导行电磁波
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第8章导行电磁波
Ez
E0
sin
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z)
Hx
j kc2
n
a
E0
s
in
m
a
x cos n
b
ye j(tkz z)
Hy
j kc2
m
a
E0
c
os
m
a
x sin n
b
ye j(tkz z )
式中：
k 2ck 2xk 2y
m
a
2
n
b
2
在矩形波导中TM波的传输常数为
kc2 k 2
n D S
n B 0
对于TM波， 其边界条件为
Ez c 0
Ez
I (z)
j
t2
I (z)
j
kc2
由于kc≠0，所以有
0 c
对于TE波，其边界条件为
H z 0 n c
用横向分布函数表示时有 0
n c
对于TEM波，其边界条件为 Et c 0
或者是用横向分布函数表示为
0 n c
8.2 矩形波导
2 kc2 k 2
对于理想导波系统，k 为实数，而kc是由导波系
统横截面的边界条件决定的，也是实数。这样随着工作频率的 不同， γ2可能有下述三种情况：
(1) γ2<0， 即γ=jβ。此时导行波的场为
E E(u1, u2 )e j(tz)
(2) γ2>0，即γ=α。此时导行波的场为
E E(u1, u2 )eaxe jt
g p
0 r r
3. 相速、群速和色散
(1) 相速。
p
导行电磁波
2 av 4 E 1 * i 0 ˆj S1 Re E1 H1 Re z sin k1z cos k1z 0 1 2
在纯驻波情况下，只有电能和磁能的相互交换而无能量传输。
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
图7-3 驻波和行驻波的电磁场振幅分布
Ei0 Er0
1
2
Et0
解得：
2 1 Er0 Ei0 2 1 22 Et 0 Ei0 2 1
Er0 2 1 令： Ei0 2 1
反射系数 ：分界面上反射波电场 强度与入射波电场强度之比。
Et 0 22 T Ei0 2 1
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
例：有一频率 f 100MHz ，x 方向极化的均匀平面波， 从空气垂直入射到 z 0 的理想导体表面上， 设入射波电 场强度振幅为 6mV/m， 试写出： (1) 入射波电场强度 Ei 和 磁场强度 H i 的复数和瞬时表达式； (2) 反射波电场强度 Er 和磁场强度 H r 的复数和瞬时表达式； (3) 空气中的 合成场 E 和 H ； (4)空气中离界面第一个电场强度波腹 点的位置；
透射系数 T ：分界面上透射波电场 强度与入射波电场强度之比。
Er
z
Hr
反射波与折射波的特性由分界面两侧媒质的参数确定。
电磁场与电磁波
第七章
平面电磁波的反射与折射，导行电磁波
二、平面波对理想导体表面的垂直入射
jk1z ˆ 入射波: E x E e i i0 E i 0 jk1z 1 ˆ ˆ H i z Ei y e
电磁场理论-导行电磁波
第7章 导行电磁波
上式给出了 g、 和 c 之间的关系。 c 由导波系统的截 面形状、尺寸和模式决定，可以根据具体导波结构求出。 对于 TEM 模， c ，所以 g
可见，TEM 模的波导波长等于填充相同介质的无界空 间中的波长。
(3) 相速
由vp
，可得
TE
和
TM
波相速：
vp
v
v
1 ( c )2
第七章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
电磁波除了在无限空间传播外，还可以在某种特定 结构的内部或周围传输，这些结构起着引导电磁波传输 的作用，这种电磁波称为导行电磁波(简称导波)，引导 电磁波传输的结构称为导波结构。导波结构可以由金属 材料构成，也可以由介质材料构成，还可以由金属和介 质共同构成。这里主要讨论在其轴线方向上截面形状、 面积以及所填充媒质均不变的均匀导波结构。无限长的 平行双导线、同轴线、金属波导、介质波导以及微带传 输线等等都是常用的导波结构。
0
，可得：
对 TM 模
Ez 0
对 TE 模，由
(k 2
2
)Et
j
ez
t Hz
t Ez
可得
(k
2
2
)n
Et
j
n ez t H z
n t Ez
j
n ez t H z
0
j n ez t H z
j (n t Hz )ez j
(n ez )t H z
j
H z n
ez
H z 0 n
第7章 导行电磁波
第7章 导行电磁波
1、纵向分量与横向分量的关系
导波结构中电磁场满足无源区域的麦克斯韦方程组：
H
第七章导行电磁波
第七章导行电磁波§.1导行电磁波及其导行系统1导行电磁波就是在导行系统（统称传输线，有时指波导）中传输的电磁波，简称导波。
2在一个实际射频、 微波系统里，传输线是最基本的构成，它不仅起连接信号作用，而且传 输线本身也可以成为某些元件，如电容、电感、变压器、谐振电路、滤波器、天线等等。
3传输线的主要指标：1）损耗。
损耗来源于导体、介质、辐射、模式转换； 2）色散和单模工作频带宽度。
取决于传输线的结构； 3）制造成本。
取决于是否可以集成。
4几种典型微波传输线，结构演化、特点。
1）双线；2 ）同轴线；3）波导；4 ）微带线；5） 介质波导与光纤；6）空间。
§2导波的一般分析方法1导波的一般分析方法：先求出场纵向分量，然后由场纵向分量导出其余的场横向分量。
2导波场横向分量与场纵向分量关系： Step1 :设导波的传播方向（纵向）为z 方向，传播无衰减，传输线横截面保持不变，则有E 二 E °（x,y ）e$zzH 二 H °（x, y ）e 』zZ（ 1） 式中k z 是导波沿传播方向（z 方向）的传播常数，有 国2氏=k 2= k ； + k ； = k ； + k ； （2） 把（1）式代入直角坐标系中的波动方程，简化后可得喘 +k ；E =0（3）可 T H +k ；H =oStep2：将（1）式代入Maxwell 方程组的两个旋度方程，直角坐标系中展开后可得场横向分 量与场纵向分量关系：在圆柱坐标系里也能导出类似的关系式。
3由场纵向分量导出场横向分量方法的好处： 1）简化计算：六个分量的求解简化为两个分量的求解。
场纵向分量相当于位函数。
2）便于波型分类 4导波波型的分类：E xkz 牡E z +觎cH z "k ； 、dx k z 纲E y；：E z .」汩z k z ex■yH x<k z cy H y--；:E z 'H zk z ：:x1） TE 波（横电波，或H 波）：E z =0，电磁场只有五个分量 2） TM 波（横磁波，或 E 波）：H z =0电磁场只有五个分量3） TEM 波：E z =0和H z = 0，电磁场只有四个分量欲横向场存在，由（4）式可知，必须k T = 0，这样首先方程（3）变为^2E =0和=0这样TEM 波的电磁场在横截面上的分布满足拉普拉斯方程，因此 TEM 波的电磁场在横截面上的特性与静电场、静磁场一样。
第八章 导行电磁波
说明：
1、均匀导波系统中，可用两个纵向场分量Ez和Hz表示其余的 横向场分量Ex、Ey、Hx、Hy。 2、对于正弦电磁波，其满足的波动方程为亥姆霍兹方程，即
2 E k 2 E 0
2 H k 2 H 0
两个纵向场分量Ez和Hz可由亥姆霍兹方程及边界条件确定。
2 Ez k 2 Ez 0 2 H z k 2 H z 0
式中Z=ZTE(或ZTM或ZTEM
)。
陕西理工学院物理系
第八章 导行电磁波
8―2 矩形波导
矩形波导是指横截面为矩形的空心导
波装置。
电磁波在导体空腔内传播 其内传播的电磁波不可能有TEM波，
矩形波导 TM 波 Hz = 0 。此时仅需求出 Ez 分量，然后即可计算其余各个分 量。 只能是TE波和TM波。 一、矩形波导中的模式 mode in rectangular waveguide
状态， 它是决定电磁波能否在导波系统中传输的分水岭。这时
2 由 kc
k 所决定的频率(fc)和波长(λc)分别称为截止频率和截止波
2
长，并且
2 fc , c f c kc 2 kc
陕西理工学院物理系
第八章 导行电磁波
其中 v 1/
为无限介质中电磁波的相速，而kc称
在任何均匀导波装置中传播的波都可以分为以下三种模式
在电磁波传播方向上没有电场和磁场分量，电场和磁场全部在横平面内，这 种模式的电磁波称为横电磁波，简称TEM波。 在电磁波传播方向上有电场分量，但没有磁场分量，这种模式的电磁波称为 横磁波，简称TM波。 在电磁波传播方向上有磁场分量，但没有电场分量，这种模式的电磁波称为 横电波，简称TE波。
导行电磁波.
t h = jkzH z
c
t e = jkzEz
f
由以上 6 个表达式可见,只要求出 Ez Hz 其它分量就可顺利得到
5、建波方程
2E k2E 0
t2 kz2 E k 2E t2E kc2E 0
2H k2H 0
t2H kc2H 0
k
2 c
k2
k
2 z
z jkz
E e x, y ezEz x, y e jkzz
z
z
jkzE
z
jkz
x
ex
y
ey
z
ez
t
jkzez
4、将已设场解及上式代入到场方程中，得：
t h = j Ezez a
t e = - jHzez d
t Hzez = jkzez h je b t Ezez = jkzez e jh e
Exyz = exEx x, y eyEy x, y ezEz x, ye jkzz = e ezEz x, ye jkzz
Hxyz = exHx x, y eyHy x, y ezHz x, ye jkzz = h ezHz x, ye jkzz
3、建场方程
H = jE E = - jH H = 0 E = 0
由式(a) (c) (d)(f)：
t e = 0 t h = 0 t e = 0
∵梯无旋∴横场有一标量位Φe ∵腔内无源∴
t h = 0
t2e
2e
x2
+
2e
y 2
=
0
由前TE和TM模的计算可知：
由式(b)和Hz
=0
：h
=
kz
e
ez
第七章导行电磁波
h2u2
h1u1
（7-1-12b）
第七章 导行电磁波
13
§7.2 导行波波型的分类以及导行波的传输特性
7.2.1 导行波波型的分类
导行波的波型是指能够单独存在于导行系统中的电磁波的场
结构形式，也称为传输模式。导行波波型大致分为三类。
1.TEM波
若电场和磁场在传播方向上的分量 Ez 0 、Hz 0 ，
用以引导电磁波传输的装置称为导波装置，或称为传输 线或导行系统。在导波装置中沿一定方向传输的电磁波称为 导行电磁波。如果导波装置的横截面尺寸、形状、介质分布、 材料及边界均沿传输方向不变，则称之为规则导波装置。常 用的导行系统如图7-1所示。其中最简单、最常用的是矩形波 导、圆柱形波导和同轴线。
如果将一段波导的两端短路或开路，就可以构成微波谐 振器。
波kc为色0散，波因。而对，于其T相EM速波和，群k速c 都0是，频则率有的，函v数p ，v即g TEv波和TcrMr ，
第七章 导行电磁波
10
j由横乘向以方式程（7(7-1-1-9-9aa）) ，和对（式7-1（-97c-）1-9可c ）以作求得E T e、z HT运，算 用，
然后两式相加，并利用矢量恒等式 (A ) A A A B C ( A C ) B ( A B ) C ，整理可得
（7-1-7b） （7-1-7c）
T 2H z (u1,u2)kc 2H z(u1,u2)0
（7-1-7d）
第七章 导行电磁波
8
矢量方程（7-1-7a）和（7-1-7c）的求解比较困难，因此 通常并不直接求解 ET 和 HT ，而是结合导行系统的边界条
第四章(二) 导行电磁波
2 2 c
三、导行电磁波的纵向场量表达式
设电磁波在无耗媒质中向(+z)方向传播，其角频率为 , 则其电场表达式可以记为：
jt z E Eme 由麦克斯韦方程组 E j H Ez Ez E y y E y j H x j H x z y Ez Ex Ez j H y j H y Ex x z x E y Ex j H E y Ex z j H z x y y x
TM波 x TE波 E E k k z zy H
二、导行电磁波满足的基本方程
E (r ) k E (r ) 0
2 2
H (r ) k H (r ) 0
2 2
导波系统内的最简单的解应为
E ( r ) E ( x, y ) e
jk z z
H ( r ) H ( x, y ) e
jk z z
2 E 2 E 2 E 2 2 k2E 0 2 y z x 2 H 2H 2H k2H 0 2 2 x 2 y z
E ( x, y ) k E ( x, y ) 0
2 2 c
H ( x, y ) k H ( x, y ) 0
§4-6导行电磁波
导行电磁波(导波)：沿导波装置(如传输线，波导)传播的电磁 波。导行波被限制在有限的空间内传播。 全部或绝大部分被约束在有限截面内实现确定方向传输的 电磁波称为导行电磁波。 导波装置可以具有不同的截面形状和截面面积。
矩形波导
平行双线
圆波导
同轴线
微带线
均匀导波装置：在垂直于导波传播的方向的横截面上，导波装 置具有相同的截面形状和截面面积。
三、导行电磁波的纵向场量表达式
设电磁波在无耗媒质中向(+z)方向传播，其角频率为 , 则其电场表达式可以记为：
jt z E Eme 由麦克斯韦方程组 E j H Ez Ez E y y E y j H x j H x z y Ez Ex Ez j H y j H y Ex x z x E y Ex j H E y Ex z j H z x y y x
TM波 x TE波 E E k k z zy H
二、导行电磁波满足的基本方程
E (r ) k E (r ) 0
2 2
H (r ) k H (r ) 0
2 2
导波系统内的最简单的解应为
E ( r ) E ( x, y ) e
jk z z
H ( r ) H ( x, y ) e
jk z z
2 E 2 E 2 E 2 2 k2E 0 2 y z x 2 H 2H 2H k2H 0 2 2 x 2 y z
E ( x, y ) k E ( x, y ) 0
2 2 c
H ( x, y ) k H ( x, y ) 0
§4-6导行电磁波
导行电磁波(导波)：沿导波装置(如传输线，波导)传播的电磁 波。导行波被限制在有限的空间内传播。 全部或绝大部分被约束在有限截面内实现确定方向传输的 电磁波称为导行电磁波。 导波装置可以具有不同的截面形状和截面面积。
矩形波导
平行双线
圆波导
同轴线
微带线
均匀导波装置：在垂直于导波传播的方向的横截面上，导波装 置具有相同的截面形状和截面面积。
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kc2
Ez x
kc2
mπ a
Em
cos(
mπ a
x) sin( nπ b
y)e z
Ey (x, y, z) kc2
Ez y
kc2
nπ b
mπ Em sin( a
x) cos(nπ b
y)e z
Hx (x, y, z)
j
kc2
Ez y
j
kc2
nπ b
mπ Em sin( a
x) cos(nπ b
如果 Ez 0， Hz= 0 ，传播方向只有电场分量，磁场在横截面 内，称为横磁波，简称为 TM 波或 E 波；
如果 Ez= 0， Hz 0 ，传播方向只有磁场分量，电场在横截面 内，称为横电波，简称为 TE 波或 H 波。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
10
2. 场方程 根据亥姆霍兹方程
k
2 y
g
(
y)
0
g(0) 0, g(b) 0
kx2
k
2 y
kc2
两个固有值问题的解为一系列分离的固有值和固有函数:
kx
mπ a
f
(
x)
A sin(
mπ
x)
a
k y
nπ b
g(
y)
C
sin(
nπ
y)
b
m 1，2，3, n 1，2，3,
故
mπ
nπ
Ez (x, y) f (x)g( y) Em sin(
场方程。
由于
EБайду номын сангаас (x, y, z) Ez (x, y)e z H z (x, y, z) H z (x, y)e z
2 ( x 2
2 y 2
kc2 )Ez (x,
y)
0
(
2 x2
2 y 2
kc2 )H z (x,
y)
0
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
11
7.2 矩形波导
结构：如图 所示，a ——宽边尺寸、 b ——窄边尺寸
★ 波导内的电磁场为时谐场。波沿 + z 方向传播。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
7
1、场矢量 对于均匀波导，导波的电磁场矢量为
E(x, y, z) E(x, y)e z H (x, y, z) H (x, y)e z
场分量：
Ex (x, y, z) Ex (x, y)e z Ey (x, y, z) Ey (x, y)e z
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
1
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
2
导行电磁波 —— 被限制在某一特定区域内传播的电磁波
导波系统 —— 引导电磁波从一处定向传输到另一处的装置
常用的导波系统的分类 ： TEM传输线、金属波导管、表面波导。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
3
1. TEM波传输线
平行双导线是最简单的TEM波传输线，随着工作频率的升高， 其辐射损耗急剧增加，故双导线仅用于米波和分米波的低频段。
Hx (x, y, z) H x (x, y)e z H y (x, y, z) H y (x, y)e z
Ez (x, y, z) Ez (x, y)e z
Hz (x, y, z) H z (x, y)e z
其中：
Ex (x, y, z)、Ey (x, y, z)、H x (x, y, z)、H y (x, y, z) —— 横向分量
同轴线没有电磁辐射，工作频带很宽。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
4
2. 波导管
矩形波导
波导是用金属管制作的导 波系统，电磁波在管内传播， 损耗很小，主要用于 3GHz ～ 30GHz 的频率范围。
圆波导
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
5
本章内容
7.1 导行电磁波概论 7.2 矩形波导 7.3 圆柱形波导 7.4 同轴波导 7.5 谐振腔 7.6 传输线
特点：可以传播TM 波和TE波，不能传播TEM波
7.2.1 矩形波导中的场分布
1. 矩形波导中TM 波的场分布
对于TM 波，Hz = 0，波导内的电磁场由Ez 确定
方程
2 ( x2
2 y2
kc2 )Ez (x,
y)
0
边界条件 Ez |x0 0 Ez |xa 0
y
b
z
Ez |y0 0 Ez |yb 0
xa
O
利用分离变量法可求解此偏微分方程的边值问题。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
12
设 Ez 具有分离变量形式，即 Ez (x, y) f (x)g( y)
代入到偏微分方程和边界条件中，得到两个常微分方程的固有值
问题，即
f
(x)
k
2 x
f
(x)
0
f (0) 0, f (a) 0
g
(
y)
2E k 2E 0，2H k 2H 0
故场分量满足的方程
2Ex k 2Ex 0，2H x k 2H x 0 —— 横向场方程 2Ey k 2Ey 0，2H y k 2H y 0
2Ez k 2Ez 0，2Hz k 2Hz 0 —— 纵向场方程
电磁场的横向分量可用两个纵向分量表示，只需要考虑纵向
y)e z
H y (x, y, z)
a
x) sin( b
y)
k2 cmn
kx2m
k
2 yn
( mπ )2 a
( nπ )2 b
截止波数只与波导 的结构尺寸有关。
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
13
所以TM波的场分布
Ez (x,
y, z)
Ez (x,
y)e z
Em
sin( mπ a
x)sin( nπ b
y)e z
Ex (x, y, z)
H z
x
Hx
j Ey
H y x
H x y
j Ez
Hx
1 kc2
( j
Ez y
H z x
)
Hy
1 kc2
(
j
Ez x
H z y
)
Ex
1 kc2
(
Ez x
j
H z y
)
Ey
1 kc2
(
Ez y
j
H z x
)
kc2 2 k 2
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
9
导波的分类
如果 Ez= 0， Hz= 0，E、H 完全在横截面内，这种波被称为 横电磁波，简记为 TEM 波，这种波型不能用纵向场法求解；
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
6
7.1 导行电磁波概论
分析均匀波导系统时， 做如下假定：
★ 波导是无限长的规则直波 导，其横截面形状可以任 意，但沿轴向处处相同， 沿z 轴方向放置。
★ 波导内壁是理想导体，即 = 。
★ 波导内填充均匀、线性、各向同性无耗媒质，其参数 、 和
均为实常数。
★ 波导内无源，即 ＝0，J ＝0。
Ez (x, y, z)、Hz (x, y, z) —— 纵向分量
电磁场与电磁波
第7章 导行电磁波
8
横向场分量与纵向场分量的关系
直角坐标系中展开
Ez y
Ey
j H x
E
j H
Ez x
Ex
j H y
Ey x
Ex y
j H z
直角坐标系中展开
H z y
Hy
j Ex
H
j E