相似三角形的判定(习题课)1
《相似三角形的判定定理》练习题
15.(导学号 40134043)(2017·泰安)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝ AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD. (1)证明：∠BDC＝∠PDC； (2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长.
九年级下册数学（人教版）
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理3
知识点1：相似三角形的判定定理3
1.如图在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，
则一定有(
)C
A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF
C.△ADE∽△ECF D.△AEF∽△ABF
DP·BD＝AD·BC，∴AB2＋AD·BC＝DB·PB＋DP·BD＝DB(PB＋DP)＝
DB2，即BD2＝AB2＋AD·BC.
2.如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三 角形有( B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是( A ) A.AADB＝AACE B.ABEE＝CADD C.AADC＝AAEB D.DBCE＝AADC
8 4.如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BA＝5，AE＝2，则DE＝__3__.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∴A︵B＝D︵C.∴AB＝DC.
(2)易证△ADP∽△DBC，∴ABDD＝BDCP.∴DP·BD＝AD·BC.
相似三角形性质习题课
C (0,2 2 )
O
B
(8,0)
如图，△ABC是一 块余料，边AB=90厘米，高
CN=60厘米，要把它加工成正方形零件，使正方形
的一边在AB上，其余两个顶点分别在BC、AC上
①这个正方形零件的边长是多少？
②如果把正方形的零件改变为加工矩形零件,设
DP=x，DE=y，写出y与x之间的函数关系式，试
围. 解:
A
∵∠A=∠A ∵∠ADE=∠B
E D
∴△ADE∽△ABC ( )
∴AD:AB=AE:AC
B
C
∴x:5=y:4
∴y=0.8x
(0＜x≤4)
如图:
写出其中的几 个等积式
①AC2= AO×AB
②BC2= BO×AB
③OC2= AO×BO
若AC=3,AO=1. 写出A.B.C三点 的坐标.
A (-1,0)
一、回顾
1.相似三角形的识别
一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等
一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 成比例，并且夹角相等 一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例
2.相似三角形的性质
对应边成比例，对应角相等 对应高，对应中线，对应角平分线的比等于相似比 对应周长的比等于相似比 对应面积的比等于相似比的平方
2.右图中,若D,E分别是
DE
AB,AC边上的中点,且
DE=4则BC= ＿8 ＿＿＿
B
C
பைடு நூலகம்
3.右图中, DE∥BC， S△ADE:S四边形DBCE = 1:8, 则AE:AC=＿1:＿3 ＿＿＿
4. 在△ABCAC=4,AB=5.D是 AC上一动点,且∠ADE=∠B,设
《相似三角形的判定(第1课时)》教案
相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定〔1〕【知识与技能】会说判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似.会用这种方法判断两个三角形是否相似.【过程与方法】培养学生动手操作能力.【情感态度】在动手推演中感受几何的趣味性.【教学重点】相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算.【教学难点】相似三角形的判定定理1的运用.一、情境导入，初步认识1.两个矩形一定会相似吗？为什么？2.如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例.△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法.二、思考探究，获取新知同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样.这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索.〔1〕45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的.〔2〕30°的三角尺，那么另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好似就会“相似〞.是这样吗？请同学们动手试一试：1.画两个三角形，使它们的三个角分别相等.画△ABC与△DEF，使∠A=∠D，∠B=∠E,∠C=∠F,在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？实际画图中，只画∠A=∠D,∠B=∠E,那么第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的.2.用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果.3.发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似.4.两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？这是由于三角形具有它特殊的性质.三角形有稳定性，而四边形有不稳定性.于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似.同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？例1 如图，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，判断这两个三角形是否相似.解：相似，因为∠C=∠C′，∠A=∠A′，根据相似三角形的判定定理1可知△A′B′C′∽△ABC.例2 在△ABC与△A′B′C′中，∠A=∠A′=50°，∠B=70°，∠B′=60°，这两个三角形相似吗?解：由三角形的内角和定理知∠C′=180°-∠A′-∠B′=180°-50°-60°=70°，∴∠C′=∠B,又∵∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′C′B′.【教学说明】教师注意引导学生分析∠B不一定与∠B′对应.例3 如图，△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,试说明△ADE∽△EFC.证明：∵DE∥BC,∴∠AED=∠∵EF∥AB,∴∠CEF=∠A.∴△ADE∽△EFC三、运用新知，深化理解1.△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，找出图中所有的相似三角形.2.△ABC中，D是AB的边上一点，过点D作一直线与AC相交于E，要使△ADE与△ABC 会相似，你怎样画这条直线?说明理由.和你的同伴交流作法是否一样.【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC①过D点作DE∥BC,DE交AC于点E②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE=∠C,另一边DE交AC于点E.【教学说明】第2题注意分类讨论.四、师生互动，课堂小结这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑？说说看.1.布置作业：从教材相应练习和“习题”中选取.“课时作业〞局部.本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力.。
相似三角形的判定练习
相似三角形的判定练习哎呀，说起相似三角形的判定，那可真是让同学们又爱又恨的一部分知识呢！先让咱们来瞅瞅相似三角形的判定方法都有啥。
首先，就是“两角分别相等的两个三角形相似”。
这就好比两个小伙伴，要是他们的性格特点（角）差不多，那他们就很容易成为相似的好朋友。
比如说，一个三角形的两个角分别是 60 度和 80 度，另一个三角形也有 60 度和 80 度的角，那它们肯定相似啦。
再看看“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”。
这就好像两个队伍排队，每排的人数比例一样，而且两队之间对应的夹角也相等，那这两个队伍的排列方式就很相似。
就像有一个三角形的两条边分别是 4 和 6，夹角是 60 度，另一个三角形对应的两条边是 8 和 12，夹角也是 60 度，那它们就是相似三角形。
还有“三边成比例的两个三角形相似”。
这就跟比身高似的，一个三角形的三条边长度分别是 3、4、5，另一个三角形的三条边是 6、8、10，它们的边的长度比例一样，那它们就是相似的。
那咱们来做几道练习题感受感受。
有一次我在课堂上给同学们出了这样一道题：在三角形 ABC 中，AB ＝ 6，BC ＝ 8，AC ＝ 10，在三角形 DEF 中，DE ＝ 3，EF ＝ 4，DF ＝ 5，请问这两个三角形是否相似？这时候，同学们都开始埋头苦算。
有的同学先算两边的比例，有的同学先看角的情况。
有个小机灵鬼很快就发现了，这两个三角形的三边比例都是 2:1，所以它们是相似的。
看着同学们认真思考的样子，我心里可高兴了。
咱们再来看这道题：已知在三角形 MNP 中，角 M ＝ 50 度，角 N ＝ 70 度，在三角形 XYZ 中，角 X ＝ 50 度，角 Z ＝ 60 度，这两个三角形相似吗？这时候，同学们就得好好想想啦，第一个三角形剩下的角 P 是 60 度，和第二个三角形的角 Z 相等，而且还有一个角 M 和角X 也相等，所以这两个三角形相似。
做相似三角形的判定练习啊，就得多观察、多思考。
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质习题课课件 新人教A版选修4-1
可得 DM∶FC＝1∶2，DM∶AF＝ED∶AE，
∴AF∶FC＝12·EADE.
栏 目
链
即当 E 为 AD 上任意一点时，上述结论仍成立．
接
点评：证“比例线段问题”，通常先作平行线构造基本图形，再由 定理“平行于三角形一边且与另两边(或延长线)相交构成的三角形 三边与原三角形三边对应成比例”来找出比例式，有时要利用中间 比来建立要求证的比例式之间的联系．
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(1) 证明：如图，过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M.
∵AD 是△ABC 的中线， ∴DM∶FC＝BD∶BC＝1∶2， ∴DM＝12FC. 又∵DM∶AF＝ED∶AE＝1， ∴AF∶FC＝1∶2，即AFFC＝12.
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（2）解析：如图，过点 D 作 DM∥AC 交 BF 于点 M，
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又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
点评：相似三角形的几个判定定理可能要同时用到，先证
两个三角形相似，以此作铺垫，再证另两个三角形相似．
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5．如图所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂线 交AB的延长线于点E.求证：ED2＝EB·EA.
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证明：连接 EC，∵EF 为 CD 的中垂线， ∴EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD. 又∵∠EDC＝∠A＋∠ACD，且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB， CD 为∠ACB 的平分线，则∠ACD＝∠DCB， ∴∠A＝∠ECB.又∠CEA 为公共角， ∴△ECB∽△EAC.∴EEBC＝EECA. ∴EC2＝EA·EB.又∵EC＝ED， ∴ED2＝EA·EB.
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相似三角形的习题
D P《相似三角形的判定》习题课姓名： 班级： 学号：例1、将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．(1)、填空：如图，AC= ，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)、请写出图中所有的相似三角形（不含全等三角形），并选择其中一对进行证明。
.例2、在正方形网格上有111C B A ∆和222C B A ∆，这两个三角形相似吗？如果相似，请证明。
例3、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，∠A = ∠BPD (1)、 求证：△ACP ∽ △PDB；(2) 、求∠APB 的度数。
例4、如图，正方形ABCD 中，E 是BD 上一点，AE 的延长线交DC 于点F ，交BC 的延长线于点G ，求证：EG EF AE ⋅=2FEGD CBADCAE1、如图，图中有对相似三角形．2、ΔABC的三条边分别为 54cm、45cm、63cm, 另一个和它相似的三角形最短边长为15cm,则这个三角形的周长为 .3、在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6cm ，BC＝8cm ，AC＝10cm ；A′B′＝18cm ，B′C′＝24cm ，A′C′＝30cm．求证：△ABC∽△A′B′C′．4、已知：△ABC与△ADE中，∠C=∠E,∠1=∠2. 求证：△ABC∽△ADE5、如图，在4³4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= °，BC= ；（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论．6、已知：如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120o. （1）、求证：△ADB∽△EAC；（2）、若BD=3，CE=12，求BC的长。
A BD C E1、下列线段a 、b 、c 、d 是成比例线段的是（ ）A 、a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10；B 、a ＝2，b ＝5，c ＝152，d ＝35．C 、a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝3cm ，d ＝6m ；D 、a ＝0．8，b ＝3，c ＝1，d ＝2．4． 2、下列说法中，正确的是（ ）Ａ、相似三角形都是全等三角形 Ｂ、所有的矩形都相似Ｃ、所有的等腰三角形都相似 Ｄ、所有的等腰直角三角形都相似 3、已知23=b a ，那么b a b a -+ = 4、已知713y y x =-，那么=+yyx ___________． 5、两地的实际距离为2000米，地图上的距离为2厘米，这张地图的比例尺为6、在如图所示的相似四边形中，求未知边x 的长度和角度α的大小．7、已知△ABC ∽ △ADE , AE = 5 , EC = 3 , BC = 7 , ∠BAC = 45°, ∠ACB = 40°, 求（1）∠ADE 的度数 ；（2）求 DE 的长8、已知：如图，△ABC 与△ADE 中，∠C=∠E,∠1=∠2. 求证：△ABC ∽△ADE ；9、已知d c b a =（b ±d ≠0），求证：db d bc a c a -+=-+1、如图，图中有 对相似三角形．2、ΔABC 的三条边分别为 54cm 、45cm 、63cm, 另一个和它相似的三角形最短边长为15cm,则这个三角形的周长为 .3、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ；A ′B ′＝18cm ，B ′C ′＝24cm ，A ′C ′＝30cm ． 求证： △ABC ∽△A ′B ′C ′． 4、已知：△ABC 与△ADE 中，∠C=∠E,∠1=∠2. 求证：△ABC ∽△ADE5、如图，在4³4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1） 填空：∠ABC= °，BC= ； （2） 判断△ABC 与△DEF 是否相似，并证明你的结论．6、已知：如图，△ABC 是等边三角形，∠DAE=120o. （1）、求证：△ADB ∽△EAC ； （2）、若BD=3，CE=12，求BC 的长。
相似三角形的判定习题课--
练习
2. 如果两个三角形的相似比为1，那么这两个 三角形________ 全等 。 3. 若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长 为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比是________ 4︰ 3 。 4. 若△ABC的三条边长的比为3cm、5cm、 6cm,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 24cm 。 cm，那么A′B′C′的最大边长是________
练习
1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。 （1）所有的等腰三角形都相似。 × √ （2）所有的等腰直角三角形都相似。 （3）所有的等边三角形都相似。√ （4）所有的直角三角形都相似。 × × （5）有一个角是70 °的两个等腰三角形都相似。 √ （6）有一个角是100 °的两个等腰三角形都相似。 √ （7）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。 （8）相似的两个三角形一定大小不等。 ×
A
D
△ACD ∽ △ CBD∽ △ ABC
2、Rt△ABC中， ∠ACB＝90 °，CD⊥AB于D。 （1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一 对说明理由。 （2）若AD＝1cm, BD＝4cm,请你求出CD的长度。 C
A
∟ D
B
练习
A
1、已知：点D在⊿ABC的边AB上，连结 CD, ∠1 ＝∠B，AD＝4， AC＝5，求BD的长。
A
4 D 1
5BC2. 如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点
P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动; 点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移 动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问： ①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA; ② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与 A ⊿ABC相似？ A Q B C B Q C
课件 相似三角形识别1(习题课)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，作 ABC中 ACB=90° 如图， CD⊥AB于点D，则图中相似的三角形有 CD⊥AB于点 于点D ______对 它们分别是_____________． ______对，它们分别是_____________．
如图， 分别为△ABC中AB、AC边上 如图，D、E分别为△ABC中AB、AC边上 的点，请你添加一个条件， ADE与 的点，请你添加一个条件，使△ADE与 ABC相似 你添加的条件是__________ 相似， △ABC相似，你添加的条件是__________ 只需填上你认为正确的一种情况即可）． （只需填上你认为正确的一种情况即可）．
如图， 例1 如图，在△ABC中，AB=AC， 中 ， 的平分线CD， ∠A=36°，作∠C的平分线 ，交AB于D， ° 的平分线 于 ， 说明△ 说明△ABC∽△CBD ∽
A
36° °
D B C
例2 将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图 的样子(图形中的所有点、线都在同一平面内)，找 的样子 图形中的所有点、线都在同一平面内 ， 图形中的所有点 出图中相似（不包括全等）三角形？ 出图中相似（不包括全等）三角形？并说明为什么 它们是相似三角形。 它们是相似三角形。
相似三角形的识别1 相似三角形的识别1
习题课
两角对应相等， 两角对应相等，两三角形相似
认真选一选 下列各组图形中有可能不相似的是__． 下列各组图形中有可能不相似的是 ． A．各有一个角是45°的两个等腰三角形 ．各有一个角是 ° B．各有一个角是 °的两个等腰三角形 ．各有一个角是60° C．各有一个角是 ．各有一个角是105°的两个等腰三角形 ° D．两个等腰直角三角形 ．
如图，在四边形ABCD中，AC、BD相 例1 如图，在四边形 中 、 相 交于点O， 交于点 ，∠ABD=∠ACD，试找出图中的 ∠ ， 相似三角形，并加以证明． 相似三角形，并加以证明．
相似三角形的判定(习题课)ppt课件
∴∠ A=∠D。
同理∠C=∠B （或∠APC＝∠DPB） 。 A
∴△PAC∽△PDB。
D
∴
O· P
PA PC PD PB
B C
即PA·PB=PC·PD
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6
例3.已知D、E分别是△ABC的边AB,AC上的点，
若∠A=35°, ∠C=85°,∠AED=60 °
求证：AD·AB= AE·AC
27.2.1相似三角形的判定（第4 课时）
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1
相似三角形的识别方法有那些？
方法1：通过定义
三个角对应相等 （不常用）
三边对应成比例
方法2： “平行”定理
方法3：“三边”定理
方法4：“两边夹角”定理
方法5：“两角”定理
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2
应用：选一选
1.从下面这些三角形中，选出一组你喜欢的相
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12
变式：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B 、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P 使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此 时BP的长，若没有，请说明理由。
8 6
可编1辑4 课件PPT
13
求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三 角形相似。
似的三角形证明.
5
30 45 1
2 30 9
4
3 30 2
105 30 4
105 45
5
2.5 6 30
4.5
（1）与（4）与（5）----“两角”定理
（2）与（6）--“两边夹角可编”辑课定件P理PT
3
应用：想一想
2、判断题：
(1)所有的直角三角形都相似 .
(完整版)相似三角形的判定习题课
A’
AC∥A'C '
O
C’
C
1 2, A'C ' AC
OC' , OC
B’ B
ACB A'C 'B' , B'C ' A'C '
BC AC
ABC ∽ A'B'C '
例2：已知如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线， EF⊥AD于点F，AF＝FD。
求证：DE2＝BE·CE 证明：连结AE,如图所示：
EF AD, AF FD
DE AE,ADE DAE,
1 2,
ACE ADE BAE,
在BAE和ACE中
F
ACE BAE，E E
BAE ∽ACE
BD C
E
AE CE , AE 2 BE CE
BE AE
DE2 BE CE
2、已知如图，DC∥AB，AC、BD相交于点O， AO＝BO，DF＝FB 求证：DE2＝EC·EO 证明：如图所示：
1.本课时的重点是相似三角形的判定. 2.相似三角形的对定应义角相：等，对应边成比例的三角形. 3.相似三角形的判定定理及其推论 预备定平理行：于三角形一边的直线和其他两边(或两边的
延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.
判定定理1： 两角对应相等的两个三角形相似.
判定定理2： 两边对应成比例且夹角相等，两个三 角形相似.
OA OB A B DF FB 1 B DC∥ABA 2
1 2
D
C
DEO DEC
EO
DEO∽CED
DE EO CE DE
A
F
B DE2 EC EO
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三、计算题型（先证两三角形相似，再运用性质 进行计算）
四、结论题型（根据条件，判断多个结论的正误）
五、规律题型（根据条件，探究变化规律）
六、综合题型（相似三角形与其它知识点的综 合考查）
F
E
相似三角形模型分析大全
跟谁学 龚 博
知识小结一
相似三角形的判定方法 1、定义法 2、平行法 3、判定定理1（SSS） 4、判定定理2（SAS） 5、判定定理3（AA） 6、判定定理4（HL）
知识小结二
•相似三角形判定的基本定的基本模型认识
知识小结二
•相似三角形判定的基本模型认识
① ∠A= ∠D, ②∠B =∠E, ③∠C=∠ F，
AB BC = ④ DE EF
BC CA ⑤ = EF DF
如果从中任取两个条件组成一组，那么能 判断⊿ABC∽ ⊿DEF 的共有 组。 A D
B
C
E
F
常见题型
一、条件题型（补充条件，使两三角形相似）
二、证明题型（根据条件，证两三角形相似）
AD⊥BC于点D， CE⊥AB于点 E ，且交AD 于F，你能从中找出几对相似三角形？
A
E F B D C
如图， ABCD中，G是BC延长线上一点， AG交BD于E，与DC交于点F，则图中相似三 5 对。（全等除外） 角形共有______ B E C F D G
A
•练习
•练习
例4、 ⊿ABC 和⊿DEF中，有下列条件：