对一道征解题解法的解法探究与背景分析

x6 64x3 2
2
又知 x 2 时 f (x) 0 ，所以 3 x 2 时 f (x) 0 ，2 x 3 32 时 f (x) 0 ，故 x 2 2
时 f (x) 取最小值，为 4.
注 上解法将问题归结到在[ 3 , 3 32] 上求函数的最小值，使得导函数的单调通过观察就 2
x
x
x
x2 64 1 x 16 2 ，当 x2 : 64 4 : 32 即 x 2 时等号成立.下面只证 x 1 x 16 2 8 即
x 3 3x
x
3 3x
x 4 2 6 且等号当 x 2 时成立. x
由基本不等式， x 4 2 x 2 2 2 2 33 x 2 2 2 2 33 8 6 ，当且仅当
x
xx
xx
x 2 2 即 x 2 时等号成立.得证. x
注 化求为证，可避免“求”的一些繁琐过程，值得注意. 二、命题背景与变式探究
我们考察函数 f (x) 的两个局部函数 x2 3x 与 x2 64 . 显然，在 x 0 范围内 x2 3x x
有惟一极小值点 x 3 ，而由解法 1 知 ( x2 64 ) x3 32 ， x2 64 也有惟一的极
一道征解题的解法探究及背景分析
陈大连 江苏省东海县白塔高级中学 222345 《数学通讯》（上半月）2016 年第 5、6 期“问题征解”一栏中问题 257 是一道源于教 材却高于教材的一元函数题，由于命题者安振平老师的精心设计，此题看上去十分短小，内 涵却颇为丰富，韵味十足，值得发掘、利用.
题目 求函数 f (x) x2 3x x2 64 (x 0) 的最小值. x
e
2 6x
u(x) (1 2)ex 2x e ，它单调递增，而 x 1 时 u(x) 0 ， u(x) 取最小值，为 1. e
v(x) 1 1 x2 1 x4 x 2 x4 1 x 1 (x2 1)(x2 1) x 1
2x 2 x2
f (x) 0 ， f (x) 单调递增.故 x 2 时 f (x) 取最小值，最小值 f (2) 4 .
注 用导数求解当函数比较复杂时其导函数也会比较复杂，此时许多人会望而却步，不 敢使用.上解法告诉我们，面对复杂的函数，由于其特殊性，求导法也并非不可用，要敢字 为先、善于联想、大胆尝试、灵活处理.另，此解法还有一大障碍，即导函数的零点不太好
6 2 x5 8x3 12
12
又知 x 1 时 f (x) 0 ，所以 5 x 1 时 f (x) 0 ，1 x 2 2 时 f (x) 0 ，故 x 1 12
时 f (x) 取最小值，为 19 . 6
2. 记 u(x) (1 2)ex x2 ex (x 0) ， v(x) 1 ln x 1 x3 1 ，则 f (x) u(x) v(x) .
66
6
3．记 f (x) (x 1)ex (x 0) ， g(x) ln x x2 x ，则
f (x) (x 1)ex (1) ex (2 x)ex ， x 2 时 f (x) 取最大值，为 e2 .
3x4 12x3
单调递增，又 x 2 时 g(x) 0 ， x 2 时 g(x) 0 ，0 x 2 时 g(x) 0 ，所以过程中的各等号都成立，所以 g(x) 的最小值 4 也是 f (x) 的最小值，
2x2
2x2
2x2

(x
1)[(x2
1)( 2x2
x

1)

1]
，
0 x 1时 v(x) 0 ，x 1 时 v(x) 0 ，所以 x 1 时，v(x) 取
最小值，为 7 . 6
所以 x 1 时 u(x) v(x) 取最小值 1 7 = 1 ，即 f (x) 最小值为 1 .
证 法 一 所 证 不 等 式 化 为 (x 2)2 x x2 64 8 ， 只 证 x x2 64 8 即
x
x
x2 64 8 x （*）且等号当 x 2 时成立. x
x 8 时，（*）不等式显然成立.
0 x 8 时，不等式化为 x2 64 (8 x)2 ，即 x2 64 82 16x x2 ，即 x 4 4 .由
这样就不难想到 2 这一数值.
解法 2 由解法 1 知 f (x) 2x 3 x3 32 .易见 2x 3 的零点为 3 ， x3 32 的
x6 64x3
2 x6 64x3
零点为 3 32（ 3 ），当 0 x 3 时 f (x) 0 ，f (x) 单调递减；当 x 3 32 时 f (x) 0 ，f (x)
x
x
x
x2 x 16
(x 2)2 3x 12
3x 12
12
x42
x42
x42
x42 3 .
x
x
x
x
令 g(x) x 4 2 3 12 (x 0) ，则 g(x) 1 x

12 x2
1
3 12
x
12
.显然 g(x)
1． 求函数 f (x) x2 5 x x 8 (x 0) 的最小值.
6
x
2． 求函数 f (x) (1 2)ex 1 ln x 1 x3 x2 ex 1 (x 0) 的最小值.
e2
6
x
在这种类型的函数中，有的最小值点并不好求，命题者可能并不要求我们求函数的最小
求，如果想通过方程 2x 3 x3 32 0 按部就班地解可以说很困难，因为若化去根号 x6 64x3
将得到高次方程（8 次），而此解法绕道而行，既不化简，更不去解，直接猜测，代入验证，
避难就易，可见解题要灵活，不可死板.当然猜出导函数的零点也不是空穴来风，从命题者
设计的数值 64 可想象这个零点可能是一个整数，甚至有可能使 x2 64 为一个完全平方数， x
， ( t 32 )
2 t2 64t
t
t2 64t
t2 64t
t2 64t (t 32) (t 32)
64t 322
0 ， t 32 是 t 的增函数，而 t 是 x 的
(t2 64t) t2 64t
(t2 64t) t2 64t
一、解法研究与启示
此题可先排除一种想法，即令 x2 64 t 进行换元，因为从中无法解出 x ；另外这个 x
函数不具有单调性，想直接用单调性解也没有可能性.只能从别的角度求解. 解法 1 从导数入手
f (x) 2x 3 1
2
x

64 x2
2x 3
2 x2 64
x
2
2
单调递增，所以 f (x) 的最小值只能在[ 3 , 3 32] 上某点取得，即只需求 f (x) 在[ 3 , 3 32] 上的
2
2
最小值.
显然，通过观察可知， 2x 3 是单调增函数， x [ 3 , 3 32] 时 x3 32 也是单调增函
2
x6 64x3
数，因此 2x 3 x3 32 在[ 3 , 3 32] 上单调递增，即 f (x) 在[ 3 , 3 32] 上单调递增.
即 x 2 时 f (x) 取最小值 4.
注 此解法利用取等条件放缩，化为求函数 x 4 2 3 12 的最小值，函数简单得多了. x
但前提是要先猜得函数的最小值.当问题比较复杂、直接难求时，先大胆猜出结果可为解题
提供思路、指明方向. 解法 4 将问题转化为“求证： x 0 时， x2 3x x2 64 4 且等号成立”. x
t2 64t
增函数，所以 x3 32 是 x 的增函数.故 f (x) 2x 3 x3 32 在 (0, ) 上是单调增.
x6 64x3
x6 64x3
可以验证 x 2 时 f (x) 0 ，所以 0 x 2 时 f (x) 0 ， f (x) 单调递减； 2 x 时
3．求证： (x 1)ex ln x x2 x e2 .
附 练习解答（只提供一种）
1．f (x) 2x 5 x2 8 ，当 0 x 5 时 f (x) 0 ，f (x) 单调递减；当 x 2 2
6 2 x5 8x3
12
时 f (x) 0 ， f (x) 单调递增，所以 f (x) 的最小值只能在[ 5 , 2 2] 上某点取得，即只需求 12
x
x6 64x3 (x6 64x3 ) x6 64x3
y x2 64
y
x
( x2 64 ) 0 ，所以函数 x2 64 也是下凸的，两函数图象在同
x
x
一坐标系中的形状与位置关系大致如右图所示. 根据函数的构造规律，笔者自编两道题供练习使用：
3
23
x
O
3 32
y x 2 x3
可获得，而不必再次求导，体现化难为易、避繁就简这一原则，也体现思维的灵活性. 解法 3 如果先猜到函数是在 x 2 时取最小值，那么可充分利用取等条件放缩.
f (x) x2 3x x2 64 (x 2)2 x 4 (x 2)2 4x 4 64 x 4 2 x 1 16
是都是下凸的（可用二阶导数符号判断：若 g(x) 0 ，则 g(x) 下凸；若 g(x) 0 ，则 g(x)
上凸），那么 f (x) 也必然是下凸的，也必有最小值，原理同上.本题中 x2 3x 是下凸的，而