构造双函数是解答导数综合题的一大利器
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法作者：杨光关键来源：《新课程·中旬》2013年第09期导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x∈R，求证ex≥1+x构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1）令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x>1，求证■分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）=-x2+ax-3（1）求f （x）在[t，t+2]（t>0）上的最小值；（2）对一切x∈（0，+∞），2f （x）≥g （x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：（1）略（2）2xlnx≥-x2+ax-3恒成立，∵x>0，原不等式等价于a≤2lnx+x+■.令g （x）=2lnx+x+■，则g′ （x）=■，所以g （x）的最小值为g （1）=4，即a≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于xlnx>■-■，令F （x）=xlnx，G （x）=■-■则可求F （x）的最小值为F （■）=-■；G （x）的最大值为G （1）=-■，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y=f （x）在R上可导且满足不等式xf ′ （x）>-f （x）恒成立，且常数a，b 满足a>b，求证：af （a）>bf （b）分析：由条件移项后xf ′ （x）+f （x），可以构造函数F （x）=xf （x），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′ （x）>f （x），则移项后xf ′ （x）-f （x），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x）=■，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x）=f （x0）+f ′ （x0）（x-x0）+■（x-x0）2+…+■（x-x0）n+…当f （x）=lnx，取x=1，则lnx=x-1-■+…lnx≈x-1例6.数列{an}，a1=1，an+1=lnan+an+2，求证an≤2n-1分析：设f （x）=lnx-（x-1），f ′ （x）=■-1=■，当x∈（0，1），f ′ （x）>0当x∈（1，+∞），f ′ （x）lnan≤an-1，an+1=lnan+an+2≤2an+1，∴an+1+1≤2（an+1）迭代，1+an≤2（1+an-1）≤…≤2n-1（1+a1）=2n∴an≤2n-1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x）=■+aln（x-1）其中n∈N*，a为常数.（1）当n=2时，求函数f （x）的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f （x）≤x-1分析（2）：当a=1时，f （x）=■+ln（x-1）.当x≥2时，对任意的正整数n，恒有■≤1，故只需证明1+ln（x-1）≤x-1.令h （x）=x-1-[1+ln（x-1）]=x-2-ln（x-1），x∈[2，+∞），则h ′ （x）=1-■=■，当x≥2时，h ′ （x）≥0，故，h （x）在[2，+∞）上单调递增，因此x≥2时，当h （x）≥h （2）=0，即1+ln（x-1）≤x-1成立.故当x≥2时，有■+ln（x-1）≤x-1.即f （x）≤x-1.另外，高等数学中有一个极限结论：■■=1由以上极限不难得出，当x>0时，sinx所以函数 f （x）在（0，+∞）上单调递增，f （x）>f （0）=0.所以x-sinx>0，即sinx导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）？誗编辑谢尾合。
简析导数问题中构造辅助函数的常用方法
2013-09教学实践导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法.一、作差法（直接构造法）这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负.例1.设x ∈R ，求证e x ≥1+x构造函数f （x ）=e x -1-x ，对函数求导可得f ′（x ）≥e x -1，当x ≥0时，f ′（x ）≥0，f （x ）在［0，+∞）上是增函数，f （x ）≥f （0）=0，当x <0时，f ′（x ）<0，f （x ）在（-∞，0）上为减函数，f （x ）>f （0）=0，因此，当x ∈R ，f （x ）≥f （0）=0，即e x≥1+x例2.x >-1，求证1-1x +1≤ln （x +1）≤x以证明右侧为例，设f （x ）=x -ln （x +1），f ′（x ）=1-1x +1（x >-1）令f ′（x ）=0，x =0，当x ∈（-1，0）时，f ′（x ）<0，函数递减，当x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）>0，函数递增，所以x =0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x ）≥0.二、先去分母再作差有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差.例3.x >1，求证ln x x -1<1x√分析：设f （x ）=x -1x √-ln x ，f （x ）=x √-1x√-ln x ，f ′（x ）=12x-12+12x-32-1x ，f ′（x ）=（x √-1）22x x√≥0，f （x ）≥f （1），f （1）=0，∴f （x ）>0三、先分离参数再构造例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x ）=x ln x ，g （x ）=-x 2+ax -3（1）求f （x ）在［t ，t +2］（t >0）上的最小值；（2）对一切x ∈（0,+∞），2f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明对一切x ∈（0,+∞），都有ln x >1e x -2e x 成立.分析：（1）略（2）2x ln x ≥-x 2+ax -3恒成立，∵x >0，原不等式等价于a ≤2ln x +x +3x.令g （x ）=2ln x +x +3x ，则g ′（x ）=（x +3）（x -1）x 2，所以g （x ）的最小值为g （1）=4，即a ≤4（3）利用前面提到的第二种方法，先去分母再构造，目的就是使得构造的函数易于求导，易于分析.原不等式等价于x ln x >x e x -2e ，令F （x ）=x ln x ，G （x ）=x e x -2e则可求F （x ）的最小值为F （1e ）=-1e；G （x ）的最大值为G （1）=-1e，所以原不等式成立.四、从条件特征入手构造函数证明例5.若函数y =f （x ）在R 上可导且满足不等式xf ′（x ）>-f （x ）恒成立，且常数a ，b 满足a>b ，求证：af （a ）>bf （b ）分析：由条件移项后xf ′（x ）+f （x ），可以构造函数F （x ）=xf （x ），求导即可完成证明.若题目中的条件改为xf ′（x ）>f （x ），则移项后xf ′（x ）-f （x ），要想到是一个商的导数的分子，构造函数F （x ）=f （x ）x ，求导去完成证明.五、由高等数学中的结论构造利用泰勒公式，可以把任意一个函数用幂函数近似表示.f （x ）=f （x 0）+f ′（x 0）（x-x 0）+f ″（x 0）2！（x-x 0）2+…+f n（x 0）n ！（x-x 0）n+…当f （x ）=ln x ，取x =1，则ln x =x -1-（x -1）22！+…ln x ≈x -1例6.数列{a n }，a 1=1，a n +1=ln a n +a n +2，求证a n ≤2n -1分析：设f （x ）=ln x -（x -1），f ′（x ）=1x -1=1-x x，当x ∈（0，1），f ′（x ）>0当x ∈（1，+∞），f ′（x ）<0，f （x ）≤f （1）=0∴ln x ≤x -1ln a n ≤a n -1，a n +1=ln a n +a n +2≤2a n +1，∴a n +1+1≤2（a n +1）迭代，1+a n ≤2（1+a n -1）≤…≤2n -1（1+a 1）=2n∴a n ≤2n -1例7.（2008年山东理21）已知函数f （x ）=1（1-x ）n +a ln （x -1）其中n ∈N*，a 为常数.（1）当n =2时，求函数f （x ）的极值；（2）当a =1时，证明：对任意的正整数n ，当x ≥2时，有f （x ）≤x -1分析（2）：当a =1时，f （x ）=1（1-x ）n +ln（x -1）.当x ≥2时，对任意的正整数n ，恒有1（1-x ）n ≤1，故只需证明1+ln （x -1）≤x -1.令h （x ）=x -1-［1+ln （x -1）］=x -2-ln （x -1），x ∈［2，+∞），则h ′（x ）=1-1x -1=x -2x -1，当x ≥2时，h ′（x ）≥0，故，h （x ）在［2，+∞）上单调递增，因此x ≥2时，当h （x ）≥h （2）=0，即1+ln （x -1）≤x -1成立.故当x ≥2时，有1（1-x ）n +ln （x -1）≤x -1.即f （x ）≤x -1.另外，高等数学中有一个极限结论：lim x →0sin x x =1由以上极限不难得出，当x >0时，sin x <x ，构造函数f （x ）=x -sin x ，则f ′（x ）=1-cos x ≥0，所以函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，f （x ）>f （0）=0.所以x -sin x >0，即sin x <x .导数问题中构造辅助函数还有其他的方法，例如变更主元法，二次求导再构造，难度偏大，这里先不做详解.（作者单位杨光：黑龙江省哈尔滨师范大学数学系关键：黑龙江省大庆市第四中学）•编辑谢尾合简析导数问题中构造辅助函数的常用方法文/杨光关键104--. All Rights Reserved.。
构造辅助函数在解决数学问题中的作用
众 所 周 知 ， 解 决 几 何 问 题 时 如 果 我 们 恰 当 的建 立 一 条 辅 助 在 线， 问题 就 会 迎 韧而 解 ， 同样 道 理 ， 解决 数 学 问题 时 也 经 常 需 要 在 辅助函数。 函数 思 想 是 一 种 通 过 构 造 辅 助 函 数 实 现 问 题 转 化 的 思 想 ， 几 乎渗 透 到数 学 的 各个 领 域 ， 学 学 习 中 函数 也是 重 要 内 容 之一 。 数 根 据题设条件， 把所 求 解 的 问题 转 化 为 对一 函数 性 质的 讨 论 ， 而 使 从 所 求解 答 问 题 得 到 答 案 ， 为 构 造 辅 助 函数 解题 。 确 、 理 的 构 称 正 合 造 辅 助 函 数 需 要 深 刻 的 理 解 方 程 、 等 式 、 数 等 知 识 之 间 的 关 不 函 系 ， 且针对某些问题的具体特点加以分析 。 并 研 究 构 造 辅 助 函数 解题 ， 目的在 于培 养学 生 观 察 、 析 、 想 分 联 的思 想 方法 以 及 创造 性 思 维能 力 。 察是 思 维 的入 口 ， 解 题 的 第 观 是 能 力 ， 五光 十 色 的 交叉 干 扰 信号 中 ， 从 能迅 速 地 找到 自己需要 的 光 点 ， 是 观察 能 力 中最 基 础 最 珍 贵 的 直 觉 思 维 能 力 。 这 联想 是 一种 特定 的 想 象 ， 它是 把 某一 领 域 的事 物 与 其他 领域 的 事物 联 系起 来 思考 并 由此激 发 的新 的 认识 得 的思 维 方式 ， 想的 过 联
３ 构造辅助函数求解参数的取值 范围
对 于 求 参 数 取 值 范 围 的 问题 是 数 学 教 学 的 又 一 个 难 点 ， 造 构 辅 助 函数 法 在 解 答此 类 问题 不 失 为是 一 种好 方法 。 （） １ 以方 程 为 载 体 。 在 含 有 参 数 的方 程 中 ， 参 数 是 为 主 变元 的 函数 ， 能 通 过 适 将 若
高中数学知识点灵活运用130讲之9-导数双变量问题函数构造
双变量问题之函数构造核心知识点：形如，构造新的函数★如果题目中没有的大小关系，要在步骤中假设经典例题：1.已知函数，，设，若对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围. 解题思路：假设，，；设，此时说明是单调递增函数；设，，2.若对任意的恒成立，则的最小值为？解题思路：，，两边同时除以，得到；设，此时说明在上是单调递减；，，设在单调递减，，()()m x x x f x f >--2121()()()212211x x mx x f mx x f >->-21,x x 21x x >()221x x f =()x a x g ln =()()()x g x f x h +=21,x x ()()22121>--x x x h x h a 21x x >()()()21212x x x h x h ->-∴()()221122x x h x x h ->-∴()()x x a x x x h x g 2ln 2122-+=-=()x g ()0222'≥+-=-+=∴xax x x a x x g ()022≥+-=a x x x ϕx x a 22+-≥∴1≥∴a [)a x x e x e x x x x x x x <--<-∈2112212121,,0,2,a 21x x < ()211221x x a ex e x x x->-∴21x x ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛->-∴12211121x x a x e x e x x 22111121x a x e x a x e x x +>+∴()xax e x g x +=()x g [)0,2-∈x ()02'≤--=∴xae xe x g x x ()x e x a 1-≥()()x e x x 1-=ϕ[)0,2-()()2max 32e x -=-=∴ϕϕ23e a -≥∴双变量问题之与替换核心知识点：题目中和有等式关系，可以用表示，或者用表示；如果和无法互相表示，则引入第三变量，用分别表示，☆找出变量范围小题篇经典例题：1.（2019·江西高三月考（文））设函数，若函数存在两个零点，(<)，则的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．解题思路：核心要知道：，，此时；设，恒成立，在上单调递增；，所以选择2.（2019·河南高三月考（文））已知函数若成立，则的最小值为（） A ． B ．C ．D ．解题思路：1x 2x 1x 2x 1x 2x 2x 1x 1x 2x t t 1x 2x [)[),0,1()1,1,x e x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩()y f x k =-1x 2x 1x 2x 211()()x x f x -⋅)22,e⎡⎣)21,e⎡⎣)2,e e⎡⎣21,e ⎡⎤⎣⎦121-=x ex 112+=∴x e x [)1,01∈x ()()()1111121x xe x e xf x x ⋅-+=⋅-()()xxe x e x g ⋅-+=1()()02'>⋅-=xxe x e x g ()x g ∴[)1,0∈x ()()()()2max min 1,20e g x g g x g ====∴A 21()ln ,(),22x x f x g x e -=+=()()g m f n =n m -1ln 2-ln2323e -由题意可知，，即，（互相表示非常困难，所以引入第三变量）设，，设，在单调递减，单调递增，所以选择练习题：1.（2019·黑龙江高三月考（文））设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．解题思路：核心要知道：，此时()()n f m g =212ln2+=-n em t n em =+=-212ln 2212,2ln -=+=∴t e n t m 2ln 221--=-∴-t em n t ()2ln 221--=-t et h t ()tet h t 1221'-=-()t h ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫⎝⎛∞+，21()2ln 21ln 21min =-=⎪⎭⎫⎝⎛=∴h t h B()21,25,2xx f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩…,,a b c ()()()f a f b f c ==222a b c ++()16,32()18,34()17,35()6,711221+-=-=-c ba()5,4∈c ()34,1822222∈+=++c c b a2.已如函数f （x ）={1+lnx ，x ≥112x +12，x ＜1，若x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）＝2，则x 1+x 2的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．[e ﹣1，+∞）C ．[3﹣2ln 2，+∞）D ．[3﹣2ln 3，+∞）解题思路：假设时，，，，此时设，，在上单调递减，上单调递增，所以选择3.已如函数f （x ）={1+lnx ，x ≥13x−2，x ＜1，若x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）＝2，则x 1+x 2的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，2）解题思路：假设时，，，，此时设，，在上单调递增，所以选择大题篇：核心知识点：题目中和有等式关系，用分别表示和，或者用分别表示和21x x >()()221=+x f x f 22121ln 121=+++∴x x 1ln 212+-=∴x x ()∞+∈，11x 1ln 21121+-=+∴x x x x ()1ln 2+-=x x x g ()xx g 21'-=∴()x g ∴()2,1()+∞,2()()2ln 32min -==∴g x g C21x x >()()221=+x f x f 223ln 121=-++∴x x 3ln 13ln 3112x x x -=-=∴()∞+∈，11x 1ln 311121+-=+∴x x x x ()1ln 31+-=x x x g ()x x g 311'-=∴()x g ∴()+∞,1()()21min =>∴g x g C1x 2x 1x 2x a 2x 1x a经典例题：1.已知函数A f (x = )ln x +x 2−ax (a ∈R )⑴求函数的单调区间；⑵设存在两个极值点，且，若，求证解题思路：由题意可知，设当，即时，恒成立，所以在是单调递增；当，即或时，当时，，在，上单调递增，上单调递减当时，，在上单调递增⑵由题意可得，是的两个根，则（用分别表示出和），整理，得，此时 设，求导得恒成立，()x f ()x f 21,x x 21x x <2101<<x ()()2ln 4321->-x f x f ()xax x a x x x f 12212'+-=-+=()122+-=ax x x ϕ082≤-=∆a 2222≤≤-x ()0≥x ϕ()x f ()+∞,0082>-=∆a 22-<a 22>a ()10=ϕ22>a ()10=ϕ()x f ∴()10x ，()+∞,2x ()21,x x 22-<a ()10=ϕ()x f ∴()+∞,021,x x ()0122=+-=ax x x ϕ21,22121==+x x a x x 111212,21x x a x x +==∴1x 2x a ()()()2222121121ln ln ax x x ax x x x f x f -+--+=-∴()()2121121412ln ln 2x x x x f x f -++=-∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,01x ()22412ln ln 2x xx x h -++=()()01214422123223243'<--=-+-=--=x x x x x x x x x h在上单调递减，2.已知对数函数过定点（其中…）函数（其中为的导函数，为常数）.（1）讨论的单调性（2）若对有恒成立，且在，处的导数相等，求证：. 解题思路：由题意可知，则求导，得，当时，恒成立，在上单调递减；当时，在上单调递增，上单调递减⑵由题意，即，即，设，则，由（1）可知，时，又，，求导得，，由题意可知，即设，由利用均值不等式，可得设，，在上为单调递增，()x h ∴⎪⎭⎫⎝⎛21,0()2ln 4321-=⎪⎭⎫ ⎝⎛>∴h x h ()fx 12P ⎫⎪⎭2.71828e ≈()()()g x n mf x f x '=--()f x '()f x ,n m ()g x (0,)x ∀∈+∞()m n x g -≤()()2h x g x x n =+-1x x =()212x x x ≠()()1272ln 2h x h x +>-()x x f ln =()x xmn x g ln --=()22'1xx m x x m x g -=-=0≤m ()0'<x g ()x g ∴()+∞,00>m ()x g ∴()m ,0()∞+，m ()m n x g -≤m n x x m n -≤--ln 0ln ≤--x xmm ()x x m m x ln --=ϕ()xx m x 1'2-=ϕ0>m ()()0ln 1max ≤--==m m m x ϕϕm m ln 1≥- 0ln 1=--∴m m 1=∴m ()x x x x h ln 12--=∴()xx x h 1122'-+=()()2'1'x h x h =11121=+∴x x 2121x x x x ⋅=+()()()()()()2121212122211121ln 12ln 12ln 12ln 12x x x x x x x x x x x x x x x h x h --=--+=--+--=+∴21x x t =2121x x x x ⋅=+4>t ∴()t t t ln 12--=ρ()tt 12'-=ρ()t ρ∴()+∞,4()()2ln 274-=>∴ρρt。
构造函数解决导数问题的常用模型
构造函数解决导数问题的常用模型求导是数学中常见的一类问题，它是估算函数的变化趋势的基本方法。
求解导数的方法和理论可以追溯到欧几里德几何学的时期，而现代数学中的求导知识则是统计学和微分几何学中的重要内容。
随着科学技术的进步，如今求导的方法有了很大的进步，专门的数学模型也用于求解导数问题。
构造函数是一种具有良好结构性和函数形式的表达式，它具有宽泛的数学推理能力，可以解决复杂的数学问题，其中包括求解导数问题。
构造函数解决导数问题的常用模型是利用构造函数求函数的导数的方法。
首先要解决的是函数的求导，而具体的求导方法是根据构造函数的函数形式来进行求解的。
函数的形式分为一阶、二阶、及高阶，这些形式是使用构造函数求函数导数的基本方法。
一阶函数可以使用构造函数求解，一阶函数求导的基本方法是利用微积变换定理进行求解。
微积变换定理。
它将微积分替换为定积分，这样就可以利用定积分的技巧来求出函数的导数。
二阶函数求导也可以使用构造函数求解，二阶函数求导的方法是利用方程的极值问题解决的。
有时候二阶函数不是方程的极值，而是一个复杂的一阶函数。
在这种情况下，可以利用定积分分析和积分变换法来求出它的导数。
高阶函数求导可以使用微积变换公式进行计算，高阶函数求导的方法是利用函数形式求出函数的导数。
在求解高阶函数的导数时，需要利用的微积变换公式是:简高阶函数的同时，注意计算每项函数的导数，最终得到函数的导数。
一些复杂的函数不能利用上述方法求出其导数，此时可以利用构造函数的函数形式求解。
这些函数形式可以组合，形成一个复杂的函数，并且利用函数形式求出函数的导数，从而求得函数的导数。
构造函数解决导数问题的常用模型是分别根据一阶、二阶、及高阶函数的函数形式进行求函数的导数。
同时，还有一些复杂的函数的求导可以利用构造函数的函数形式来解决。
这是解决导数问题的常用模型，比较有效，而且容易理解和实现。
总之，构造函数解决导数问题的常用模型是受到许多数学理论的影响，利用构造函数的函数形式求解函数的导数，这种模型相对有效且容易理解实现。
构造函数求导题型常见模型
构造函数求导题型常见模型一、引言在高等数学中，构造函数求导是一个非常重要的概念。
该概念在微积分、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍构造函数求导的常见模型，并提供一个全面详细的函数。
二、构造函数求导模型1. 复合函数求导复合函数是由两个或多个函数组成的函数。
对于复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
具体而言，如果f(x)和g(x)都可导，则复合函数h(x)=f(g(x))也可导，并且其导数为h'(x)=f'(g(x))g'(x)。
2. 反函数求导反函数是指如果f(x)在区间I上单调递增（或单调递减）且连续，则存在其反函数g(y)，使得g(f(x))=x（或f(g(y))=y）。
对于反函数，我们可以使用公式g'(y)=1/f'(x)，其中x=f(y)。
3. 参数方程求导参数方程是指将一个曲线用两个参数表示出来，即x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数。
对于参数方程，我们可以使用链式法则来求导。
具体而言，如果x=f(t)和y=g(t)都可导，则曲线的切线斜率为dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=g'(t)/f'(t)。
4. 隐函数求导隐函数是指将一个方程用x和y表示出来，即F(x,y)=0。
对于隐函数，我们可以使用隐函数求导法来求导。
具体而言，我们可以将F(x,y)=0两边同时对x求导，并使用链式法则来计算dy/dx。
三、构造函数求导常见问题及解决方法1. 忘记使用链式法则对于复合函数、参数方程和隐函数，我们需要使用链式法则来计算其导数。
如果忘记使用链式法则，则无法正确计算导数。
2. 计算错误在进行复杂的计算时，容易出现计算错误。
因此，在进行构造函数求导时，需要仔细检查每一步的计算结果，并避免粗心大意。
3. 求解不完整有时候，在进行构造函数求导时，可能会漏掉某些情况。
因此，在进行构造函数求导时，需要考虑所有可能的情况，并确保没有遗漏。
202新数学复习第二章函数导数及其应用2.2.2利用导数证明不等式学案含解析
第2课时利用导数证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式,构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有:(1）直接构造法:证明不等式f(x）〉g(x)（f（x)<g(x))转化为证明f(x)－g（x）>0（f（x）－g(x）〈0），进而构造辅助函数h（x）＝f(x）－g(x)；(2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x〈x<e x（x〉0),错误!≤ln（x＋1)≤x（x>－1）；(3)特征分析构造法：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构"构造辅助函数；(4）构造双函数:若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f（x)和g(x)，利用其最值求解．方法1直接构造差函数法【例1】已知函数f(x)＝1－错误!,g(x)＝错误!＋错误!－bx(e为自然对数的底数），若曲线y＝f(x)与曲线y＝g（x）的一个公共点是A（1,1）,且在点A处的切线互相垂直．(1）求a，b的值；(2)求证：当x≥1时,f（x）＋g(x)≥错误!.【解】（1）因为f（x)＝1－ln x x，所以f′（x)＝错误!，f′（1)＝－1。
因为g(x)＝错误!＋错误!－bx，所以g′(x）＝－错误!－错误!－b。
因为曲线y＝f(x）与曲线y＝g(x）的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g（1）＝1，且f′（1)·g′(1)＝－1，即g(1）＝1＋a－b＝1，g′（1）＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。
（2)证明：由(1)知,g（x）＝－错误!＋错误!＋x,则f(x)＋g（x)≥2x⇔1－错误!－错误!－错误!＋x≥0.令h(x)＝1－错误!－错误!－错误!＋x(x≥1),则h′(x)＝－错误!＋错误!＋错误!＋1＝错误!＋错误!＋1.因为x≥1，所以h′(x)＝ln xx2＋错误!＋1>0，所以h(x）在[1，＋∞)上单调递增，所以h（x)≥h（1)＝0,即1－错误!－错误!－错误!＋x≥0,所以当x≥1时,f(x)＋g(x）≥错误!。
导数双元问题处理技巧
导数双元问题处理技巧
导数双元问题是指同时涉及到两个变量的导数问题，这类问题通常比较复杂，需要一定的技巧来处理。
以下是一些处理导数双元问题的技巧：
1. 建立关系式：首先需要建立两个变量之间的关系式，以便将两个变量联系起来。
可以通过代数方法或者图形方法来建立关系式。
2. 确定导数的定义域：在处理导数问题时，需要先确定函数的定义域，特别是对于双元问题，需要特别注意定义域的限制条件。
3. 求导：根据题目要求，对函数进行求导。
在求导过程中，需要注意变量的替换和链式法则的应用。
4. 寻找极值点：通过求导数等于零的点，可以找到函数的极值点。
在双元问题中，需要分别对两个变量求导，然后令导数等于零，解出对应的值。
5. 判断单调性：通过判断导数的正负性，可以确定函数的单调性。
在双元问题中，需要分别对两个变量求导，然后根据导数的正负性来判断函数的单调性。
6. 求解最值：在找到极值点和单调性后，可以求解函数的最值。
在双元问题中，需要分别对两个变量求最值，然后根据实际情况进行取舍。
7. 验证答案：最后需要对答案进行验证，确保答案的正确性和合理性。
可以通过代入法或者图形法来进行验证。
总之，处理导数双元问题需要一定的技巧和耐心，需要综合考虑函数的定义域、导数的计算、极值点的寻找、单调性的判断以及最值的求解等多个方面。
同时需要注意细节和计算准确性，以免出现错误。
构造双函数是解答导数综合题的一大利器
构造双函数是解答导数综合题的一大利器
作者：蓝云波
来源：《中学生数理化·高二版》2016年第07期
翻阅近十年各省市的高考题，就会发现大都以导数综合解答题作为压轴之作。
这类题由于其解答的方法灵活，没有固定的解题套路，对同学们的综合能力要求较高，因此难度往往很大，得分率极低，在考试过程中导致不少同学对其“战略放弃”。
因此，如何突破这一难点是同学们面临的一大难题。
同学们平时若能多总结和反思，把解题的过程提升到一定的理论高度，自己的解题效率和能力将大大提升。
通过对导数解答题的归纳分析，可以发现构造双函数是解答导数综合题的一大利器。
高中数学构造函数解决导数问题专题复习
高中数学构造函数解决导数问题专题复习高中数学构造函数解决导数问题专题复习【知识框架】【考点分类】考点一、直接作差构造函数证明；两个函数，一个变量，直接构造函数求最值；【例1-1】（14顺义一模理18）已知函数（）（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．【例1-2】（13海淀二模文18）已知函数.（Ⅰ）当时，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值；（Ⅱ）若，都有，求实数的取值范围.【练1-1】（14西城一模文18）已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意，都有，求的取值范围．【练1-2】已知函数是常数．（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线的方程；（Ⅱ）证明函数的图象在直线的下方；（Ⅲ）讨论函数零点的个数．【练1-3】已知曲线.(Ⅰ)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(Ⅱ)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【练1-4】已知函数，求证：在区间上，函数的图像在函数的图像的下方；【练1-5】.已知函数；（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）若在区间上，函数的图像恒在直线下方，求的取值范围。
【练1-6】已知函数；（1）求的极小值；（2）如果直线与函数的图像无交点，求的取值范围；答案：考点二、从条件特征入手构造函数证明【例2-1】若函数在上可导且满足不等式，恒成立，且常数，满足，求证：。
【例2-2】设是上的可导函数，分别为的导函数，且满足，则当时，有（）A.B.C.D.【练2-1】设是上的可导函数，，求不等式的解集。
【练2-2】已知定义在的函数满足，且，若，求关于的不等式的解集。
【练2-3】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，则下列关于的大小关系正确的是（）DA.B.C.D.【练2-4】已知函数为定义在上的可导函数，且对于任意恒成立，为自然对数的底数，则（）CA.B.C.D.【练2-5】设是上的可导函数，且，求的值。