计算方法第四章r

m
P ( x1 , x2 , xn ) a j j ( x1 , x2 , xn )
j 0
l
i[ P ( x1i , x2i , xni ) yi ]2 取最小。
i 1
则拟合系数同样满足上页蓝色的方程。只不过
( j , k ) i j ( x1i , x2i , xni ) k ( x1i , x2i , xni )
i 0 n
S i[ P ( xi ) yi ]2
i 1
m
这里，求和中加了一个数 ，代表求和的权重。称 P( x) 为基 于函数列的对已知观测点的一个最小二乘逼近。
注意到 S 实际上是关于 ai (i 0,1,, n) 的一个函数，欲取最 小值，则 S 0 (i 0,1, , n) ai 如此得到一组方程，从中即可求出系数 ai (i 0,1,, n) 。 引入记号： m ( f , g ) i f ( xi ) g ( xi )
第四章 平方逼近 与一致逼近
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 例1： 0.5 1.55 1.98 2.45 3.15 3.21 4.12 4.96 5.32
例2：化学反应 分子扩散
0.1 2.8
0.5 2
1 1.6
1.5 1.3
2 1.2
y a b e x ，该函数应该与已知 对于例2，设函数形为：
5 S 2 (a b e xi c e 2 xi yi )e xi b i 1 0 5 S 2 (a b e xi c e2 xi yi )e 2 xi c i 1 0
同样，对于例1，由于已知点几乎分布在一直线上，所以，设 拟合函数为 y a b x
3. 拉盖尔多项式： 区间为 [0,）
d k k x Lk ( x) e x k ( x e ) , k 0,1, 2, dx
L0 ( x) 1 , L1 ( x) 1 x , L2 ( x) 2 4 x x 2 L3 ( x) 6 18x 9 x 2 x3 ,
f ( x) ( f , f ) ( f 2 ( x)dx)1/ 2
a b
2
3.
正交多项式
定义：满足 (k , j ) 0 (k j) , (k , k ) 0 的函数系称为正 交函数系，如果该函数系是多项式，称为正交多项式。 1： [- , ]中， 1, cosx , sinx , cos2x , sin2x， cos3x , sin3x , … ，cosnx , sinnx，…正交 2：勒让德多项式：
1 dk 2 Pk ( x) k ( x 1) k , k 0,1, 2, 2 k ! dx k
P0 ( x) 1 , P ( x) x , P2 ( x) (3 x 2 1) / 2 , P3 ( x) (5 x 3 3 x) / 2 1 1 1 4 2 P4 ( x) (35 x 30 x 3) , P5 ( x) (63x 5 70 x 3 15 x) 8 8
( Lk , Lk ) (k !)
2
4.埃尔米特多项式： 区间为 （- ,）
d x2 H k ( x) (1) e (e ) , k 0,1, 2, k dx
k x
2
k
H 0 ( x ) 1 , H1 ( x ) 2 x , H 2 ( x ) 4 x 2 2 H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x) 16 x 4 48 x 2 12 H 5 ( x) 32 x 5 160 x 3 120 x,
a 0.998 b 1.01
1. 最小二乘拟合
通常情况下，我们会遇到这样的问题：在研究某种客观现象 （物理、化学等）的时候，需要建立所描述对象的量之间的 函数关系式，这种关系式的物理或化学规律是知道的，即函
数结构或形状是清楚的，即我们知道与此规律相关的一系列
已知函数。此时，我们对要研究的函数进行一系列观测，得 到如干组观测值，然后利用这些观测值构造函数表达式（该 函数显然是我们已经知道的那一系列已知函数的组合），显 然，由于观测误差等原因，构造出的函数不可能严格过这些 观测值的点，对此，我们要求构造出的函数在观测点上的值 与观测值差的平方和达到最小。这称为最小二乘拟合。
个向量u，v，定义( u , v )，如果满足下面条件：
(1) (u, v) (v, u ) , (2) ( u, v) (u, v) , R (3) (u v, w) (u, w) (v, w) , u, v, w X (4) (u, u ) 0 , and (u, u ) 0 iff u
例子：三角函数系的Fourier级数展开。
y ( x) a0 (ak cos kx bk sin kx)
k 1
m
1 1 a0 y( x)dx , ak 2 1 bk y ( x) sin kxdx
y ( x) cos kxdx
y 1.424e0.2267 x
最后结果如图
最小二乘拟合多项式 设有变量 x 和 y 的一组数据：
( xi , yi ), , i 1, 2, , m
对多项式 P( x) a0 a1 x an x n 数后，使 ，选择适当系
1 S [ P ( xi ) yi ]2 i 1 m
最小二乘问题的一般提法：
设已知函数列线性无关 0 ( x),1 ( x),, n ( x), ，对于一组 已知点（观测值） ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),,( xm , ym ) ，求函数列的 一个组合 P ( x ) aii ( x ) ，使之最佳逼近这些点，即求系 数 ai (i 0,1,, n) 使下面的和取最小。
达到最小的多项式称为数据的最小二乘（平方）拟 合多项式，或变量x 和 y 之间的经验公式、数学模 型。
m
显然，S 达到最小值，则
S 0 ak
, k 0,1, , n
k P( xi ) 2 m n S 2 m j [ P( xi ) yi ] a j xi yi xi ak m i 1 ak m i 1 j 0
i 1 i i
n
i
例：区间[a , b]上的所有连续函数全体构成一个线性空间 C[a , b],在这个空间上定义：
f ( x) , g ( x) C[a, b] , ( f , g ) f ( x ) g ( x )dx
a
b
证明：这是一个内积。
Байду номын сангаас
定理：设( u , v )为空间X上的一个内积，对于空间中
则称( u , v )为空间X上的一个内积。
例：n维空间中的两个向量 x ( x1 , x2 ,, xn ) , y ( y1 , y2 ,, yn ) 定义：
( x, y ) xi yi
i 1
n
例：设 是一组正实数，定义： ( x, y ) 证明：这也是内积。
x y
m m 2 n { a j xij k xik yi } m j 0 i 1 i 1
记： sl x
i 1
m
l i
, tl xil yi
i 1
m
得正规方程组（法方程）：
s
j 0
n
j k
a j tk , k 0,1, , n
2. 内积
定义：设 X 为 R 上的线性空间，对于 X 中的任意两
i 1
m
例3：观测得到某函数一组数据，求其近似表达式：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1.78
2.24
2.74
3.74
4.45
5.31
6.92
8.85
10.97
设拟合函数为
y aebx
，引入变换
Y lg( y) ，拟合函数
为
1 0.58
Y lg(a) b lg(e) x a0 a1x ，数据变为：
点的差距最小。记：
S (a b e xi yi ) 2
i 1
5
5 S 2 (a b e xi yi ) 0 a i 1
5 S 2 (a b e xi yi )e xi 0 b i 1
5a 2.238b 8.9 2.238a 1.39b 4.789 a 0.856 , b 0.924 y 0.856 0.924 e x
2 0.81 3 1.01 4 1.32 5 1.49 6 1.67 7 1.93 8 2.18 9 2.395
得正规 9a0 45a1 5.811 方程组： 45a 285a 34.962
0 1 a0 0.15342 , a1 0.09845
a 1.424 , b 0.2267
i 1
则得方程组，称为正规方程组，从中即可求出系数：
( , )a
j 0 k j
n
j
(k , y) , k 0,1, 2, , n
m
(k , y ) ik ( xi ) yi
i 1
类似，可以得到多元函数的最小二乘拟合。设多元函数列线 性无关 0 ( x1 , x2 , xn ), 1 ( x1, x2 , xn ),, j ( x1, x2 , xn ), 一组测量数据为 ( x1i , x2i , xni , yi ) , i 1, 2,, m 设拟合函数为： 则 S
设函数形为： y a b e x ce2 x
S (a b e