高中数学苏教版选修2-3教学案：3.1 独立性检验-缺答案

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2018-2019学年高二数学苏教版选修2-3教学案：3.1 独立性检验

_3.1独立性检验[对应学生用书P46]1．2×2列联表的定义对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A 和类B ；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.这些取值可用下面的2×2列联表表示.Ⅱ类1类2合计类Aa b a ＋b Ⅰ类B c d c ＋d 合计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d2．χ2统计量的求法公式χ2＝.n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )3．独立性检验的概念用统计量χ2研究两变量是否有关的方法称为独立性检验．4．独立性检验的步骤要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：(1)提出假设H 0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；(2)根据2×2列联表及χ2公式，计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．其中临界值如表所示：P (χ2≥x 0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001χ00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828表示在H0成立的情况下，事件“χ2≥x0”发生的概率．5．变量独立性判断的依据(1)如果χ2>10.828时，那么有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(2)如果χ2>6.635时，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(3)如果χ2>2.706时，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(4)如果χ2≤2.706时，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．1．在2×2列联表中，通常要求a，b，c，d的值均不小于5.2．表中|ad－bc|越小，Ⅰ与Ⅱ关系越弱；|ad－bc|越大，Ⅰ与Ⅱ关系越强．同时要记准表中a，b，c，d四个数据是交叉相乘然后再作差取绝对值，一定不要乘错．3．表中类A与类B，以及类1与类2的关系：对于对象Ⅰ来说，类A与类B是对立的，也就是说类A发生，类B一定不发生，类A不发生，则类B一定发生；同样对于对象Ⅱ来说，类1与类2的关系也是如此．[对应学生用书P46]2×2列联表[例1]　在一项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．[思路点拨]　在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后找出相应的数据，列表即可．[精解详析]　作列联表如下：喜欢甜食不喜欢甜食合计男117413530女492178670合计609591 1 200[一点通]　分清类别是列联表的作表关键步骤．表中排成两行两列的数据是调查得来的结果．1．下面是2×2列联表：y1y2合计x1a2173x222527合计b46则表中a，b的值分别为________，________.解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.又∵a＋2＝b，∴b＝54.答案：52　542．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人.作出2×2列联表．解：作列联表如下：性格内向性格外向合计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475合计426594 1 020独立性检验的应用[例2]　下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病合计干净水52466518不干净水94218312合计146684830(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．[思路点拨]　(1)根据表中的信息计算χ2的值，并根据临界值表来分析相关性的大小，对于(2)要列出2×2列联表，方法同(1)．[精解详析]　(1)假设H0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式，得χ2＝≈54.21，146×684×518×312因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．(2)依题意得2×2列联表：得病不得病合计干净水55055不干净水92231合计147286此时，χ2＝≈5.785.86×(5×22－50×9)214×72×55×31由于5.785＞2.706，所以我们有90%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有90%的把握肯定．[一点通]　解决独立性检验问题的基本步骤是：①指出相关数据，作列联表；②求χ2的值；③判断可能性，注意与临界值作比较，得出事件有关的可能性大小．3．某保健药品，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A 疾病”．经调查发现，在不使用该药品的418人中仅有18人患A 疾病，请用所学知识分析该药品对患A 疾病是否有效？解：依题意得2×2的列联表：患病不患病合计使用5100105不使用18400418合计23500523要判断该药品对患A 疾病是否有效，即进行独立性检验提出假设H 0：该药品对患A 疾病没有效．根据列联表中的数据可以求得χ2＝≈0.041 45<0.455，23×500×418×105而查表可知P (χ2≥0.455)≈0.5，故没有充分的理由认为该保健药品对预防A 疾病有效．4．在国家未实施西部开发战略前，一新闻单位在应届大学毕业生中随机抽取1 000人问卷，只有80人志愿加入西部建设．而国家实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届大学毕业生问卷，有400人志愿加入国家西部建设．实施西部开发战略是否对应届大学毕业生的选择产生了影响？解：依题意，得2×2列联表：志愿者非志愿者合计开发战略公布前80920 1 000开发战略公布后400800 1 200合计4801 7202 200提出假设H 0：实施西部开发战略的公布对应届大学毕业生的选择没有产生影响，根据列联表中的数据，可以求得χ2＝≈205.22.2 200×(80×800－920×400)2480×1 720×1 000×1 200因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以有99.9%的所握认为西部开发战略的实施对应届大学毕业生的选择产生了影响．独立性检验的基本思想与反证法的思想比较反证法独立性检验要证明结论A要确认“两个对象有关系”在A 不成立的前提下进行推理假设该结论不成立，即假设结论“两个对象没有关系”成立，在该假设下计算χ2推出矛盾意味着结论A 成立由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定可信程度上说明假设不合理没有找到矛盾，不能对A 下任何结论，即反证法不成立根据随机变量χ2的含义，可以通过概率P (χ2≥x 0)的大小来评价该假设不合理的程度有多大，从而得出“两个对象有关系” 这一结论成立的可信程度有多大[对应课时跟踪训练(十八)]　一、填空题1．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(有关，无关)解析：由χ2值可判断有关．答案：有关2．若两个研究对象X 和Y 的列联表为：y 1y 2x 1515x 24010则X 与Y 之间有关系的概率约为________．解析：因为χ2＝≈18.8，查表知(5＋15＋40＋10)×(5×10－40×15)2(5＋15)×(40＋10)×(5＋40)×(15＋10)P (χ2≥10.828)≈0.001.答案：99.9%3．在吸烟与患肺病这两个对象的独立性检验的计算中，下列说法正确的是________．(填序号)①若χ2＝6.635，则我们认为有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系．那么在100个吸烟的人中必有99人患肺病．②从独立性检验的计算中求有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们认为如果某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病．③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．④以上三种说法都不正确．解析：由独立性检验的意义可知，③正确．答案：③4．调查者询问了72名男女大学生在购买食品时是否观看营养说明得到如下2×2列联表：看营养说明不看营养说明总计男大学生28836女大学生162036总计442872从表中数据分析大学生的性别与看不看营养说明之间的关系是________．(填“有关”或“无关”)解析：提出假设H 0：大学生的性别与看不看营养说明无关，由题目中的数据可计算χ2＝≈8.42，因为当H 0成立时，P (χ2≥7.879)≈0.005，这里的72×(28×20－16×8)244×28×36×36χ2≈8.42>7.879，所以我们有99.5%的把握认为大学生的性别与看不看营养说明有关．答案：有关5．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：冷漠不冷漠合计多看电视6842110少看电视203858合计8880168则由表可知大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系．解析：由公式得χ2＝≈11.377>10.828，所以我们有168×(68×38－42×20)2110×58×88×8099.9%的把握说，多看电视与人变冷漠有关．答案：99.9%二、解答题6．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：成绩优秀成绩较差合计兴趣浓厚的643094兴趣不浓厚的227395合计86103189学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？解析：提出假设H 0：学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣无关．由公式得χ2的值为χ2＝≈38.459.189×(64×73－22×30)286×103×95×94∵当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈38.459>10.828，∴有99.9%的把握认为学生数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的．7．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下列联表.种子灭菌种子未灭菌合计有黑穗病26184210无黑穗病50200250合计76384460试按照原试验目的作统计推断．解：提出假设H 0：种子是否灭菌与有无黑穗病无关．由公式得，χ2＝≈4.804.460×(26×200－184×50)2210×250×76×384由于4.804>3.841，即当H 0成立时，χ2>3.841的概率约为0.05，所以我们有95%的把握认为种子是否灭菌与有无黑穗病是有关系的．8．为了调查某生产线上质量监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试用独立性检验的方法分析监督员甲是否在生产现场对产品质量好坏有无影响．解：2×2列联表如下合格品数次品数合计甲在生产现场9828990甲不在生产现场49317510合计1 475251 500提出假设H 0：质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏无明显关系．根据χ2公式得χ2＝≈13.097.1 500(982×17－493×8)2990×510×1 475×25因为H 0成立时，χ2>10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈13.097>10.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量的好坏有关系．。

高中数学3.1《独立性检验》教学设计苏教版选修2_3

第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2、了解我国书法发展的历史。

3、掌握基本笔画的书写特点。

重点：基本笔画的书写。

难点：运笔的技法。

教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。

2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。

二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。

换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。

三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。

2、教师边书写边讲解。

3、学生练习，教师指导。

（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。

在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。

5、学生练习，教师指导。

（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。

板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。

这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。

基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。

课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。

总第（2）课时课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。

2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。

重点：正确书写6个字。

难点：注意字的结构和笔画的书写。

教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。

二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。

2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。

2018年高中数学第3章统计案例3.1独立性检验教学案苏教版选修2-3

2018年⾼中数学第3章统计案例3.1独⽴性检验教学案苏教版选修2-33.1 独⽴性检验1．2×2列联表的定义对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.这些取值可⽤下⾯的2×2列联表表⽰.2.χ2统计量的求法公式χ2＝n（ad－bc）2（a＋c）（b＋d）（a＋b）（c＋d）．3．独⽴性检验的概念⽤统计量χ2研究两变量是否有关的⽅法称为独⽴性检验．4．独⽴性检验的步骤要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下⾯的步骤进⾏：(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；(2)根据2×2列联表及χ2公式，计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．其中临界值如表所⽰：表⽰在H0成⽴的情况下，事件“χ≥x0”发⽣的概率．5．变量独⽴性判断的依据(1)如果χ2>10.828时，那么有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(2)如果χ2>6.635时，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(3)如果χ2>2.706时，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；(4)如果χ2≤2.706时，那么就认为没有充分的证据显⽰“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成⽴”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．1．在2×2列联表中，通常要求a，b，c，d的值均不⼩于5.2．表中|ad－bc|越⼩，Ⅰ与Ⅱ关系越弱；|ad－bc|越⼤，Ⅰ与Ⅱ关系越强．同时要记准表中a，b，c，d四个数据是交叉相乘然后再作差取绝对值，⼀定不要乘错．3．表中类A与类B，以及类1与类2的关系：对于对象Ⅰ来说，类A与类B是对⽴的，也就是说类A发⽣，类B⼀定不发⽣，类A不发⽣，则类B⼀定发⽣；同样对于对象Ⅱ来说，类1与类2的关系也是如此．[例1] 在⼀项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530⼈，⼥性为670⼈，其中男性中喜欢吃甜⾷的为117⼈，⼥性中喜欢吃甜⾷的为492⼈，请作出性别与喜欢吃甜⾷的列联表．[思路点拨] 在2×2列联表中，共有两类变量，每⼀类变量都有两个不同的取值，然后找出相应的数据，列表即可．[精解详析] 作列联表如下：[⼀点通] 分清类别是列联表的作表关键步骤．表中排成两⾏两列的数据是调查得来的结果．1．下⾯是2×2则表中a，b的值分别为________，________．解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.⼜∵a＋2＝b，∴b＝54.答案：52 542．某学校对⾼三学⽣作⼀项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学⽣中有332名在考前⼼情紧张，性格外向的594名学⽣中在考前⼼情紧张的有213⼈ .作出2×2列联表．[例2] 下表是某地区的⼀种传染病与饮⽤⽔的调查表：(1)这种传染病是否与饮⽤⽔的卫⽣程度有关，请说明理由；(2)若饮⽤⼲净⽔得病5⼈，不得病50⼈，饮⽤不⼲净⽔得病9⼈，不得病22⼈．按此样本数据分析这种疾病是否与饮⽤⽔有关，并⽐较两种样本在反映总体时的差异．[思路点拨] (1)根据表中的信息计算χ2的值，并根据临界值表来分析相关性的⼤⼩，对于(2)要列出2×2列联表，⽅法同(1)．[精解详析] (1)假设H 0：传染病与饮⽤⽔⽆关．把表中数据代⼊公式，得χ2＝830×（52×218－466×94）2146×684×518×312≈54.21，因为当H 0成⽴时，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮⽤不⼲净⽔有关． (2)依题意得2×2列联表：此时，χ2＝86×（5×22－50×9）214×72×55×31≈5.785.由于5.785＞2.706，所以我们有90%的把握认为该种疾病与饮⽤不⼲净⽔有关．两个样本都能统计得到传染病与饮⽤不⼲净⽔有关这⼀相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有90%的把握肯定．[⼀点通] 解决独⽴性检验问题的基本步骤是：①指出相关数据，作列联表；②求χ2的值；③判断可能性，注意与临界值作⽐较，得出事件有关的可能性⼤⼩．3．某保健药品，在⼴告中宣传：“在服⽤该药品的105⼈中有100⼈未患A 疾病”．经调查发现，在不使⽤该药品的418⼈中仅有18⼈患A 疾病，请⽤所学知识分析该药品对患A 疾病是否有效？解：依题意得2×2的列联表：要判断该药品对患A 疾病是否有效，即进⾏独⽴性检验提出假设H 0：该药品对患A 疾病没有效．根据列联表中的数据可以求得χ2＝523×（5×400－100×18）223×500×418×105≈0.041 45<0.455，⽽查表可知P (χ2≥0.455)≈0.5，故没有充分的理由认为该保健药品对预防A 疾病有效．4．在国家未实施西部开发战略前，⼀新闻单位在应届⼤学毕业⽣中随机抽取1 000⼈问卷，只有80⼈志愿加⼊西部建设．⽽国家实施西部开发战略后，随机抽取1 200名应届⼤学毕业⽣问卷，有400⼈志愿加⼊国家西部建设．实施西部开发战略是否对应届⼤学毕业⽣的选择产⽣了影响？提出假设H 0：实施西部开发战略的公布对应届⼤学毕业⽣的选择没有产⽣影响，根据列联表中的数据，可以求得χ2＝2 200×（80×800－920×400）2480×1 720×1 000×1 200≈205.22.因为当H 0成⽴时，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以有99.9%的所握认为西部开发战略的实施对应届⼤学毕业⽣的选择产⽣了影响．独⽴性检验的基本思想与反证法的思想⽐较课下能⼒提升(⼗⼋)⼀、填空题1．在⼀项打鼾与患⼼脏病的调查中，共调查了1 671⼈，经过计算χ2＝27.63，根据这⼀数据分析，我们有理由认为打鼾与患⼼脏病是________的．(有关，⽆关) 解析：由χ2值可判断有关．答案：有关2．若两个研究对象X和Y的列联表为：则X与Y之间有关系的概率约为________．解析：因为χ2＝（5＋15＋40＋10）×（5×10－40×15）2（5＋15）×（40＋10）×（5＋40）×（15＋10）≈18.8，查表知P(χ2≥10.828)≈0.001.答案：99.9%3．在吸烟与患肺病这两个对象的独⽴性检验的计算中，下列说法正确的是________．(填序号)①若χ2＝6.635，则我们认为有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系．那么在100个吸烟的⼈中必有99⼈患肺病．②从独⽴性检验的计算中求有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们认为如果某⼈吸烟，那么他有99%的可能患肺病．③若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．④以上三种说法都不正确．解析：由独⽴性检验的意义可知，③正确．答案：③4．调查者询问了72名男⼥⼤学⽣在购买⾷品时是否观看营养说明得到如下2×2列联表：从表中数据分析⼤学⽣的性别与看不看营养说明之间的关系是________．(填“有关”或“⽆关”)解析：提出假设H 0：⼤学⽣的性别与看不看营养说明⽆关，由题⽬中的数据可计算χ2＝72×（28×20－16×8）244×28×36×36≈8.42，因为当H 0成⽴时，P (χ2≥7.879)≈0.005，这⾥的χ2≈8.42>7.879，所以我们有99.5%的把握认为⼤学⽣的性别与看不看营养说明有关．答案：有关5．有⼈发现，多看电视容易使⼈变冷漠，下表是⼀个调查机构对此现象的调查结果：则由表可知⼤约有解析：由公式得χ2＝168×（68×38－42×20）2110×58×88×80≈11.377>10.828，所以我们有99.9%的把握说，多看电视与⼈变冷漠有关．答案：99.9% ⼆、解答题6．为研究学⽣的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学⽣作调查，得到如下数据：学⽣的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？解析：提出假设H 0：学⽣数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣⽆关．由公式得χ2的值为χ2＝189×（64×73－22×30）286×103×95×94≈38.459.∵当H 0成⽴时，χ2≥10.828的概率约为0.001，⽽这⾥χ2≈38.459>10.828，∴有99.9%的把握认为学⽣数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣是有关的．7．考察⼩麦种⼦经过灭菌与否跟发⽣⿊穗病的关系，经试验观察，得到数据如下列联表.试按照原试验⽬的作统计推断．解：提出假设H 0：种⼦是否灭菌与有⽆⿊穗病⽆关．由公式得，χ2＝460×（26×200－184×50）2210×250×76×384≈4.804.由于4.804>3.841，即当H 0成⽴时，χ2>3.841的概率约为0.05，所以我们有95%的把握认为种⼦是否灭菌与有⽆⿊穗病是有关系的．8．为了调查某⽣产线上质量监督员甲是否在⽣产现场对产品质量好坏有⽆影响，现统计数据如下：甲在⽣产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在⽣产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试⽤独⽴性检验的⽅法分析监督员甲是否在⽣产现场对产品质量好坏有⽆影响．解：2×2列联表如下提出假设H 0根据χ2公式得χ2＝1 500（982×17－493×8）2990×510×1 475×25≈13.097.因为H 0成⽴时，χ2>10.828的概率约为0.001，⽽这⾥χ2≈13.097>10.828，所以有99.9%的把握认为质量监督员甲是否在⽣产现场与产品质量的好坏有关系．。

苏教版·数学选修2-3--3.1独立性检验

n ab n

n bd n
(c n n
cd

)
(d n n
2
cd

bd
)
2
n cd n

n ac n
n cd n

n bd n
化简得
2
n(ad bc )
(a c )( b d )( a b)( c d )
独立检验
用χ2统计量研究这类问题的方法步骤
则P(A) P(B)
a b
a b n a c n
故P(AB)
吸烟且患病人数吸烟但未患病人数不吸烟但患病人数不吸烟且未患病人数
a c
n n a b b n P(AB) n n c d a n P ( AB ) n n c d b n P(AB) n n
怎样描述实际观测值与估计值的差异呢？统计学中采用
用卡方统计量 :
2

2
(观测值预期值 ) 预期值
ab bd
2
来刻画实际观测值与估计值的差异.
(a n ab ac ) (b n n ac
2

)
2
即

2
n
n ab n

n ac n
利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为” 两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.(为假设检验的特例)
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了515个成年人，其中吸烟者220人，不吸烟者295人，调查结果是：吸烟的220人中37人患病， 183人不患病；不吸烟的 295人中21人患病， 274人不患病。根据这些数据能否断定：患肺癌与吸烟有关吗？

苏教版数学高二数学苏教版选修2-3学案3.1独立性检验

3.1 独立性检验学习目标重点、难点1．通过典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想、方法；2．会求χ2，会利用χ2判断两个变量有关系的把握程度，了解独立性检验的初步应用.重点：独立性检验的基本思想．难点：利用χ2判断两个变量的关联程度.独立性检验1．用字母表示的2×2列联表：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d ).2．用χ2统计量研究这类问题的方法称为独立性检验． 3．临界值 P (χ2≥x 0)0.5 0.4 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050.001 x 00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828预习交流独立性检验的基本思想是什么？提示：把假设检验的基本思想具体化到独立性检验中，就可以通过随机变量χ2把两个分类变量的独立性进行检验．独立性检验的随机变量χ2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d ).在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点独立性检验的基本思想试问：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？思路分析：根据所给数据先求出χ2，再根据χ2进行判断．解：根据2×2列联表中的数据，得χ2＝339×(43×121－162×13)2205×134×56×283≈7.469.因7.469＞6.635，所以我们有99%的把握说：50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟有关．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪根据以上数据，能否得出关于心脏搭桥手术与又发作过心脏病一定有关的结论为__________．答案：不能解析：χ2＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.779.因为χ2＜2.706，所以不能作出心脏搭桥手术与又发作心脏病之间有关系的结论．独立性检验的基本步骤：①根据题意列出2×2列联表；②根据公式求出χ2；③比较χ2与临界值的关系；④作出两变量是否有关系的程度把握．1．吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有诸多不利影响．影响学生的健康成长，下表给出性别与吃零食的列联表，根据表中数据得出结论：吃零食与性别__________．(填“有关”答案：有关解析：χ2＝85×(5×28－12×40)217×68×45×40≈4.722＞3.841.故约有95%的把握认为“吃零食与性别有关”．2．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到如下数据．试推断有答案：95%解析：χ2＝460×(26×200－184×50)2210×250×76×384≈4.804.由于4.804＞3.841，所以我们有95%的把握认为种子灭菌与发生黑穗病是有关系的． 3．对电视节目单上的某一节目，观众的态度如下表，根据表中数据得到χ2≈1.224，你的结论为__________.答案：观众是否同意这一节目与性别无关解析：χ2≈1.224＜2.706，所以不能作出是否同意这一节目与性别有关，即观众是否同意这一节目与性别无关．4．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的有__________．①100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；②1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌； ③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．答案：④ 解析：独立性检验的结果与实际问题是有差异的，即独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性是存在差异的．5．某班班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)问：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？解：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50，故所求概率为2450＝1225.不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，故所求概率为1950.(2)由公式得χ2＝50×(18×19－6×7)225×25×24×26≈11.538.因为11.538＞10.828，所以我们有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．。

3.1 独立性检验学案(苏教版高中数学选修2-3)

3.1 独立性检验学案（苏教版高中数学选修2-3）31独立性检验独立性检验学习目标1.了解22列联表的意义.2.了解统计量2的意义.3.通过对典型案例分析，了解独立性检验的基本思想和方法知识点一22列联表思考山东省教育厅大力推行素质教育，增加了高中生的课外活动时间，某校调查了学生的课外活动方式，结果整理成下表体育文娱合计男生210230440女生60290350合计270520790如何判定“喜欢体育还是文娱与性别是否有联系”答案可通过表格与图形进行直观分析，也可通过统计分析定量判断梳理122列联表的定义对于两个研究对象和，有两类取值，即类A和类B；也有两类取值，即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据类1类2合计类Aabab 类Bcdcd合计acbdabcd22统计量的求法公式2nadbc2abcdacbd.知识点二独立性检验独立性检验的概念用2统计量研究两变量是否有关的方法称为独立性检验知识点三独立性检验的步骤1独立性检验的步骤要判断“与有关系”，可按下面的步骤进行1提出假设H0与没有关系；2根据22列联表及2公式，计算2的值；3查对临界值，作出判断其中临界值如表所示P2x00.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550. 7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828表示在H0成立的情况下，事件“2x0”发生的概率2推断依据1若210.828，则有99.9的把握认为“与有关系”；2若26.635，则有99的把握认为“与有关系”；3若22.706，则有90的把握认为“与有关系”；4若22.706，则认为没有充分的证据显示“与有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即不能认为与没有关系1列联表中的数据是两个分类变量的频数2事件A与B的独立性检验无关，即两个事件互不影响32的大小是判断事件A与B是否相关的统计量类型一22列联表例1在一项有关医疗保健的社会调查中，发现调查的男性为530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的人数的列联表考点题点解作列联表如下喜欢甜食不喜欢甜食合计男117413530女492178670合计6095911200反思与感悟分清类别是作列联表的关键步骤表中排成两行两列的数据是调查统计得来的结果跟踪训练11下面是22列联表y1y2合计x1a2173x222527合计b46100则表中a，b的值分别为____________________答案5254解析a2173，a52.又a2b，b54.2某学校对高三学生作一项调查后发现在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中有213名在考前心情紧张作出22列联表考点题点解作列联表如下性格内向性格外向合计考前心情紧张332213545考前心情不紧张94381475合计4265941020类型二由2进行独立性检验例2对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行三年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示.又发作过心脏病未发作过心脏病合计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计68324392试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作过心脏病的影响有没有差别考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法解假设病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术没有关系，由表中数据得a39，b157，c29，d167，ab196，cd196，ac68，bd324，n392，由公式得239239167157292196196683241.779.因为21.7792.706，所以不能得出病人又发作过心脏病与做过心脏搭桥手术还是血管清障手术有关系的结论，即这两种手术对病人又发作过心脏病的影响没有差别反思与感悟独立性检验的关注点在22列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足adbc0，因此|adbc|越小，关系越弱；|adbc|越大，关系越强跟踪训练2某省进行高中新课程改革已经四年了，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老教师20人，青年教师30人老教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人1根据以上数据建立一个22列联表；2判断是否有99的把握说明对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法解122列联表如下所示赞同不赞同合计老教师101020青年教师24630合计3416502假设“对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄无关”由公式得25010624102341620304.9636.635，所以没有99的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关类型三独立性检验的综合应用例3电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，并根据调查结果绘制了观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图如图将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”1根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料推断“体育迷”与性别是否有关非体育迷体育迷合计男女1055合计2将上述调查所得的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的概率分布.均值EX和方差VX附2nadbc2abcdacbd.P2x00.100.050.01x02.7063.8416.635考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法解1由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22列联表如下非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算，得210030104515275254555100333.030.因为2.7063.0303.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”.1在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算227.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的填有关或无关考点题点答案有关2为了考察长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查了301名女性，得到如下所示的列联表，试根据表格中已有数据填空经常头晕很少头晕合计长发35121短发37143合计72则空格中的数据分别为________；________；________；________.考点题点答案861802293013在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是________填序号若26.635，我们有99的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；从独立性检验可知，有99的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99的可能患有肺病；若从2与临界值的比较中得出有95的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5的可能性使得推断出现错误考点题点答案解析对于，99的把握是通过大量的试验得出的结论，这100个吸烟的人中可能全患肺病也可能都不患，是随机的，所以错；对于，某人吸烟只能说其患病的可能性较大，并不一定患病；的解释是正确的4某科研机构为了研究中年人秃发与患心脏病是否有关，随机调查了一些中年人的情况，具体数据如表患心脏病无心脏病合计秃发20300320不秃发5450455合计25750775根据表中数据得到277520450530022575032045515.968，因为26.635，则断定秃发与患心脏病有关系，那么这种判断出错的可能性为________考点独立性检验及其基本思想题点独立性检验的方法答案0.01解析因为26.635，所以有99的把握说秃发与患心脏病有关，故这种判断出错的可能性有10.990.01.5根据下表计算不看电视看电视合计男3785122女35143178合计722283002________.保留3位小数考点题点答案4.514解析23003714385352122178722284.514.122列联表22列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有相关关系2对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算2统计量的值，如果2的值很大，说明假设不合理2越大，两个分类变量有关系的可能性越大。

苏教版选修2-3高中数学3.1《独立性检验》ppt课件

变式训练3 网络对现代人的生活影响较大，尤其对青少年，为了解网络对中学生学习成绩的影响，某地区教育主管部门从辖区初中生中随机抽取了 1000 人调查，发现其中经常上网的有 200 人，这 200人中有80人期末考试不及格，而另外800人中有120人不及格，问：中学生经常上网是否影响学习，为什么？
4000×1820×240－180×17602 2000×2000×3580×420
≈9.577
＞
6.635，
所以我们有 99%的把握认为学生是否关心国家大事与
性别有关．
(3)依题意男、女生人数分别是250人和200人，男生中关心国家大事的人数为235人，女生中关心国家大事的人数为170人；列出2×2列联表如下：
2.独立性检验 (1)定义：我们用随机变量 χ2 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两
个分类变量的独立性检验． (2)公式：χ2＝a＋bnc＋add－ ab＋cc2b＋d (3)步骤：①提出假设 H0：_Ⅰ__与__Ⅱ__没__有__关__系____； ②根据 2×2 列联表及 χ2 公式，计算的__χ2__值；
方法感悟
1．画列联表时要把两个分类变量分别作为第一行和第一列，把数据填在相应的交叉点上，最右面一列为对行的合计，最下面一行为对列的合计． 2．对卡方公式要从结构上结合列联表记忆，分母分别是四个合计的积，分子是列联表主对角线之积与副对角线之积的差的平方再乘样本容量．注意：一是不要漏乘了样本容量，二是用公式时要细心计算，防止出错．
【规范解答】根据题目所给数据列出下列表格：
态度性别
男生女生合计
肯定
22 18 40

苏教版高中数学选修2-33.1 独立性检验学案

[学习目标] 1.理解列联表的意义，会根据列联表中数据大致判断两个变量是否独立.2.理解统计量χ2的意义和独立性检验的基本思想．知识点一2×2列联表一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值类A和类B，Ⅱ也有两类取值类1和类2，得到如下列联表所示的抽样数据：上述表格称为2×2列联表．|ad－bc|越小，说明两个分类变量x、y之间的关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个分类变量x、y之间的关系越强．知识点二统计量χ2χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).用χ2的大小可判断事件A.B是否有关联．知识点三独立性检验要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；(2)根据2×2列联表计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．题型一 2×2列联表和χ2统计量例1 根据下表计算：χ2≈________.(结果保留3答案 4.514解析 χ2＝300×(37×143－85×35)2122×178×72×228≈4.514.反思与感悟利用χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，准确代数与计算，求出χ2的值．跟踪训练1 已知列联表：药物效果与动物试验列联表则χ2≈________.(结果保留3位小数) 答案 6.109解析 χ2＝105×(10×30－20×45)230×75×55×50≈6.109.题型二独立性检验例2 为了研究人的性别与患色盲是否有关系，某研究所进行了随机调查，发现在调查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为人的性别与患色盲有关系吗？解由题意列出2×2列联表：由公式得χ2的观测值x 0＝1 000×(39×514－441×6)2480×520×45×955≈28.225.因为P (χ2≥10.828)≈0.001，且28.225＞10.828，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为患色盲与人的性别有关系，男性患色盲的概率要比女性大得多．反思与感悟独立性检验可以通过2×2列联表计算χ2的值，然后和临界值对照作出判断．跟踪训练2 调查在2～3级风的海上航行中男女乘客的晕船情况，结果如下表所示：解假设H 0：海上航行和性别没有关系，χ2＝71×(12×24－25×10)222×49×37×34≈0.08.因为χ2<2.706，所以我们没有理由认为男人比女人更容易晕船．题型三独立性检验的应用例3 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在(29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，结果如下表：甲厂(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并计算是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)χ2＝1 000×(360×180－320×140)500×500×680×320≈7.353＞6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．反思与感悟 (1)解答此类题目的关键在于正确利用χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算χ2的值，再用它与临界值的大小作比较来判断假设检验是否成立，从而使问题得到解决． (2)此类题目规律性强，解题比较格式化，填表计算分析比较即可，要熟悉其计算流程，不难理解掌握．跟踪训练3 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：(1)(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．解 (1)假设H 0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：χ2＝830×(52×218－466×94)2146×684×518×312≈54.21，∵54.21＞10.828，所以假设H 0不成立．因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用水的卫生程度有关． (2)依题意得2×2列联表：此时，χ2＝86×(5×22－50×9)214×72×55×31≈5.785.由于5.785＞5.024所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用水的卫生程度有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用水的卫生程度有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有97.5%的把握肯定结论的正确性.1．下面是一个2×2列联表：则表中a ＝________.b ＝答案 52 60解析 ∵a ＋21＝73，∴a ＝52，b ＝a ＋8＝52＋8＝60.2．为了考查长头发与女性头晕是否有关系，随机抽查301名女性，得到如表所示的列联表，试根据表格中已有数据填空.③________；④________. 答案 86 180 229 301解析最右侧的合计是对应行上的两个数据的和，由此可求出①和②；而最下面的合计是相应列上的两个数据的和，由刚才的结果可求得③④.3．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是________．(填序号) ①若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误．答案 ③解析对于①，99%的把握是通过大量的试验得出的结论，这100个吸烟的人中可能全患肺病也可能都不患，是随机的，所以①错；对于②，某人吸烟只能说其患病的可能性较大，并不一定患病；③的解释是正确的．4．为研究学生的数学成绩与学生学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：解由公式得：χ2＝189×(64×73－22×30)286×103×95×94≈38.459.∵38.459>10.828，∴有99.9%的把握认为，学生学习数学的兴趣与数学成绩是有关的．1.独立性检验的思想：先假设两个事件无关，计算统计量χ2的值．若χ2值较大，则假设不成立，认为两个事件有关．2．独立性检验的步骤：(1)作出假设H 0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；(2)计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．。

苏教版数学高二选修2-3学案 3.1 独立性检验

3.1独立性检验1．了解独立性检验的概念，会判断独立性检验事件．2．能列出2×2列联表，会求χ2(卡方统计量的值)．3．能够利用临界值，作出正确的判断．(重点)4．应用独立性检验分析实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理12×2列联表的意义阅读教材P91～P94“例1”以上部分，完成下列问题一般地，对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B(如吸烟与不吸烟)；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2(如患呼吸道疾病和未患呼吸道疾病)．我们得到如下表所示的抽样数据：Ⅱ类1类2合计Ⅰ类A a b a＋b类B c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋d列联表，2×2列联表经常用来判断Ⅰ和Ⅱ之间是否有关系．下面是一个2×2列联表：y1y2合计x1 a 2173x282533合计 b 46则表中a，b【解析】∵a＋21＝73，∴a＝52.又b＝a＋8＝52＋8＝60.【答案】52,60教材整理2独立性检验阅读教材P93～P94“例1”以上部分完成下列各题．1．独立性检验2×2列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，结果并不唯一．因此，由某个样本得到的推断有可能正确，也有可能错误．为了使不同样本量的数据有统一的评判标准，统计学中引入下面的量(称为卡方统计量)：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)(*)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．用χ2统计量研究这类问题的方法称为独立性检验(test of independence)．2．独立性检验的基本步骤要推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；(2)根据2×2列联表与公式(*)计算χ2的值；(3)查对临界值(如下表)，作出判断.P(χ2≥x0)0.500.400.250.150.10x00.4550.708 1.323 2.072 2.706 P(χ2≥x0)0.050.0250.0100.0050.001x0 3.841 5.024 6.6357.87910.8281．关于分类变量x与y的随机变量χ2的观测值k，下列说法正确的是________．(填序号)(1)k的值越大，“X和Y有关系”可信程度越小；(2)k的值越小，“X和Y有关系”可信程度越小；(3)k的值越接近于0，“X和Y无关”程度越小；(4)k的值越大，“X和Y无关”程度越大．【解析】k的值越大，X和Y有关系的可能性就越大，也就意味着X和Y 无关系的可能性就越小．【答案】(2)2．式子|ad－bc|越大，χ2的值就越________．(填“大”或“小”)【解析】由χ2的表达式知|ad－bc|越大，(ad－bc)2就越大，χ2就越大．【答案】大[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]绘制2×2列联表530人，女性为670人，发现其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．【精彩点拨】分成两类，找出不同类情况下的两个数据再列表．【自主解答】作2×2列联表如下：喜欢甜食不喜欢甜食合计男117413530女492178670合计609591 1 2001．分清类别是作列联表的关键．2．表中排成两行两列的数据是调查得来的结果．3．选取数据时，要求表中的四个数据a，b，c，d都要不小于5，以保证检验结果的可信度．[再练一题]1．某电视公司为了研究体育迷是否与性别有关，在调查的100人中，体育迷75人，其中女生30人，非体育迷25人，其中男生15人，请作出性别与体育迷的列联表．【解】体育迷非体育迷合计男451560女301040合计7525100利用χ2值进行独立性检验肤炎，在生产季节开始，随机抽取75名车间工人穿上新防护服，其余仍穿原用的防护服，生产进行一个月后，检查两组工人的皮肤炎患病人数如下：阳性例数阴性例数合计新防护服 5 70 75 旧防护服 10 18 28 合计1588103问这种新防护服对预防工人患职业性皮肤炎是否有效？并说明你的理由．【精彩点拨】通过有关数据的计算，作出相应的判断．【自主解答】提出假设H 0：新防护服对预防皮肤炎没有明显效果．根据列联表中的数据可求得 χ2＝103×(5×18－70×10)275×28×15×88≈13.826.因为H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈13.826>10.828，所以我们有99.9%的把握说新防护服比旧防护服对预防工人患职业性皮肤炎有效．根据2×2列联表，利用公式n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )计算χ2的值，再与临界值比较，作出判断．[再练一题]2．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175人秃顶．根据以上数据判断男性病人的秃顶与患心脏病是否有关系？【解】提出假设H 0：男性病人的秃顶与患心脏病没有关系．根据题中所给数据得到如下2×2列联表：患心脏病未患心脏病合计秃顶 214 175 389 不秃顶 451 597 1 048 合计6657721 437根据列联表中的数据可以求得χ2＝1 437×(214×597－175×451)2389×1 048×665×772≈16.373.因为当H 0成立时，χ2≥10.828的概率约为0.001，而这里χ2≈16.373>10.828，所以有99.9%的把握认为，男性病人的秃顶与患心脏病有关系．[探究共研型]独立性检验的综合应用探究1 【提示】利用χ2进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，样本容量n 越大，这个估计值越准确，如果抽取的样本容量很小，那么利用χ2进行独立性检验的结果就不具有可靠性．探究2 在χ2运算后，得到χ2的值为29.78，在判断变量相关时，P (χ2≥6.635)≈0.01和P (χ2≥7.879)≈0.005，哪种说法是正确的？【提示】两种说法均正确．P (χ2≥6.635)≈0.01的含义是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为两个变量相关；而P (χ2≥7.879)≈0.005的含义是在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为两个变量相关．为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关？【精彩点拨】解答本题可先列出2×2列联表，然后具体分析．【自主解答】 (1)2×2列联表如下：合格品数次品数合计甲在生产现场 982 8 990 甲不在生产现场493 17 510 合计1 475251 500度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．(2)由2×2列联表中数据，计算得到χ2的观测值为 χ2＝1 500×(982×17－493×8)2990×510×1 475×25≈13.097>10.828，因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关．判断两个变量是否有关的三种方法[再练一题]3．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据：出生时间在晚上的男婴为24人，女婴为8人；出生时间在白天的男婴为31人，女婴为26人．(1)将下面的2×2列联表补充完整；晚上白天合计男婴女婴合计系？【解】 (1)晚上白天合计男婴 24 31 55 女婴 8 26 34 合计325789(2)由所给数据计算χ2χ2＝89×(24×26－31×8)255×34×32×57≈3.689>2.706.根据临界值表知P (χ2≥2.706)≈0.10.因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为婴儿的性别与出生时间有关系．[构建·体系]1．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的________倍．【解析】由公式χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)中所有值变为原来的2倍，得(χ2)′＝2n(2a·2d－2b·2c)2(2a＋2b)(2c＋2d)(2a＋2c)(2b＋2d)＝2χ2，故χ2也变为原来的2倍．【答案】 22．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．【解析】对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B 一定发生，故④错．【答案】②3．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.则有__________的把握认为选修文科与性别有关．【答案】95%4．在2×2列联表中，两个比值aa＋b与________相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大. 【导学号：29440066】【解析】根据2×2列联表可知，比值aa＋b与cc＋d相差越大，则|ad－bc|就越大，那么两个分类变量有关系的可能性就越大．【答案】c c＋d5．(2014·辽宁高考节选)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020 合计7030100的饮食习惯方面有差异”．【解】将2×2列联表中的数据代入公式计算，得χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100×(60×10－20×10)280×20×70×30＝10021≈4.762.因为4.762＞3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．为了检验两个事件A 与B 是否相关，经计算得χ2＝3.850，我们有________的把握认为事件A 与B 相关．【答案】 95%2．(2016·连云港月考)为了考查高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，某市在该辖区内的高中学生中随机地抽取300名学生进行调查，得到表中数据：喜欢数学课程不喜欢数学课程合计男 47 95 142 女 35 123 158 合计82218300【解析】由χ2＝300×(47×123－35×95)2142×158×82×218≈4.512.【答案】 4.5123．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由χ2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.822.附表：①有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”； ②有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”；③在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”；④在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”．【解析】由附表可得知当χ2≥6.635时，有P ＝1－P ＝0.99，当χ2≥10.828时，有P ＝1－P ＝0.999，而此时的χ2≈7.822.显然有0.99<P <0.999，故可以得到有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．【答案】 ①4．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：填“是”或“否”)【解析】因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba＋b ＝1858，dc＋d＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．【答案】是5．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从某居民点抽取了1 000位居民进行调查，经过计算得χ2≈4.358，根据这一数据分析，下列说法正确的是________．①有95%的人认为该栏目优秀；②有95%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系；③在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系；④没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系．参考数据如表：【解析】查表可知4.358>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该电视栏目是否优秀与改革有关系．【答案】③6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了10 671人，经过计算χ2＝27.63.根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的(填“有关”或“无关”)．【解析】∵χ2＝27.63>10.828，∴有99.9%的把握认为“打鼾与患心脏病是有关的．【答案】有关7．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：设H0论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为______.【导学号：29440067】【解析】由公式计算得χ2≈4.882>3.841，所以有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．【答案】 4.8825%8．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：χ2＝.(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)参照附表，得到的正确结论的序号是__________．①在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”；②在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”；③有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”； ④有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”．【解析】根据列联表中的数据得到 χ2＝100×(45×15－30×10)255×45×75×25≈3.03>2.706.所以有90%以上的把握认为“该市民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选③.【答案】 ③ 二、解答题9．某中学高二班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行长期的调查，得到的统计数据如下表所示：【解】根据列联表中的数据得到χ2＝50×(18×19－6×7)225×25×24×26≈11.538>10.828，即有99.9%的把握认为学习的积极性与对待班级工作的态度有关． 10．为研究学生对国家大事的关心与否与性别是否有关，在学生中随机抽样调查，结果如下：(1)(2)扩大样本容量，将表中每个数据扩大为原来的10倍，然后作出判断分析； (3)从某中学随机抽取450名学生，其中男，女生数量之比为5∶4，通过问卷调查发现男生关心国家大事的百分率为94%，而女生关心国家大事的百分率为85%，请根据这些数据，判断该中学的学生是否关心国家大事与性别的关系．【解】 (1)提出假设H 0：学生对国家大事的关心与否与性别无关．由公式可得χ2＝400×(182×24－18×176)2200×200×358×42≈0.958.因为χ2≈0.958<2.706，所以我们没有理由认为学生是否关心国家大事与性别有关(当然也不能肯定无关)．(2)χ2＝4 000×(1 820×240－180×1 760)22 000×2 000×3 580×420≈9.577>6.635，所以我们有99%的把握认为是否关心国家大事与性别有关．(3)依题意得，男、女生人数分别是250人和200人，男生中关心国家大事的人数为235人，女生中关心国家大事的人数为170人．列出2×2列联表如下：由表中数据，得χ2＝450×(235×30－15×170)2250×200×405×45＝10>6.635，所以我们有99%的把握认为该中学的学生是否关心国家大事与性别有关．[能力提升]1．(2016·苏州月考)2016年10月8日为我国第十九个高血压日，主题是“在家测量您的血压”．某社区医疗服务部门为了考察该社区患高血压病是否与食盐摄入量有关，对该社区的1 633人进行了跟踪调查，得出以下数据：计算χ2，盐的摄入量有关系．【解析】 χ2＝1 633×(34×1 353－220×26)2254×1 379×1 573×60≈80.155>10.828.故有99.9%的把握认为患高血压病与食盐的摄入量有关系．【答案】 80.155 99.9%2．(2016·徐州期中)在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法： ①若χ2>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．【解析】 χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故①不正确，②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；③正确．【答案】③3．下列关于χ2的说法中，正确的有________(填序号)．①χ2的值越大，两个分类变量的相关性越大；②χ2的计算公式是χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)；③若求出χ2＝4>3.841，则有95%的把握认为两个分类变量有关系，即有5%的可能性使得“两个分类变量有关系”的推断出现错误；④独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断．【解析】对于①，χ2的值越大，只能说明我们有更大的把握认为二者有关系，却不能判断相关性大小，故①错；对于②，(ad－bc)应为(ad－bc)2，故②错；③④对．【答案】③④4．有两个分类变量X与Y，其一组观测值如下2×2列联表所示：其中a,X与Y 之间有关系．【解】查表可知：要使有90%的把握认为X与Y之间有关系，则χ2≥2.706，而χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝65×[a·(30＋a)－(15－a)·(20－a)]220×45×15×50＝13×(65a －300)250×45×60＝13×(13a －60)290×60.∵χ2≥2.706，∴13×(13a －60)290×60≥2.706，即(13a －60)2≥1 124，∴13a －60≥33.5或13a －60≤－33.5， ∴a ≥7.2或a ≤2. 又∵⎩⎪⎨⎪⎧a >5，15－a >5，∴5<a <10且a ∈Z . ∴a ＝8或9.∴当a ＝8或9时，有90%的把握认为X 与Y 之间有关系.。

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_3.1独立性检验
[对应学生用书P46]
1．2×2列联表的定义
对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B；Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.这些取值可用下面的2×2列联表表示.
2．χ2统计量的求法
公式χ2＝n(ad－bc)2
(a＋c)(b＋d)(a＋b)(c＋d)
.
3．独立性检验的概念
用统计量χ2研究两变量是否有关的方法称为独立性检验．4．独立性检验的步骤
要判断“Ⅰ与Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
(1)提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
(2)根据2×2列联表及χ2公式，计算χ2的值；
(3)查对临界值，作出判断．
其中临界值如表所示：
表示在H0成立的情况下，事件“χ2≥x0”发生的概率．
5．变量独立性判断的依据
(1)如果χ2>10.828时，那么有99.9%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
(2)如果χ2>6.635时，那么有99%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
(3)如果χ2>2.706时，那么有90%的把握认为“Ⅰ与Ⅱ有关系”；
(4)如果χ2≤2.706时，那么就认为没有充分的证据显示“Ⅰ与Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H0成立”，即Ⅰ与Ⅱ没有关系．
1．在2×2列联表中，通常要求a，b，c，d的值均不小于5.
2．表中|ad－bc|越小，Ⅰ与Ⅱ关系越弱；|ad－bc|越大，Ⅰ与Ⅱ关系越强．同时要记准表中a，b，c，d四个数据是交叉相乘然后再作差取绝对值，一定不要乘错．3．表中类A与类B，以及类1与类2的关系：对于对象Ⅰ来说，类A与类B是对立的，也就是说类A发生，类B一定不发生，类A不发生，则类B一定发生；同样对于对象Ⅱ来说，类1与类2的关系也是如此．
[对应学生用书P46]
[例1]530人，女性为670人，其中男性中喜欢吃甜食的为117人，女性中喜欢吃甜食的为492人，请作出性别与喜欢吃甜食的列联表．
[思路点拨]在2×2列联表中，共有两类变量，每一类变量都有两个不同的取值，然后找出相应的数据，列表即可．
[精解详析]作列联表如下：
[一点通]分清类别是列联表的作表关键步骤．表中排成两行两列的数据是调查得来的结果．
1．下面是2×2列联表：
则表中a，b的值分别为________，________.
解析：∵a＋21＝73，∴a＝52.
又∵a＋2＝b，∴b＝54.
答案：5254
2．某学校对高三学生作一项调查后发现：在平时的模拟考试中，性格内向的426名学生中有332名在考前心情紧张，性格外向的594名学生中在考前心情紧张的有213人.作出2×2列联表．
解：作列联表如下：
[例2]
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；
(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人，饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．[思路点拨](1)根据表中的信息计算χ2的值，并根据临界值表来分析相关性的大小，对于(2)要列出2×2列联表，方法同(1)．。