湖南省长沙市高二数学 暑假作业23 数列综合问题 理 湘教版

作业23 数列综合问题
参考时量：60分钟 完成时间： 月 日 一、选择题
1. 三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为( D )
A ．b －a ＝c －b
B ．b 2
＝ac C ．.a ＝b ＝c D ．a ＝b ＝c ≠0 2.已知
A,B,C
三点共线，OB a a OC a n 122OA }{+=为等差数列，且，则
的值为11153a a a -+( C )
A. 1
B. -1
C. 21
D. 2
1
-
3. ΔABC 中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且A
B
b a cos cos =
，A 、B 、C 成等差数列，则角C=（ D ） A ．3
π
B ．
6
π
C ．
6
π
或
2
π
D ．
3
π
或
2
π
4.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11,n a S =是数列{}n a 的前
n 项的和，则
*216
()3
n n S n N a +∈+的最小值为 （ A ）
A ．4
B ．3 C
．2 D ．92
5..数列{}n a 满足6
(3)377
n n a n n a a
n ---≤⎧=⎨>⎩ ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围
是（D ） A ．9,34⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．
（1，3） D ．（2，3） 6. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12n
n S S S T n
++
+=
，称n T 为数列1a ，2a ，…，n
a 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，……，502a 的“理想数”为2012，那么数列2，1a ，2a ，…，
502a 的“理想数”为（ A ）
A ．2010
B ．2011
C ．2012
D ．2013 二、填空题
7.在数列{}n a 中，)N n (a a a ,a ,a n n n *∈-===++122151，则2014a 1- . 8.在公差为正数的等差数列}{n a 中，n S a a a a ,0,011101110<<+且是其前n 项和，则使n S 取最小值的n 是 【答案】10
9. 已知数列{}n a 满足111
1,14n n
a a a +==-,221n n
b a =-,则n b = n 2
10. 已知数列{}n a 满足：当(1)(1)(
,]22
k k k k n -+∈（,n *k N ∈）时，1
(1)k n a k +=-⋅，n S 是数列{}n a 的前n 项和，定义集合{|m n T n S =是n a 的整数倍，*
,n m N ∈，且1n m ≤≤}，
()card A 表示集合A 中元素的个数，则 15a = ， 15()card T = .
【答案】(1)5 （2）9
三、解答题
11.在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列. (1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++ 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:
22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+
2
2
41
12122125253404611n n d d d d d d d a n a n
==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨
=+=-⎩⎩或(Ⅱ)由(1)知,当0d
<时,11n a n =-,
①当111n ≤≤时,
123123(1011)(21)
0||||||||22
n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++=
=
②当12n ≤时,
1231231112132123111230||||||||()
11(2111)(21)21220
2()()2222
n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=
所以,综上所述:1232
(21)
,(111)2||||||||21220,(12)2
n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪
++++=⎨-+⎪≥⎪⎩
12.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将
其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. (1)用d 表示a 1,a 2,并写出1n a +与a n 的关系式；
（2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)。

解：(1)由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-,
2113
(150%)2a a d a d =+-=
-, 13
(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.
(2)由(Ⅰ)得13
2
n n a a d -=-
2233
()22n a d d -=-- 233
()22n a d d -=--
=
12213333()1()()222
2n n a d --⎡⎤
=-++++⎢⎥⎣⎦
. 整理得 1
13
3()
(3000)2()12
2n n n a d d --⎡⎤
=---⎢⎥⎣⎦
13
()(30003)22
n d d -=-+. 由题意,1
34000,()(30003)24000,2
n n a d d -=∴-+=
解得13()210001000(32)2332()12
n n n n n
n d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)
32n n n n
+--时,经过(3)m m ≥年企业的剩余资
金为4000元.
13.已知数列).2(2,2}{1121≥+===-+n a a a a a a n n n n 满足
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）当;3111:
,221<+++≥n
a a a n 求证时 （3）若函数))(()]([)1(,)1(:)(*
2
1N n n f n f n f a f x f ∈+=+=满足，求证：
∑
=<+n
k k f 1
.2
11)(1
解（1）∵ 112n n n a a a +-=+，∴112()(2)n n n n a a a a n +-+=+≥
∴1{}n n a a ++是以2为公比，124a a +=为首项的等比数列 故112n n n a a +++= ①
又由112n n n a a a +-=+得：112(2)(2)n n n n a a a a n +--=--≥ ∴1{2}n n a a +-是以－1为公比，2122a a -=-为首项的等比数列 故122(1)n n n a a +-=⋅- ②
①－②得：32[2(1)]n n n a =-- （n ≥2） 又a 1 = 2也适合上式 ∴所求通项为2[2(1)]3
n
n n a =
--
（2）解：当n 为偶数时，1
111111311322()2221212221
n n n n n n
n n n a a -----++=+=⋅+-⋅+- 111322311
()(2)222222
n n n n n n n ---+<⋅=+⋅≥
∴21211131113(1)3322222
n n n a a a +++<++++=-<
当n 为奇数时，2[2(1)]03n
n n a =
-->，∴10n a +>，又n + 1为偶数 ∴由（1）知，121211111111
3n n n a a a a a a a +++<++++<
（3）证：∵2(1)()[()]0f n f n f n +-=≥
∴(1)()f n f n +≥，由此得：(1)()(1)(1)20f n f n f n f +-=>≥≥≥
又
211111(1)()[()1]()()1
[()]()f n f n f n f n f n f n f n ===-++++
∴
111
()1()(1)
f n f n f n =-
++
故1
11111
11
[][][
]()1(1)(2)(2)(3)
()(1)
n k f k f f f f f n f n ==-+-+
+-++∑ 1111(1)(1)(1)2
f f n f =
-<=+。