数字信号4
数字信号处理 实验4_离散信号的频域分析
实验四离散信号的频域分析1. 计算序列的DTFT和DFT，观察栅栏效应设)()(4nRnx=，要求用MATLAB实现：（1）计算)(nx的傅里叶变换)(ωj eX，并绘出其幅度谱；（2）分别计算)(nx的4点DFT和8点DFT，绘出其幅度谱。
并说明它们和)(ωj eX的关系。
（提示：DFT变换可用MA TLAB提供的函数fft实现，也可以自己用C语言或matlab 编写）源程序：n1=4;n2=8;n=0:n1-1;k1=0:n1-1;k2=0:n2-1;w=2*pi*(0:2047)/2048;Xw=(1-exp(-j*4*w))./(1-exp(-j*w))xn=[(n>=0)&(n<4)];X1k=fft(xn,n1);X2k=fft(xn,n2);subplot(3,1,1)plot(w/pi,abs(Xw));title('x(n)的傅里叶变换的幅度谱')subplot(3,1,2)stem(k1,abs(X1k))title('4点的DFT[x(n)]=X1(k)的幅度谱')subplot(3,1,3)stem(k2,abs(X2k))title('8点的DFT[x(n)]=X1(k)的幅度谱')实验结果图：由实验结果图可知，X(k)是)(ωj e X 的等间隔采样，采样间隔是2π/N 。
2.计算序列的FFT ，观察频谱泄漏已知周期为16的信号)1612cos()1610cos()(n n n x ππ+=。
（1） 截取一个周期长度M=16点，计算其16点FFT 其频谱，并绘出其幅度谱；（2） 截取序列长度M=10点，计算其16点FFT 其频谱，绘出其幅度谱，并与（1）的结果进行比较，观察频谱泄漏现象，说明产生频谱泄漏的原因。
(1)源程序：T=16;fs=1/T;n=0:15;xn=cos(10*pi/16*n*T)+cos(12*pi/16*n*T);Xk=fft(xn,16)stem(n,abs(Xk))实验结果图：(2)源程序：T=16;fs=1/T;n=0:9;xn=cos(10*pi/16*n*T)+cos(12*pi/16*n*T); Xk1=fft(xn,16)stem(0:15,abs(Xk1))实验结果图：如图，可得出，当截取有限长信号时，频谱不再是单一的频谱，它的能量散布到整个频谱的各处。
数字信号处理DSP第4章
k 0,1, , N 1
2
13
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
将系数统一为 WNk 2 WN2k ,则可得
x[0]
N 4点
x[4]
DFT
G[0]
X [0]
G[1]
X [1]
x[2]
N 4点
WN0
x[6]
DFT
WN2
G[2]
1 G[3]
1
X [2] X [3]
x[1]
N 4点
X m1[i] WNr X m1[ j] , X m1[i] WNr X m1[ j]
m 1, 2 ,
每一个蝶形需要一次复数乘法和两次复数加法。
17
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
N点的DIT-FFT计算量为
复数乘法：
1
N 2
log2
N
N 2
复数加法：
2
N 2
log2
N
N
例： 如果每次复数乘法需要100us，每次复数加法需要20us，来 计算N=1024点DFT，则需要
12
4.2 按时间抽取（DIT）的基2–FFT算法
同理
( N 4)1
( N 4)1
G[k] DFT[g[r]]
g[2l]WN2lk2
g[2l 1]WN(22l1)k
l 0
l 0
( N 4)1
( N 4)1
g[2l]WNlk 4 WNk 2
g[2l 1]WNlk 4 ,
l 0
l 0
k 0,1,
(3) WN0 WN4 WN8 WN12 WN16 WN20 WN24 WN28
或 WN4i i 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (dm 1)
数字信号处理EXPIV型教学实验系统实验四常规实验exp4_常规
第四章常规实验指导实验一常用指令实验一、实验目的1、了解DSP开发系统的组成和结构；2、熟悉DSP开发系统的连接；3、熟悉CCS的开发界面；4、熟悉C54X系列的寻址系统；5、熟悉常用C54X系列指令的用法。
二、实验设备计算机，CCS 2.0版软件，DSP仿真器，实验箱。
三、实验步骤与内容1、系统连接进行DSP实验之前，先必须连接好仿真器、实验箱及计算机，连接方法如下所示：2、上电复位在硬件安装完成后，确认安装正确、各实验部件及电源连接正常后，接通仿真器电源，启动计算机，此时，仿真器上的“红色小灯”应点亮，否则DSP开发系统有问题。
3、运行CCS程序待计算机启动成功后，实验箱后面220V输入电源开关置“ON”，实验箱上电，启动CCS，此时仿真器上的“绿色小灯”应点亮，并且CCS正常启动，表明系统连接正常；否则仿真器的连接、JTAG接口或CCS相关设置存在问题，掉电，检查仿真器的连接、JTAG 接口连接，或检查CCS相关设置是否正确。
注：如在此出现问题，可能是系统没有正常复位或连接错误，应重新检查系统硬件并复位；也可能是软件安装或设置有问题，应尝试调整软件系统设置，具体仿真器和仿真软件CCS的应用方法参见第三章。
●成功运行程序后，首先应熟悉CCS的用户界面●学会CCS环境下程序编写、调试、编译、装载，学习如何使用观察窗口等。
4、修改样例程序，尝试DSP其他的指令。
注：实验系统连接及CCS相关设置是以后所有实验的基础，在以下实验中这部分内容将不再复述。
5、填写实验报告。
6、样例程序实验操作说明仿真口选择开关K9拨到右侧，即仿真器选择连接右边的CPU：CPU2；启动CCS 2.0，在Project Open菜单打开exp01_cpu2目录下面的工程文件“exp01.pjt”注意：实验程序所在的目录不能包含中文，目录不能过深，如果想重新编译程序，去掉所有文件的只读属性。
用下拉菜单中Project/Open，打开“exp01.pjt”，双击“Source”，可查看源程序在File Load Program菜单下加载exp01_cpu2\debug目录下的exp01.out文件：加载完毕，单击“Run”运行程序；实验结果：可见指示灯D1定频率闪烁；单击“Halt”暂停程序运行，则指示灯停止闪烁，如再单击“Run”，则指示灯D1又开始闪烁；注：指示灯D1在CPLD单元的右上方关闭所有窗口，本实验完毕。
数字信号处理 第4章 FFT基本思想和2种基本的FFT
= −W
W的对称性
W的可约性
2 rk WN rk = WN / 2
长序列变成短序列 若N → 2个N / 2
2 则N 2次复述乘法 →（N / 2）= N 2 / 2次复数乘法 2
从信号的特殊性上考虑
– 如奇、偶、虚、实性
W 0 X (0) X (1) W 0 = X (2) W 0 0 X (3) W
对 N = 2M ， 共可分 M 次，即 m = 0,1,L , M − 1，
8点FFT时间抽取算法信号流图
每一级有 N/2 个如下的“蝶形”单元：
xm ( p )
xm +1 ( p )
W
r N
xm (q)
−1
xm +1 (q )
算法讨论（ “级”的概念、碟形单元、 “组” 的概念、旋转因子的分布、码位倒置）
r =2l ,r =2l +1
A(k ), B(k )
C(k) = D(k) =
N / 4−1 l =0
∑x(4l)W
l =0
lk N/4
, k = 0,1,..., N / 4 −1
N / 4−1
lk x(4l + 2)WN / 4 , k = 0,1,..., N / 4 −1 ∑
k A(k) = C(k) +WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1 k A(k + N / 4) = C(k) −WN / 2 D(k), k = 0,1,..., N / 4 −1
x(6)
n N
N n = 0,1,L , 2
由此得到基本 运算单元
g (0) g (1) g (2) g (3)
数字信号处理实验4 离散时间系统的频域分析
实验4 离散时间系统的频域分析一、实验目的（1）了解离散系统的零极点与系统因果性和稳定性的关系； （2）加深对离散系统的频率响应特性基本概念的理解； （3）熟悉MATLAB 中进行离散系统零极点分析的常用子函数； （4）掌握离散系统幅频响应和相频响应的求解方法。
二、知识点提示本章节的主要知识点是频率响应的概念、系统零极点对系统特性的影响；重点是频率响应的求解方法；难点是MATLAB 相关子函数的使用。
三、实验原理1．离散时间系统的零极点及零极点分布图设离散时间系统系统函数为NMz N a z a a z M b z b b z A z B z H ----++++++++==)1()2()1()1()2()1()()()(11 (4-1) MATLAB 提供了专门用于绘制离散时间系统零极点图的zplane 函数： ①zplane 函数 格式一：zplane(z, p)功能：绘制出列向量z 中的零点(以符号"○" 表示)和列向量p 中的极点(以符号"×"表示)，同时画出参考单位圆，并在多阶零点和极点的右上角标出其阶数。
如果z 和p 为矩阵，则zplane 以不同的颜色分别绘出z 和p 各列中的零点和极点。
格式二：zplane(B, A)功能：绘制出系统函数H(z)的零极点图。
其中B 和A 为系统函数)(z H (4-1)式的分子和分母多项式系数向量。
zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，函数首先调用root 函数以求出它们的零极点。
②roots 函数。
用于求多项式的根，调用格式：roots(C)，其中C 为多项式的系数向量，降幂排列。
2．离散系统的频率特性MATLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的freqz 函数，调用格式如下： ①H = freqz(B,A,W)功能：计算由向量W (rad )指定的数字频率点上(通常指[0,π]范围的频率)离散系统)(z H 的频率响应)e (j ωH ，结果存于H 向量中。
数字信号实验(4) 用窗函数设计FIR滤波器
实验四用窗函数设计FIR滤波器一、实验目的1.熟悉FIR滤波器设计的基本方法。
2.掌握用窗函数设计FIR数字滤波器的原理及方法，熟悉相应的计算机高级语言编程。
3.熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相位特性。
4.了解各种不同窗函数对滤波器性能的响应。
二、实验原理与方法(一)FIR滤波器的设计目前FIR滤波器的设计方法主要有三种：窗函数法、频率取样法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。
常用的是窗函数法和切比雪夫等波纹逼近的最优化设计方法。
本实验中的窗函数法比较简单，可应用现成的窗函数公式，在技术指标要求不高的时候是比较灵活方便的。
它是从时域出发，用一个窗函数截取理想的得到h(n)，以有限长序列h(n)近似理想的；如果从频域出发，用理想的在单位圆上等角度取样得到H(k)，根据h(k)得到H(z)将逼近理想的，这就是频率取样法。
(二)窗函数设计法同其它的数字滤波器的设计方法一样，用窗函数设计滤波器也是首先要对滤波器提出性能指标。
一般是给定一个理想的频率响应，使所设计的FIR滤波器的频率响应去逼近所要求的理想的滤波器的相应。
窗函数法设计的任务在于寻找一个可实现(有限长单位脉冲响应)的传递函数。
去逼近。
我们知道，一个理想的频率响应的傅理叶变换所得到的理想单位脉冲响应往往是一个无限长序列。
对经过适当的加权、截断处理才得到一个所需要的有限长脉冲响应序列。
对应不同的加权、截断，就有不同的窗函数。
所要寻找的滤波器脉冲响应就等于理想脉冲响应和窗函数的乘积。
即，由此可见，窗函数的性质就决定了滤波器的品质。
以下是几种常用的窗函数：1.矩形窗：2.Hanning窗：3.Hamming窗：4.Blackman窗：5.Kaiser窗：窗函数法设计线性相位FIR滤波器可以按如下步骤进行：1．确定数字滤波器的性能要求。
确定各临界频率{}和滤波器单位脉冲响应长度N。
2.根据性能要求和N值，合理地选择单位脉冲响应h(n)有奇偶对称性，从而确定理想频率响应的幅频特性和相位特性。
数字信号处理第四版(高西全)第1章
本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示 方法和典型信号、时域离散线性时不变系统的时域分析方
第1章 时域离散信号和时域离散系统
1.2 时域离散信号
实际中遇到的信号一般是模拟信号，对它进行等间
假设模拟信号为xa (t)，以采样间隔T对它进行等间隔 采样，得到：
x(n) xa (t) tnT＝xa (nT ) - n （1.2.1）
x(n) x(m) (n m) m
（1.2.12）
这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的
第1章 时域离散信号和时域离散系统
例如， x(n)＝{－0.0000 ，－0.5878 ，－0.9511，
－0.9511，－0.5878，0.0000，0.5878， 0.9511，0.9511，
0.5878，0.0000}，相应的 n=－5, －4, －3,
序列x(n)的MATLAB表示如下:
in (π 8
n)
0
π 8
第1章 时域离散信号和时域离散系统
（2） 2π/ω0不是整数，是一个有理数时，设 2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q，那么 N=P，则该正弦序列是以P为周期的周期序列。例如, sin(4πn/5), 2π/ω0=5/2, k=2, 该正弦序列是以5为周期的周
axis(［－5, 6, －1.2, 1.2］); xlabel('n'); ylabel('x(n)')
数字信号处理讲义--第4章z变换
数字信号处理讲义--第4章z变换第4章 z 变换[教学⽬的]1．了解Z 变换的概念，能求常⽤函数的Z 变换，能确定Z 变换的收敛域。
2．掌握各种求解Z 逆变换的⽅法，特别是利⽤围线积分求Z 反变换。
[教学重点与难点] 重点：1．Z 变换的概念，常⽤函数的Z 变换求解，Z 变换的收敛域； 2．各种求解Z 逆变换的⽅法，特别是利⽤围线积分求Z 反变换；难点：本章主要内容基本在信号与系统中学过，基本⽆难点，但如学⽣基础较差，还是要从以上三个重点内容去复习。
8．了解离散时间随机信号的概念。
[教学重点与难点] 重点：1．掌握线性时不变系统的概念与性质； 2．离散时间信号与系统的频域表⽰；难点：离散信号系统的性质如线性性，时不变性，因果性，稳定性的判定是本章的⼀个难点。
4.1 Z 变换（1） Z 变换的定义⼀个离散序列x (n )的Z 变换定义为式中，z 是⼀个复变量，它所在的复平⾯称为Z 平⾯。
我们常⽤Z ［x (n )］表⽰对序列x (n )进⾏Z 变换，也即这种变换也称为双边Z 变换，与此相应的单边Z 变换的定义如下：∑∞-∞=-=n nz n x z X )()()()]([z X n x Z =∑∞=-=0)()(n nz n x z X这种单边Z 变换的求和限是从零到⽆穷，因此对于因果序列，⽤两种Z 变换定义计算出的结果是⼀样的。
单边Z 变换只有在少数⼏种情况下与双边Z 变换有所区别。
⽐如，需要考虑序列的起始条件，其他特性则都和双边Z 变换相同。
本书中如不另外说明，均⽤双边Ｚ变换对信号进⾏分析和变换。
（2）Z 变换与傅⽴叶变换的关系:单位圆上的Z 变换是和模拟信号的频谱相联系的，因⽽常称单位圆上序列的Z 变换为序列的傅⾥叶变换，也称为数字序列的频谱。
数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归⼀化。
单位圆上序列的Z 变换为序列的傅⾥叶变换，根据式（1-54）Z 变换的定义，⽤ej ω代替z ，从⽽就可以得到序列傅⾥叶变换的定义为可得其反变换:（3）Z 变换存在的条件: 正变换与反变换:存在的⼀个充分条件是:∑∞-∞==Ω=??-=Ω==k a Taj e z T k j X T j X e X z X j πωωωω21)(?)()(/nj n j en x e X n x F ωω-∞-∞=∑==)()()]([ωππωππωωd e eX dz z z X j e X F n x n j j n z j ??--=-===)(21)(21)]([)(11||1∑∞-∞=-==n nj j en x e X n x F ωω)()()]([ωπωωππωd e e X n x e X F n j j j )(21)()]([1?--==即:绝对可加性是傅⾥叶变换表⽰存在的⼀个充分条件。
数字信号处理 第4章 信号与系统的复频域分析
极点的分布反映了系统的各种特征。
系统函数往往用零点和极点在S平面上的分 布图来表示，以”○”表示零点，以”×” 表示极点，以“⊙”表示重零点，以”*” 表示重极点。
jω
×
1
○
*
-2
-1
○
01
○
2
σ
×
-1
H
(s)
s(s (s2 2s
求上式的拉氏反变换，就可以得到系统的
冲激响应为：
n
h(t) bm kie pit i 1
每一极点对应一分量 epit ,(有r重极点时对 应 t e r1 pit ），极点位置就决定了该分量 的时域性质。
在H(s)的系数都为实数时，如果有一极点
为复数，必有另一极点是该极点的共轭复 数，同时系数k也将为共轭复数，一对共轭 极点组成的响应分量仍然为实数。
系统稳定性：对于任何一个有界的激励， 稳定系统产生的响应在任何时候都是有界 的。也就是要求系统的冲激响应有界（随 着t→∞，|h(t)|将逐渐衰减到零）。系统的 冲激响应的时域性质可由系统函数的极点 位置确定，因此，系统的稳定性可由系统 函数的极点位置来判断。
1、系统函数的极点全部位于左半S平面时， 随着t→∞将逐渐衰减到零，系统稳定。因
1
F (s)estds F (s)estds
2 j C0 Ci
Ci
0
k
Re
s(sk
)
1
2
j
Ci
F
(s)e st ds
F (s)estds 0 t 0
C1
F (s)estds 0 t 0
C2
数字信号处理课件第4章离散傅里叶变换1DFT的定义和物理意义
2、IDFT的采样值与原采样信号窗外 的部分无关；
3、IDFT可以唯一确定原序列。
【随堂练习】 1.求下列序列的N点DFT （1） x(n) (n) （2） x(n) (n n0 ) 0 n0 N （3） x(n) an 0 n N （4） x(n) u(n) u(n n0 ) 0 n0 N
回到第3章的周期序列的DTFT：
~x (n) 的离散傅里叶级数
X~(k)
N 1 ~x (n)WNkn
N 1
x((n)) N WNkn
N 1
x(n)WNkn
n0
n0
n0
~x(n)
1 N
N 1 X~ (k )WNkn
k 0
1 N
N 1
X (k )WNkn
k 0
N点DFT：X
(k)
N 1
j2 kn
解： N1 X (k) x(n)WNkn n0
121 1 [e
j n 6
e
j n 6
j2 kn
]e 12
n0 2
1
121
[e
j 2 (k 1)n 12
j 2 (k 1)n
e 12 ]
2 n0
121 j2 (k1)n 121 j2 (k1)n
1[ e e ] 12
12
2 n0
n0
k)
sin( k)
8
X
(e
j
)
e
j 3 2
sin(2) sin(1 )
2
3、求x(n)的16点DFT，N=16
X (k) X (e j ) 2 k 16
X
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N 2 N2 ( ) = 2 4
2
总共运算量: 复乘: 复加:
N N N2 + ≈ 2 2 2 2 N N N( −1 + N = ) 2 2
2
*但是,N点DFT N DFT DFT的复乘为N2 ;复加N(N-1);与 N(NN N(N 分解后相比可知,计算工作点差不多减少 一半。
例如 N=8 时的DFT, DFT,可以分解为两个 DFT,
由X1(k)、X 2(k)表示X(k)的运算是一种特殊的运算-碟形运算
k X (k) = X1(k) +WN X2 (k) k X (k) = X1(k) −WN X2 (k)
前一半(k = 0,1,⋯, 后一半 (k =
N 2
N 2
− 1)
,⋯, N − 1)
（N/2个蝶形) 实现上式运算的流图称作蝶形运算
X2 (k) = ∑x2 (r)W = ∑x(2r +1)W
r =0 rk 4 r =0 3 3 rk 4
k = 0,1 2,3 ,
X (k) = X1(k) +W X2 (k)
k N
X (k + 4) = X1(k) −W X2 (k), k = 0,1,2,3
k N
(3)对X (k) X 2 (k)和X (k) (k)进行蝶形运算,前半部为 (3) X 1 X(3),后半部分为X(4) ~X(7) X(0) ~X(3), X(4) 整个过程如下图所示:
N− 1 4 N− 1 4 N− 1 4 N− 1 4
(奇中偶) 奇中偶)
lk lk X6 (k) = ∑ x2 (2l +1)WN / 4 = ∑ x6 (l)WN / 4 (奇中奇) 奇中奇) l =0 l =0
由 5 (k)、 6 (k)进 碟 运 ， ： X X 行 形 算 得
N X2 (k) = X5 (k) + W X6 (k) ; k = 0,1,⋯, −1 4 N N k X2 ( + k) = X5 (k) − W X6 (k) ; k = 0,1,⋯, −1 N/2 4 4
N/2=4点的DFT DFT.具体方法如下: N/2=4 DFT : (1)n为偶数时,即 x(0), x(2), x(4), x(6); (1)n 分别记作: x1(0) = x(0), :
x ( ) = x(2), 1 1 x (2) = x(4), 1 x (3 = x(6); ) 1
进 N / 2 = 4点 DFT， X1(k) 行 的 得
N 4
后N/4的X1(k)为
N k X1( + k) = X3 (k) −WN X4 (k) 2 4
k = 0,1,⋯, −1
N 4
同样对n为奇数时，N/2点分为两个N/4点 的序列进行DFT，则有:
lk lk X5 (k) = ∑ x2 (2l)WN / 4 = ∑ x5 (l)WN / 4 l =0 l =0
x(2r) = x1(r), r = 0,1,⋯, N −1 2 x(2r +1) = x2 (r), r = 0,1,⋯, N −1 2
N −1 n−0
因此，X (k) = DFT[x(n)] =
∑x(n)W
nk N
X (k) = ∑x(n)W + ∑x(n)W
n=0 (n为偶数)
N− 1 2
N−1
X1(k)
X2 (k)
1 1
X (k) = X1 (k) +W X 2 (k)(前一半)
k N
1 1
k WN
-1
N k X ( + k) = X1 (k) −WN X2 (k) (后一半) 2
5.计算工作量分析 .
按奇、偶分组后的计算量：
(1)N/2点的DFT运算量:复乘次数: N N 复加次数: 2 ( 2 −1) (2)两个N/2点的DFT运算量:复乘次数: N 2 N 复加次数: N( 2 −1) N (3)N/2个蝶形运算的运算量:复乘次数: 2 复加次数: 2 ⋅ N = N :
X (k) =
rk k x1(r)WN +WN
N− 1 2
N− 1 2
rk k x2 (r)WN = X1(k) +WN X2 (k)
同理, 这就是说,X1(k),X2(k)的后一半,分别 等于其前一半的值。
第一行第一等号对所有K都成立，第二个等号只在[0，N/2-1]成立 另K==K’+N/2，出现了下面的推倒（K’在[0，N/2-1] 取值）
nk N
N−1
n=0 (n为奇数)
N− 1 2
nk N
= ∑x(2r)W
r =0
N− 1 2
2rk N
+ ∑x(2r +1)W
r =0
N− 1 2
(2r +1)k N
2 k 2 = ∑x1(r)(WN )rk +WN ∑x2 (r)(WN )rk r =0
由于: 由于:
2 WN
=e
− j 2π ∗2 N
X(k)的后一半，也完全由X1(k) X2 (k) 可见,X(k) X(k) X (k), 的前一半所确定。 *N点的DFT可由两个N/2点的DFT来计算。 那么2N点的实序列能否用N点的DFT求？ 解：先按奇偶分组构成N点复数序列，利用共轭对 称性求出各自DFT，再用碟形算法求出2N点DFT
4.蝶形运算 4.蝶形运算
x1(0)=x(0) x1(1)=x(2) x1(2)=x(4) x1(3)=x(6) x2(0)=x(1) x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
X1(0)
N/2点 N/2点 DFT
X1(1) X1(2) X1(3) X2(0)
0 WN X2(1) 1 WN X2(2) 2 WN X2(3) 3 WN
X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1
N/2点 N/2点 DFT
N/4点 (二) N/4点DFT 由于N=2 L ,所以 N/2 N/2仍为偶数,可以进 N=2 一步把每个N/2 N/2点的序列再按其奇偶部分 N/2 分解为两个N/4 N/4的子序列。例如，n为偶 N/4 数时的 N/2 N/2点分解为:
§3-1 引言(频谱、FIR设计、信号相关) §3-2 傅氏变换的几种可能形式
回
§3-3 周期序列的DFS §3-4 DFS的性质 §3-5 DFT--有限长序列的离散频域表示
顾
§3-6 DFT的性质 §3-7 抽样Z变换--频域抽样理论 §3-8 利用DFT对连续时间信号的逼近
§4-1 引言 §4-2按时间抽取(DIT)的FFT算法 §4-3按频率抽取（DIF）的FFT算法 §4-4 IFFT算法(快速傅立叶反变换) §4-5线性卷积的FFT算法
§4-2
按时间抽取(DIT)的FFT算法 按时间抽取(DIT)的FFT算法 (DIT) —库利-图基算法 库利库利
一.算法原理(基2FFT) 算法原理( (一)N/2点DFT )N/2点 1.先将 x(n) 按n的奇偶分为两组作DFT, N=2L , DFT,设N=2 1. DFT, 不足时,可补些零。这样有: n为偶数时: : n为奇数时: :
=e
r =0 − j 2π /( N ) 2
= WN
2
所以,上式可表示为: 所以,上式可表示为:
X (k) =
∑
r =0
N− 1 2
rk k x1(r)WN +WN
2
∑
r =0
N− 1 2
rk k x2 (r)WN = X1(k) +WN X2 (k)
2
X1(k) =
∑
r =0
N− 1 2
N− 1 2
X1(k) = ∑x1(r)W = ∑x(2r)W
r=0 rk 4 r=0
3
3
rk 4
k = 0,1,2,3
n为奇数时,分别记作: (2) n
x2 (0) = x( ), 1 x2 ( ) = x(3), 1 x2 (2) = x(5), x2 (3) = x(7);
进 N / 2 = 4点 DFT， X2 (k) 行 的 得
∑ 2 ∑ 3. 2 r =0 r =0 X(k) r(k + N ) rk（周期性）,所以: 2 由于 WN = WN 周期性） 的后 2 2 一半 N− N− 1 1 2 2 N +k ) rk 的确 X ( N + k) = x (r)W r( 2 = x (r)WN = X (k) 1 ∑ 1 N2 ∑1 2 1 2 定 r =0 r =0
N X2 ( + k) = X2 (k) 2
又由于
( N +k ) WN 2
k = WN WN
N 2
k = −WN
,所以
N N N k+ N 2 X (k + ) = X1 (k + ) +WN X 2 (k + ) 2 2 2
=
k X1(k) −WN X2 (k),
k = 0,1,⋯, N −1 2
二.改进的途径 改进的途径
利用上述特性,可以将有些项合并, 利用上述特性,可以将有些项合并,并 将DFT分解为短序列,从而降低运算次数,提 DFT分解为短序列,从而降低运算次数, 分解为短序列 高运算速度.1965年 库利(cooley)和图基 高运算速度.1965年,库利(cooley)和图基 .1965 (cooley) (Tukey)首先提出FFT算法.对于N DFT,仅需 (Tukey)首先提出FFT算法.对于N点DFT,仅需 首先提出FFT算法 (N/2)log2N 次复数乘法运算.例如N=1024=210 时， 次复数乘法运算.例如N=1024=2 需要(1024/2)log =512*10=5120次 需要(1024/2)log2 210 =512*10=5120次。 5120/1048576=4.88% 速度提高20 20倍 5120/1048576=4.88% ,速度提高20倍. FFT分类：DIT（Decimation-In-Time时间抽选法）、 FFT分类：DIT（Decimation-In-Time时间抽选法）、 分类 时间抽选法 DIF（ Decimation-In-Frequency频率抽选法 频率抽选法） DIF（ Decimation-In-Frequency频率抽选法）