固体能带理论
能带理论
能带理论能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。
固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。
为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。
能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。
具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。
前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。
能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。
每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。
为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。
能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。
致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。
从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。
禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。
原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。
被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。
价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电子能级相对应的能带称为价带。
简述固体的能带理论
简述固体的能带理论晶体中电子所能具有的能量范围，往往形象地用能带理论表示。
各种晶体能带数目及其宽度等都不相同。
相邻两能带间的能量范围称为“带隙”或“禁带”。
完全被电子占据的能带称“满带”。
满带中的电子不会导电；完全末被占据的称“空带”；部分被占据的称“导带”。
导带中的电子能够导电；价电子所占据的能带称“价带”。
能带理论可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。
一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“带隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电。
而绝缘材料则因为能隙很大，电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1 至3 电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其带隙之间距，此材料就能导电。
;晶体中电子所能具有的能量范围，往往形象地用能带理论表示。
各种晶体能带数目及其宽度等都不相同。
相邻两能带间的能量范围称为“带隙”或“禁带”。
完全被电子占据的能带称“满带”。
满带中的电子不会导电；完全末被占据的称“空带”；部分被占据的称“导带”。
导带中的电子能够导电；价电子所占据的能带称“价带”。
能带理论可以解释固体中导体、半导体、绝缘体三大类区别的由来。
一般常见的金属材料，因为其传导带与价带之间的“带隙”非常小，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电。
而绝缘材料则因为能隙很大，电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。
一般半导体材料的能隙约为1 至3 电子伏特，介于导体和绝缘体之间。
因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其带隙之间距，此材料就能导电。
固体物理_第4章_能带理论
ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。
固体物理6-2 能带理论
波矢群中的对称操作 4z，mx，my，σ1，σ2 2z， mx，my 4z，mx，my，σ1，σ2 my
σ2
mx
简单立方晶格Oh (m3m)点群：
特殊位置 Γ点 R S ΔT X Γ Z Σ M Λ X点 M点 R点 Δ轴 Z轴 Σ轴 S轴 T轴 Λ轴 k (0, 0, 0) (π/a, 0, 0) (π/a, π/a, 0) (π/a, π/a, π/a) (k, 0, 0) (π/a, k, 0) (k, k, 0) (π/a, k, k) (π/a, π/a, k) (k, k, k) β群 Oh (m3m) D4h (4/mmm) D4h (4/mmm) Oh (m3m) C4V (4mm) C2V (mm2) C2V (mm2) C2V (mm2) C4V (4mm) C3V (3m)
T (α )ψ n ,k ( r ) = T (α ) eikr un ,k ( r )
=e
ik α 1r
un ,k (α 1r )
′ = eiα kr un ,α k ( r ) = ψ n ,α k ( r )
un ,k (α 1r ) 仍以格矢Rl为周期， 由于
可以改写为 由于α是正交变换，
∴ k α 1r = α k r
V = 2 3 8π
∫∫
等能面
dSdk⊥
dE = k E dk⊥
dZ V ∴N (E) = = 3 dE 4π
2. 近自由电子的能态密度 对于自由电子：
∫∫
dS k E
h2k 2 E (0) ( k ) = 2m
的球面
2mE 能量为E的等能面是半径为 k = h2
在球面上
dE h 2 k E = = k dk m
固体能带理论
固体能带理论（学号：1120120332 姓名：马英 ）摘要：固体能带理论是凝聚态物理学的重要组成部分，在密度泛函理论基础上，对固体能带理论70年来的发展作简单的论述和分析，并阐述固体能带计算各种方法的物理原理及共典型应用。
关键词：固体、半导体、金属、单电子、准粒子、离子、晶体、应力一、自由电子模型在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均势场索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量 2.电子发射3.电子气的顺磁与逆磁效应 二、3个重要近似和周期性势场 绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。
所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。
单电子近似：：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。
又称hartree-Fock 自洽场近似。
周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的。
周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数）。
3. Bloch 波（1）Bloch 定理：在周期性势场中运动的电子，气波函数由如形式 ：其中u 具有晶格的周期性，即（2）Bloch 波的性质a.波函数不具有晶体周期性，而（k 为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性b.当k 为虚数，描写电子的表面态，k ＝is(s>0)(S 小于0时无意义.)c. 周期边界条件：)()(r u e r rk i⋅=ϕ)()(332211a n a n a n r u r u+++=)()(x u e x ika=ϕ222|)(||)(||)(|x u a x x =+=ϕϕ)()(x u e x sx-=ϕ)()(x Na x ϕϕ=+)()(ˆ)(x e x TNa x ikNaϕϕϕ==+)()(a x x n K k k +=+ϕϕd. 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch 波等效.因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N 可容纳的电子数为2N.三、单电子近似下电子的能量状态. 电子满足的薛定谔方程：在克龙尼克—潘纳模型下：周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界. 关于能带的讨论：1.在原理布区边界的区域内， 电子的能量可粗略的视为自由电子的能量.2.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽度为：3.在同一能带中，能量最大的地方称为带顶，能量最小的地方称为带底，能量最大值与最小值之差称为能带宽度.带底附近能量曲线是一开口向上的小抛物线，带顶附近，能量曲线是一开口向下的小抛物线.4.能量是k 的周期函数，周期为倒格子矢量.5.能量曲线的三种表示方法:（1）第一布区图 （2）扩展区图 （3）周期区图6.E 为k 的多值函数，以视区别 表示第s 个能带的能量，而k 表示在第一布区中取值. 7.每个能带可容纳2N 个电子，第一布区分立k 的数目为N. 考虑自旋2N.)()()()()())(2(22x u e x V na x V x E x x V m ikx ==+=+∇-ψψψ其中： a -b -0c a 0V cb a +=禁带a πa π232V 22V 12V m k E 222 =|2|g l l V E =禁带a πa π232V 22V 12V )(k E s ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=N Na a ππ22四、费米面的构造费米面是电子的占据态与非占据态之间的分界面.晶体（特别是导体）的许多性质决定于费米面附近电子的行为.因此费米面的形状十分重要。
固体能带论
求和遍取所有允许的倒格矢
(k G , x )＝ C ( K G Gn )e
' n ' n Gn
' i ( K Gn Gn ) x
令G‘n －Gn=Gn’’,则
＝ C ( K G )e
'' n G ''n
'' i ( K Gn ) x
(k , x )
（∵ 求和也是遍取所有允许的 倒格矢） 即相差任意倒格矢的状态等价。
价电子共有化 （Na晶体中的势能曲线和电子云）
与这种共有化的运动状态相对应，电子的能 谱由孤立原子的能级分裂成晶体中的能带。这时 电子不属于某一个原子而是在晶体中做共有化运 动，分裂的每一个能带都称为允带，允带之间有 禁带。
因此原子之间靠近而产生的相互作
用使原子能级的简并消除，是固体中 出现能带的关键。
Байду номын сангаас
V (r ) V (r Rn )
V (r n1a1 n2 a2 n2 a2 )
（一）布洛赫定理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期性 进行的调幅平面波. 即（以一维为例） （k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
u( K , x na)
于是布洛赫定理得证。
（三）布洛赫定理的一些重要推论
1、K态和K＋Gh态是相同的状态，这就是说： （A）（K＋Gh,r）＝ （K，r） （B）E（K＋Gh）＝E(K)
下面分别证明之。 i ( K Gn )x ∵ （k ,x） ＝ C( K Gn )e
Gn
问题的关键：V(r)＝？
简述固体能带理论
简述固体能带理论固体能带理论是一种物理学理论，可以用来描述电子在固体中的运动。
它可以解释电子在微观尺度下的能量状态，以及描述不同能量状态下的电子的特性和行为。
能带理论的研究为众多先进的电子学应用提供了基础，并在发展现代半导体技术中发挥着至关重要的作用。
能带理论可以用来描述电子在固体中的能量分布。
它认为，一个固体中存在着一系列能量状态，电子可以跳跃从一个能量状态到另一个能量状态。
因此，电子只能在这些能量状态内移动，而不能跨越这些能量状态。
能带理论还提供了一种电子运动的机制，这种机制可以解释为何电子受到外部作用时会在电子带中运动。
此外，能带理论还可以用来描述固体中不同能量状态下的电子特性和行为。
比如，能带理论可以解释为什么具有较高能量状态的电子会被电场吸引，而具有较低能量状态的电子会被电场排斥。
它还可以解释为什么某些电子受到外部作用时会排斥，而另一些电子却受到吸引，这是因为他们具有不同的能量状态。
能带理论也为众多先进的电子学应用提供了基础，例如电子管和半导体技术。
能带理论的理解对于探究元件的电子行为和功能十分重要，因而它一直是半导体技术发展的基础性质。
其实，固体能带理论只是电子能带理论的一个应用，电子能带理论还可以用来描述大量现实世界中的现象，比如晶体结构，材料性质，光学现象等。
因此，能带理论为物理学、化学和材料科学等研究提供了非常有用的理论框架。
总之，固体能带理论是一种物理学理论，可以用来描述电子在固体中的能量分布和运动，并解释不同能量状态下的电子的特性和行为，它可以为众多先进的电子学应用提供基础，是发展现代半导体技术的基础性质。
它还可以用来描述现实世界中的多种现象，为物理学、化学和材料科学等提供有用的理论框架。
固体物理(第14课)能带理论
根据布洛定理，有 k ( r Rn ) e e e 因而有：
k (r)
e uk ( r ) uk ( r )
i k Rn i k r i k ( Rn r )
uk ( r Rn ) uk ( r )
i k r
上式表明，在周期场中 运动的单电子，其能量 本征函数
l1、l2、l3 Z
为了确定本征值，引入玻恩-卡门边界条件
( r ) ( r N1a1 ), ( r ) ( r N 2a2 ), ( r ) ( r N 3a3 ),
N1
N N1 N 2 N 3
( r N1a1 ) T1 ( r ) 1 ( r ),
(r) u(r) eikr
比较
势场为0
正离子
周期势场 正离子
电子波函数
周期性势场
势场中电子的波函数
6.1.1 布洛赫定理的证明
平移对称性
晶体势场的周期性是晶格平移对称性的反映，即晶格 在平移对称操作下是不变的。 T(Rn)平移算符表示使r到r+Rn的平移操作相当的算符。 其意义是使T(Rn)作用在任意函数f(r)上产生新的函数 f(Rn+r)。 T(Rn) f(r)= f(Rn+r) 晶体中的平移算符共有N1×N2×N3种 平移算符彼此对易，即：
k ( r N1a1 N 2a2 N 3a3 ) eik( N a N a N a ) k ( r ) 因此有：N1a1 N 2a2 N 3a3 2 n
1 1 2 2 3 3
l1 l2 l3 而此仅当 k b1 b2 b3 N1 N2 N3 时才能满足。
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以 l = 0 ，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：
满带中的电子运动 不产生电流
导带中的电子运动 可以形成电流
电子运动,分布不变
电子运动 ,分布变化
1. 导体的能带结构 1)价带为导带
价带
带进入空带时，绝缘体击穿，
原空带
导带
3. 半导体
价带为满带，与空 带间的禁带较窄。
空带
E=0.1~1.5eV
价带
1) 本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空
带成为导带，满带中留下空穴。
空带
E
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
P-N 结的单向导电性
第六篇 多粒子体系的热运动
前言
20世纪以前，人们主要研究了三类自然现象：经典 力学研究的机械运动现象；由电磁场理论研究的电 磁运动现象和由热学研究的热运动(热现象)。
热现象
与人的冷热感觉有关的现象 ？？？
与温度有关的现象
有没实有证实性证 性
3) 价带为导带，又与空带部分重叠
例： Na 1s22s22p63s1
每个原子一个价电子，3s 能带形成导带，又与空带 重叠，形成更宽导带。
空带 价带
空带 价带
2. 绝缘体的能带结构
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般：从满带到空带激发微不 空带 足道，可以认为不存在导带。
E=1.5~10eV 当外来激发使较多电子越过禁
杂质能级 价带(满)
以空穴导电为主
掺杂半导体——N型半导体， P型半导体
空导带带
Ei =0.05 eV
空带
禁带宽1.10 eV
施主能级
价带
受主能级
满导带带
电子浓度约为 2.5 ×1016/ cm3
满带电子被激发跃 迁，形成空穴。
4) P-N结及其单向导电性 •P-N结的形成及其对扩散的阻挡作用
能量
能带被电子填满: 满带
能带未被电子填满： 导带 完全未被电子填充： 空带 (激发态能级) 价电子所处的能带—价带 可为满带
可为导带 4) 能量最小原理：电子总是先填满能量较低的能带。
T 0K, 无激发电子,原子所占
满
EF
据的最大能级叫做费米能级,满 能级与空能级的分界面叫做费
米面。
5) 不同能带有可能重叠
1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带 分开，原子数N变化时，能带宽度不变，密度变化。
2)能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约束程 度增加而减少。
E
能带
能带
N个子能级
禁带
能带 禁带 能带
禁带 能带
禁带 能带
E N个子能级 N个子能级
3)每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为： 2(2l+1)N
使其电子浓度增大。
空带
电子 —— 多数载流子
施主
杂质能级 —— 施主能级
杂质能级
以电子导电为主
价带(满)
3) P型半导体（四价元素中掺入三价元素）
硅、锗
硼、镓
缺少一个电子
+34
+3
杂质能级接近满带顶，满带中电子容易受激发进入杂 质能级，使满带中空穴浓度增大。
空带
空穴——多数载流子
受主
杂质能级——受主能级
磁量子数
ml
0,1,l 决定“轨道”角动量在外场
可取 2l1个值中的取向 Lz ml
自旋 磁量子数
ms
1 2
决定电子“自旋”角动量在 “自旋”
外场中的取向 Lsz ms
运动
多电子原子的电子分布遵循的基本原理 1) 泡利不相容原理 一个原子中不可能有两个或两个以上的电子具有完全
相同的量子态(相同的四个量子数n,l,ml,ms)
四、晶体的能带结构 1. 形成能带的原因
1)晶体中电子的状态 ——电子共有化
2) 泡利不相容原理 由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是 各原子中能量相同的能级分裂为N个与原来能级接 近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
E n, l, ml, ms
能带顶
N个
点
E
E
P -+ N
eV0
U
V0
电子 N P 扩散作用
空穴 P N
阻挡层电场方向 N P 形成阻挡层势垒
电子能带弯曲 ， 电势高处， 电势能低。
• P-N结的单向导电性
p -+ N
P
N
P: + 阻挡层减弱 势垒降低 N: - 多数载流子导电
P-+ N
P
N
P: - 阻挡层加强 势垒升高 N: + 少数载流子导电
例： Li 1s2 2s1
每个原子一个价电子（2s 态） N个原子共有N个价电子 N个 Li 原子形成固体时，2s 能级分裂为能带，有N 个子能级。可容纳2N个电子，成为未满带：导带
空带
价带
2) 价带为满带，与相邻空带紧密衔接或部分重叠
例： Mg 1s22s22p63s2
每个原子二个价电子，3s 能带形成满带，但与空带 重叠，形成较宽导带。
6) 晶体中有杂质或缺陷时，破坏了周期性结构， 禁带中可能出现杂质能级。
四、导体，绝缘体，半导体的能带特征
研究固体材料的目的之一是为了开发电子 器件，而许多电子器件都是在外加电磁场下 工作的。通过研究发现虽然所有的固体材料 都包含大量的电子，但有的固体具有良好的 导电性，有的固体基本上没有导电性。
作 原满带中电子填补空穴
用 满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电 下
“电子—空穴”对为载流子
外场作用下原满带中电子填补空穴 满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电
空穴导电示意
2) N型半导体（四价元素中掺入五价元素）
硅、锗
磷、砷
多出一个电子
+54
+5
杂质能级接近空带底，其上电子容易受激发进入空带，
能级 n 上只能容纳的电子数最多为 2n2 个。
2) 能量最小原理 正常情况下，原子中电子趋向于占有最低能级。
§17.3 固体能带理论基础
势能函数： 克勒尼希—彭尼模型
U
Uo
-d o c
x
总势能 U： 固定离子势场与其它电子平均场， 为周期性重复排列的势阱和势垒
解定态薛定谔方程得波函数 —— 布洛赫波函数 重要结论： 晶体中能级 —— 能带
同 学 们 好
上讲内容
原子中电子状态的四个量子数(n, l, ml, ms)
名称 符号 取 值
物理意义
对应的经 典模型
主量子数 n 1,2
决定电子能量的主要部分 n同称为同一壳层,如K,L,M “轨道”
0,1,….n-1
角量子数 l 可取n个值
决定电子“轨道”角动量 运动 |L| l(l1)
对电子能量有影响