y （单位： S ），X A 型手表 B 型手表 np EX =
问题：（1）分别计算X,Y 的均值，并进行比较； （2）这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同 分析：ＥＸ＝ＥＹ，也就是说这两种表的平均日走时误差都是０. 因此，仅仅根据平均误差，不能判断出哪一种品牌的表更好。 进一步观察，发现Ａ品牌表的误差只有01.0±而Ｂ品牌的误差为±0.05 结论：Ａ品牌的表要好一些。 探究（2）：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列 2 8 9 10 0.4 0.2 0.4 分析： 甲和乙射击环数均值相等，甲的极差为2，乙的极差也为2，该如何比较？ 思考：怎样定量刻画随机变量的取值与其均值的偏离程度呢？ 样本方差： 类似的，随机变量X 的方差： 222221)(......)......()()(EX X EX X EX X EX X DX n i -+-+-+-= =2)(EX X E i - 思考：离散型随机变量的期望、方差与样本的期望、方差的区别和联系是什 9 ,921==EX EX ? ? ????-++-+-=---2 n 22212)x (x )x (x )x (x n 1s ...n 1)x (x n 1)x (x n 1)x (x s 2n 22212? -++?-+?-=---...
人教A版选修2-3 第二章2.1.1离散型随机变量 学案
2．1.1 离散型随机变量 知识点随机变量 (1)定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个□01确定的数字表示．在这个对应关系下，□02数字随着□03试验结果的变化而变化．像这种随着□04试验结果变化而变化的变量称为随机变量． (2)表示：随机变量常用字母□05X，Y，ξ，η表示． 知识点随机变量与函数的关系 相同点随机变量和函数都是一种映射 随机变量是随机试验的结果到□01实数的映射，函数是□02实数到□03实区别 数的映射 随机试验结果的范围相当于函数的□04定义域，随机变量的取值范围相联系 当于函数的□05值域 知识点离散型随机变量 所有取值可以□01一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 随机试验的特点 (1)试验的所有结果可以用一个数来表示； (2)每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前，却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．判断一个变量是否为离散型随机变量，首先看它是不是随机变量，其次看可能取值是否能一一列出，也就是说变量的取值若是有限的，或者是可以列举出来的，就可以视为离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的取值是任意的实数．( ) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．( ) (3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．( ) 答案(1)×(2)√(3)× 2．做一做 (1)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为1 2 ，记甲击中目标的次数为ξ，则 ξ的可能取值为________． (2)同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________． (3)在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件取到次品就停止，抽取次数为X，则X＝3表示的试验是________． 答案(1)0,1,2,3 (2){0,1,2,3,4,5} (3)共抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品 解析(1)甲可能3次全击中，也可能一次未中，中1次，2次，所以ξ的取值为0,1,2,3. (2)当硬币全部为正面向上时，ξ＝0，硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个． (3)由随机试验可知X＝3表示抽取3次，前两次均是正品，第3次是次品． 探究1 随机变量的概念 例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数． (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数． (4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间． [解] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量． (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量． (3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
《离散型随机变量》教案
高一数学必修2-3 2.1--01 《2．1．1离散型随机变量》导学案 编撰崔先湖姓名班级组名. 【学习目标】1.理解随机变量地意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量 地例子； 3.理解随机变量所表示试验结果地含义，并恰当地定义随机变量. 【学习重点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量地意义 【学习难点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量地意义 【学法指导】自主与讨论相结合 【导学过程】 一教材导读 思考1：掷一枚骰子，出现地点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币地结果是否也可以用数字来表示呢？ 在掷骰子和掷硬币地随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定地数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果地变化而变化． 定义1：称为随机变量．随机变量常用字母…表示． 思考2：随机变量和函数有类似地地方吗？ 随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验地映为，函数把映为．在这两种映射之间，试验结果地范围相当于函数地，随机变量地取值范围相当于函数地．我们把随机变量地取值范围叫做随机变量地．例如，在含有10件次品地100 件产品中，任意抽取4件，可能含有地次品件数X 将随着抽取结果地变化而变化，是一个随机变量，其值域是｛0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品”, {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出3 件以上次品”又如何用X 表示呢？ 定义2：，称为离散型随机变量. 离散型随机变量地例子很多．例如某人射击一次可能命中地环数X 是一个离散型随机变量，它地所有可能取值为；某网页在24小时内被浏览地次数Y也是一个离散型随机变量，它地所有可能取值为.jLBHrnAILg 思考3：电灯地寿命X是离散型随机变量吗？ 连续型随机变量: 对于随机变量可能取地值，可以取某一区间内地一切值，这样地变量就叫做连续型随机变 4.离散型随机变量与连续型随机变量地区别与联系: 注意：（1）有些随机试验地结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上xHAQX74J0X （2）若ξ是随机变量，b a b a, , + =ξ η是常数，则η也是随机变量 二、题型导航 题型一、随机变量概念地辨析 【例1】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量地是：（） (A)两次出现地点数之和；(B)两次掷出地最大点数；(C)第一次减去第二次地点数差；(D)抛掷地次数. 变式1（1）洪湖车站每天候车室候车地人数X，（2）张三每天走路地步数Y，（3）下落地篮球离地面地距离Z，（4）每天停靠洪湖港地船地数量S.不是离散型随机变量地是LDAYtRyKfE 解题总结 题型二、随机变量地值域 【例2】写出下列随机变量可能取地值，并说明随机变量所取地值表示地随机试验地结果 (1)一袋中装有5只同样大小地白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出地球地最大号码数ξ； (2)某单位地某部电话在单位时间内收到地呼叫次数η 变式2写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到地点数.（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球地个数.（3）抛掷两枚骰子得到地点数之和.（4）某项试验地成功率为0.001，在n次试验中成功地次数.（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手地射击次数X地可能取值解题总结 题型三有关随机变量地不等式 【例3】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出地点数与第二枚骰子掷出地点数地和为ξ，试问：（1）“ξ< 4”表示地试验结果是什么？ （2）“ξ> 11”表示地试验结果是什么？ 变式3 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出地点数与第二枚骰子掷出地点数地差为ξ，试问：“ξ> 4”表示地试验结果是什么？
苏教版数学高二导学案 离散型随机变量(选修2-3)
课题：§2.1.1离散型随机变量 【三维目标】 知识与技能：1.理解随机变量的意义； 2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子； 3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量. 过程与方法：通过实例,理解随机变量与离散性随机变量的含义 情感态度与价值观：通过学习，体会用数学工具研究随机现象的意义，体会数学的应用价值【学习重点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义 【学习难点】对随机变量含义的理解. 【学法指导】认真阅读本章的篇头语与本节课的教材，按要求完成导学案 【知识链接】 1、什么是随机事件？什么是基本事件？ 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。 2、什么是随机试验？ 凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。 如果试验具有下述特点： 试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，它被称为一个随机试验，简称试验。例如 1、某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可以用数字表示； 2、某次产品检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由数字表示 在上面例子中，随机试验有下列特点: ①试验的所有可能结果可以用一个数来表示； ②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果． 【学习过程】 A问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？ B问题2：试归纳随机变量的概念？随机变量常用什么表示？ C问题3：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量的值域是什么？ B问题4：一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取个4球，其中所含红球的个数X是一个随机变量，写出随机变量的值域
